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CalcMax

Calculadora de pentágono

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Resultado

61,9372 cm²

Superficie

Perímetro
30,0000 cm
Apotema
4,1291 cm
Diagonal
9,7082 cm
Ángulo interior
108 °

La calculadora de pentágono toma el lado de un pentágono regular y devuelve cinco medidas: el área, el perímetro, la apotema, la diagonal y el ángulo interior. Con cinco lados un polígono regular empieza a parecerse a una circunferencia más que a una caja, y el pentágono es el primero de ellos que tiene una propiedad verdaderamente sorprendente. El ángulo interior de un polígono regular queda fijado por su número de lados, y para cinco lados vale 108 grados; su mitad, 54 grados, es el inglete que necesita un marco de cinco piezas, que es de esas cifras que un enmarcador o un fabricante de faroles consulta en lugar de deducir. El área es la raíz cuadrada de veinticinco más diez veces la raíz de cinco, dividida entre cuatro y multiplicada por el lado al cuadrado, y la constante sale unos 1,72, un número inusualmente compacto para una figura que lleva una raíz cuadrada anidada dentro. La apotema, la distancia del centro al punto medio de un lado, es el lado dividido entre dos veces la tangente de 36 grados. Y la diagonal, la línea que une dos vértices que no son vecinos, tiene la propiedad por la que la figura es famosa: es el lado multiplicado por la razón áurea, unos 1,618, en todo pentágono y con cualquier tamaño. Esa razón es el motivo de que el pentágono esté por todas partes en el diseño y en la naturaleza mientras que el hexágono está por todas partes en la ingeniería. La razón áurea es el número que cumple que el todo es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor, y las diagonales de un pentágono regular se cortan exactamente en esa proporción, que es también la razón de que la estrella de cinco puntas trazada con esas diagonales no sea más que triángulos áureos encajados unos dentro de otros, y de que la figura aparezca en banderas, en logotipos y en las espirales de hojas y semillas. El pentágono es además la única figura de este lote que no embaldosa el plano por sí sola: los pentágonos regulares dejan huecos al ponerlos borde con borde, y por eso un embaldosado pentagonal necesita una segunda figura que rellene, y por eso la forma es más decorativa que estructural.

Pentágonos regulares desde el lado cero hasta el lado diez

Lado (cm)Área (cm²)Perímetro (cm)Apotema (cm)Diagonal (cm)Ángulo interior (°)
661.9372304.12919.7082108
11.720550.68821.618108
26.8819101.37643.2361108
315.4843152.06464.8541108
543.0119253.4418.0902108
7.596.776937.55.161412.1353108
10172.0477506.881916.1803108
00000108

Ocho pentágonos, y la primera fila es la que carga la página. La última columna vale lo mismo en todas las filas, 108, y eso es la propiedad y no un error de copia: el ángulo interior de un pentágono regular está fijado por tener cinco lados, así que no se mueve cuando se mueve el tamaño, y es la única cifra de la página que sobrevive a que el lado se vaya a cero. La columna de la diagonal es la que hay que comprobar, y se comprueba igual en todas las filas: divídela entre el lado y sale la razón áurea, 1,618 ÷ 1, 4,8541 ÷ 3, 8,0902 ÷ 5, 16,1803 ÷ 10, todas 1,618. Eso es lo más característico de esta figura y la razón de que aparezca en el diseño y en las plantas mucho más de lo que un polígono de cinco lados tendría derecho a aparecer. Hay dos celdas de esta tabla que repiten cifras entre filas de una forma que parece un error y no lo es: la apotema con lado 10 vale 6,8819, y el área con lado 2 también. Son la misma expresión con raíz alcanzada desde direcciones distintas, una es una longitud y la otra un área, y que coincidan no significa nada más allá de que las dos expresiones comparten un valor en esos dos tamaños. La primera fila es además la que se compara con las dos páginas de polígonos que están al lado, con un lado de 6: 61,9372 aquí, frente a 93,5307 del hexágono y 173,8234 del octágono, o sea mismo borde y más superficie encerrada cuantos más lados haya, de camino hacia la circunferencia. Todos los números de aquí se recalculan a partir del lado al construir la página, en centímetros y grados, y las anchuras decimales son las mismas que usa el panel de resultados.

