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CalcMax

Calculadora de volumen de ortoedro

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

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Resultado

80,0000 cm³

Volumen

Área total
112,0000 cm²

Escribe el largo, el ancho y el alto de una caja rectangular y esta calculadora de volumen de ortoedro devuelve dos cifras: el volumen que encierra, en centímetros cúbicos, y el área total que suman sus seis caras, en centímetros cuadrados. Se piden las dos porque de un ortoedro casi siempre se quieren las dos a la vez: cuánto cabe dentro y cuánto material hace falta para fabricarlo o forrarlo. El volumen es el largo por el ancho por el alto, la fórmula que todo el mundo conoce sin que nadie se la haya enseñado, porque es cuántos cubos de un centímetro de lado caben dentro. El área total es dos veces la suma de los tres pares de caras, porque las caras opuestas de un ortoedro son idénticas: solo hay tres rectángulos distintos que calcular y cada uno aparece dos veces. Las dos cantidades no crecen igual cuando la caja cambia de tamaño, y esa diferencia es lo más útil de la página. Si duplicas las tres dimensiones, la superficie se multiplica por cuatro y el volumen por ocho, porque el volumen es un producto de tres longitudes y el área de dos. Por eso un recipiente grande guarda desproporcionadamente más que uno pequeño y gasta desproporcionadamente menos material por unidad de contenido, y por eso un animal que mide el doble que otro no pesa el doble. La tabla trae precisamente ese par de filas: 3, 4 y 5 se convierte en 6, 8 y 10, la superficie pasa de 94 a 376 y el volumen de 60 a 480. Las unidades merecen un párrafo aparte porque son el sitio donde más se falla. Cada uno de los tres campos acepta centímetros, metros, milímetros, pulgadas o pies, y las dos respuestas vuelven en centímetros: al cubo el volumen, al cuadrado el área. Una caja medida en pulgadas da por tanto un volumen que hay que dividir entre 16,387064 para leerlo en pulgadas cúbicas, no entre 2,54 ni entre 6,4516, porque las magnitudes de volumen convierten por el cubo del factor de longitud y echar mano del factor simple es el error que hay que vigilar. Hay que rellenar las tres dimensiones: esta página no tiene ninguna disposición en la que des dos y ella averigüe la tercera, ni un desplegable para elegir la forma. Es una caja rectangular y nada más. Si la figura es un cilindro, un cono o una esfera, esa es otra página; si es un depósito, la página del acuario toma las mismas tres medidas y responde en litros y galones. Un detalle sobre el orden: el volumen va en la primera línea y la superficie en la segunda, sea cual sea la que venías a buscar, porque la página se llama por el volumen y porque el volumen es la cifra con una fórmula única y conocida por todos mientras que la superficie es la que la gente tiene que consultar.

Cajas habituales: el volumen y el área total a partir de las tres aristas

Largo (cm)Ancho (cm)Alto (cm)Volumen (cm³)Área total (cm²)
11116
3456094
54480112
6810480376
1010101000600
1286576432
20151030001300
0.50.50.50.1251.5

Ocho cajas y cinco columnas: tres dimensiones que entran y dos cifras que salen. La segunda fila y la cuarta son el par que lleva el peso de la página: 3, 4 y 5 duplicado a 6, 8 y 10, con el volumen pasando de 60 a 480 mientras la superficie solo va de 94 a 376. La tercera fila es el juego con el que carga la página, 5, 4 y 4, y es también el caso que resuelve la página de superficie para su opción de prisma rectangular: 112 en las dos. La primera fila es el cubo unidad, volumen uno y superficie seis, que es la caja más pequeña que hay y una referencia útil para leer cualquier cifra de superficie. La quinta fila es el cubo, y la sexta y la séptima son cajas más planas y más largas que guardan bastante más; compararlas con el cubo es lo que enseña que una caja paga por su forma, no solo por su tamaño. La sexta guarda 576 centímetros cúbicos detrás de 432 centímetros cuadrados de superficie, tres cuartos de centímetro cuadrado por centímetro cúbico, donde el cubo se queda en seis décimas: el cubo es la caja más económica para lo que guarda, y cada paso que se aleja de él cuesta cartón. La última fila es un cubo de medio centímetro, donde el volumen se escribe con sus tres decimales, 0,125, porque la aritmética es exacta y no se redondea a los cuatro decimales que permite la presentación.

