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CalcMax

Calculadora de polígonos

Intervalo: 3 – 1000

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Resultado

93,5307 cm²

Superficie

Perímetro
36,0000 cm
Apotema
5,1962 cm
Ángulo interior
120,00 °
Número de longitudes de diagonal distintas
2

La calculadora de polígonos toma el número de lados de un polígono regular y la longitud de uno de esos lados, y devuelve cinco cifras: el área, el perímetro, la apotema, el ángulo interior y el número de longitudes de diagonal distintas que tiene la figura. Es el caso general de las tres páginas de figura única que tiene al lado, y la diferencia entre ellas está en la entrada y no en la salida. La página del pentágono sabe que trabaja con cinco lados, así que pide un solo número; esta hay que decirle cuántos lados hay antes de poder calcular nada, y una vez que lo sabe, el resto de la aritmética es el mismo para toda figura, desde un triángulo hasta una de mil lados. Merece la pena tener las cinco fórmulas en un mismo sitio porque cuatro de ellas son la misma forma repetida. El perímetro es el lado por el número de lados, y es la única cifra exacta siempre que lo sea el lado. El área es el número de lados dividido entre cuatro veces la tangente de π partido por el número de lados, todo ello por el lado al cuadrado, y la constante que multiplica al lado al cuadrado se mueve con la figura: vale 0,4330 en el triángulo, 1 en el cuadrado, 1,7205 en el pentágono y 2,5981 en el hexágono, y sigue creciendo desde ahí, hasta 31,5688 con veinte lados y 79.577,2097 con mil, porque el lado se mantiene fijo mientras la figura crece. La cifra que sí sube hacia π, 3,1416, es otra distinta: el área dividida entre el cuadrado de la distancia del centro a un vértice, que vale 2 en un cuadrado y 2,5981 en un hexágono. La apotema, la distancia del centro al punto medio de un lado, es el lado dividido entre dos veces la tangente de π partido por el número de lados. El ángulo interior es el número de lados menos dos, por 180, dividido entre el número de lados: 60 grados con tres lados, 108 con cinco, 120 con seis, 135 con ocho y 179,64 con mil. Y las diagonales son las cifras que cambian de clase en lugar de tamaño según crece el número de lados. Un triángulo no tiene ninguna, un cuadrado y un pentágono tienen una longitud de diagonal, un hexágono dos, un octágono tres y una figura de doce lados cinco. Esta página responde a eso con un recuento y no con longitudes, porque una lista fija de salidas no puede alojar un número de lecturas que depende de la entrada: no hay forma de imprimir las longitudes sin imprimir dos números idénticos con cuatro y cinco lados o sin dejar columnas vacías. Las longitudes en sí están en las tres páginas de figura única, donde la figura se conoce y el recuento no es una variable. La tabla de abajo está montada al revés que las de esas páginas, con el lado fijo en 6 y el número de lados moviéndose, para que se pueda seguir un mismo borde desde el triángulo hasta el punto en el que la figura ha dejado de ser un polígono en cualquier sentido práctico y se ha convertido en un círculo.

Polígonos regulares con un lado de 6, desde un triángulo hasta una figura de mil lados

LadosÁrea (cm²)Perímetro (cm)Apotema (cm)Ángulo interior (°)Longitudes de diagonal
315.5885181.7321600
436243901
561.9372304.12911081
693.5307365.19621202
7130.8208426.2296128.572
8173.8234487.24261353
10276.9915609.23311444
12403.06157211.19621505
201136.475312018.94131629
10002864779.55096000954.9265179.64499

