Calculadora del teorema de Pitágoras
Resultado
Lado que falta
- Superficie
- 6,00 cm²
- Perímetro
- 12,00 cm
La calculadora del teorema de Pitágoras resuelve un triángulo rectángulo a partir de dos cualesquiera de sus tres lados. Rellena dos de las tres casillas y la tercera vuelve, junto con el área y el perímetro del triángulo. La relación que hay detrás es corta: en un triángulo rectángulo, los cuadrados de los dos lados más cortos suman el cuadrado del más largo, que es el lado opuesto al ángulo recto y se llama hipotenusa. Escrito como fórmula, los dos catetos al cuadrado y sumados dan la hipotenusa al cuadrado. Esa sola línea contiene tres resoluciones. Si das los dos catetos, sumas y sacas una raíz cuadrada para obtener la hipotenusa. Si das la hipotenusa y un cateto, restas y sacas una raíz cuadrada para obtener el otro cateto. Las dos direcciones se diferencian en un signo, y distinguirlas es la mayor parte de lo que esta página hace por ti. Hay que rellenar dos de las tres casillas y eso es una regla de verdad y no una formalidad: los tres lados no son independientes, así que rellenar los tres o bien repite lo que el teorema ya dice o bien lo contradice, y rellenar solo uno deja la figura sin determinar. El área y el perímetro vienen de propina porque son casi gratis una vez que el triángulo está completo, y porque muchas veces eran justo lo que se quería saber con la medida. El teorema es mucho más antiguo que su nombre habitual. La entrada de referencia de abajo recoge que la relación ya se usaba en cálculos babilonios más de un milenio antes de Pitágoras, en una tablilla cuya aritmética depende de ella, y que aparece también en textos indios antiguos sobre la construcción de altares y en obras matemáticas chinas. El texto chino conocido como Zhoubi Suanjing conserva una demostración por disección, en la que unas piezas colocadas alrededor de un cuadrado central establecen la relación entre los cuadrados de los tres lados. Lo que hoy se llama teorema de Pitágoras es por tanto un enunciado al que llegaron varias civilizaciones y no el descubrimiento de una persona, y la primera demostración registrada es la de Euclides y no la de Pitágoras. Hay tres cosas sobre las respuestas que conviene saber antes de usarlas. El lado que falta es casi siempre un número irracional. Existen triángulos rectángulos de lados enteros, y tres y cuatro dando cinco es el más pequeño de ellos, pero son la excepción, así que los dos decimales que se ven en pantalla son donde se cortan las cifras y no donde termina el número. Todo se da en centímetros y centímetros cuadrados sea cual sea la unidad de los desplegables, y en esta página la conversión ocurre antes de resolver y no después, lo cual importa porque elevar al cuadrado no es lineal: un triángulo de tres, cuatro y cinco escrito en pulgadas deja de ser tres, cuatro y cinco en centímetros. Y la página resuelve un lado y se detiene ahí. No te dice si los lados que tienes forman una terna pitagórica, si el triángulo es isósceles o de cualquier otra familia especial, ni si el ángulo opuesto a un lado es agudo u obtuso.
