Calculadora de esfera
Resultado
Volumen
- Área total
- 314,1593 cm²
- Radio
- 5,0000 cm
- Diámetro
- 10,0000 cm
- Perímetro
- 31,4159 cm
La calculadora de esfera toma cualquiera de las tres medidas de una bola —su radio, su diámetro o su circunferencia— y devuelve cinco: el volumen, el área total y esas tres longitudes. La forma del formulario merece un comentario. Solo hay que rellenar una casilla, y la página trabaja a partir de la que sea, porque las tres longitudes son la misma medida de la misma bola con ropa distinta: medir alrededor del ecuador describe la bola igual de bien que medir del centro a la piel. Lo que no es simétrico es la otra dirección. Las cuatro medidas de un círculo son iguales entre sí, y la página del círculo de al lado arranca desde cualquiera de ellas. Las de una esfera no lo son: el volumen y el área total son cosas que se calculan, nunca cosas que se introducen, porque ir hacia atrás desde un volumen exige una raíz cúbica y desde un área una raíz cuadrada, y esas dos preguntas ya tienen páginas propias. Así que aquí hay tres casillas y cinco lecturas, y las dos lecturas de más son justamente el motivo de la página. El volumen es cuánto cabe dentro de la bola o cuánto desplaza: cuánto aire lleva un balón, cuánta agua admite un depósito esférico, de cuánto material está hecha una bola de rodamiento. El área total es cuánta piel tiene: cuánta pintura, cuánto cuero, cuánto recubrimiento. Esas dos son las que hacen de la esfera un objeto de tres dimensiones, y son las que las figuras planas de las páginas vecinas no tienen con qué comparar. Hay dos detalles del formulario que conviene saber de antemano. El primero es que los tres desplegables etiquetan la circunferencia de una manera en la casilla de entrada y de otra en el panel de resultados: lo que escribes va en la casilla Circunferencia, y la fila que la repite abajo aparece como Perímetro. Es la misma cantidad y no hay ningún error, pero el cambio de palabra desconcierta la primera vez. El segundo es la fila de la tabla del radio 0,5: ahí la circunferencia y el área total salen las dos 3,1416, el mismo número impreso dos veces. No es un desliz. Las dos fórmulas son 2πr y 4πr², y con un radio de un medio se cruzan, porque 2π por ½ y 4π por ¼ valen las dos π. Por debajo de ese radio el área total es la menor de las dos; por encima, la mayor. Es el tipo de coincidencia que solo aparece cuando una longitud y un área se miden en las mismas unidades, y en esta página se miden.
Bolas habituales, introducidas por cada una de las tres medidas
| Dato de partida | Radio (cm) | Diámetro (cm) | Circunferencia (cm) | Área total (cm²) | Volumen (cm³) |
|---|---|---|---|---|---|
| r | 5 | 10 | 31.4159 | 314.1593 | 523.5988 |
| d | 6 | 12 | 37.6991 | 452.3893 | 904.7787 |
| C | 3.1831 | 6.3662 | 20 | 127.324 | 135.0949 |
| r | 10 | 20 | 62.8319 | 1256.6371 | 4188.7902 |
| r | 1 | 2 | 6.2832 | 12.5664 | 4.1888 |
| r | 0.5 | 1 | 3.1416 | 3.1416 | 0.5236 |
| r | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| d | 50 | 100 | 314.1593 | 31415.9265 | 523598.7756 |
Ocho bolas, y la primera columna dice cuál de las tres casillas se rellenó: sin ella la tabla no se leería, porque las cinco cifras se imprimen en todas las filas y no hay nada más que indique cuál fue la entrada. Las tres primeras filas están introducidas a propósito de tres maneras distintas —un radio de 5, un diámetro de 12 y una circunferencia de 20— para que las tres puertas de entrada se vean una al lado de otra. La primera fila es la bola con la que carga la página, y su circunferencia de 31,4159 es exactamente lo que imprime la página del círculo para un radio de 5: a una circunferencia le da igual estar dibujada plana o alrededor de una bola. La tercera fila es la que hay que leer si piensas hacer esta aritmética a mano: introducida como circunferencia de 20 el volumen es 135,0949, mientras que elevar al cubo el radio redondeado, 3,1831, que se imprime al lado da 135,0950, una diferencia en la última cifra, y la página tiene razón, porque la respuesta verdadera pertenece al 20 que escribiste y no al radio redondeado que se muestra. La quinta fila es la bola unidad, donde el área total es 4π y el volumen 4π/3. La sexta fila es la coincidencia ante la que conviene pararse: con un radio de un medio el área total y la circunferencia valen las dos 3,1416, porque 4πr² y 2πr se cruzan exactamente ahí. La séptima fila es un radio de cero, donde todas las columnas son cero y la respuesta es real y no ausente. La última fila es un diámetro de 100, diez veces el radio de la primera, y en ella se ve el escalado: diez veces el radio da diez veces la circunferencia, cien veces el área total y mil veces el volumen. Cada número se recalcula a partir de su entrada al construir la página, en centímetros, y los cuatro decimales son los mismos que usa el panel de resultados.