Fórmula

A = √(25 + 10√5) ÷ 4 × s² P = 5s a = s ÷ (2·tan(π ÷ 5)) diagonal = φ·s ángulo interior = 108°

Side
La longitud de cualquiera de los cinco lados, en centímetros. Como en todo polígono regular es la única entrada que hay: los cinco lados son iguales y los cinco ángulos están fijados en 108 grados, así que el lado por sí solo determina toda la figura
Area
La superficie que cubre el pentágono, en centímetros cuadrados: la raíz cuadrada de veinticinco más diez veces la raíz de cinco, dividida entre cuatro y multiplicada por el lado al cuadrado. La constante vale unos 1,7205, y es la cifra que conviene llevar encima: un pentágono cubre unas 1,72 veces el cuadrado dibujado sobre uno de sus lados
Perimeter
La distancia de todo el contorno, en centímetros: cinco veces el lado, ya que los cinco son iguales. Es la única salida que siempre es exacta cuando el lado lo es, y por eso es la cifra con la que se comprueban las demás cuando un resultado parece raro
Apothem
La distancia del centro al punto medio de un lado, en centímetros, que es el lado dividido entre dos veces la tangente de 36 grados. Es el radio de la circunferencia más grande que cabe dentro del pentágono, y dos veces ella es la anchura de la figura medida entre caras
Diagonal
La distancia entre dos vértices con un vértice entre ellos, en centímetros, que es el lado por la razón áurea. En esta página hay una sola diagonal y no las dos de un hexágono, porque las cinco diagonales de un pentágono regular miden todas lo mismo: cada una se salta exactamente un vértice, así que no hay un par larga y corta que distinguir
Interior angle
El ángulo entre dos lados contiguos, medido por dentro del pentágono: 108 grados, fijados ahí por el número de lados y por nada más. No depende de la longitud del lado, y por eso esta columna de la tabla de referencia vale lo mismo en todas las filas. Su mitad, 54 grados, es el inglete que necesita un marco de cinco lados
φ
La razón áurea, unos 1,6180339887, que es el número por el que se multiplica el lado para obtener la diagonal. Es la proporción en la que las diagonales de un pentágono se cortan entre sí, y es la razón de que esta figura aparezca en el diseño y en las plantas mucho más de lo que su aritmética haría pensar
√5
La raíz cuadrada de cinco, unos 2,2360680. Aparece en el área a través de la expresión veinticinco más diez raíz de cinco, y es lo que convierte a la razón áurea en un número irracional y no en una fracción: uno más la raíz de cinco, partido por dos

La página sirve para el pentágono como objeto físico, y los pentágonos suelen ser decorativos más que estructurales, lo cual cambia lo que se le pide a los números. Si vas a cortar uno de una plancha, ya sea un tablero, un cartel, una losa o un arriate, el área te dice cuánto material gastas y la apotema te dice cómo trazarlo desde el centro, porque dos veces la apotema es el ancho entre caras y esa es la medida a la que de verdad llega una regla. La diagonal es después la que dice si la pieza terminada cabe en el hueco al que va, porque es la línea más ancha de la figura, de vértice a vértice pasando por el centro. Si estás construyendo algo con cinco piezas, como un marco, un farol, el techo de un kiosco o un macetero, la cifra que buscas es el ángulo interior de 108 grados, porque el inglete de cada pieza es su mitad, 54 grados, y ese ajuste vale para cualquier pentágono regular sea cual sea su tamaño. La razón áurea es el motivo de mirar la columna de la diagonal aunque no la necesites: es la firma de la figura, y un pentágono cuya diagonal no mida 1,618 veces su lado no es un pentágono regular, por mucho que lo parezca. Y si lo que haces es comparar figuras en lugar de medir una, la tabla de esta página y las de las dos que están al lado dan la comparación más justa que hay: con un lado de 6 el pentágono cubre 61,9372, el hexágono 93,5307 y el octágono 173,8234, así que el mismo borde compra más superficie cuantos más lados haya, de camino hacia la circunferencia.

Ejemplos resueltos

  1. Un lado de 6

    1. Perímetro: 5 × 6 = 30
    2. Diagonal: φ × 6 = 1,6180339… × 6 = 9,708203…, que redondea a 9,7082
    3. Apotema: 6 ÷ (2 × tan 36°) = 6 ÷ 1,453085… = 4,129145…, que redondea a 4,1291
    4. Área: 1,7204774… × 36 = 61,937187…, que redondea a 61,9372
    5. Ángulo interior: (5 − 2) × 180 ÷ 5 = 108, exacto

    La entrada con la que carga la página. La comprobación que hay que hacerle es dividir la diagonal entre el lado: 9,7082 ÷ 6 da 1,618, que es la razón áurea, y ese cociente se cumple en todas las filas de la tabla y en todos los pentágonos regulares que han existido. Esta es también la fila que se alinea con las dos páginas de al lado con la misma longitud de lado: un lado de 6 da 61,9372 aquí frente a 93,5307 en la del hexágono y 173,8234 en la del octágono, o sea mismo borde, más lados, más área. El pentágono es el más pequeño de los tres y también el más ancho en proporción a su área, porque con solo cinco lados es el menos parecido a una circunferencia.