Triángulos rectángulos resueltos desde cada par de lados de partida
| Datos | Cateto a (cm) | Cateto b (cm) | Hipotenusa (cm) | Área (cm²) | Perímetro (cm) |
|---|---|---|---|---|---|
| a, b | 3 | 4 | 5 | 6 | 12 |
| a, b | 5 | 12 | 13 | 30 | 30 |
| a, b | 8 | 15 | 17 | 60 | 40 |
| a, c | 6 | 8 | 10 | 24 | 24 |
| b, c | 5 | 12 | 13 | 30 | 30 |
| a, b | 1 | 1 | 1.41 | 0.5 | 3.41 |
| a, b | 0.5 | 1.2 | 1.3 | 0.3 | 3 |
| a, c | 9 | 12 | 15 | 54 | 36 |
Ocho triángulos, y la primera columna nombra los dos lados de los que parte cada fila: a y b para dos catetos, a y c o b y c para un cateto con la hipotenusa. Esa columna está ahí porque una vez resuelto el triángulo se imprimen los tres lados, así que sin ella no se sabría cuál era la respuesta. La primera fila es la entrada con la que carga la página, el triángulo rectángulo de lados enteros más pequeño, y la segunda es el siguiente. Las filas dos y cinco son el mismo triángulo alcanzado por dos caminos distintos: el de cinco, doce y trece resuelto desde sus dos catetos y luego desde un cateto y la hipotenusa, y coinciden en todas las columnas, que es la página comprobándose a sí misma entre las dos ramas de la aritmética. La cuarta fila es también de la rama de la resta, seis y diez dando ocho, y es el triángulo de tres, cuatro y cinco doblado. Las filas uno y ocho son además el mismo triángulo a distintas escalas: nueve, doce y quince es tres, cuatro y cinco con todos los lados triplicados, así que su área es nueve veces mayor y su perímetro tres veces. Las filas dos y siete muestran el mismo escalado al revés: medio, uno con dos y uno con tres es cinco, doce y trece dividido entre diez, y por eso los decimales de ahí son exactos y no redondeados. La tercera fila es otra terna pitagórica, ocho, quince y diecisiete, y la sexta es el caso isósceles, en el que la hipotenusa es la raíz cuadrada de dos y los dos decimales que se muestran son una aproximación. Todos los números de aquí se recalculan a partir de los dos lados de partida al construir la página, y todos están en centímetros.
Fórmula
a² + b² = c² c = √(a² + b²) a = √(c² − b²) b = √(c² − a²) Área = ab ÷ 2 Perímetro = a + b + c
- a
- Uno de los dos catetos, los lados que se encuentran en el ángulo recto. Cualquiera de los dos puede llamarse a, así que las dos casillas de cateto son intercambiables: cambiar los números de sitio entre ellas no cambia nada de la respuesta
- b
- El otro cateto. Cuál de los dos rellenas y cuál dejas en blanco da igual para el triángulo; la casilla etiquetada b es simplemente la que no has usado para a
- c
- La hipotenusa, el lado opuesto al ángulo recto y el mayor de los tres. Es la casilla en la que es fácil equivocarse, porque tiene el mismo aspecto que cualquier otra casilla de lado: si la página dice que la hipotenusa tiene que ser mayor que el cateto que le has dado, es que los dos números están cambiados de sitio
- Missing side
- El lado que has dejado en blanco, calculado a partir de los otros dos y mostrado el primero porque es la pregunta que hacías. Fíjate en que puede ser un cateto o la hipotenusa, según cuál de las casillas hayas dejado vacía
- Area
- La mitad del producto de los dos catetos, en centímetros cuadrados. Usa solo los catetos: la hipotenusa no entra nunca en el área de un triángulo rectángulo, cosa que conviene recordar cuando se comprueba una
- Perimeter
- Los tres lados sumados, en centímetros. Se calcula con las longitudes sin redondear, así que sumar a mano los dos números impresos que escribiste y el lado que falta impreso puede dar una diferencia en la última cifra
- Two decimal places
- La anchura con la que se escriben las tres salidas. Un lado que sale de una raíz cuadrada es irracional salvo que el triángulo resulte ser de lados enteros, así que en la mayoría de las entradas los dos dígitos son un corte y no un final
Es la página correcta siempre que haya un ángulo recto de por medio y falte una longitud. Una escalera apoyada en una pared, donde los dos lados que puedes medir son la pared y el suelo y la escalera es la hipotenusa. Un terreno rectangular, donde hace falta la diagonal para una valla y los dos lados ya se conocen. Una cubierta, donde se conocen la subida y el avance y no la longitud del par. Una pantalla, donde se da la diagonal y no los dos lados. Cualquier cosa que se pueda reducir a un rectángulo y su diagonal es trabajo de esta página. Es también la página con la que calcular la distancia en línea recta entre dos puntos de una cuadrícula de coordenadas: los pasos horizontal y vertical entre ellos son los catetos, y esa distancia es la hipotenusa, y esa es la razón de que la página de la distancia de esta misma subcategoría y esta lleven la misma aritmética con dos disfraces distintos. Hay dos costumbres que hacen fácil fiarse de la respuesta. La hipotenusa es siempre el lado más largo, así que un lado que falta y sale más largo que la hipotenusa que escribiste es señal de que las dos casillas se rellenaron al revés. Y el lado que falta es siempre más corto que la suma de los otros dos, porque la línea recta entre dos puntos es más corta que cualquier camino que pase por un tercero; un resultado que rompa cualquiera de los dos límites está mal por mucho que la aritmética parezca correcta. Cuando ya tienes los tres lados, merece un vistazo el área como comprobación: un triángulo de catetos tres y cuatro cubre seis centímetros cuadrados, y uno que cubra sesenta tiene la coma en el sitio equivocado.