Fórmula

V = lwh S = 2(lw + lh + wh)

l
El largo de la caja, en centímetros: cualquiera de las tres aristas, siempre que las otras dos sean el ancho y el alto. A una caja le da igual qué nombre se le ponga a cada arista
w
El ancho, en centímetros. Junto con el largo fija el rectángulo de la base, que es la cara sobre la que se apoya la caja
h
El alto, en centímetros: cuánto sube la caja por encima de su base. Es la tercera dirección, la que convierte un rectángulo de área en un sólido de volumen
lwh
El volumen: tres longitudes multiplicadas. Es cuántos cubos de un centímetro de arista caben dentro, que es exactamente lo que significa un centímetro cúbico
lw, lh, wh
Los tres rectángulos distintos entre las seis caras: la base, el frente y el costado. Las otras tres caras son esos mismos rectángulos otra vez, y por eso la fórmula de la superficie no tiene que sumar seis áreas sueltas
2(lw + lh + wh)
El área total, en centímetros cuadrados. El factor dos representa que las caras opuestas de un ortoedro son idénticas, y es el paso que se salta quien suma seis caras y cuenta cada par dos veces
Cuatro decimales
El ancho con el que se imprimen las lecturas. Las dos cifras son exactas siempre que lo sean las tres longitudes, así que los cuatro decimales son una anchura de presentación y no una señal de aproximación: 0,125 se escribe entero

El embalaje y el envío son el caso más llano. El volumen de un paquete es por lo que cobra un mensajero y la superficie es el cartón que hace falta para fabricar la caja: las dos cifras que una empresa necesita antes de fijar el tamaño de un embalaje, y el volumen es además lo que decide si un artículo entra o no. El almacenamiento es el segundo: cuánto cabe en un arcón, un cajón, una caja de archivo o una estantería, y cuánta pared cubre su parte exterior. Los materiales son el tercero: la superficie es lo que hay que pintar, envolver, forrar o recubrir, así que un trabajo presupuestado por metro cuadrado empieza por esta fórmula, y el volumen es lo que hay que meter dentro cuando el relleno se vende por volumen. En obra y en ingeniería civil es el hormigón de un cimiento rectangular, el desmonte de una excavación rectangular, el agua de un depósito o un estanque rectangular y el relleno de un parterre, y en todos ellos la cuenta es esta multiplicación: lo que de verdad se falla es poner las tres dimensiones en la misma unidad. En fabricación es el material de un bloque mecanizado, la capacidad de una tolva y el volumen de una pieza antes de trabajarla. En las ciencias es la densidad de cualquier cosa que se pueda cortar en un sólido rectangular, ya que la densidad es la masa entre el volumen, y el volumen de una cubeta o de una probeta. Y en el aula es la demostración de que volumen y superficie son dos cosas distintas que salen de los mismos tres números: monta una caja con cubos de un centímetro, cuenta los cubos para el volumen, cuenta los cuadrados de fuera para la superficie, y el hecho de que los dos recuentos crezcan de forma distinta al duplicar la caja es toda la lección. En la aritmética de cada día es si un mueble pasará por una puerta, cuánta tierra pide un bancal elevado y si la caja del armario es lo bastante grande para lo que va dentro.

Ejemplos resueltos

  1. Una caja de 5 por 4 por 4

    1. El rectángulo de la base: 5 × 4 = 20
    2. Los otros dos rectángulos: 5 × 4 = 20 y 4 × 4 = 16
    3. Se suman los tres y se dobla: 2 × (20 + 20 + 16) = 112 centímetros cuadrados
    4. Se multiplican las tres longitudes: 5 × 4 × 4 = 80 centímetros cúbicos

    Las dimensiones con las que carga la página, y el mismo caso que usa el ejemplo de la página de superficie para su opción de prisma rectangular. Las dos páginas imprimen 112, y merece la pena comprobarlo: llegan a la cifra por caminos distintos y una discrepancia entre ellas sería un fallo en una de las dos. Fíjate en que dos de las tres dimensiones son iguales, así que dos de los tres rectángulos distintos son el mismo.

