Calculadora de triángulos

c = √(a² + b² − 2ab × cos C) · Superficie = ½ × a × b × sin C · A + B + C = 180°

a, b

Los dos lados que conoces, en centímetros. Son intercambiables: da igual cuál llames a y cuál b, y cambiarlos solo intercambia los dos ángulos que imprime. Los dos tienen que ser mayores que cero, porque un lado de longitud cero no deja triángulo ninguno

C

El ángulo entre los dos lados conocidos, en grados, radianes o gradianes. Se llama ángulo comprendido porque queda encerrado por los dos lados que has dado, y es el único ángulo que esta página te deja fijar. Puede valer cualquier cosa entre 0 y 180 grados; en 0 o en 180 exactos el triángulo se aplana en una línea y la página responde igual, con un ángulo de 0 y otro de 180

c

El tercer lado, en centímetros, opuesto al ángulo C. Sale del teorema del coseno, que es el teorema de Pitágoras con un término de corrección para los triángulos que no son rectángulos: cuando C vale 90 grados el coseno es 0 y el término desaparece, dejando a² + b² = c². Es la respuesta principal de la página porque todas las demás lecturas dependen de ella

A, B

Los dos ángulos que no has dado, en grados. Cada uno sale de aplicar otra vez el teorema del coseno al triángulo ya conocido por completo, tomando el tercer lado antes de redondearlo, y los dos suman 180 con C hasta el último decimal. Un triángulo casi rectángulo puede acabar imprimiéndose como rectángulo una vez redondeados los ángulos a dos decimales: la clasificación se hace con los números que la página imprime, no con los que hay detrás

½ × a × b × sin C

La superficie en centímetros cuadrados: la mitad del producto de los dos lados conocidos por el seno del ángulo comprendido. Es la fórmula del área reducida al caso en que se conoce el ángulo, porque la altura que haría falta es b × sin C, que es la razón de que los mismos 3 y 4 den una superficie de 6 con ángulo recto y solo 5,1962 con 60 grados, sin mover los lados

A + B + C = 180°

La suma de los ángulos, que es lo que hace posible la clasificación: con los tres ángulos conocidos, el mayor decide si el triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo, y el ángulo mayor se opone siempre al lado más largo. La clasificación lee los dos ángulos que la página imprime y reconstruye el tercero como 180 menos esos dos, así que la etiqueta juzga los números de la pantalla, con su redondeo incluido, y no puede contradecirlos por un artefacto de redondeo

Usa esta página cuando lo que tienes son dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, que es el caso corriente de todo lo que se mide o se especifica en su sitio: dos linderos de una parcela con la esquina entre ellos, dos puntales que se juntan con un ángulo conocido, un faldón de cubierta descrito por su carrera y su pendiente, un triángulo de tela cortado de una esquina. También es la página correcta cuando la pregunta es por la forma del triángulo y no por su tamaño: si una esquina está a escuadra, si un triángulo es acutángulo, si tres longitudes pueden formar o no un triángulo obtusángulo. Como imprime el tipo, contesta la comprobación que hace un carpintero con un triángulo de 3-4-5: escribe lados de 3 y 4 con un ángulo de 90 y la respuesta vuelve como rectángulo; escribe los mismos lados con un ángulo de 92 y vuelve como obtusángulo, con el tercer lado ya demasiado largo para ser recto. Recurre a la calculadora de la fórmula de Herón cuando tengas tres lados y ningún ángulo, que es el camino al revés. Recurre a la calculadora del área de un triángulo cuando tengas una base y una altura perpendicular, porque esa página no necesita trigonometría. Recurre a la página del teorema de Pitágoras cuando el ángulo sea recto y quieras la ruta llana a² + b² = c². Y recurre a las páginas del triángulo equilátero o del triángulo isósceles cuando el triángulo tenga una simetría especial, porque esas páginas piden menos números y dan los ángulos sin preguntar.

