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CalcMax

Calculadora de volumen de pirámide

Intervalo: 0 cm² – 1.000.000.000.000.000.000 cm²

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Resultado

48,00 cm³

Volumen

La calculadora de volumen de pirámide toma el área de la base y la altura de la pirámide y devuelve el volumen que encierra: el área de la base por la altura, dividido entre tres. Es la fórmula más corta de este sitio y la que lleva dentro la constante más sorprendente. En un prisma de la misma base y la misma altura caben exactamente tres pirámides idénticas, sea cual sea el polígono de la base, un cuadrado, un triángulo o un hexágono, y de ahí viene la división entre tres; por eso el volumen de una pirámide es un tercio de lo que aguantaría una caja con la misma huella y la misma altura. Esa relación merece que se recuerde, porque convierte una pregunta difícil en una fácil: si sabes calcular el volumen del prisma, ya sabes el de la pirámide. La página pide la base como un área y no como las longitudes de sus lados, y eso es deliberado. La base de una pirámide puede ser cualquier polígono, un cuadrado, un triángulo, una pantalla hexagonal de lámpara o la base de cinco lados de una tienda de campaña, y la fórmula solo usa la base a través de su área, así que pedir dos aristas restringiría la página a bases rectangulares sin acortar nada la aritmética. Eso tiene además una consecuencia: la página no puede dar la altura inclinada, que es la distancia desde el ápice hasta el punto medio de una arista bajando por el centro de una cara. Esa distancia depende de la forma de la base y no solo de su área, y una base larga y estrecha y otra compacta con la misma área tienen alturas inclinadas bastante distintas. Medir el área de la base es normalmente un paso aparte, y las calculadoras de área del rectángulo, del cuadrado, del triángulo y del círculo están todas en este sitio; esta página toma el resultado de ese paso y hace la parte tridimensional. Dos ejemplos fijan el orden de magnitud de los números. Una pirámide con una base de 36 centímetros cuadrados y una altura de cuatro tiene un volumen de 48 centímetros cúbicos, y un prisma con la misma base y la misma altura aguanta el triple, 144. Y la pirámide más grande que se ha construido, la Gran Pirámide de Guiza, tiene una base de unos 52.900 metros cuadrados, 230 metros de lado, y una altura de unos 146,6 metros, lo que da del orden de 2,6 millones de metros cúbicos de piedra. Esa es la escala a la que la división entre tres deja de ser una curiosidad y pasa a ser la diferencia entre un montón de roca y una montaña. La tabla de abajo va desde una base de un centímetro cuadrado hasta esa pirámide, y la última fila es la respuesta legítima más pequeña de la página: una pirámide sin base o sin altura no tiene volumen, y eso es un resultado y no un error.

Pirámides desde una base de un centímetro cuadrado hasta la Gran Pirámide de Guiza

Área de la base (cm²)Altura (cm)Volumen (cm³)
36448
110.33
1009300
48348
10012400
25001210000
529000000146602585046666666.67
000

Siete pirámides y una vacía. La primera fila es el tamaño con el que carga la página. La tercera es con la que hay que probar la aritmética, porque todos sus números son exactos: una base de 100 centímetros cuadrados con una altura de 9 tiene un volumen de 300, y una caja con la misma base y la misma altura aguanta 900; el prisma es siempre exactamente el triple de la pirámide, en todas las filas de esta tabla. La segunda fila es donde la división entre tres enseña la mano: una base de 1 y una altura de 1 dan 0,33, que es un tercio, y es la razón de que esta página imprima dos decimales y no cuatro. La quinta y la sexta filas son la misma pirámide a dos escalas, y la última es la Gran Pirámide de Guiza, cuya base de 529.000.000 centímetros cuadrados son 52.900 metros cuadrados, 230 metros de lado, y cuya altura de 14.660 centímetros son 146,6 metros. Esa fila va en centímetros cúbicos porque esa es la unidad de la página; dividida entre un millón son 2,585 millones de metros cúbicos de piedra. La fila final es todo ceros, que es una pirámide sin base o sin altura y es una respuesta y no un error. Todas las celdas se recalculan a partir de su fila al construir la página, en centímetros cuadrados y centímetros cúbicos.

