Calculadora de volumen de esfera
Resultado
Volumen
La calculadora de volumen de esfera toma una sola medida de una bola —su radio, su diámetro o su circunferencia— y devuelve cuánto espacio ocupa esa bola, en centímetros cúbicos. Es la página de la esfera de al lado con todo lo demás arrancado. Aquella recibe las mismas tres entradas y contesta cinco preguntas a la vez; esta contesta la que la gente trae de casa, que es cuánto cabe dentro de una bola, cuánto desplaza o de cuánto material está hecha. La fórmula es cuatro tercios por π por el radio al cubo, y su forma merece un momento de atención. Casi todas las fórmulas de volumen de este grupo son una base multiplicada por una altura, porque casi todos los cuerpos de este grupo se pueden cortar en capas planas que se apilan. Una esfera no. Sus capas cambian de tamaño a cada altura, las lonchas cercanas al centro son anchas y las cercanas a los polos diminutas, y sumarlas es justo para lo que se inventó el cálculo. Los cuatro tercios son lo que da esa suma, y la manera satisfactoria de recordarlo es que hacen que la bola sea exactamente dos tercios del cilindro más pequeño que la envolvería. Arquímedes lo dedujo y pidió que le grabaran la esfera y el cilindro en la tumba. Lo otro que conviene saber es a qué velocidad crece este número. El volumen va con el cubo del radio, así que doblar el tamaño de una bola multiplica su volumen por ocho y triplicarlo lo multiplica por veintisiete. Por eso un cambio pequeño en un diámetro produce un cambio grande en lo que admite un depósito, y por eso la respuesta de aquí puede volverse enorme enseguida: una bola de un metro de diámetro pasa de medio metro cúbico, que son más de quinientos litros. Y hay un detalle de precisión que solo se ve en una fila de la tabla. Cuando lo que escribes es la vuelta al ecuador, la página calcula internamente con el radio exacto, 10 entre π, y solo redondea al final; el radio que se muestra, 3,1831, ya viene redondeado, y quien lo eleve al cubo por su cuenta obtendrá 135,0950 donde la página dice 135,0949. La página tiene razón, y la diferencia está solo en la última cifra.
El espacio que ocupa una bola, introducida por cada una de las tres medidas
| Dato de partida | Radio (cm) | Diámetro (cm) | Volumen (cm³) |
|---|---|---|---|
| r | 5 | 10 | 523.5988 |
| d | 6 | 12 | 904.7787 |
| C | 3.1831 | 6.3662 | 135.0949 |
| r | 10 | 20 | 4188.7902 |
| r | 1 | 2 | 4.1888 |
| r | 0.5 | 1 | 0.5236 |
| r | 0 | 0 | 0 |
| d | 50 | 100 | 523598.7756 |
Ocho bolas y cuatro columnas: dos columnas menos que la página de la esfera de al lado, que recibe las mismas tres entradas y además da el área total y la circunferencia. La primera columna dice qué casilla se rellenó, y sin ella la tabla no se leería, porque el radio y el diámetro se imprimen en todas las filas. La primera fila es la bola con la que carga la página, y la cuarta es una de las que merece compararse con ella: un radio de 5 frente a un radio de 10, donde el radio se ha doblado y el volumen ha pasado de 523,5988 a 4188,7902, ocho veces, que es la ley del cubo en un solo paso. La tercera fila es la que hay que leer si piensas hacer esto a mano: introducida como circunferencia de 20 el volumen es 135,0949, mientras que elevar al cubo el radio redondeado, 3,1831, que se imprime al lado da 135,0950. La quinta fila es la bola unidad, donde el volumen es 4π/3 y el área total que la página de la esfera da para esa misma bola es 4π: numéricamente, un tercio. La séptima fila es un radio de cero, donde la bola no contiene nada y la respuesta es real y no ausente. La última fila es un diámetro de 100, donde el volumen se va por encima de medio millón de centímetros cúbicos —medio metro cúbico de bola—, y recuerda a qué velocidad esta cantidad se sale del rango de las unidades de cada día. Cada número se recalcula a partir de su entrada al construir la página, en centímetros, y los cuatro decimales son los mismos que usa el panel de resultados.
