Saltar al contenido principal
CalcMax

Calculadora de volumen de cono

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Resultado

37,70 cm³

Volumen

Altura inclinada
5,00 cm
Área lateral
47,12 cm²
Área total
75,40 cm²

Una calculadora de volumen de cono toma los dos números que fijan un cono —el radio de su base y su altura— y devuelve su volumen junto con las otras tres medidas que se suelen querer a la vez: la altura inclinada, que los libros de texto llaman generatriz, el área de la superficie curva y el área total contando la base. Un cono es la figura que sale al coger un círculo y tirar de su centro hacia fuera del plano, y esos dos números son exactamente lo que ese movimiento necesita: el radio de la base dice cuán ancho es el círculo, y la altura dice cuánto se ha levantado el vértice. Cambia cualquiera de los dos y tienes otro cono, y por eso los dos campos son obligatorios y por eso la zona de resultados se queda en blanco en lugar de protestar cuando falta uno. El volumen es un tercio del área de la base por la altura. Ese tercio es la parte interesante. Un cono sobre una base circular y un cilindro sobre la misma base y con la misma altura están relacionados de la manera más simple posible: el cono contiene exactamente un tercio de lo que contiene el cilindro, y lo mismo ocurre entre una pirámide y el prisma en el que encaja. Eso no se ve mirando ninguno de los dos cuerpos, y fue un resultado de verdad cuando se demostró por primera vez; MathWorld lo remonta a Eudoxo, con demostraciones posteriores de Arquímedes y de Euclides en el libro XII de los Elementos. Tres de las cuatro respuestas se apoyan en números que no terminan. El volumen, el área lateral y el área total llevan π, así que un resultado que caiga exacto es la excepción, y los dos decimales de la pantalla son el sitio donde se cortan las cifras y no donde termina el número. La cuarta es distinta: la altura inclinada es la distancia en línea recta desde el vértice, bajando por el lado, hasta el borde de la base, así que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son el radio y la altura, y sale exacta siempre que esos dos formen un triángulo pitagórico de números enteros. La página carga con tres y cuatro, que dan una altura inclinada de cinco exactos, y eso convierte la entrada por defecto en la que sirve para comprobar la página entera, porque cada paso se puede hacer de cabeza. Antes de usar las respuestas hay dos cosas que conviene saber. Todo se da en centímetros, centímetros cuadrados y centímetros cúbicos, sea cual sea la unidad elegida en los desplegables de al lado; esos desplegables cambian cómo se leen tus números a la entrada y nada de cómo se escribe la respuesta. Y las respuestas se calculan directamente a partir de tu radio y tu altura, nunca unas de otras, así que el área total no es el área lateral más la base: es la misma fórmula resuelta en un solo paso, y quien la reconstruya sumando el área lateral impresa puede encontrarse con el último dígito distinto.

Conos que te vas a encontrar, y lo que miden

Radio (cm)Altura (cm)Volumen (cm³)Altura inclinada (cm)Área lateral (cm²)Área total (cm²)
512314.1613204.2282.74
3437.7547.1275.4
68301.5910188.5301.59
10101047.214.14444.29758.45
2625.136.3239.7452.3
7.5201178.121.36503.28680
111.051.414.447.58
122.092.247.0210.17

Ocho conos, con las dos entradas en las dos primeras columnas y las cuatro respuestas después. La segunda fila es la entrada con la que carga la página —radio tres, altura cuatro— y es la fila por la que hay que empezar, porque tres y cuatro dan una altura inclinada de cinco exactos y todas sus cifras se comprueban a mano. La primera fila es el mismo triángulo pitagórico agrandado, cinco y doce, con una generatriz de trece y un volumen de casi exactamente un litro. La tercera fila es la que se reporta como error: su volumen y su área total son los dos 301,59, que es una coincidencia real de esas dimensiones y no una columna duplicada; el volumen sale 96π y el área total también sale 96π, y son clases de cantidad distintas, centímetros cúbicos contra centímetros cuadrados. La cuarta fila tiene el radio igual a la altura, lo que hace que la generatriz sea el radio por la raíz cuadrada de dos, y es el caso corriente de una respuesta que no termina. La quinta es un cono alto y estrecho y la sexta uno ancho con un radio fraccionario, y las dos dan alturas inclinadas irracionales, que se redondean a 6,32 y a 21,36. La séptima es un cono pequeño de radio uno y altura uno, donde el volumen apenas pasa de un centímetro cúbico. La octava es el mismo radio con la altura doblada, lo que dobla el volumen y deja el área lateral cambiada por un factor que no es dos: merece un vistazo, porque enseña que doblar una dimensión no dobla la superficie curva. Las cuatro respuestas se recalculan a partir del radio y de la altura al construir la página, y todas están en centímetros.