1. Lados de 3 y 4 con un ángulo recto

   1. El coseno de 90° es 0, así que el término de corrección desaparece: c = √(3² + 4²) = √25 = 5
   2. Superficie: ½ × 3 × 4 × sen 90° = ½ × 12 × 1 = 6
   3. Perímetro: 3 + 4 + 5 = 12
   4. Ángulo A, opuesto al lado de 3: cos A = (4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5) = 32 ÷ 40 = 0,8, luego A = 36,87°
   5. Ángulo B: 180 − 90 − 36,87 = 53,13°
   6. El ángulo mayor es 90°, así que la página informa de un triángulo rectángulo

   El triángulo 3-4-5, y la fila que justifica tener la clasificación: la página reconoce el ángulo recto y lo dice, en vez de dejártelo comprobar. Los dos ángulos de 36,87 y 53,13 son el par que aparece en todos los triángulos 3-4-5 y, por el otro extremo de la misma aritmética, en el rombo cuyas diagonales miden 6 y 8. Es además la demostración más clara de que el teorema del coseno contiene al de Pitágoras: con 90 grados el término de corrección es cero y las dos fórmulas son la misma frase.

2. Lados de 5 y 5 con 60 grados

   1. El coseno de 60° es 0,5: c = √(25 + 25 − 2 × 5 × 5 × 0,5) = √(50 − 25) = √25 = 5
   2. El tercer lado sale igual a los dos que has dado, así que los tres lados miden 5
   3. Superficie: ½ × 5 × 5 × sen 60° = 12,5 × 0,866025… = 10,8253
   4. Perímetro: 5 + 5 + 5 = 15
   5. Tres lados iguales dejan tres ángulos iguales: (180 − 60) ÷ 2 = 60, así que la página imprime 60 en los dos ángulos restantes
   6. El ángulo mayor es 60°, así que la página informa de un triángulo acutángulo

   Dos lados iguales con un ángulo de 60 grados es el único caso en que el tercer lado queda forzado a igualarlos, y el triángulo sale equilátero: 60 grados es el ángulo con el que la base de un triángulo isósceles llega a medir exactamente lo mismo que sus dos lados iguales. La calculadora del triángulo equilátero de este grupo resuelve la misma figura a partir de un solo lado, porque con los tres iguales ya no queda nada que decir; el interés de hacerlo aquí es ver cómo el tercer lado aterriza en 5 en lugar de que te lo cuenten. La superficie de 10,8253 es la misma cifra que aparece en el rombo cuyo lado mide 5 y cuyo ángulo mide 60, y no es casualidad: ese rombo son dos de estos triángulos, y 2 × 10,8253 serían sus 21,6506 centímetros cuadrados.

3. Lados de 7 y 8 con 60 grados

   1. El coseno de 60° es 0,5: c = √(49 + 64 − 2 × 7 × 8 × 0,5) = √(113 − 56) = √57 = 7,549834… → 7,5498
   2. Superficie: ½ × 7 × 8 × sen 60° = 28 × 0,866025… = 24,2487
   3. Perímetro: 7 + 8 + 7,5498 = 22,5498
   4. Ángulo A, opuesto al lado de 7: cos A = (64 + 57 − 49) ÷ (2 × 8 × 7,5498) = 72 ÷ 120,797 = 0,596, luego A = 53,41°
   5. Ángulo B: 180 − 60 − 53,41 = 66,59°
   6. El ángulo mayor es 66,59°, así que la página informa de un triángulo acutángulo

   El caso corriente, y el que conviene leer si quieres ver qué hace la página cuando nada es especial: dos lados de distinta longitud, un ángulo de 60 grados y tres respuestas que no son números redondos. El tercer lado de 7,5498 queda entre 7 y 8, que es lo único que se puede decir de él por adelantado: el lado opuesto al ángulo de 60 grados se sitúa entre los dos que lo encierran, y los dos ángulos que no has dado se reparten los 120 grados restantes en proporción a los lados a los que se oponen, así que el lado corto de 7 se lleva la porción menor, 53,41 frente a 66,59. La superficie de 24,2487 se acerca a los 24 centímetros cuadrados que alcanza la página del trapecio desde otro juego de cuatro lados, y esa casi coincidencia recuerda que los números redondos salen de los datos de entrada, no de la fórmula.