Ejemplos resueltos
Catetos de tres y cuatro
- Falta la hipotenusa, así que se suma: 3² + 4² = 9 + 16 = 25
- Se saca la raíz cuadrada: √25 = 5
- Área: (3 × 4) ÷ 2 = 6
- Perímetro: 3 + 4 + 5 = 12
La entrada con la que carga la página y el triángulo rectángulo más pequeño cuyos tres lados son números enteros. Todas las cifras de aquí son exactas, lo cual la convierte en el caso de calibración: tres, cuatro, cinco, un área de seis y un perímetro de doce, sin nada redondeado en ningún sitio. Si un lector se queda con un solo triángulo rectángulo debería ser este, porque es la forma más rápida de comprobar cualquier otra respuesta en las mismas unidades: nueve más dieciséis son veinticinco, y un resultado que no reduzca a eso se ha torcido en algún punto.
Catetos de cinco y doce
- Hipotenusa: 25 + 144 = 169
- Raíz cuadrada: √169 = 13
- Área: (5 × 12) ÷ 2 = 30
- Perímetro: 5 + 12 + 13 = 30
La siguiente terna pitagórica, y una coincidencia en la que conviene fijarse en lugar de tomarla por un error: el área y el perímetro valen los dos treinta. Es una propiedad de este triángulo concreto y no una regla, y es fácil demostrarse uno mismo que no lo es: el triángulo de tres, cuatro y cinco de arriba tiene un área de seis y un perímetro de doce, que no son iguales. El área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de los catetos y el perímetro es su suma, y las dos coinciden solo cuando los catetos cumplen una ecuación determinada.
Un cateto y la hipotenusa, con el cateto que falta
- El lado que falta es un cateto, así que se resta: 10² − 6² = 100 − 36 = 64
- Se saca la raíz cuadrada: √64 = 8
- Área: (6 × 8) ÷ 2 = 24
- Perímetro: 6 + 8 + 10 = 24
La dirección que usa la resta, y la que pilla a la gente porque las dos operaciones se diferencian en nada más que un signo. Es el triángulo de tres, cuatro y cinco doblado, y por eso el área y el perímetro vuelven a caer en el mismo número: doblar todos los lados cuadruplica el área y dobla el perímetro, y aquí las dos se cruzan. Leyendo la respuesta de la página, el lado que falta, 8, es más corto que la hipotenusa de 10 y más largo que el cateto de 6, que es exactamente donde tiene que estar.
El otro cateto, desde otro par
- El lado que falta es un cateto, así que se resta: 169 − 144 = 25
- Raíz cuadrada: √25 = 5
- Área: (5 × 12) ÷ 2 = 30
- Perímetro: 5 + 12 + 13 = 30
El mismo triángulo que el segundo ejemplo, alcanzado desde otro par de casillas, y la comprobación que la página se hace a sí misma. El triángulo de cinco, doce y trece se puede resolver desde sus dos catetos, que es el segundo ejemplo, o desde un cateto y la hipotenusa, que es este, y las dos rutas tienen que producir los mismos tres lados. Fíjate en que la casilla que se deja en blanco aquí es otra: la respuesta vuelve a ser un cateto, pero es el cateto a y no el b, y los números de las dos casillas de entrada están intercambiados respecto al ejemplo anterior.