  2. Una caja de 3 por 4 por 5

    1. Los tres rectángulos: 3 × 4 = 12, 3 × 5 = 15 y 4 × 5 = 20
    2. Se suman y se doblan: 2 × (12 + 15 + 20) = 94 centímetros cuadrados
    3. Se multiplican las tres: 3 × 4 × 5 = 60 centímetros cúbicos

    El juego de dimensiones clásico, y la fila que hay que mirar junto a la siguiente: duplicar todas las aristas no da una caja más grande sin más, da otra forma de respuesta. Esta es la mitad pequeña de la demostración que da sentido a la página.

  3. La misma caja duplicada: 6 por 8 por 10

    1. Los tres rectángulos: 6 × 8 = 48, 6 × 10 = 60 y 8 × 10 = 80
    2. Se suman y se doblan: 2 × (48 + 60 + 80) = 376 centímetros cuadrados
    3. Se multiplican las tres: 6 × 8 × 10 = 480 centímetros cúbicos

    Todas las aristas dobladas, así que la superficie es cuatro veces los 94 de la fila anterior y el volumen es ocho veces los 60. Esto es lo más útil de la página: duplicar una caja no duplica ni lo que cabe en ella ni lo que cuesta fabricarla, y ni siquiera las dos cosas crecen al mismo ritmo. Es la misma relación que hace que un envase grande salga más barato por litro que uno pequeño.

  4. Una caja de 12 por 8 por 6

    1. Los tres rectángulos: 12 × 8 = 96, 12 × 6 = 72 y 8 × 6 = 48
    2. Se suman y se doblan: 2 × (96 + 72 + 48) = 432 centímetros cuadrados
    3. Se multiplican las tres: 12 × 8 × 6 = 576 centímetros cúbicos

    Una caja más plana y más larga, y la fila que conviene comparar con el cubo de la tabla. Guarda 576 centímetros cúbicos y tiene 432 centímetros cuadrados de superficie, que son tres cuartos de centímetro cuadrado de cartón por cada centímetro cúbico que encierra; el cubo guarda 1000 y tiene 600, que son seis décimas. Entre todas las cajas de un volumen dado, el cubo es la que menos superficie gasta, y cada paso que se aleja de él cuesta material: por eso un envase cúbico es el eficiente y una caja plana de la misma capacidad no lo es.

  5. Una caja sin alto: 5 por 5 por 0

    1. Los tres rectángulos: 5 × 5 = 25, 5 × 0 = 0 y 5 × 0 = 0
    2. Se suman y se doblan: 2 × (25 + 0 + 0) = 50 centímetros cuadrados
    3. Se multiplican las tres: 5 × 5 × 0 = 0 centímetros cúbicos

    Una caja aplastada hasta quedar en una hoja. El volumen es cero, lo cual es correcto y no significa que la página no haya respondido, y la superficie no es cero: es 50, las dos caras que siguen ahí. El cero es un valor legal en cualquiera de los tres campos. Medir cero es una medición; lo único que no da nada con lo que trabajar es dejar un campo vacío.