Fórmula
V = 4⁄3 × πr³ A = 4πr² d = 2r C = 2πr
- Radius
- La distancia del centro a la superficie, en centímetros. Es el número sobre el que está construida de verdad una esfera: todo lo demás de esta página, incluidas las otras dos entradas, es una manera de expresarlo
- Diameter
- La distancia de lado a lado pasando por el centro, en centímetros, que es el doble del radio. La medida que usar cuando tienes la bola en las manos y una regla cruzada por encima, que es como se describen de verdad la mayoría de las bolas
- Circumference
- La distancia de una vuelta completa por la parte más ancha, en centímetros, que es 2πr. La medida que usar cuando tienes una cinta y solo puedes rodear el exterior: un tronco, un tubo o una bola demasiado grande para abarcarla
- Volume
- Cuánto espacio ocupa la bola, en centímetros cúbicos. Es la única lectura de aquí que va con el cubo del radio, y por eso se dispara respecto a las demás en cuanto las bolas crecen
- Surface area
- Cuánta piel tiene la bola, en centímetros cuadrados, que es cuatro veces el área de un círculo del mismo radio. Coincide exactamente con el área de la superficie curva del cilindro que contendría justo a la bola
- 4⁄3 πr³
- La fórmula del volumen, y los cuatro tercios son la parte que merece recordarse. Una esfera ocupa dos tercios del cilindro que la envuelve justo, que es el resultado que Arquímedes pidió que le grabaran en la tumba
- 4πr²
- El área total, y el 4 pelado merece un segundo de atención al lado de los cuatro tercios del volumen. Es el área de cuatro círculos planos del mismo radio, algo que sale del cálculo y no de desplegar la superficie de ninguna manera
- Four decimal places
- El ancho con el que se escribe cada lectura. Solo el radio y el diámetro pueden ser exactos; la circunferencia, el área total y el volumen llevan todos un π y el volumen además un cubo, así que sus últimas cifras son un ancho de visualización y no una afirmación
Esta página es para cualquier cosa redonda en tres dimensiones, y las dos lecturas que añade respecto a la página del círculo son las que importan para objetos reales. El volumen es para capacidad y desplazamiento: cuánto aire lleva un balón, cuánto admite un depósito esférico o un gasómetro, cuánto pesa una bola de rodamiento una vez que sabes de qué material es, cuánto empuje da un flotador. El área total es para todo lo que recubre la bola: pintura, los paneles de cuero de un balón, el recubrimiento de un rodamiento, la superficie de enfriamiento de una gota o la dosis de un fármaco que viaja en la superficie de una partícula. Hay además un uso que va al revés, y es el más corriente de todos: tienes una bola y una cinta métrica, y lo que quieres es un número al que no puedes llegar. Rodea el ecuador con la cinta, escribe la circunferencia y la página te da el diámetro y el volumen sin que tengas que abrir la bola, que es exactamente como se averigua el tamaño de un tronco, de un tubo o de un planeta.