4. Lados de 10 y 10 con 120 grados

   1. El coseno de 120° es −0,5: c = √(100 + 100 − 2 × 10 × 10 × (−0,5)) = √(100 + 100 + 100) = √300 = 17,320508… → 17,3205
   2. Superficie: ½ × 10 × 10 × sen 120° = 50 × 0,866025… = 43,3013
   3. Perímetro: 10 + 10 + 17,3205 = 37,3205
   4. Los dos lados iguales dejan dos ángulos iguales: (180 − 120) ÷ 2 = 30 cada uno
   5. El ángulo mayor es 120°, así que la página informa de un triángulo obtusángulo

   Un triángulo obtusángulo, y el caso en que el término de corrección del teorema del coseno crece en lugar de encogerse: el coseno de 120 grados es negativo, así que restarlo suma y el tercer lado sale más largo que cualquiera de los que has dado, 17,3205 frente a 10. Esa es la firma de un ángulo por encima de 90 grados, y es exactamente lo que lee la clasificación. La superficie, 43,3013, es menor que los 50 centímetros cuadrados que los mismos dos lados encerrarían con un ángulo recto, así que abrir el ángulo más allá de 90 compra longitud en el lado opuesto a cambio de superficie: el mismo trueque que hace la página del rombo cuando se inclina, y la razón de que esta página informe del tipo en lugar de dejarte deducirlo de los números.

Esta página resuelve un triángulo a partir de dos lados y el ángulo comprendido, y no resuelve ninguna de las otras cinco combinaciones de tres datos. Dale tres lados y no tiene con qué trabajar: la calculadora de la fórmula de Herón los toma y da la superficie, y los ángulos tendrían que salir de un segundo paso que esta página no hace. Dale dos ángulos y un lado y tampoco te sirve, aunque por dentro calcule exactamente eso. No funciona hacia atrás: no hay camino desde una superficie o un perímetro hasta el triángulo que los produjo, y un triángulo con una superficie dada tiene infinitas formas. Las salidas van en centímetros y en centímetros cuadrados, en la unidad con la que se hayan escrito las entradas, y los dos ángulos se imprimen siempre en grados aunque hayas tecleado radianes o gradianes: el selector de unidad cambia cómo se lee tu ángulo, no cómo se escriben las respuestas. Ese selector es además la trampa que conviene nombrar: 60 radianes no son 60 grados, y la página calculará el triángulo para la unidad que esté seleccionada en lugar de avisar de que el número es desmesurado para ser un ángulo. Los dos lados tienen que ser mayores que cero, así que un triángulo con un lado de longitud cero se rechaza; en cambio un ángulo de exactamente 0 o 180 grados se acepta y produce un triángulo plano con ángulos de 0, 180 y 0, que la página clasifica como obtusángulo: es aritméticamente coherente y casi nunca es lo que alguien quiere, y la página no avisa de que la figura se ha colapsado. Un triángulo con dos lados iguales y un ángulo de 0 se rechaza en lugar de responderse, porque el tercer lado sería cero y no quedaría triángulo ninguno. El tipo que se imprime bajo las respuestas se decide con los ángulos tal como se imprimen, redondeados a dos decimales, así que un triángulo cuyo ángulo mayor sea de 89,999 grados queda informado como rectángulo: es la lectura honesta de los números de la pantalla, y recuerda que la clasificación es tan precisa como la pantalla y ni un poco más. La página no comprueba que tus tres números describan un triángulo más allá del rango del ángulo, porque cualesquiera dos lados positivos y cualquier ángulo dentro del rango siempre lo hacen. Los cuatro decimales de las longitudes y los dos de los ángulos son anchos de visualización compartidos con el resto del grupo, no afirmaciones sobre la precisión. Aquí no se cuenta el desperdicio ni el corte.

¿Cómo se calcula el tercer lado de un triángulo a partir de dos lados y un ángulo?