Diez figuras que tienen todas la misma longitud de borde, así que las columnas se leen como una sola figura que crece y no como diez tamaños distintos. Tres filas de esta tabla son la reconciliación con las tres páginas de figura única: con cinco lados el área es 61,9372, con seis 93,5307 y con ocho 173,8234, que son los números con los que cargan la página del pentágono, la del hexágono y la del octágono. Si esas tres alguna vez discrepan de estas tres celdas, la fórmula general se ha desviado de las específicas. La primera columna es la entrada que hace distinta a esta página de sus hermanas, y las dos últimas son las que no se mueven cuando se mueve el lado: el ángulo interior está fijado por el número de lados y nada más, y el recuento de diagonales es un recuento de longitudes y no de diagonales. Conviene mirar la anchura de la columna del ángulo interior: los ángulos enteros se imprimen aquí como 60, 90, 108, 120, 135 y 144, porque la tabla imprime el número tal cual, mientras que el panel de resultados de arriba los imprime como 60,00 y el 128,57 del heptágono aparece en los dos sitios igual. Es una sola cantidad con dos anchuras, no dos respuestas. La fila de abajo es la razón de que la página se detenga en mil lados: una figura de mil lados y perímetro 6000 tiene un área de 2.864.779,5509 frente a 2.864.788,9757 de un círculo de verdad con el mismo perímetro, una diferencia del 0,0003 por ciento, así que pasada esta fila la longitud del lado ha dejado de decir nada sobre la figura. Todas las celdas se recalculan a partir de su fila al construir la página, en centímetros, centímetros cuadrados y grados.

Fórmula

A = n ÷ (4·tan(π ÷ n)) × s² P = n·s a = s ÷ (2·tan(π ÷ n)) ángulo interior = (n − 2) × 180 ÷ n longitudes de diagonal = ⌊n ÷ 2⌋ − 1

n
El número de lados, y la única entrada de esta página que cambia qué figura estás mirando en lugar de cuánto mide. Tiene que ser un número entero de al menos tres: dos lados no encierran nada y medio lado no es un lado. Todo menos el perímetro es una función curva de él, que es la razón de que esta página imprima el mismo lado con diez números de lados distintos en lugar de los diez lados distintos que imprimen las tres páginas de figura única
s
La longitud de cualquiera de los lados, en centímetros. Como en toda página de polígono regular es la única longitud que hay: la figura queda fijada por tener todos los lados iguales y todos los ángulos iguales, así que un lado y el recuento determinan la figura entera
A
El área, en centímetros cuadrados: el número de lados dividido entre cuatro veces la tangente de π partido por el número de lados, por el lado al cuadrado. El factor que multiplica al lado al cuadrado vale 0,4330 con tres lados y crece sin límite desde ahí: pasa por 1 en el cuadrado, vale 31,5688 con veinte lados y 79.577,2097 con mil, porque un lado fijo sobre una figura con más esquinas cubre más terreno. Si en cambio se fija el perímetro, el crecimiento sí se detiene: una figura de mil lados con un perímetro de 6000 cubre 2.864.779,5509 frente a 2.864.788,9757 del círculo del mismo perímetro, una diferencia del 0,0003 por ciento. La cifra que sube hacia π, 3,1416, es el área dividida entre el cuadrado de la distancia del centro a un vértice
P
El perímetro, en centímetros: el lado por el número de lados. Es la única salida exactamente lineal en las dos entradas y la única exacta siempre que lo sean las suyas, lo cual la convierte en la cifra con la que comprobar las demás cuando un resultado parece raro
a
La apotema, en centímetros: la distancia del centro en línea recta hasta el punto medio de un lado, que es el lado dividido entre dos veces la tangente de π partido por el número de lados. Es el radio del círculo más grande que cabe dentro de la figura, y su doble es el ancho entre caras, la medida a la que de verdad llega una regla
Interior angle
El ángulo entre dos lados contiguos, medido por dentro de la figura: el número de lados menos dos, por 180, dividido entre el número de lados. No depende en absoluto de la longitud del lado, así que vale lo mismo en todas las filas de una tabla cuyo lado está fijo y cuyo número de lados se mueve. Esta página lo imprime con dos decimales porque el de un heptágono es 128,571428 y de otro modo quedaría redondeado a 129, que no es una respuesta más corta sino una respuesta equivocada
⌊n ÷ 2⌋ − 1
Cuántas longitudes de diagonal distintas tiene la figura. Las cuerdas que unen pares de vértices se presentan en la mitad del número de lados de longitudes distintas, y una de ellas es el propio lado, así que un triángulo no tiene ninguna, un cuadrado y un pentágono tienen una cada uno, un hexágono dos y un octágono tres. Es un recuento y no una longitud, así que no lleva unidad y no se mueve cuando se mueve el lado
π
La razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, unos 3,14159265. Aparece aquí porque la tangente de π partido por el número de lados es lo que acopla la figura con sus propias esquinas: la misma constante que describe el círculo al que se aproximan estas figuras según sube el número de lados