Fórmula

V = A × h ÷ 3

A
El área de la base, en centímetros cuadrados. Es un área y no un par de longitudes de arista porque la base puede ser cualquier polígono: la fórmula la usa solo por el terreno que cubre, así que una base cuadrada de 36 centímetros cuadrados y una base hexagonal de 36 centímetros cuadrados dan el mismo volumen a la misma altura. Calcular el área es un paso aparte, y las calculadoras de área de rectángulos, triángulos, círculos y polígonos regulares están todas en este sitio
h
La altura, en centímetros: la distancia perpendicular desde la base hasta el ápice, no la distancia medida a lo largo de una arista inclinada. Es la única medida de una pirámide que no se puede tomar con una cinta por la superficie, y es la que la gente se equivoca: la longitud de una arista lateral siempre es mayor que la altura, porque es la hipotenusa de un triángulo cuyos otros lados son la altura y media diagonal de la base
V
El volumen, en centímetros cúbicos. Es un tercio de lo que aguantaría un prisma de la misma base y la misma altura, que es todo el contenido de la fórmula: tres copias de la pirámide llenan el prisma exactamente, sea cual sea la forma de la base. Se imprime con dos decimales y no con cuatro porque la división entre tres es la única operación de esta familia que convierte números enteros en decimales periódicos: una base de 1 y una altura de 1 dan 0,3333, y la lectura útil es que es un tercio
÷ 3
La constante que hace que una pirámide sea una pirámide. Viene de que tres pirámides congruentes se ensamblan en un prisma de la misma base y la misma altura, así que la pirámide es exactamente un tercio del prisma, y no de forma aproximada ni solo para bases cuadradas. Es la misma división que aparece en la página del volumen del cono, porque un cono es una pirámide cuya base resulta ser un círculo

Usa esta página cuando tengas una pirámide y quieras saber cuánto contiene o cuánto material tiene, y cuando puedas ponerle un número a la base en forma de área. Esa última condición es la que decide si es la página correcta. Si la base es un cuadrado o un rectángulo y conoces sus dos lados, la aritmética es lo bastante corta para hacerla de cabeza y las calculadoras de área de este sitio te darán la base en un paso; si la base es un hexágono o un pentágono, o un contorno irregular que has medido de otra manera, esta página es donde va esa área. La fórmula es además la comprobación más rápida que se le puede hacer a cualquier objeto con forma de pirámide: sea cual sea la base, la figura contiene un tercio de lo que contendría una caja con la misma huella y la misma altura. Merece la pena aplicarla antes de creerse cualquier cifra: una cubierta piramidal sobre una huella de 100 metros cuadrados y 9 metros de alto encierra 300 metros cúbicos de espacio, mientras que la misma cubierta levantada hasta formar una caja de techo plano encerraría 900, y la diferencia entre esos dos números es la razón de que las cubiertas piramidales tengan el aspecto que tienen. Hay dos usos más pequeños que merecen mención. Cortar una pirámide de un material macizo es una pregunta de volumen sobre el desperdicio: una pirámide tallada en un bloque deja atrás dos tercios del bloque, que es la diferencia más clara entre tallar una forma en un material y fundirla. Y llenar una pirámide, una tolva, un silo de grano, un montón cónico de grava o un reloj de arena, es esta página con la base como área del suelo, donde la respuesta es la capacidad y esa misma respuesta es la que daría una página del cono para uno redondo. Si tu pirámide no tiene los lados rectos, o el ápice no está sobre el centro de la base, la página sigue valiendo: la fórmula del volumen usa la altura perpendicular y el área de la base y nada más, y una pirámide inclinada con la misma base y la misma altura contiene exactamente lo mismo que una recta, que es un hecho de verdad sorprendente y además útil.

