Calculadora de área superficial
Resultado
Área total
Una calculadora de área superficial da el área del exterior de un cuerpo: cuánto material haría falta para forrarlo, cuánta pintura para recubrirlo, cuánto cartón para embalarlo. Elige la figura, dale las medidas que lee —un radio para una esfera, un radio y una altura para un cono o un cilindro, una longitud, un ancho y una altura para un prisma rectangular— y la página devuelve un número en centímetros cuadrados, que el panel de resultados rotula Área total. Las cuatro figuras de aquí son las que cubren casi cualquier pregunta de escuela y de taller. Una esfera es cuatro π por el radio al cuadrado. Un cono es π por el radio por el radio más la altura inclinada, donde la altura inclinada es la distancia recta desde el vértice hasta el borde bajando por el lado y sale de Pitágoras con el radio y la altura. Un cilindro es dos π por el radio por el radio más la altura, que son las dos tapas circulares más el lateral desenrollado. Un prisma rectangular es el doble de la suma de las tres parejas de caras: longitud por ancho, longitud por altura, ancho por altura. Cuatro figuras, cuatro fórmulas, y las tablas de referencia de más abajo dicen cuál es cuál. Lo que hay que saber antes de empezar es que los cuatro campos de longitud están en pantalla a la vez y siguen rellenos cuando cambias de figura. Eso es una decisión deliberada y no un descuido: un formulario que escondiera los campos que una figura no usa tendría que mover las casillas bajo tus manos cada vez que cambiaras de idea, y un formulario que los dejara ahí pero los ignorara estaría tirando en silencio un número que habías escrito. Así que la página deja cada casilla donde está y lee solo las que la figura elegida necesita, y la regla de cuáles son es sencilla: la esfera lee el radio y nada más, el cono y el cilindro leen el radio y la altura, y el prisma rectangular lee la longitud, el ancho y la altura. El radio no lo lee el prisma, y la longitud y el ancho no los leen las otras tres, así que el valor que haya en una casilla que no se lee no cambia nada de la respuesta. Las tablas de referencia lo vuelven concreto, porque su columna de fórmula dice qué fila usó qué fórmula. Una cosa más que conviene saber: la respuesta va en centímetros cuadrados sea cual sea la unidad a la que estén puestos los desplegables, que es la regla fija de esta familia de páginas y vale para todas las que rodean a esta.
Cuerpos de revolución a partir de un radio y de una altura
| Fórmula | Radio (cm) | Altura (cm) | Área total (cm²) |
|---|---|---|---|
| 4πr² | 3 | — | 113.1 |
| 4πr² | 5 | — | 314.16 |
| πr(r + l) | 3 | 4 | 75.4 |
| πr(r + l) | 5 | 12 | 282.74 |
| 2πr(r + h) | 3 | 4 | 131.95 |
| 2πr(r + h) | 5 | 12 | 534.07 |
| 4πr² | 1 | — | 12.57 |
| 2πr(r + h) | 1 | 2 | 18.85 |
Ocho filas que cubren la esfera, el cono y el cilindro. La primera columna es el sentido entero de la tabla: una vez resuelta la figura no queda nada en la fila que diga de qué cuerpo se trataba, así que la fórmula hace de nombre. Y hace además algo que un nombre no podría, que es decirte cuál de los otros dos números de la fila se usó de verdad: las dos filas de la esfera llevan un guion en la columna de la altura porque una esfera no tiene altura y esa casilla no se lee. Las dos primeras filas son la esfera con radios 3 y 5, y la razón entre ellas merece una comprobación: cinco tercios al cuadrado es unos 2,78, y 113,1 por 2,78 son 314,16, que es la segunda fila. El área va con el cuadrado del radio, nunca con el radio. La tercera fila es el cono 3-4-5 cuya altura inclinada sale exactamente 5, y la quinta es la entrada por defecto de la página del cilindro: radio 3, altura 4, área 131,95, la misma cifra que esa página imprime como su total. La séptima es una esfera de radio 1 con 12,57 centímetros cuadrados, que es 4π y es la única cifra de la tabla que es una constante conocida en lugar de una medida. La octava es un cilindro de radio 1 y altura 2 con 18,85, que es 6π. Todas las cifras se recalculan a partir de su radio y su altura al construir la página, en centímetros, y los guiones se imprimen tal cual están.