Esta es la página que hay que usar cuando la figura no es ninguna de las que tienen nombre propio, o cuando lo que se pregunta es por la figura misma y no por una medida suya. Si sabes que estás ante un hexágono o un octágono, la página de esa figura pide un número en lugar de dos e imprime además las longitudes de las diagonales; ven aquí cuando el número de lados sea lo que estás eligiendo. Es la situación de toda figura que se escoge en lugar de medirse — cuántos lados debería tener un arriate elevado, la cubierta de un cenador, una moneda o una baldosa — porque la tabla deja leer el mismo borde con diez números de lados en una sola columna y ver qué compra cada lado de más. El patrón merece que se diga claro, y viene en dos mitades que es fácil confundir. Con el lado fijo, cada lado que se añade compra área, y las cantidades crecen en lugar de menguar: pasar de tres lados a cuatro añade 20,4 centímetros cuadrados a un borde de seis centímetros, de cuatro a cinco añade 25,9, de cinco a seis añade 31,6, y el salto de veinte lados a mil añade 2.863.643, porque la figura está creciendo además de redondearse y el perímetro crece con ella. Si en cambio se fija el perímetro, el intercambio se da la vuelta. Con un perímetro de 6000, el único paso de cinco lados a seis compra 120.589 centímetros cuadrados, mientras que todo el recorrido de veinte lados a mil, 980 lados de más, compra 23.591. Esa es la comparación para la que sirven las dos últimas columnas de la tabla, y es la razón de que la cabeza de un perno, una baldosa y una celda de panal sean hexágonos: pasados los seis lados, el borde de más deja de compensar por el área de más, por el corte de más y por la esquina de más que hay que encajar. La columna de la apotema es para trazar la figura sobre una plancha, porque su doble es el ancho entre caras, y la del ángulo interior es para construirla con piezas, porque su mitad es el inglete que necesita cada pieza y vale lo mismo para cualquier tamaño de esa figura. Y si estás comparando esta página con la de la circunferencia, la fila de los mil lados es la comparación honesta: con un lado de 6 su perímetro es 6000 y su área 2.864.779,5509, frente a 2.864.788,9757 de un círculo de verdad con el mismo perímetro, una diferencia del 0,0003 por ciento.

Ejemplos resueltos

  1. Un hexágono de lado 6

    1. Perímetro: 6 × 6 = 36
    2. Ángulo interior: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 720 ÷ 6 = 120, exacto
    3. Apotema: 6 ÷ (2 × tan 30°) = 6 ÷ 1,154700… = 5,196152…, que redondea a 5,1962
    4. Área: 6 ÷ (4 × tan 30°) × 36 = 2,598076… × 36 = 93,530743…, que redondea a 93,5307
    5. Longitudes de diagonal: ⌊6 ÷ 2⌋ − 1 = 3 − 1 = 2

    La entrada con la que carga la página, y la fila que reconcilia esta página con la del hexágono: 93,5307 y 5,1962 son los dos números que muestra la página del hexágono antes de tocar nada. El 2 de la última columna son también las dos diagonales del hexágono, la que se salta un vértice y la que cruza de lado a lado, escritas como recuento en lugar de como longitudes, que es lo que esta página puede hacer y aquella no. El ángulo interior de 120 se imprime aquí como 120,00 en el panel de resultados y como 120 en la tabla de abajo: es el mismo número con dos anchuras de presentación.