Ejemplos resueltos

  1. Una base de 36 centímetros cuadrados y una altura de 4

    1. Base por altura: 36 × 4 = 144
    2. Divide entre tres: 144 ÷ 3 = 48

    La entrada con la que carga la página, y la fila que muestra la relación sobre la que está construida la fórmula: un prisma con la misma base y la misma altura aguantaría 144 centímetros cúbicos, y la pirámide contiene exactamente un tercio de eso. Merece la pena quedarse con los dos números, porque pasar de uno al otro es una sola multiplicación o división y la cifra del prisma suele ser mucho más fácil de comprobar contra el tamaño del objeto.

  2. Una base de 1 y una altura de 1

    1. Base por altura: 1 × 1 = 1
    2. Divide entre tres: 1 ÷ 3 = 0,33333…, que redondea a 0,33

    La pirámide unidad, y la razón de que esta página imprima dos decimales donde la del prisma rectangular imprime cuatro. Uno dividido entre tres es 0,3333 con cuatro decimales, y eso parece una medición que ha salido en tres décimas de milésima; 0,33 se lee como lo que es, un tercio de algo. Ese es todo el argumento para la anchura más estrecha de aquí: la división entre tres es la única operación de esta familia que produce de forma fiable un decimal periódico, y más cifras suyas no añaden ninguna información.

  3. Una base de 100 y una altura de 9

    1. Base por altura: 100 × 9 = 900
    2. Divide entre tres: 900 ÷ 3 = 300

    La fila con la que se comprueba toda la página, porque los tres números son exactos y la versión del prisma es evidente: una caja con una base de 100 centímetros cuadrados y una altura de 9 aguanta 900 centímetros cúbicos, y la pirámide contiene 300 de ellos. Si una cubierta piramidal cubriera 100 metros cuadrados a 9 metros de alto, encerraría 300 metros cúbicos de espacio, que es el tipo de cifra que decide cuánto aire tiene que calentar un edificio.

  4. La Gran Pirámide de Guiza

    1. Área de la base en centímetros cuadrados: 230 m × 230 m = 52.900 m², que son 529.000.000 cm²
    2. Altura en centímetros: 146,6 m = 14.660 cm
    3. Base por altura: 529.000.000 × 14.660 = 7.755.139.999.999,999…, que es 7,75514 × 10¹²
    4. Divide entre tres: 7.755.140.000.000 ÷ 3 = 2.585.046.666.666,666…, que redondea a 2.585.046.666.666,67

    La más grande de las pirámides egipcias, con su base original de unos 230 metros de lado y su altura original de unos 146,6 metros. La respuesta está en centímetros cúbicos porque esa es la unidad de la página, y no es una cifra que nadie lea directamente: dividida entre un millón son 2,585 millones de metros cúbicos, o sea unos 2,6 millones de metros cúbicos de piedra. Esta es la fila en la que merece la pena fijarse en la división entre tres: la caja que contendría la pirámide aguanta 7,76 millones de metros cúbicos, exactamente el triple, así que la misma huella y la misma altura dan tres veces el volumen.

Limitaciones

La base tiene que ser plana y los lados tienen que subir en línea recta desde sus bordes hasta un único ápice: una pirámide de perfil escalonado, como las pirámides egipcias más antiguas y los zigurats, es una pila de cajas y losas y no una pirámide, y esta fórmula fallará en ella por un margen amplio. Un tronco de pirámide, es decir una pirámide con la punta cortada, que es lo que son en realidad la mayoría de las cubiertas y de las tolvas, tampoco es esta forma: su volumen necesita el área de arriba y la de abajo, y esta página tiene un solo campo de base. La altura tiene que ser la distancia perpendicular desde el plano de la base hasta el ápice, y no la distancia medida a lo largo de una arista inclinada ni de una cara; medir la arista inclinada es la forma más común de obtener una cifra demasiado grande, y en una pirámide alta lo es por mucho y no por poco. El área de la base es una entrada y no algo que la página averigüe, así que una base medida como dos lados hay que convertirla antes en un área, y una base irregular hay que medirla con el método que le convenga. La página no puede dar la altura inclinada, ni el área de la superficie, ni la longitud de ninguna arista, porque nada de eso se deduce del área de la base: una base larga y estrecha y otra compacta con la misma área tienen alturas inclinadas distintas, superficies distintas y aristas distintas. La salida está en centímetros cúbicos sea cual sea la unidad de los desplegables de la base y de la altura, así que una base escrita en metros cuadrados vuelve como una respuesta en centímetros cúbicos que tienes que convertir tú: un millón de centímetros cúbicos por metro cúbico. Los dos decimales son una anchura de presentación y no una afirmación sobre la precisión, y son honestos para una pirámide medida pero muy bastos para una grande, donde las dos últimas cifras antes de la coma son las únicas que significan algo. La página da por supuesto que el ápice está en algún punto sobre la base y no le importa dónde: una pirámide recta y otra inclinada con la misma base y la misma altura tienen el mismo volumen, lo cual es correcto y conviene saberlo en lugar de tomarlo por una limitación. Tampoco tiene nada que decir sobre el peso, el coste del material ni el desperdicio que produce tallar la forma en un bloque macizo, cosas todas que se pueden calcular a partir del volumen pero que aquí no se imprimen.