Con el teorema del coseno: el tercer lado es la raíz cuadrada de a² + b² − 2ab × cos C, donde C es el ángulo comprendido entre los dos lados que conoces. Para lados de 3 y 4 con un ángulo recto entre ellos el coseno es 0 y la respuesta es √25 = 5. Con 60 grados el coseno es 0,5, el término de corrección vale 12 y el tercer lado es √13, unos 3,6056: bastante más corto, con los mismos dos lados de partida.

¿Cómo decide la página si un triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo?

Por el mayor de los tres ángulos. Por debajo de 90 grados el triángulo es acutángulo, con exactamente 90 es rectángulo y por encima de 90 es obtusángulo. El ángulo mayor se opone siempre al lado más largo, así que la misma prueba se puede hacer sobre los lados: eleva al cuadrado los dos cortos y compara su suma con el cuadrado del largo; igual significa rectángulo, mayor significa acutángulo y menor significa obtusángulo. Unos lados de 5, 5 y 8,6603 dan un ángulo de 120 grados y un triángulo obtusángulo.

¿Por qué dos lados y el ángulo entre ellos determinan todo el triángulo?

Porque los dos lados son libres de abrirse como un compás, y el ángulo es lo que fija cuánto se separan. Una vez fijado el ángulo, los dos extremos libres solo pueden estar a una distancia entre sí, así que el tercer lado queda determinado, y con los tres lados quedan determinados también los ángulos. Esa es la razón de que dos lados solos no basten —3 y 4 pueden encerrar desde casi 0 hasta 6 centímetros cuadrados, y el máximo se alcanza con un ángulo recto— y de que tres ángulos solos tampoco basten, porque fijan la forma pero no el tamaño.

¿Cuál es la fórmula del área que usa esta página?

La mitad del producto de los dos lados conocidos por el seno del ángulo comprendido: ½ × a × b × sin C. Es la fórmula habitual de base por altura partido por dos con la altura sustituida, porque la altura sobre uno de los lados es el otro lado multiplicado por el seno del ángulo comprendido. Unos lados de 3 y 4 con ángulo recto dan ½ × 12 × 1 = 6 centímetros cuadrados; los mismos dos lados con 60 grados dan 5,1962, porque el seno de 60 es 0,866.

¿Qué pasa si el ángulo es de 0 o de 180 grados?

El triángulo se aplana en una línea y la página responde igual: con un ángulo de 0 entre lados de 3 y 4 el tercer lado mide 1, un ángulo vale 180 grados y los otros dos valen 0. La clasificación vuelve como obtusángulo, lo cual es coherente con la regla de que todo lo que pase de 90 es obtusángulo, aunque un triángulo aplanado sea un caso degenerado y no una figura de verdad. La única combinación que se rechaza de plano es la de dos lados iguales con un ángulo de 0, donde el tercer lado sería cero y no quedaría nada.

¿Sirve esta página para un triángulo rectángulo?

Sí, y la página te lo dirá: escribe 3 y 4 con un ángulo de 90 y el tipo vuelve como rectángulo. La aritmética se simplifica sola, porque el coseno de 90 grados es 0 y el teorema del coseno se reduce a a² + b² = c². Si todos los triángulos que resuelves son rectángulos, la página del teorema de Pitágoras de este grupo toma los dos lados directamente y se salta la trigonometría, pero esta es la que hay que usar cuando no estás seguro de que el ángulo sea exactamente recto.

• Triangle — the three-sided figure this page solves, including the angle sum, the classification into acute, right and obtuse, and the relation between the largest angle and the longest side — Wolfram MathWorld (United States)
• Acute Triangle — the case where all three angles are below a right angle, which is the first of the three types this page reports — Wolfram MathWorld (United States)
• Obtuse Triangle — the case where one angle is above a right angle, where the correction term in the law of cosines is negative and the third side comes out longer than either of the sides given — Wolfram MathWorld (United States)
• Teorema del coseno — el enunciado, el despeje del tercer lado y de cada ángulo, y los casos en que se aplica, en español — Universo Formulas (España)