Fórmula
V = 4⁄3 × πr³ r = d ÷ 2 r = C ÷ 2π
- Radius
- La distancia del centro a la superficie, en centímetros. Es el número del que está hecho de verdad el volumen: las otras dos casillas solo son maneras distintas de llegar hasta él
- Diameter
- La distancia de lado a lado pasando por el centro, en centímetros, que la página divide por dos para obtener el radio. La casilla que usar cuando la bola está delante de ti y una regla cruzada por encima es la medida más fácil de tomar
- Circumference
- La distancia de una vuelta completa por la parte más ancha, en centímetros, que la página divide entre 2π para obtener el radio. La casilla que usar cuando lo único que puedes hacer es dar la vuelta al exterior con una cinta
- Volume
- Cuánto espacio ocupa la bola, en centímetros cúbicos. Es la única salida de la página, y la única cantidad de aquí que crece con el cubo del tamaño en lugar de con el tamaño mismo
- 4⁄3 πr³
- La fórmula, y los cuatro tercios son la parte que significa algo. Hacen que la bola sea dos tercios del cilindro que la envuelve justo, que es un hecho sobre las esferas y no una rareza de la aritmética
- r³
- El radio al cubo, y la razón de que esta página pueda producir números grandes a partir de entradas modestas. Doblar el radio multiplica el volumen por ocho; da igual que la bola sea una canica o un planeta
- Four decimal places
- El ancho con el que se escribe la lectura. El volumen lleva siempre un π y un cubo, así que nunca es exacto salvo si el radio es cero: los cuatro decimales son un ancho de visualización y no una afirmación sobre la precisión
Esta página es para capacidad, desplazamiento y material, que entre las tres cubren casi todo lo que alguien quiere saber de una bola. Capacidad: cuánto admite un depósito esférico, un gasómetro o un depósito de agua elevado, cuánto aire lleva un balón, cuánto helado sirve una cuchara. Desplazamiento: cuánta agua aparta un flotador o un casco, que es lo mismo que su volumen y es lo que decide si flota y cuánto puede cargar. Material: cuánto acero hay en una bola de rodamiento, cuánto hormigón en el relleno de una cúpula, cuánto pesa una bola de masa o de barro una vez que sabes su densidad. Es además la forma de bastantes cosas que solo son esféricas de manera aproximada, y la aproximación suele bastar: un huevo, una gota, un granizo, un planeta que se abomba un poco por el ecuador. Y está el uso inverso: dado un volumen que tiene que admitir un recipiente, esta es la página que te dice de qué tamaño tendría que ser la esfera, porque entre las dos cantidades no hay más que una raíz cúbica.
Ejemplos resueltos
Una bola de radio 5
- Radio al cubo: 5³ = 125
- Multiplicar por π y por cuatro tercios: (4 ÷ 3) × π × 125 = 500π ÷ 3
- 500π ÷ 3 = 523,5987…, que redondeado es 523,5988
La entrada con la que carga la página, y la fila con la que comprobar la fórmula: el volumen es 500π/3, así que todo el resultado es un múltiplo limpio de π. Cinco centímetros es un poco menos que una pelota de tenis, y la respuesta —algo más de medio litro— es útil para tener una referencia, porque es la clase de cantidad con la que trabaja una receta o un recipiente pequeño.
Una bola de diámetro 12
- Radio: 12 ÷ 2 = 6
- Radio al cubo: 6³ = 216
- Multiplicar por π y por cuatro tercios: (4 ÷ 3) × π × 216 = 288π
- 288π = 904,7786…, que redondeado es 904,7787
La entrada a la que recurrir cuando la bola está en tus manos, porque un diámetro es lo que da una regla cruzada por el medio y es como se especifican la mayoría de las bolas. La respuesta es 288π, otro múltiplo entero de π, cosa que pasa siempre que el radio sale un número entero. Compárala con la fila de arriba: el radio creció un quinto, de 5 a 6, y el volumen creció más de dos tercios, de 523,5988 a 904,7787.
Una bola medida alrededor del ecuador
- Radio: 20 ÷ (2π) = 3,1830988…
- Radio al cubo: 3,1830988…³ = 32,2519…
- Multiplicar por π y por cuatro tercios: (4 ÷ 3) × π × 32,2519… = 4000 ÷ 3π²
- 4000 ÷ 3π² = 135,0948…, que redondeado es 135,0949
La fila que hay que leer si piensas hacer tú esta aritmética, porque es donde redondear pronto sale mal. La página de la esfera imprime el radio de esta bola como 3,1831, que parece preciso y no lo es: elévalo al cubo y multiplica, y obtendrás 135,0950. La página informa 135,0949 y la página tiene razón, porque la respuesta verdadera pertenece al 20 que escribiste y no al radio redondeado que se muestra. Los dos números difieren en la última cifra y en ninguna más, que es exactamente la clase de error que sobrevive a una comprobación de sentido común.
Una bola de radio 1
- Radio al cubo: 1³ = 1
- Multiplicar por π y por cuatro tercios: (4 ÷ 3) × π × 1 = 4π ÷ 3
- 4π ÷ 3 = 4,18879…, que redondeado es 4,1888
La bola unidad, y la fila que enseña qué son de verdad los cuatro tercios: el volumen es 4π/3, y el área total que la página de la esfera imprime para esa misma bola es 4π. El volumen es numéricamente un tercio del área total, lo cual es una coincidencia de que el radio valga uno y no una regla general, pero es un par de números cómodo de recordar y hace que las dos fórmulas se distingan con facilidad.