Fórmula

V = πr²h ÷ 3 l = √(r² + h²) Área lateral = πrl Área total = πr(l + r)

r
El radio de la base circular, en centímetros. Obligatorio, y se admite el cero: un cono de radio cero es un segmento vertical apoyado en un punto
h
La altura perpendicular desde el centro de la base hasta el vértice, en centímetros. Obligatoria, y no es la altura inclinada: son números distintos en todo cono salvo en el degenerado de altura cero
l
La altura inclinada — la generatriz en los libros de texto —, o sea la distancia del vértice al borde bajando por el lado. Es la hipotenusa del triángulo que forman el radio, la altura y el lado, así que siempre es más larga que cualquiera de los otros dos. Es la única de las cuatro salidas que suele salir exacta, porque un radio y una altura enteros pueden dar una generatriz entera
V
El volumen en centímetros cúbicos: un tercio del área de la base por la altura. El tercio es toda la diferencia entre esta página y la del cilindro, donde la misma expresión no lleva divisor
Lateral area
El área de la superficie curva sola, π por el radio por la altura inclinada. No incluye la base. Fíjate en que usa la altura inclinada y no la altura, que es la sustitución equivocada más frecuente en esta figura
Total surface area
La superficie curva más la base circular, que se simplifica a π por el radio por la suma de la altura inclinada y el radio. Se calcula a partir del radio y de la altura inclinada en un solo paso en lugar de sumar las dos áreas, así que no siempre es el área lateral de la pantalla más πr²
Two decimal places
El ancho con el que se escribe cada salida. El volumen y las dos áreas son irracionales para casi cualquier entrada; la altura inclinada es exacta siempre que el radio y la altura formen un triángulo pitagórico, y por eso los valores por defecto de la página salen con ceros detrás

Los trabajos evidentes son aquellos en los que tienes un cono delante y necesitas un número sobre él. Un montón cónico de grava o de grano, donde puedes medir la anchura de la base y la altura pero la generatriz está enterrada dentro del material. Un tejado cónico o una aguja, donde lo que hay que cubrir es la superficie inclinada y la altura inclinada es el número por el que se cobra el tejado. Un embudo, una tolva, un vaso de papel, un gorro de fiesta: el volumen dice cuánto cabe y el área lateral dice cuánto material hace falta para fabricarlo, y esas son dos preguntas distintas con dos respuestas distintas en la misma página. La tercera pregunta que responde la página es la comparativa. Elegir entre un cono y un cilindro es una decisión real en envases y en almacenamiento, y la comparación es siempre el mismo factor de tres: el cilindro de la misma base y la misma altura contiene exactamente el triple, así que una tolva cónica de una huella dada contiene un tercio de lo que contiene una cilíndrica. Merece la pena llevarse dos costumbres. La altura inclinada es siempre la más larga de las tres longitudes del triángulo del lado, así que una generatriz que salga más corta que la altura significa que los dos campos se rellenaron al revés: la inclinada es la que medirías por fuera, y no puede ser la menor. Y el área lateral es siempre menor que el área total, porque el total es la lateral más la base, así que un total menor que la lateral es señal de que se ha restado en lugar de sumar.

Ejemplos resueltos

  1. Un radio de tres y una altura de cuatro

    1. Altura inclinada: √(3² + 4²) = √25 = 5
    2. Volumen: π × 3² × 4 ÷ 3 = π × 36 ÷ 3 = 12π = 37,6991…, que se redondea a 37,70
    3. Área lateral: π × 3 × 5 = 15π = 47,1239…, que se redondea a 47,12
    4. Área total: π × 3 × (5 + 3) = 24π = 75,3982…, que se redondea a 75,40

    La entrada con la que carga la página, y la única de este conjunto en la que cada paso se puede hacer mentalmente: tres y cuatro dan una hipotenusa de cinco exactos, así que la altura inclinada es un número entero y las dos áreas son múltiplos enteros de π. Fíjate en la aritmética del volumen: el área de la base es nueve π y un tercio de eso por cuatro son doce π, y por eso la respuesta es algo menos de treinta y ocho y no algo más de cien. Un cono de este tamaño cabe unos treinta y ocho mililitros, que es un dato útil cuando un resultado parece equivocado por un factor de tres.