  2. Un lado de 1

    1. Perímetro: 5 × 1 = 5
    2. Diagonal: φ × 1 = 1,6180339…, que redondea a 1,618
    3. Apotema: 1 ÷ (2 × tan 36°) = 0,688190…, que redondea a 0,6882
    4. Área: 1,7204774… × 1 = 1,7204774…, que redondea a 1,7205
    5. Ángulo interior: 108

    El pentágono unidad, y la fila en la que las constantes se quedan solas: el área es 1,7205, que es la constante del área entera, y la diagonal es 1,618, que es la razón áurea misma. Merece la pena recordar las dos en esta forma. Compárese el área con la del cuadrado de lado uno, que es 1, y con el 0,433 del triángulo y el 2,598 del hexágono: cinco lados cae entre el cuadrado y el hexágono, que es el patrón que sigue toda la familia.

  3. Un lado de 3

    1. Perímetro: 5 × 3 = 15
    2. Diagonal: φ × 3 = 4,854101…, que redondea a 4,8541
    3. Apotema: 3 ÷ (2 × tan 36°) = 2,064572…, que redondea a 2,0646
    4. Área: 1,7204774… × 9 = 15,484296…, que redondea a 15,4843
    5. Ángulo interior: 108

    La fila que muestra la razón áurea en su forma más incómoda y por eso más convincente: la diagonal es 4,8541 y el lado es 3, y 4,8541 ÷ 3 da 1,618. Un cociente que sale con las mismas tres cifras con un lado de 1, con un lado de 3 y con un lado de 6 es una propiedad de la figura y no de la aritmética. Esta fila tiene además el área y el perímetro más próximos de toda la tabla, 15,4843 frente a 15, que es una coincidencia y no una igualdad, y en cualquier caso son dos cantidades distintas medidas en unidades distintas.

  4. Un lado de 10

    1. Perímetro: 5 × 10 = 50
    2. Diagonal: φ × 10 = 16,180339…, que redondea a 16,1803
    3. Apotema: 10 ÷ (2 × tan 36°) = 6,881909…, que redondea a 6,8819
    4. Área: 1,7204774… × 100 = 172,047740…, que redondea a 172,0477
    5. Ángulo interior: 108

    Un pentágono de diez centímetros, más o menos el tamaño de una losa. La apotema de 6,8819 es la cifra con la que se traza: su doble, 13,7638, es el ancho entre caras. Hay en esta fila una coincidencia que conviene detectar antes de que parezca un error: la apotema de aquí, 6,8819, lleva las mismas cuatro cifras que el área con un lado de 2, unas filas más arriba. Las dos son la misma expresión con raíz alcanzada desde direcciones distintas, una es una longitud y la otra un área, y que compartan cuatro cifras en esos dos tamaños no significa nada más.

  5. Un lado de 0

    1. Perímetro: 5 × 0 = 0
    2. Diagonal: φ × 0 = 0
    3. Apotema: 0 ÷ (2 × tan 36°) = 0
    4. Área: 1,7204774… × 0 = 0
    5. Ángulo interior: (5 − 2) × 180 ÷ 5 = 108

    El cero es una entrada legal y no una casilla vacía, y esta fila es la que deja más claro qué es el ángulo interior: un pentágono de lado cero se ha quedado en un punto, cuatro de las cinco cifras valen cero y el ángulo interior sigue siendo 108 grados. Es una propiedad de la forma y no del tamaño, así que sobrevive incluso a que el tamaño desaparezca. Dejar la casilla en blanco es el caso distinto: sin nada dentro la página no muestra ningún resultado, porque no hay de dónde partir.