Cajas rectangulares a partir de una longitud, un ancho y una altura
| Longitud (cm) | Ancho (cm) | Altura (cm) | Área total (cm²) |
|---|---|---|---|
| 5 | 4 | 4 | 112 |
| 1 | 2 | 3 | 22 |
| 2 | 2 | 2 | 24 |
| 10 | 10 | 10 | 600 |
| 0.5 | 0.5 | 0.5 | 1.5 |
| 3 | 4 | 0 | 24 |
Seis cajas, y la primera fila es la que carga la página cuando se elige el prisma rectangular. La segunda es la caja más pequeña con lados enteros, uno por dos por tres, con 22 centímetros cuadrados: la aritmética de ahí es lo bastante corta para hacerla de cabeza, lo que la convierte en la fila con la que comprobar la fórmula: 2 × (2 + 3 + 6) = 22. La tercera es un cubo de dos centímetros de lado con 24, y la sexta es una lámina plana de tres por cuatro con altura cero, también con 24. Esa pareja es lo más útil de la tabla, porque los dos cuerpos no se parecen en nada y comparten el número: el cubo tiene seis caras de cuatro, y la lámina tiene dos caras de doce y cuatro que se han hundido. Un área superficial por sí sola no identifica una figura, y esta es la demostración más barata de ello. La cuarta fila es un cubo de diez centímetros de lado con 600 centímetros cuadrados, que es el tamaño de caja en el que llega una resma de papel, y la quinta es medio centímetro de lado, donde los decimales empiezan a importar. Todas las cifras son exactas, porque la fórmula del prisma no lleva π, y las seis se recalculan al construir la página.
Fórmula
Esfera: S = 4πr² · Cono: S = πr(r + l), l = √(r² + h²) · Cilindro: S = 2πr(r + h) · Prisma rectangular: S = 2(lw + lh + wh)
- Shape
- El cuerpo que estás forrando. Decide cuál de las cuatro fórmulas corre y, por tanto, cuáles de los campos de longitud de abajo se leen: la esfera usa el radio solo, mientras que el prisma rectangular usa la longitud, el ancho y la altura e ignora el radio por completo
- r
- El radio, en centímetros: la distancia del centro de la esfera a su superficie, o del centro de la cara circular a su borde en un cono o un cilindro. Lo leen tres de las cuatro figuras y lo ignora el prisma rectangular
- h
- La altura, en centímetros: la distancia perpendicular de la base a la cara opuesta en un prisma rectangular, o de la base al vértice en un cono, o entre las dos tapas circulares en un cilindro. La esfera la ignora, porque no tiene altura
- l
- Dos cosas distintas, y es el único sitio de esta página en el que hay que leer con cuidado. En la fórmula del cono es la altura inclinada, la distancia recta del vértice al borde bajando por el lado, que se saca del radio y de la altura con Pitágoras; en los libros de texto esa misma medida se llama generatriz. En la fórmula del prisma es la longitud de la caja. La columna de fórmula de la tabla de referencia dice qué fila es cuál
- lw, w, and the other letters
- Las tres dimensiones del prisma rectangular en centímetros: longitud, ancho y altura. El prisma tiene seis caras en tres parejas, y cada pareja es uno de los tres productos, que es la razón de que la fórmula duplique su suma en lugar de sumar seis términos sueltos
- π
- La razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo, unos 3,14159. Aparece en tres de las cuatro fórmulas y no en la del prisma, que es la razón de que el área de una caja sea muchas veces un número exacto y la de una esfera casi nunca lo sea
- Square centimetres