  2. Un radio de cinco y una altura de doce

    1. Altura inclinada: √(25 + 144) = √169 = 13
    2. Volumen: π × 25 × 12 ÷ 3 = 100π = 314,1592…, que se redondea a 314,16
    3. Área lateral: π × 5 × 13 = 65π = 204,2035…, que se redondea a 204,20
    4. Área total: π × 5 × (13 + 5) = 90π = 282,7433…, que se redondea a 282,74

    El otro triángulo pitagórico conocido, y un cono más alto y más estrecho que el de por defecto. Fíjate en lo cerca que está el volumen de un número redondo: cien π son 314,16, así que un cono de radio cinco y altura doce contiene casi exactamente un litro. Ese es el tipo de coincidencia que merece usarse como comprobación cuando se trabaja en centímetros: cien π centímetros cúbicos son cien veces el volumen de un cubo de un centímetro multiplicado por π, y las cifras de la pantalla deberían pasar un poco de trescientos.

  3. Un radio de seis y una altura de ocho, donde dos respuestas coinciden

    1. Altura inclinada: √(36 + 64) = √100 = 10
    2. Volumen: π × 36 × 8 ÷ 3 = 96π = 301,5928…, que se redondea a 301,59
    3. Área lateral: π × 6 × 10 = 60π = 188,4955…, que se redondea a 188,50
    4. Área total: π × 6 × (10 + 6) = 96π = 301,5928…, que se redondea a 301,59

    La fila de la tabla de abajo que se reporta como error. El volumen y el área total son el mismo número, 301,59, y eso es aritmética y no una columna duplicada: el volumen sale 96π y el área total también sale 96π, porque con una generatriz de diez la expresión πr(l + r) se convierte en π × 6 × 16, que es el mismo noventa y seis π que la fracción del volumen. No son la misma clase de cantidad —uno son centímetros cúbicos y el otro centímetros cuadrados—, así que la coincidencia está en las cifras y en ningún otro sitio. Ocurre porque este cono concreto tiene una generatriz de diez con un radio y una altura que forman un triángulo pitagórico; no es una regla, y las filas vecinas no la comparten.

  4. Un radio igual a la altura

    1. Altura inclinada: √(100 + 100) = √200 = 14,1421…, que se redondea a 14,14
    2. Volumen: π × 100 × 10 ÷ 3 = 1000π ÷ 3 = 1047,1975…, que se redondea a 1047,20
    3. Área lateral: π × 10 × 14,14214 = 444,2883…, que se redondea a 444,29
    4. Área total: π × 10 × (14,14214 + 10) = 758,4479…, que se redondea a 758,45

    Un cono tan alto como ancho es su radio de base, lo que hace el triángulo isósceles y la altura inclinada exactamente el radio por la raíz cuadrada de dos. Esa raíz es irracional, así que este es el caso corriente: una generatriz que no termina y dos áreas que la siguen. Es también el caso en el que la fórmula del volumen se lee más fácil —mil π entre tres— y en el que quien se haya olvidado del tercio aterrizará en 3141,59, que es exactamente el triple. El factor de tres es el error más frecuente de esta página.

  5. Una altura de cero

    1. Altura inclinada: √(16 + 0) = 4, que es el radio, porque el vértice no se ha levantado nada
    2. Volumen: π × 16 × 0 ÷ 3 = 0, porque no hay altura que le dé nada
    3. Área lateral: π × 4 × 4 = 16π = 50,2655…, que se redondea a 50,27
    4. Área total: π × 4 × (4 + 4) = 32π = 100,5310…, que se redondea a 100,53

    Una entrada legal que produce una fila sorprendente: el volumen es cero y las otras tres respuestas no. Un cono de altura cero es un disco plano: no hay nada por encima de la base, así que no contiene nada, pero su superficie curva no ha desaparecido, se ha aplanado en un segundo disco del mismo tamaño que la base, y el área total de las dos caras es el doble de un solo disco. Merece la pena verlo una vez, porque un volumen cero con tres respuestas distintas de cero al lado parece un cálculo a medio fallar y no lo es. Es también la entrada que delata el atajo aritmético descrito más arriba: aquí el área total es πr² + πr², que es exactamente el área lateral doblada, y una página que sumara las dos daría lo mismo en esta fila y algo distinto en la primera.