Ejemplos resueltos
Una bola de radio 5
- Diámetro: 2 × 5 = 10
- Circunferencia: 2 × π × 5 = 10π = 31,4159…
- Área total: 4 × π × 5² = 100π = 314,1593…
- Volumen: (4 ÷ 3) × π × 5³ = 500π ÷ 3 = 523,5987…, que redondeado es 523,5988
La entrada con la que carga la página. Las dos lecturas con π merece la pena leerlas como múltiplos enteros de π: el área total es 100π y el volumen es 500π/3. Es también la fila en la que se pueden comprobar los números de la esfera contra los de la página del círculo: la circunferencia de esta bola, 31,4159, es exactamente lo que imprime la página del círculo para un radio de 5, porque a una circunferencia le da igual estar dibujada en un papel plano o alrededor de una bola. El volumen es donde asoma la tercera dimensión.
Una bola de diámetro 12
- Radio: 12 ÷ 2 = 6
- Circunferencia: 2 × π × 6 = 12π = 37,6991…
- Área total: 4 × π × 6² = 144π = 452,3893…
- Volumen: (4 ÷ 3) × π × 6³ = 288π = 904,7787…
La entrada que hay que usar cuando la bola está delante de ti: un diámetro es lo que da una regla cruzada por el medio, y es como se especifican en la práctica los balones, los rodamientos y los planetas. Todo lo de aquí es un múltiplo entero de π —12π, 144π, 288π—, que es lo que pasa siempre que el radio sale un número entero, y es una buena señal de que la aritmética va bien.
Una bola medida alrededor del ecuador
- Radio: 20 ÷ (2π) = 3,1830988…, que redondeado es 3,1831
- Diámetro: 2 × 3,1830988… = 6,3661977…, que redondeado es 6,3662
- Área total: 4 × π × 3,1830988…² = 400 ÷ π = 127,3239…, que redondeado es 127,324
- Volumen: (4 ÷ 3) × π × 3,1830988…³ = 4000 ÷ 3π² = 135,0948…, que redondeado es 135,0949
La fila que hay que leer si alguna vez piensas hacer esta aritmética tú, porque es en la que redondear pronto muerde. El radio impreso arriba es 3,1831, que ya viene redondeado: elévalo al cubo y obtendrás un volumen de 135,0950 en lugar del 135,0949 que informa la página. Los dos números son defendibles y solo uno es correcto: la respuesta verdadera pertenece al 20 que escribiste, y el 3,1831 es una manera de mostrarlo y no la cosa en sí. Es también la entrada que usar para todo aquello a lo que solo puedes dar una vuelta con la cinta, como un tronco o un tubo.
Una bola de radio un medio
- Diámetro: 2 × 0,5 = 1
- Circunferencia: 2 × π × 0,5 = π = 3,1416…
- Área total: 4 × π × 0,5² = π = 3,1416…
- Volumen: (4 ÷ 3) × π × 0,5³ = π ÷ 6 = 0,5236…
La fila ante la que merece la pena detenerse: la circunferencia y el área total salen el mismo número, 3,1416, y no es un desliz. Las dos fórmulas son 2πr y 4πr², y con un radio de un medio se cruzan: 2π por ½ y 4π por ¼ valen las dos π. Por debajo de este radio el área total es la menor de las dos; por encima, la mayor. Es la clase de coincidencia que solo aparece cuando una longitud y un área resultan medirse en las mismas unidades, y en esta página se miden.
Una bola de radio cero
- Diámetro: 2 × 0 = 0
- Circunferencia: 2 × π × 0 = 0
- Área total: 4 × π × 0² = 0
- Volumen: (4 ÷ 3) × π × 0³ = 0
Una bola sin tamaño es un solo punto, y las cinco lecturas son cero. El cero es una entrada legal y no una casilla vacía, así que una fila de ceros es una respuesta de verdad: la página la distingue de dejar las tres casillas en blanco, que no muestra nada porque no hay de dónde partir.