Limitaciones

La página es para pentágonos regulares y solo regulares: los cinco lados iguales y los cinco ángulos de 108 grados. Un pentágono que no sea regular, por ejemplo uno con forma de casa o uno alargado, no tiene una única longitud de lado y no se puede describir con un solo número, y la página te dará sin decir nada el pentágono regular con ese lado en lugar de avisarte de que la figura que tienes en la cabeza es otra. Las salidas están en centímetros y centímetros cuadrados sea cual sea la unidad elegida en el desplegable, así que un lado escrito en pulgadas vuelve como una respuesta en centímetros que tienes que convertir tú. Los cuatro decimales son una anchura de presentación y no una afirmación sobre la precisión, y son generosos para un lado medido con una regla: las dos últimas cifras no significan nada salvo que la entrada fuera exacta. El ángulo interior es exacto, 108 grados, y se imprime sin decimales, pero vale lo mismo en todas las filas, así que una página que parece no responder a un cambio de lado no se ha congelado: cuatro de las cinco cifras se han movido. Hay una sola diagonal y no dos, y eso no es un olvido: las cinco diagonales de un pentágono regular miden todas lo mismo, así que no hay un par larga y corta que imprimir. La página es bidimensional y no tiene campo para el grosor del material, así que no puede dar el volumen de un prisma pentagonal ni el peso de una placa pentagonal. Tampoco cubre la estrella de cinco puntas trazada con las diagonales, que es una figura hecha con los triángulos de varios pentágonos y no con uno solo.

Preguntas frecuentes

¿Por qué la diagonal del pentágono mide siempre 1,618 veces el lado?
Porque ese número es la razón áurea, y el pentágono regular es uno de los sitios donde aparece con más claridad. La razón se define como aquella en la que el todo es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor, y las diagonales de un pentágono se cortan exactamente en esa proporción, lo cual hace que la diagonal respecto al lado sea otra vez la misma razón. Se cumple en todo pentágono de cualquier tamaño, y por eso la columna de la diagonal de la tabla de referencia se puede comprobar dividiendo la diagonal de cualquier fila entre su lado.
¿Por qué esta página muestra una sola diagonal y la del hexágono muestra dos?
Porque un pentágono regular solo tiene una longitud de diagonal. Cada diagonal une dos vértices con exactamente un vértice entre ellos, y por simetría las cinco salen iguales. Un hexágono es distinto: con seis vértices hay dos distancias posibles, una que se salta un vértice y otra que cruza de lado a lado, y por eso esa página imprime las dos. Imprimir una diagonal larga y una corta en un pentágono sería imprimir dos veces el mismo número e invitarte a buscar una diferencia que no existe.
¿Por qué el ángulo interior no cambia nunca al cambiar el lado?
Porque los ángulos de un pentágono regular quedan fijados por el número de lados y por nada más. El ángulo interior de un polígono regular es el número de lados menos dos, por 180 grados, dividido entre el número de lados; para cinco lados eso son 108 grados, y en esa expresión no aparece ninguna longitud de lado. Un pentágono de lado 1 y otro de lado 100 tienen los mismos ángulos y solo se diferencian en el tamaño. Por eso la última columna de la tabla vale lo mismo en todas las filas, y por eso el ajuste de inglete de 54 grados sirve para cualquier pentágono que cortes.
¿Qué es la apotema y para qué sirve aquí?
Es la distancia del centro al punto medio de un lado, y es el radio de la circunferencia más grande que cabe dentro. En un pentágono es la cifra con la que se traza la figura: dos veces ella es el ancho entre caras, y a las caras planas llega la regla sin problemas mientras que a los vértices no. Si estás marcando un pentágono sobre una plancha, mide la apotema desde el centro cinco veces y tienes los puntos medios de los cinco lados.
¿Embaldosan los pentágonos regulares un suelo?
No, y es la única figura de la familia que no lo hace. Tres pentágonos regulares alrededor de un punto dejan un hueco, porque tres veces 108 grados son 324 y una vuelta completa son 360: los 36 grados que faltan no se rellenan nunca. Por eso los suelos pentagonales necesitan una segunda figura que rellene, y por eso el pentágono es más decorativo que estructural mientras que el hexágono, que embaldosa a la perfección, es la forma de los azulejos y de los panales.
¿Puede el lado valer cero, y es lo mismo que dejar la casilla vacía?
El cero es una entrada real: cuatro de las cinco salidas vuelven como cero, que es la respuesta honesta para un pentágono sin tamaño, y el ángulo interior sigue siendo 108 grados porque no depende del tamaño en absoluto. Una casilla en blanco es otra cosa: sin nada escrito la página no muestra ningún resultado, porque no hay de dónde partir. Esa distinción importa mientras escribes, porque borrar la casilla para volver a teclear un número no debería hacer parpadear una fila de ceros.

Referencias

Calculadoras relacionadas

Calculadora de hexágonoLado, apotema, perímetro y área de un hexágono regular.Calculadora de octágonoLado, apotema, perímetro y área de un octágono regular.Calculadora de polígonosPerímetro y área de un polígono regular de n lados.Calculadora de círculoRadio, diámetro, circunferencia y área de un círculo.