Limitaciones

Todas las salidas van en centímetros, centímetros cuadrados y centímetros cúbicos, sea cual sea la unidad a la que estén puestos los desplegables de entrada. Elegir pulgadas cambia cómo se leen tus números a la entrada y nada de los resultados, así que un cono escrito como cuatro pulgadas por seis vuelve con un volumen en centímetros cúbicos. Es deliberado y la tabla de referencia sigue la misma convención, pero significa que la respuesta hay que convertirla si la querías en la unidad que escribiste: divide las longitudes entre 2,54, las áreas entre 6,4516 y el volumen entre 16,3871. El volumen se da en centímetros cúbicos y no en litros ni mililitros, que son otra unidad de la misma magnitud; si necesitas litros, divide entre mil, y si necesitas mililitros, el número de centímetros cúbicos es el número de mililitros. Tres de las cuatro respuestas llevan π y por tanto son irracionales para casi cualquier entrada, así que los dos decimales son un corte y no una respuesta completa. Las cuatro respuestas se calculan directamente a partir de tu radio y tu altura y nunca unas de otras, así que el área total no siempre es el área lateral de la pantalla más el área de la base: es la misma expresión evaluada en un solo paso, y reconstruirla a partir del área lateral impresa puede diferir en el último dígito. Esta página toma dos medidas y da cuatro; no funciona hacia atrás desde un volumen hasta un radio, y no tiene ningún campo para la altura inclinada, así que un cono cuya generatriz puedas medir pero cuya altura esté enterrada en el material no se puede meter aquí tal cual. La altura es la altura perpendicular y no la inclinada, y la página no puede saber que se han confundido: meter una generatriz en el campo de la altura da cuatro respuestas perfectamente coherentes entre sí y todas equivocadas. Al menos una de las dos entradas tiene que ser distinta de cero para que la respuesta signifique algo, aunque las dos pueden ser cero si lo que quieres es la aritmética y no la figura. Por último, esto es un cono recto de base circular, con el vértice justo encima del centro de la base; un cono inclinado hacia un lado, o uno cuya base sea una elipse, es otro cuerpo y las fórmulas de aquí no le sirven.

Preguntas frecuentes

¿Por qué el volumen se divide entre tres?
Porque un cono contiene exactamente un tercio de lo que contiene un cilindro de la misma base y la misma altura. Toma el área de la base, multiplícala por la altura y tienes el volumen de ese cilindro; el cono es un tercio de eso. La misma relación vale entre una pirámide y el prisma en el que encajaría, y es el factor que más se olvida en este cálculo: un resultado tres veces demasiado grande es casi siempre una división entre tres que falta y no un desliz aritmético.
¿La altura es lo mismo que la altura inclinada?
No, y este es el error que más invita esta figura. La altura se mide en vertical desde el centro de la base hasta el vértice. La altura inclinada —la generatriz— se mide por la superficie, del vértice al borde, así que es la hipotenusa del triángulo que forman el radio, la altura y el lado, y siempre es más larga que los otros dos. El volumen usa la altura. El área lateral usa la generatriz. Confundirlas da una respuesta equivocada por un factor que depende de lo alto que sea el cono, y la página no puede detectarlo.
¿Cómo se calcula la generatriz?
Es la raíz cuadrada del radio al cuadrado más la altura al cuadrado, que es el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo del lado del cono. Un radio de tres y una altura de cuatro dan una generatriz de cinco exactos, y por eso esos son los números con los que carga la página: cada paso se comprueba de cabeza. La mayoría de los pares de números no salen tan limpios, y entonces la generatriz es un número irracional redondeado a dos decimales.
¿Por qué el área total no es simplemente el área lateral más la base?
En aritmética exacta lo es, y la página usa la forma combinada πr(l + r) en lugar de sumar dos piezas ya redondeadas por separado. La diferencia se ve en las cifras impresas: el área lateral está redondeada a dos decimales antes de que la veas, así que sumarle tú el área de la base puede quedarse a una centésima de la respuesta que da la página. La cifra de la página es la calculada a partir del radio y de la generatriz en un solo paso, y es la que hay que creerse.
¿Por qué la respuesta está en centímetros si yo escribí pulgadas?
Porque esta página lo da todo en centímetros, centímetros cuadrados y centímetros cúbicos independientemente de los desplegables, para que los resultados y la tabla de referencia de debajo concuerden siempre. El desplegable cambia cómo se entiende tu número a la entrada. Para convertir, divide las longitudes entre 2,54, las áreas entre 6,4516 y el volumen entre 16,3871; o deja la conversión para el final y cambia la unidad de la respuesta, que suele ser menos trabajo.
¿Pueden el radio o la altura ser cero?
Sí, y los dos dan respuestas reales y no vacías. Poner la altura a cero aplana el cono en un disco: el volumen es cero porque no hay nada por encima de la base, pero la superficie curva se ha convertido simplemente en un segundo disco, así que el área lateral iguala al área de la base y el área total es el doble. Poner el radio a cero colapsa el cono en un segmento vertical: el volumen y las dos áreas son cero, mientras que la altura inclinada iguala a la altura. Poner los dos a cero da cero en todo.

Referencias

Calculadoras relacionadas

Calculadora de volumen de cilindroVolumen de un cilindro, y el área de su base y de su lateral.Calculadora de volumen de esferaVolumen de una esfera según el radio o el diámetro.Calculadora de volumen de pirámideVolumen de una pirámide según la base y la altura.Calculadora de área superficialÁrea superficial de esferas, cubos, cilindros y conos.