Limitaciones
La página es solo para esferas: todo punto de la superficie a la misma distancia del centro. Un huevo, un balón de rugby o la propia Tierra no lo son, y un hemisferio tampoco: es una esfera cortada por la mitad con una cara plana de más cuya área no se cuenta aquí. El volumen y el área total no se pueden introducir —son respuestas y no entradas—, así que una bola especificada por lo que le cabe hay que llevarla antes a un radio en otra página. Las cinco lecturas van en centímetros, centímetros cuadrados y centímetros cúbicos sea cual sea la unidad que marque el desplegable, así que un diámetro escrito en pulgadas vuelve como una respuesta en centímetros que hay que convertir. Los cuatro decimales son un ancho de visualización y no una afirmación sobre la precisión: solo el radio y el diámetro pueden ser exactos, y los otros tres llevan un π, con el volumen llevando además un cubo. Las lecturas se redondean de forma independiente a partir del radio exacto, así que un valor impreso en esta página no siempre reproducirá otro impreso al lado: la respuesta verdadera pertenece al número que escribiste. Se puede rellenar exactamente una casilla; dos a la vez se rechaza en lugar de resolverse en silencio, porque un radio de 5 y un diámetro de 10 son la misma bola pero un radio de 5 y un diámetro de 12 no lo son, y la página prefiere decirlo a elegir. Aquí no se trata el grosor de una corteza hueca, ni el material del que está hecha la bola, ni su peso.
Preguntas frecuentes
- ¿Por qué solo puedo rellenar una casilla?
- Porque las tres casillas describen la misma bola. El radio, el diámetro y la circunferencia son una sola medida con tres trajes distintos: rellena cualquiera de ellas y la página ya conoce la bola. Rellenar dos se rechaza en lugar de resolverse, porque un radio de 5 y un diámetro de 10 concuerdan pero un radio de 5 y un diámetro de 12 no, y no hay manera honesta de que la página adivine cuál de los dos querías.
- ¿Por qué no puedo introducir el volumen y obtener el radio?
- Porque esa es otra pregunta y necesita una raíz cúbica en vez de una multiplicación. Lo mismo vale para introducir el área total, que necesita una raíz cuadrada. Las dos son cosas perfectamente razonables de querer, pero son problemas aparte, y esta página toma las tres longitudes como entradas para poder dar el volumen y el área como respuestas. Ir hacia atrás tiene página propia.
- El área total y la circunferencia han salido con el mismo número, ¿está mal?
- No: con un radio de un medio son de verdad iguales. La circunferencia es 2πr y el área total es 4πr², y con r = ½ eso da π y π. Por debajo de ese radio el área total es menor que la circunferencia y por encima es mayor. Son magnitudes de clases distintas, así que la igualdad es una coincidencia numérica y no una afirmación de que una longitud valga lo mismo que un área.
- ¿De dónde salen los cuatro tercios de la fórmula del volumen?
- De que hacen que la esfera sea exactamente dos tercios del cilindro que la envuelve justo. Arquímedes lo dedujo y le pareció lo bastante importante como para pedir que le grabaran la esfera y el cilindro en la tumba. Es también la razón de que la fórmula del volumen parezca tan pesada comparada con las de las cajas y los prismas: una superficie curva no se puede llenar apilando lonchas planas sin el cálculo.
- ¿Qué medida uso para una bola a la que solo puedo dar la vuelta?
- La circunferencia. Rodea la parte más ancha con una cinta, escribe ese número en la casilla de la circunferencia, y la página te da el diámetro y el radio junto con el volumen y el área total. Es la manera estándar de medir un tronco, un tubo o cualquier cosa demasiado grande o demasiado incómoda para medirla de lado a lado, y es la razón de que la circunferencia sea aquí una entrada y no una lectura más.
- ¿La respuesta va en centímetros cúbicos o en litros?
- La página imprime centímetros cúbicos, y la conversión es la de siempre: mil centímetros cúbicos son un litro, así que un volumen de 523,5988 cm³ son unos 0,5236 litros. Para volúmenes más pequeños, un mililitro es lo mismo que un centímetro cúbico. El desplegable de unidades cambia lo que escribes, no lo que sale, así que si introduces un diámetro en pulgadas la respuesta seguirá viniendo en centímetros.
Referencias
- Sphere — the three-dimensional ball, with the volume and the surface area this page computes and the two-thirds relation to the enclosing cylinder — Wolfram MathWorld (United States)
- Circle — the same measurements in two dimensions, and the page next door where a circumference is an input rather than an echo — Wolfram MathWorld (United States)
- Volume — the general treatment of what the volume output measures, including the sphere among the solids whose volume has a closed form — Wolfram MathWorld (United States)