  2. Un triángulo de lado 6

    1. Perímetro: 3 × 6 = 18
    2. Ángulo interior: (3 − 2) × 180 ÷ 3 = 180 ÷ 3 = 60, exacto
    3. Apotema: 6 ÷ (2 × tan 60°) = 6 ÷ 3,464101… = 1,732050…, que redondea a 1,7321
    4. Área: 3 ÷ (4 × tan 60°) × 36 = 0,433012… × 36 = 15,588457…, que redondea a 15,5885
    5. Longitudes de diagonal: ⌊3 ÷ 2⌋ − 1 = 1 − 1 = 0

    La figura más pequeña que admite la página, y la única de ella sin ninguna diagonal: toda cuerda que une dos vértices de un triángulo es uno de sus tres lados, así que no sobra nada que pueda ser una diagonal. El cero es una respuesta y no una casilla vacía, y el área de 15,5885 coincide con la de la página del triángulo equilátero con el mismo lado, que es la comprobación de que la fórmula general no se ha desviado de la de la figura concreta. Fíjate en la apotema: con tres lados es la más corta de toda la tabla, 1,7321 frente a un lado de 6, porque el círculo que cabe dentro de un triángulo es pequeño en proporción a él.

  3. Un heptágono de lado 6

    1. Perímetro: 7 × 6 = 42
    2. Ángulo interior: (7 − 2) × 180 ÷ 7 = 900 ÷ 7 = 128,571428…, que redondea a 128,57
    3. Apotema: 6 ÷ (2 × tan 25,714285…°) = 6 ÷ 0,963149… = 6,229585…, que redondea a 6,2296
    4. Área: 7 ÷ (4 × tan 25,714285…°) × 36 = 3,633912… × 36 = 130,820846…, que redondea a 130,8208
    5. Longitudes de diagonal: ⌊7 ÷ 2⌋ − 1 = 3 − 1 = 2

    La fila por la que existe esta página, y la que anunciaba la página del octágono. Todos los números de lados hasta doce dan un ángulo interior entero salvo el siete y el once, así que una página que imprimiera los ángulos sin ningún decimal escribiría 129 aquí, que no es una respuesta más basta sino una respuesta falsa. Con dos decimales llega para todos los números de lados que admite la página: con mil lados el ángulo es 179,64, todavía a dos decimales de 180. La figura de siete lados es además la primera que tiene menos longitudes de diagonal distintas de las que parece: un heptágono tiene catorce diagonales en total, pero solo se presentan en dos longitudes, las que se saltan dos vértices y las que se saltan tres, porque las demás son esos mismos dos tramos medidos desde otros vértices.

  4. Un cuadrado de lado 6

    1. Perímetro: 4 × 6 = 24
    2. Ángulo interior: (4 − 2) × 180 ÷ 4 = 360 ÷ 4 = 90, exacto
    3. Apotema: 6 ÷ (2 × tan 45°) = 6 ÷ 2 = 3, exacto
    4. Área: 4 ÷ (4 × tan 45°) × 36 = 1 × 36 = 36
    5. Longitudes de diagonal: ⌊4 ÷ 2⌋ − 1 = 2 − 1 = 1

    El cuadrado, donde la fórmula general se topa con un detalle de coma flotante que conviene conocer: la tangente de 45 grados vale 1 matemáticamente, pero la página calcula la tangente de π cuartos en coma flotante y obtiene 0,9999999999999999, así que el área llega como 36,000000000000014. Se imprime como 36 porque el resultado se redondea a cuatro decimales a la salida, que es justo para lo que está ese redondeo. La última columna es lo otro que hay que mirar aquí: un cuadrado tiene dos diagonales, las dos cruzan la figura igual, y ⌊4 ÷ 2⌋ − 1 las cuenta como una sola longitud, lo cual es correcto y es exactamente la trampa que esta página evita al no imprimir longitudes.