Limitaciones

Esta página calcula un ortoedro y nada más: no un cilindro, ni un cono, ni una esfera, ni una pirámide, ni un sólido irregular, y no acepta un volumen para deshacer el camino y recuperar una arista que falte. Las tres dimensiones son obligatorias y ninguna puede ser negativa. Las dos respuestas vuelven en centímetros, al cubo el volumen y al cuadrado la superficie, sea cual sea la unidad que tenga puesta cada campo, porque la conversión ocurre a la entrada. Una caja medida en pulgadas da por tanto un volumen que hay que dividir entre 16,387064 para leerlo en pulgadas cúbicas: los volúmenes convierten por el cubo del factor de longitud, y dividir entre 2,54 o entre 6,4516 por analogía con una longitud o una superficie es el error que hay que evitar. No hay salida para la diagonal que atraviesa la caja por el medio, y la diagonal que un lector puede tener en la cabeza por una ficha de pantalla es la de una cara, que es otra longitud distinta. Aquí no se contempla una caja de esquinas redondeadas, ni una caja abierta por arriba, ni el grosor del material del que está hecha: una caja sin tapa gasta menos que la cifra impresa, y la diferencia es exactamente la cara que le falta. Cuatro decimales son una anchura de presentación; la aritmética es exacta siempre que lo sean las tres entradas, así que una cifra como 0,125 se escribe entera en vez de redondearse. Y no se convierte entre centímetros cúbicos y litros: la página del acuario toma las mismas tres medidas y responde en litros y galones si es eso lo que hace falta.

Preguntas frecuentes

¿Por qué duplicar cada lado multiplica el volumen por ocho?
Porque cada una de las tres longitudes se duplica y se multiplican entre sí, así que el factor dos entra tres veces: dos por dos por dos son ocho. La superficie solo se dobla dos veces, porque un área es un producto de dos longitudes, así que crece por cuatro. Esa diferencia es la razón de que un recipiente grande guarde mucho más que uno pequeño gastando proporcionalmente menos material, y de que una caja pequeña de la misma forma nunca sea una ganga a escala.
Puse pulgadas. ¿Por qué el volumen sale en centímetros cúbicos?
Porque la conversión ocurre a la entrada y no a la salida. Tus pulgadas se convierten en centímetros y las dos respuestas vuelven en centímetros. Para leer el volumen en pulgadas cúbicas, divide entre 16,387064, que es 2,54 al cubo. Dividir entre 2,54, como harías con una longitud, da una respuesta equivocada por un factor de unas cuarenta veces.
¿Cuál de los tres campos es el alto?
El que estés tratando como vertical: a una caja le da igual qué nombre se le ponga a cada arista, porque el volumen y la superficie son simétricos en las tres. Aquí la palabra alto se usa en el sentido de la altura de una figura, no en el de una persona ni en el de un depósito, pero la aritmética no cambia si intercambias dos de los tres.
¿Esto es lo mismo que la página del volumen del acuario?
La geometría es idéntica y las tres medidas son las mismas tres, pero las respuestas no lo son. Aquella página trata la figura como un recipiente y responde en litros y galones, y está limitada a las dimensiones que un depósito puede tener de verdad. Esta la trata como un sólido geométrico y responde en centímetros cúbicos con el área total al lado, que es lo que quieres cuando la caja es un objeto material y no un vaso.
¿Puedo obtener solo la superficie, o cambiar de forma?
La página de superficie acepta una esfera, un cono, un cilindro o un prisma rectangular y devuelve únicamente el área exterior, así que cubre esta caja entre otras tres figuras. Su opción de prisma rectangular usa la misma fórmula que esta página y las dos coinciden: una caja de 5 por 4 por 4 da 112 en ambas. Si quieres una sola cifra sin nada que elegir, esta página es el camino corto.
¿Por qué no hay una diagonal de la caja?
Porque la diagonal que casi todo el mundo tiene en la cabeza, y la que este sitio ya publica en otras páginas, es la que cruza una cara plana: la cifra que se cita para las pantallas. Una caja tiene además una diagonal que va de una esquina a la esquina opuesta pasando por el centro, y es otra longitud con otra fórmula. Imprimir una de las dos bajo el nombre a secas de diagonal haría que la etiqueta estuviera mal en una de las dos páginas, así que esta la deja fuera.

Referencias

Calculadoras relacionadas

Calculadora de área superficialÁrea superficial de esferas, cubos, cilindros y conos.Calculadora de volumen de acuarioLitros y galones que caben en un acuario según sus medidas.Calculadora de volumen de cilindroVolumen de un cilindro, y el área de su base y de su lateral.Calculadora de rectánguloÁrea, perímetro y diagonal de un rectángulo.