Los dos catetos iguales
- Hipotenusa: 1 + 1 = 2
- Raíz cuadrada: √2 = 1,4142135…, que redondea a 1,41
- Área: (1 × 1) ÷ 2 = 0,5
- Perímetro: 1 + 1 + 1,41421 = 3,41421…, que redondea a 3,41
El triángulo rectángulo isósceles más pequeño, y la demostración estándar de que la respuesta casi nunca es un número entero. La hipotenusa de un cuadrado de lado uno es la raíz cuadrada de dos, un número que no termina nunca y no se repite, y ningún triángulo de lados enteros tiene una proporción de uno a uno a raíz de dos, que es precisamente por lo que las respuestas del teorema hay que redondearlas. El perímetro es aquí la cifra interesante: es la única salida que depende de la hipotenusa sin redondear, y sumar tú los dos números impresos al 1,41 impreso da el mismo valor en esta entrada, aunque no en todas.
Catetos de medio y uno con dos
- Hipotenusa: 0,25 + 1,44 = 1,69
- Raíz cuadrada: √1,69 = 1,3
- Área: (0,5 × 1,2) ÷ 2 = 0,3
- Perímetro: 0,5 + 1,2 + 1,3 = 3
Una terna pitagórica disfrazada: medio, uno con dos y uno con tres es el triángulo de cinco, doce y trece con todos los lados divididos entre diez, así que es exacto y no redondeado a pesar de los decimales. Las ternas escalan, lo cual significa que hay infinitas y también que un triángulo rectángulo de lados decimales aparentemente incómodos puede salir limpio. Sirve además para ver que una respuesta decimal no es lo mismo que una redondeada: este 1,3 es exacto y el 1,41 del ejemplo anterior no lo es, y la página no tiene forma de decirte cuál de los dos estás mirando.
Limitaciones
La página resuelve un lado y te da el área y el perímetro. No te dice si los lados forman una terna pitagórica, ni si el triángulo es isósceles, ni nada más sobre qué clase de triángulo es, y eso es una decisión y no un olvido. La pregunta de si una terna de lados es pitagórica no se puede responder de forma fiable desde dentro de esta página, porque los números que recibe el resolutor ya se han convertido a centímetros: unos lados de tres y cuatro pulgadas llegan como 7,62 y 10,16, y si el tres, cuatro y cinco original era una terna de enteros es información que la conversión ya ha tirado. Un juicio que cambiara de respuesta según la unidad que hubiera elegido el usuario sería peor que ningún juicio, así que la página se calla y el sitio para eso es otra herramienta. Todo se da en centímetros y centímetros cuadrados digan lo que digan los desplegables, y la conversión ocurre antes de resolver el triángulo y no después. Elevar al cuadrado no es lineal, así que esto no es lo mismo que resolver en la unidad original y convertir la respuesta, y una terna de enteros escrita en pulgadas no dará centímetros enteros. El lado que falta sale de una raíz cuadrada y es irracional en casi todas las entradas, así que los dos decimales son un corte y no una respuesta completa, aunque las entradas sí puedan ser exactas. El perímetro y el área se calculan con las longitudes sin redondear, así que reconstruirlos a partir de los números impresos en pantalla puede dar una diferencia en la última cifra. Hay que rellenar exactamente dos de las tres casillas: rellenar una se rechaza porque la figura no queda determinada, y rellenar las tres se rechaza porque los tres lados se condicionan entre sí y una terna que se contradice no describe ningún triángulo. Un lado de cero no se acepta, a diferencia del radio en la página del círculo de al lado: un triángulo con un lado de longitud cero no existe, y su área y su perímetro no significarían nada. La hipotenusa tiene que ser estrictamente mayor que el cateto que se dé con ella, y cuando no lo es la página te pide que cambies los dos números de sitio en lugar de dar un código de error; ese mensaje significa que las dos casillas se rellenaron al revés, que es el error más común que invita esta figura. Y por último, esto es un triángulo plano con un ángulo recto dentro, así que los triángulos oblicuángulos y los dibujados sobre una esfera quedan fuera de lo que dice el teorema.
Preguntas frecuentes
- ¿Qué dos casillas relleno?
- Dos cualesquiera de las tres. Los dos catetos, o un cateto y la hipotenusa: las dos combinaciones valen, y la página averigua de qué caso se trata viendo qué casilla has dejado vacía. Lo que no acepta es una sola casilla ni las tres a la vez. Un solo lado no determina un triángulo rectángulo, así que no habría nada que resolver, y los tres lo sobredeterminan, porque dos lados cualesquiera ya fijan el tercero y una terna que se contradice no tiene ningún triángulo detrás.