  5. Mil lados de lado 6

    1. Perímetro: 1000 × 6 = 6000
    2. Ángulo interior: (1000 − 2) × 180 ÷ 1000 = 179640 ÷ 1000 = 179,64, exacto
    3. Apotema: 6 ÷ (2 × tan 0,18°) = 6 ÷ 0,006283… = 954,926539…, que redondea a 954,9265
    4. Área: 1000 ÷ (4 × tan 0,18°) × 36 = 79.577,2097… × 36 = 2.864.779,5509…, que redondea a 2.864.779,5509
    5. Longitudes de diagonal: ⌊1000 ÷ 2⌋ − 1 = 500 − 1 = 499

    El límite superior de la página, y la fila que responde a una pregunta de la que las demás páginas de esta familia solo pueden hablar. Una figura regular de mil lados con un perímetro de 6000 tiene un área de 2.864.779,5509 centímetros cuadrados; un círculo de verdad con el mismo perímetro tiene 2.864.788,9757, un 0,0003 por ciento más. Su apotema de 954,9265 se pone frente al radio del círculo, 954,9297, una diferencia de 0,0032 de centímetro. Así que aquí es donde el polígono ha dejado de ser un polígono en cualquier sentido práctico, y es la razón de que la página no acepte más de mil lados: pasado este punto la longitud del lado ha dejado de describir la figura y lo que queda es un círculo con pasos de más.