Una bola de radio cero
- Radio al cubo: 0³ = 0
- Multiplicar por π y por cuatro tercios: (4 ÷ 3) × π × 0 = 0
Una bola sin tamaño es un punto y no contiene nada. El cero es una entrada legal y no una casilla vacía, así que esta es una respuesta real: la página la distingue de dejar las tres casillas en blanco, que no muestra ningún resultado porque no hay de dónde partir.
Limitaciones
La página es solo para esferas: todo punto de la superficie a la misma distancia del centro. Un huevo, un balón de rugby o un planeta ligeramente achatado no lo son, y un hemisferio tampoco: es una esfera cortada por la mitad y contiene exactamente la mitad de lo que aquí se calcula, aunque su área total no sea la mitad. El volumen no se puede introducir, así que una bola especificada por lo que le cabe hay que llevarla antes a un radio en otra página. La lectura va en centímetros cúbicos sea cual sea la unidad que marque el desplegable, así que un diámetro escrito en pulgadas vuelve como una respuesta en centímetros que hay que convertir, y como esto es un volumen la conversión es cúbica: de pulgadas cúbicas a centímetros cúbicos hay un factor de unos 16,4, no de 2,54. Los cuatro decimales son un ancho de visualización y no una afirmación sobre la precisión, porque el volumen lleva siempre un π y un cubo. Se puede rellenar exactamente una casilla; dos a la vez se rechaza en lugar de resolverse en silencio. Aquí no se trata el grosor de pared de una corteza hueca, ni el material del que está hecha la bola, ni cuánto pesa, y la página no da área total: la página de la esfera de al lado la imprime junto al volumen para las mismas tres entradas.
Preguntas frecuentes
- ¿En qué se diferencia de la calculadora de esfera?
- Las entradas son idénticas: las mismas tres casillas y la misma regla de rellenar exactamente una. La diferencia está en lo que vuelve. La página de la esfera imprime cinco lecturas: el volumen, el área total y las tres longitudes. Esta imprime el volumen y nada más, porque es el que la gente suele venir buscando, y quitar el resto hace que sea lo único que hay en pantalla.
- ¿Por qué el volumen crece tanto más deprisa que el diámetro?
- Porque va con el cubo del radio mientras que el diámetro va con el radio mismo. Dobla el diámetro de una bola y su volumen se multiplica por ocho; triplícalo y el volumen se multiplica por veintisiete. Por eso un cambio pequeño en el tamaño de un depósito produce un cambio grande en lo que admite, y por eso la respuesta de aquí puede ser enorme partiendo de una entrada que parece modesta.
- ¿De dónde salen los cuatro tercios?
- De que hacen que la bola sea exactamente dos tercios del cilindro más pequeño que la envolvería: el mismo radio y una altura de dos radios. Arquímedes lo demostró y pidió que le grabaran la esfera y el cilindro en la tumba. Es también la razón de que la fórmula lleve una fracción: una esfera no es un montón de capas planas, y el cálculo que suma las curvas es lo que produce los cuatro tercios.
- Mi cuenta me da 135,0950 pero la página dice 135,0949, ¿cuál es correcta?
- La de la página. El radio de esa bola es 10 entre π, que es 3,1830988…, y el radio impreso en pantalla está redondeado a 3,1831. Elevar al cubo la cifra redondeada es lo que produce el 135,0950: la diferencia está en la última cifra y viene entera de haber redondeado antes de tiempo. La respuesta verdadera pertenece al número que escribiste, y la página conserva el radio exacto por dentro hasta el final.
- ¿Puedo obtener el radio a partir de un volumen?
- En esta página no: el volumen es una salida y no una entrada. Es perfectamente posible, porque el radio es la raíz cúbica de tres veces el volumen dividido entre cuatro π, pero es otra operación y la página no la hace. Si sabes cuánto tiene que admitir un recipiente y quieres saber de qué tamaño sería una bola así, ese cálculo hay que hacerlo aparte.
- ¿La respuesta debería ir en litros?
- La página imprime centímetros cúbicos, y mil de ellos son un litro, así que 523,5988 cm³ son unos 0,524 litros, y un mililitro es un centímetro cúbico. Con esferas más grandes los números crecen deprisa: una bola de un metro de diámetro pasa de medio metro cúbico, que son más de quinientos litros. El desplegable de unidades cambia lo que escribes, no lo que sale.
Referencias
- Sphere — the ball itself, with the volume formula this page computes and the two-thirds relation to the cylinder that just contains it — Wolfram MathWorld (United States)
- Volume — what a volume is in general and how it is defined for a curved solid, which is the part of the sphere that cannot be reached by stacking flat slices — Wolfram MathWorld (United States)
- Cylinder — the solid a sphere fits inside, whose volume the sphere takes exactly two thirds of, and the shape most nearly comparable to it — Wolfram MathWorld (United States)