- La unidad de la respuesta, siempre, sea cual sea la unidad de los desplegables. El área es una cantidad de dos dimensiones, así que la unidad es la de entrada elevada al cuadrado: un radio en centímetros da un área en centímetros cuadrados, y en esta página no hay ningún paso al cubo
- Two decimal places
- El ancho con el que se escribe la respuesta. Dos y no cuatro porque estas son medidas de objetos y no coordenadas de un plano: un radio tomado con una regla ya tiene más incertidumbre que la del tercer decimal
Casi siempre la pregunta va de material, y la figura te dice qué fórmula quieres. Una pelota, un globo terráqueo o un globo de feria son una esfera, y la pregunta suele ser cuánta tela o cuánta pintura los cubre. Un gorro de fiesta, un embudo o un montón cónico de arena son un cono, y la medida que todo el mundo olvida es la altura inclinada: no es la altura del cono sino la distancia por su lado, y un cono de radio 3 y altura 4 tiene una inclinada de exactamente 5, que es Pitágoras en su forma entera más pequeña. Una lata, un tubo o un pilar son un cilindro, y la fórmula de ahí es la que se puede deducir en lugar de memorizar: dos tapas de πr² cada una más un lateral que se desenrolla en un rectángulo de 2πr de ancho y h de alto. Una caja, un arcón o una habitación son un prisma rectangular, y las seis caras en tres parejas son toda la idea. Así que el área de una esfera, el área de un cono, el área de un cilindro y el área de un prisma rectangular salen todas de la misma página, y ese es justamente su valor: tener las cuatro fórmulas en el mismo sitio y poder comprobar que el área total de una lata y la de una pelota no se comportan igual. Un aviso vale para las cuatro: el área superficial y el volumen no son proporcionales, y si duplicas todas las longitudes el área se multiplica por cuatro mientras el volumen se multiplica por ocho, que es la razón de que un animal grande pierda calor más deprisa que uno pequeño y de que una caja pequeña cueste desproporcionadamente más cartón del que sugiere su contenido.
Ejemplos resueltos
Un cilindro de radio 3 y altura 4
- Dos tapas: 2 × π × 3 × 3 = 56,548667…
- Lateral desenrollado: 2 × π × 3 × 4 = 75,398223…
- Total: 56,548667… + 75,398223… = 131,946891…, que se redondea a 131,95
- Las casillas de longitud y de ancho no las lee el cilindro, y el 5 y el 4 que hay en ellas no cambian nada
La figura con la que carga la página, y la fila que hay que comparar con la del cilindro, que devuelve 131,95 como área total para el mismo radio y la misma altura. Dos páginas, dos herramientas, una cifra: corren la misma fórmula, y verlas coincidir es justamente el punto. La comprobación que no necesita calculadora: las dos tapas son de unos 28 cada una y el lateral se desenrolla en un rectángulo de unos 18,8 de ancho por 4 de alto, así que el total tiene que quedar algo por encima de 130.
Un cono de radio 3 y altura 4
- Altura inclinada: √(3² + 4²) = √25 = 5
- Base: π × 3 × 3 = 28,274333…
- Lateral: π × 3 × 5 = 47,123889…
- Total: 28,274333… + 47,123889… = 75,398223…, que se redondea a 75,4
El triángulo 3-4-5 haciendo su trabajo de siempre: con un radio de 3 y una altura de 4 la altura inclinada es exactamente 5, así que la aritmética se mantiene limpia de principio a fin. Este 75,4 es además el mismo que la página del cilindro devuelve como área lateral para un radio de 3 y una altura de 4, y eso es una casualidad de dos cuerpos distintos y no una fórmula compartida: el lateral del cono y el del cilindro son figuras diferentes que aquí llegan al mismo número.