Preguntas frecuentes

¿Por qué el volumen de una pirámide es un tercio del prisma que la rodea?
Porque en el prisma caben exactamente tres pirámides de la misma base y la misma altura, sin huecos y sin solapes, sea cual sea el polígono de la base. No es una aproximación ni vale solo para bases cuadradas: una pirámide de base triangular y otra de base hexagonal son también exactamente un tercio del prisma que las contendría. El mismo tercio aparece en la página del volumen del cono, porque un cono es una pirámide con un círculo por base.
¿Escribo los lados de la base o su área?
Su área. La fórmula usa la base solo por el terreno que cubre, así que las dos aristas de una base rectangular serían una forma innecesariamente estrecha de preguntar. Escribir el área permite además que la página admita bases que de otro modo no podría describir: una base hexagonal, una triangular o un contorno irregular que hayas medido de otra manera. Si tu base es un rectángulo o un cuadrado, las calculadoras de área del rectángulo y del cuadrado de este sitio te darán el área en un paso.
¿Qué altura hay que medir?
La altura perpendicular: la distancia en línea recta desde el plano de la base hasta el ápice, medida en ángulo recto con la base. No la longitud de una arista inclinada ni la distancia subiendo por el centro de una cara. La arista inclinada siempre es más larga que la altura, porque es la hipotenusa de un triángulo cuyos otros lados son la altura y media diagonal de la base, así que medirla da una respuesta demasiado grande, y en una pirámide alta demasiado grande por mucho.
¿Cuánta piedra tiene la Gran Pirámide de Guiza?
Su base original medía unos 230 metros de lado, que son 52.900 metros cuadrados, y su altura original era de unos 146,6 metros. El área de la base por la altura, dividido entre tres, da unos 2,6 millones de metros cúbicos. La comparación útil es con la caja que la contendría, que aguanta el triple, 7,76 millones, y esa diferencia es todo el sentido de la división: la misma huella y la misma altura, un tercio del volumen.
¿Puede darme la altura inclinada o el área de la superficie?
No, y el motivo está en la entrada. La altura inclinada es la distancia desde el ápice hasta el punto medio de una arista, y depende de la forma de la base y no solo de su área: una base larga y estrecha de 100 centímetros cuadrados y otra compacta de la misma área tienen alturas inclinadas bastante distintas y superficies bastante distintas. Para calcular cualquiera de las dos, la página tendría que conocer el contorno de la base, que es justo lo que se evita al tomar un área en lugar de dos aristas.
¿Contiene menos una pirámide inclinada que una recta?
No, exactamente lo mismo, siempre que el área de la base y la altura perpendicular sean las mismas. La fórmula del volumen usa solo esos dos números y nunca pregunta dónde está el ápice por encima de la base, así que una pirámide cuya punta se inclina hacia un lado contiene precisamente lo mismo que otra que se levanta recta sobre el centro. Es un resultado de verdad y no un efecto del redondeo, y es la misma razón por la que una pila de monedas contiene lo mismo estén o no perfectamente alineadas.

Referencias

Calculadoras relacionadas

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