Limitaciones

La página es solo para polígonos regulares: todos los lados de la misma longitud y todos los ángulos iguales. Una figura con lados desiguales o ángulos desiguales no tiene una única longitud de lado ni un único ángulo interior, y ninguna cantidad de entradas a esta página la describirá: escribe un número de lados y un lado y la página contestará tranquilamente con la figura regular de ese tamaño, sin avisarte de que la que tienes en la cabeza es otra. El número de lados tiene que ser un entero de al menos tres, y la página avisa del error en lugar de redondear si no lo es; por encima de mil también se rechaza, porque pasado ese punto la figura es un círculo para cualquier uso que estos números pudieran tener. Las salidas están en centímetros y centímetros cuadrados sea cual sea la unidad del desplegable, así que un lado escrito en pulgadas vuelve como una respuesta en centímetros que tienes que convertir tú. Los cuatro decimales son una anchura de presentación y no una afirmación sobre la precisión, y son generosos para un lado medido con una regla; las dos últimas cifras no significan nada salvo que la entrada fuera exacta. El ángulo interior lleva dos decimales en lugar de ninguno, lo cual hace que los ángulos enteros se impriman aquí como 120,00 y como 120 en las páginas del pentágono y del octágono: es el mismo número con dos anchuras de presentación, no una discrepancia entre páginas. Las dos últimas columnas son un recuento y un ángulo, y ninguna de las dos se mueve cuando se mueve el lado, así que una página que parece no responder a un cambio de lado no se ha congelado: tres de las cinco cifras se han movido. Aquí hay una sola cifra de diagonales y es un recuento, no una longitud: las longitudes están en las tres páginas de figura única, y el motivo es que su número depende del número de lados, cosa que una lista fija de salidas no puede alojar. Conviene además no confundir las dos cuentas, porque la etiqueta del panel invita a ello: el número de diagonales de un polígono es el número de lados por el número de lados menos tres, dividido entre dos, y un heptágono tiene catorce, mientras que esta página devuelve dos, que es el número de longitudes distintas que esas catorce diagonales tienen. Las dos afirmaciones son verdaderas y se refieren a cantidades distintas. La página es bidimensional y no tiene campo para el grosor del material, así que no puede dar el volumen de un prisma ni el peso de una placa cortada con una de estas figuras.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el área de un polígono regular a partir del lado?
Multiplica el cuadrado del lado por el número de lados y divide el resultado entre cuatro veces la tangente de π partido por el número de lados. El factor que multiplica al lado al cuadrado depende solo del número de lados: 0,4330 en el triángulo, 1 en el cuadrado, 1,7205 en el pentágono y 2,5981 en el hexágono, y crece sin límite según sube el número de lados, hasta 3,6339 con siete, 31,5688 con veinte y 79.577,2097 con mil. Lo que se aproxima al círculo no es este factor sino el área, y solo cuando se fija el perímetro; la cifra que sube hacia π, 3,1416, es el área dividida entre el cuadrado de la distancia del centro a un vértice. Y como es un factor y no un término, doblar el lado cuadruplica el área en cualquier figura de esta página.
¿Por qué el ángulo interior no cambia cuando cambio la longitud del lado?
Porque el ángulo interior de un polígono regular está fijado por el número de lados y por nada más: es el número de lados menos dos, por 180 grados, dividido entre el número de lados. En esa expresión no aparece ninguna longitud de lado. Un triángulo mide siempre 60 grados, un pentágono 108, un hexágono 120 y un octágono 135, sea cual sea su tamaño. Es la razón de que la cuarta columna de la tabla de referencia sea predecible en lugar de medida, y de que el inglete que se corta para un marco hexagonal sea de 30 grados tanto si el marco es un posavasos como si es una mesa.
¿Cuántas diagonales tiene un polígono?
Dentro de esa pregunta viven dos distintas, y esta página responde a la segunda. El número de diagonales es el número de lados por el número de lados menos tres, dividido entre dos: un pentágono tiene cinco, un hexágono nueve y un octágono veinte. El número de longitudes de diagonal distintas es la mitad del número de lados, redondeada hacia abajo, menos uno: un pentágono tiene una, un hexágono dos, un octágono tres y un heptágono dos. Esta página imprime la segunda, porque esa es la cifra en torno a la que están construidas las páginas de figura única que tiene al lado, y porque un recuento de longitudes es la única cifra de diagonales que sigue siendo cierta para cualquier número de lados.
¿Qué es la apotema y para qué sirve?
Es la distancia del centro en línea recta hasta el punto medio de un lado, y es el radio del círculo más grande que cabe dentro de la figura. Es la cifra con la que se traza un polígono, porque el doble de la apotema es el ancho entre caras y las caras son lo que una regla puede medir; a los vértices no se llega igual de bien. Si estás marcando una figura sobre una plancha, mide la apotema desde el centro tantas veces como lados tenga y tendrás el punto medio de cada lado. Con tres lados es pequeña en proporción a la figura, y se va acercando al radio de la circunferencia circunscrita según sube el número de lados.
¿Cuándo conviene usar esta página en lugar de la del pentágono o la del octágono?
Cuando el número de lados es lo que estás decidiendo y no lo que ya sabes. Las páginas de figura única piden un solo número y dan además las longitudes de las diagonales, porque saben con qué figura trabajan; esta pide dos números y a cambio admite cualquier número de lados de tres a mil y te deja leer el mismo lado con diez de ellos en una sola columna. Si tienes un hexágono fijo que medir, la página del hexágono es menos pasos. Si estás eligiendo entre un hexágono y un octágono para el tablero de una mesa, esta página es la comparación.
¿Qué me dice la columna del perímetro que no me diga la del área?
Te dice lo que cuesta construir la figura, donde el área te dice lo que cubre. El perímetro es el lado por el número de lados, así que con el lado fijo sube en línea recta mientras el área trepa con él: pasar de un triángulo a un cuadrado añade 6 al perímetro y 20,4 al área de un borde de seis centímetros, pero pasar de veinte lados a mil añade 5880 al perímetro y 2.863.643 al área, que es muchísimo más borde para una figura que al ojo no parece distinta. Si en cambio se fija el perímetro, el intercambio va al revés: con un perímetro de 6000, un lado de más en el paso de cinco a seis compra 120.589 centímetros cuadrados, mientras que los últimos 980 lados juntos compran 23.591. Por eso la cabeza de un perno y una baldosa son hexágonos y no figuras con más lados: pasados los seis, el borde de más cuesta más de lo que vale el área de más.

Referencias

Calculadoras relacionadas

Calculadora de hexágonoLado, apotema, perímetro y área de un hexágono regular.Calculadora de octágonoLado, apotema, perímetro y área de un octágono regular.Calculadora de pentágonoLado, apotema, perímetro y área de un pentágono regular.Calculadora de círculoRadio, diámetro, circunferencia y área de un círculo.