Una esfera de radio 3
- Cuatro círculos: 4 × π × 3 × 3 = 36π = 113,097335…
- Que se redondea a 113,1
- Solo se lee el radio; la altura, la longitud y el ancho le dan igual a la esfera
El área de una esfera es exactamente cuatro veces el área de su sección mayor, que es el dato que merece la pena recordar de ella: un círculo de radio 3 mide 28,27, y cuatro de esos son 113,1. La casilla de la altura sigue con el 4 de la figura anterior y la página no le hace ningún caso, que es el comportamiento que describe la introducción y la razón de que esté descrito.
Un prisma rectangular de 5 por 4 por 4
- Base y tapa: 2 × 5 × 4 = 40
- Caras frontal y trasera: 2 × 5 × 4 = 40
- Los dos laterales: 2 × 4 × 4 = 32
- Total: 40 + 40 + 32 = 112 centímetros cuadrados, que es exacto
La única de las cuatro figuras cuya respuesta es exacta de costumbre, y la única que ignora el radio. Como la longitud y la altura coinciden en este caso, dos de las tres parejas de caras son del mismo tamaño, lo que hace fácil seguir la suma: 40, 40 y 32. El radio 3 que sigue en su casilla no juega ningún papel.
Un cubo de 2 por 2 por 2, y un prisma de 3 por 4 por 0
- Base y tapa: 2 × 3 × 4 = 24
- Caras frontal y trasera: 2 × 3 × 0 = 0
- Los dos laterales: 2 × 4 × 0 = 0
- Total: 24 centímetros cuadrados
La pareja que hay que mirar junta, porque un cubo de dos centímetros de lado y una lámina plana de tres por cuatro llegan los dos a 24 centímetros cuadrados. El cubo es 2 × 2 × 2 y da 2 × (4 + 4 + 4) = 24; el segundo tiene altura cero, así que cuatro de sus seis caras se han hundido hasta nada y las dos que quedan son la base y la tapa. El mismo número para cuerpos que no se parecen en nada, y un recordatorio de que un área superficial por sí sola no identifica una figura.
Limitaciones
La respuesta va siempre en centímetros cuadrados, sea cual sea la unidad a la que estén puestos los desplegables. Elegir pulgadas cambia cómo se interpretan tus números a la entrada y nada de cómo se escribe la respuesta. Los cuatro campos de longitud siguen en pantalla con cualquier figura, y los que la figura elegida no lee se ignoran en lugar de vaciarse, así que un radio que se quedó de una esfera no cambia nada de una caja. La página no te va a impedir dejar una casilla con el valor que le venía bien a la figura anterior, y tampoco te va a decir que no la ha usado: los campos que no se leen tienen que ser igualmente números válidos, cero o positivos, porque la comprobación de cada casilla es la misma para todas las figuras. La columna de fórmula de las tablas de referencia es el único sitio de la página que dice qué números entraron en una fila, y por eso está. Los dos decimales son un ancho de visualización y no una afirmación sobre la precisión. El área superficial del cono usa la altura inclinada y no la altura perpendicular, y la página calcula la inclinada ella misma a partir del radio y de la altura, así que un cono medido por su lado no se puede escribir tal cual: hay que dar radio y altura. π se usa con toda la precisión del doble y no como 3,14, así que los números que salen de las fórmulas con π son irracionales casi siempre y vienen cortados a dos decimales. En el prisma, el factor dos es el que se olvida: la suma de los tres productos es la mitad de la respuesta, porque cada una de las tres parejas tiene dos caras. Las páginas del cilindro y del cono que hay en este mismo sitio devuelven cifras para algunas de estas mismas entradas, y coinciden con esta porque corren las mismas fórmulas: una discrepancia sería un fallo y no una diferencia de criterio. Aquí no se contempla una figura que no sea una de las cuatro, ni un recipiente abierto al que le falte una cara, ni un cuerpo con un agujero que lo atraviese.
Preguntas frecuentes
- ¿Qué campos usa de verdad cada figura?