- ¿Cómo sé si tengo que sumar o restar?
- Depende de qué casilla hayas dejado en blanco. Si la que falta es la hipotenusa, sumas los cuadrados de los dos catetos y sacas la raíz cuadrada. Si lo que falta es un cateto, restas el cuadrado del cateto conocido al cuadrado de la hipotenusa y sacas la raíz cuadrada de lo que queda. La página decide por ti a partir de la forma de la entrada, que es el motivo principal de usarla en lugar de una calculadora de mano: los dos casos se diferencian en un signo, y confundirlos es la forma estándar de obtener una respuesta equivocada que parece perfectamente razonable.
- La página dice que la hipotenusa tiene que ser mayor que el cateto. ¿Qué he hecho mal?
- Que los dos números están en las casillas equivocadas. La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y siempre es el más largo de los tres, así que no puede ser más corta que un cateto ni igual que uno. Cambiar los dos valores de sitio lo arregla. Es el error más común de esta página porque las dos casillas se parecen: nada en un campo de texto corriente dice cuál de ellas está pensada para el lado largo, y un triángulo de lados 5, 5 y 3 no existe.
- ¿Por qué el lado que falta tiene decimales si yo he escrito números enteros?
- Porque la raíz cuadrada de un número entero normalmente no es un número entero. Los triángulos rectángulos de lados enteros, tres, cuatro y cinco, cinco, doce y trece, ocho, quince y diecisiete, existen y son infinitos, pero son una minoría pequeña entre todos los triángulos rectángulos que hay. En cualquier otro caso el lado que falta es un número irracional y los dos decimales que se muestran son el sitio donde se ha cortado. Una respuesta de 7,62 es una aproximación; una respuesta de 8 es exacta.
- ¿Me dice la página si mi triángulo es un 3-4-5?
- No, y no lo intenta a propósito. Cuando la aritmética se ejecuta, las longitudes ya se han convertido a centímetros, así que un triángulo escrito como tres y cuatro pulgadas llega al resolutor como 7,62 y 10,16: la información sobre si los lados originales eran números enteros se ha perdido antes de que se pudiera hacer la pregunta. Una comprobación que diera respuestas distintas según la unidad elegida sería peor que ninguna comprobación, así que la página resuelve el lado y deja la clasificación para otra herramienta.
- ¿El área es lo mismo que el perímetro?
- Solo por casualidad, y la tabla de esta misma página contiene una de esas casualidades: un triángulo de cinco, doce y trece tiene un área de treinta centímetros cuadrados y un perímetro de treinta centímetros. Son dos clases de cantidad distintas y la igualdad está solo en las cifras. El área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de los catetos, el perímetro es la suma de los tres lados, y coinciden en este triángulo y en un puñado más. El de tres, cuatro y cinco, dos filas más arriba, tiene un área de seis frente a un perímetro de doce.
- ¿Puede valer cero uno de los lados?
- No. Un triángulo con un lado de longitud cero no es un triángulo: los tres puntos estarían alineados o coincidentes, y tanto el área como el perímetro perderían su sentido. Es una diferencia real respecto a la página del círculo de esta misma subcategoría, donde un radio de cero sí es una entrada legítima que describe un círculo encogido a un punto. Un lado de cero se rechaza aquí en el propio campo, y una longitud negativa se rechaza de la misma manera.
Referencias
- Pythagorean theorem — the relation between the three sides of a right triangle that this page solves, and its history in Babylonian, Indian and Chinese sources before Pythagoras — Wolfram MathWorld (United States)
- Pythagorean triple — the whole-number side sets this page deliberately does not test for, and the reason the check cannot be made once the lengths have been converted to centimetres — Wolfram MathWorld (United States)
- Right triangle — the shape the page solves, with the hypotenuse as the side opposite the right angle and the two legs meeting at it — Wolfram MathWorld (United States)
- El Sistema Internacional de Unidades (SI) — the reference for the centimetre and the square centimetre in which this page reports every side, the area and the perimeter — Centro Español de Metrología (España)