- La esfera lee el radio y nada más. El cono y el cilindro leen el radio y la altura. El prisma rectangular lee la longitud, el ancho y la altura, e ignora el radio. Cada casilla sigue en pantalla y conserva lo que tenga dentro, así que un número que se quedó de una figura que miraste antes no hace nada. La columna de fórmula de las tablas de referencia es la manera más rápida de ver qué números entraron en una fila.
- ¿Qué es la altura inclinada y cómo se mide?
- Es la distancia recta desde el vértice del cono hasta el borde bajando por su lado, y es más larga que la altura vertical salvo si el cono es plano; en los libros de texto esta misma medida se llama generatriz. No hace falta que la midas: la página la saca del radio y de la altura con Pitágoras, porque el radio, la altura y la inclinada forman un triángulo rectángulo. Un cono de radio 3 y altura 4 tiene una inclinada de exactamente 5.
- ¿Por qué la respuesta va en centímetros cuadrados si he escrito en pulgadas?
- Porque la respuesta es una salida fija en centímetros cuadrados, elegida para que el panel de resultados y las tablas de referencia de debajo coincidan siempre. Los desplegables cambian cómo se entienden tus medidas a la entrada, no cómo se escribe la respuesta. Para convertir, divide el resultado entre 6,4516 si lo quieres en pulgadas cuadradas: el factor va al cuadrado porque el área escala con el cuadrado de la longitud.
- ¿Por qué un cubo de 2 cm de lado tiene la misma área que una lámina de 3 por 4?
- Porque los dos llegan a 24 centímetros cuadrados, y no hay nada más que eso: el cubo tiene seis caras de 4 cada una, y la lámina plana tiene dos caras de 12 y cuatro que se han hundido hasta nada porque su altura es cero. Un área superficial no identifica una figura, y el segundo cuerpo es un caso degenerado que la página calcula con gusto y no un error.
- ¿Dan las páginas del cilindro y del cono las mismas respuestas que esta?
- Para las cifras que se solapan, sí, y eso es por diseño y no por casualidad: las tres páginas corren las mismas fórmulas. Un cilindro de radio 3 y altura 4 tiene un área total de 131,95 aquí, y la página del cilindro imprime ese mismo 131,95 como su área total, porque las dos suman las mismas dos tapas al mismo lateral desenrollado.
- ¿Puedo calcular cuánta pintura o cuánto envoltorio necesito?
- Sí, para un cuerpo cerrado, y es el uso más común de la página. Dos cosas que vigilar: la respuesta es todo el exterior, así que un recipiente abierto necesita que le restes una cara, y la cifra no tiene en cuenta solapes, desperdicio ni grosor, por lo que una estimación práctica se redondea hacia arriba en lugar de usarla tal cual. El área va en centímetros cuadrados, así que divide entre diez mil para pasarla a metros cuadrados.
- ¿Sirve para un cuerpo que no sea uno de los cuatro?
- No. La página tiene cuatro fórmulas y ninguna más, así que una pirámide, un toro o un tubo hueco no están contemplados. Lo que sí puedes hacer es componer: un cuerpo formado por una caja y media esfera se resuelve calculando las dos partes por separado —la media esfera es la mitad del área de la esfera entera— y sumando después, teniendo cuidado de no contar la cara por la que van pegadas.
Referencias
- Surface area — the area of the boundary of a solid, with the formulas for the sphere, the cone, the cylinder and the rectangular prism that this page implements — Wolfram MathWorld (United States)
- Cone — the solid whose lateral surface unrolls into a sector, and whose slant height is the hypotenuse of the right triangle formed by the radius and the height — Wolfram MathWorld (United States)
- Sphere — the surface at a fixed distance from a centre, whose area is exactly four times that of its great circle, the relation the sphere formula here states — Wolfram MathWorld (United States)
- Área de un cono — el área lateral y el área total a partir del radio y de la generatriz, con el triángulo rectángulo que forma con la altura, en español — Universo Formulas (España)