Calculadora de la fórmula de Herón

s = (a + b + c) ÷ 2 A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) P = a + b + c

Lado a

El primero de los tres lados, en cualquier unidad de longitud. Los tres lados tienen que estar en la misma unidad, y los tres tienen que cumplir la desigualdad triangular: la suma de dos cualesquiera debe superar al tercero, o no existe ningún triángulo con esas medidas

Lado b

El segundo lado. El orden no importa en absoluto, porque la fórmula es simétrica respecto a los tres: cambiar el nombre de los lados no cambia ni el semiperímetro ni el área. Eso también significa que la página no puede decirte cuál es la base, porque no hay ninguna base señalada

Lado c

El tercer lado. Con los tres se cierra la figura, y de ahí sale todo lo demás. Si los tres son iguales el triángulo es equilátero, si dos lo son es isósceles y si ninguno lo es es escaleno; la fórmula no distingue entre los tres casos y da el mismo resultado correcto en todos

Semiperímetro

La suma de los tres lados dividida entre dos, o sea la mitad del perímetro. Es la cantidad intermedia que da nombre a la fórmula y la que hace que el producto funcione. Con 3, 4 y 5 vale 6, y con 5, 12 y 13 vale 15. No lleva ninguna raíz y no es más que una suma y una división, así que si los lados son números enteros el semiperímetro es entero o acaba en medio

Área

La raíz cuadrada del producto del semiperímetro por lo que queda al restarle cada uno de los tres lados. Es exacta cuando el producto es un cuadrado perfecto, lo cual ocurre con los triángulos de lados enteros que son rectángulos, y en los demás casos es una raíz que no termina y se imprime con cuatro decimales

Perímetro

La suma de los tres lados, sin dividir entre dos. Es la única de las salidas que no pasa por la raíz cuadrada, así que siempre es exacto si los lados lo son, y sirve de comprobación rápida: tiene que ser exactamente el doble del semiperímetro

√

La raíz cuadrada que envuelve todo el producto. Es lo único que impide que la fórmula sea pura aritmética, y es también lo que hace que el resultado exacto sea la excepción y no la regla: el producto de los cuatro factores solo es un cuadrado perfecto en casos contados

Se usa siempre que se puedan medir los tres lados de un triángulo pero no su altura. Es el caso corriente sobre el terreno: en una parcela triangular se puede recorrer el perímetro con una cinta, y en cambio medir la altura perpendicular a un lado imaginario es mucho más difícil y bastante menos exacto. Lo mismo ocurre con la chapa de una escuadra, con la tela de un toldo triangular o con cualquier pieza de tres lados que se tenga en la mano. Es también la fórmula que se usa cuando los tres lados vienen de otro cálculo y no de una medida: la distancia entre tres puntos del plano, por ejemplo, sale de aplicar tres veces la fórmula de la distancia, y con esas tres longitudes el área del triángulo que forman se obtiene directamente de aquí sin necesidad de coordenadas. Y sirve para comprobar áreas obtenidas por otros caminos, porque es una vía completamente distinta a la de base por altura: si el área de un triángulo conocida por coordenadas coincide con la de Herón, las dos cuentas están bien. Lo que la página no hace es despejar hacia atrás: si lo que se tiene es el área y dos lados, para obtener el tercero hay que resolver una ecuación, y eso es más trabajo que volver a medir.

1. El triángulo rectángulo 3, 4, 5

   1. Semiperímetro: (3 + 4 + 5) ÷ 2 = 6
   2. Restas: 6 - 3 = 3, 6 - 4 = 2 y 6 - 5 = 1
   3. Producto: 6 × 3 × 2 × 1 = 36
   4. Área: √36 = 6, exacta
   5. Perímetro: 3 + 4 + 5 = 12, el doble del semiperímetro

   La entrada con la que carga la página, y la comprobación más limpia que se puede hacer de la fórmula porque el resultado se conoce de antemano: es un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4, así que por la vía clásica su área es 3 por 4 entre 2, o sea 6, y Herón llega exactamente al mismo número sin saber que el triángulo es rectángulo. Esa es toda la gracia de la fórmula: no necesita ningún ángulo ni ninguna altura, y sin embargo acierta el área de un triángulo cuya área se puede calcular de otra manera. Y el producto de los cuatro factores, 36, es un cuadrado perfecto, lo cual es la señal de que el área va a salir entera.

2. Un triángulo isósceles de lados 6, 5 y 5

   1. Semiperímetro: (6 + 5 + 5) ÷ 2 = 8
   2. Restas: 8 - 6 = 2, 8 - 5 = 3 y 8 - 5 = 3
   3. Producto: 8 × 2 × 3 × 3 = 144
   4. Área: √144 = 12, exacta otra vez
   5. Perímetro: 16, el doble del semiperímetro

   Dos lados iguales, y el área vuelve a salir entera porque el producto da 144, que es doce al cuadrado. Merece la pena comprobarlo por la vía de la altura: en un triángulo isósceles de base 6 y lados 5, la altura sobre la base mide 4, porque parte la base en dos trozos de 3 y forma un triángulo rectángulo de hipotenusa 5, o sea el 3-4-5 otra vez; y base por altura entre dos son 6 por 4 entre 2, que son 12. Las dos vías coinciden, y esta coincide además con el segundo ejemplo de la calculadora de triángulo isósceles, que da la misma área por un camino que sí necesita la altura.

3. Un triángulo equilátero de lado 6

   1. Semiperímetro: (6 + 6 + 6) ÷ 2 = 9
   2. Restas: 9 - 6 = 3, tres veces lo mismo
   3. Producto: 9 × 3 × 3 × 3 = 243
   4. Área: √243 = 15,5885, que no es exacta porque 243 no es un cuadrado perfecto
   5. Perímetro: 18

   El triángulo equilátero resuelto por Herón, y el resultado coincide con el que da la fórmula específica del equilátero, √3 partido por cuatro por el lado al cuadrado, que también vale 15,5885. Aquí el producto de 243 no es un cuadrado perfecto y el área ya no es entera: eso es lo normal, y los dos ejemplos anteriores eran la excepción afortunada. Es el ejemplo que deja claro que Herón funciona con cualquier triángulo y que no hay ningún caso que se le resista, aunque se pague con un resultado irracional.

4. El triángulo rectángulo 5, 12, 13

   1. Semiperímetro: (5 + 12 + 13) ÷ 2 = 15
   2. Restas: 15 - 5 = 10, 15 - 12 = 3 y 15 - 13 = 2
   3. Producto: 15 × 10 × 3 × 2 = 900
   4. Área: √900 = 30, exacta
   5. Perímetro: 30

   El otro triángulo rectángulo de lados enteros pequeños, y aquí el área y el perímetro valen los dos 30, lo cual es una coincidencia numérica y no una propiedad: uno está en centímetros cuadrados y el otro en centímetros, así que no son comparables y no significan lo mismo. Compruébese por la vía clásica: los catetos son 5 y 12, y 5 por 12 entre 2 son 30. Es el segundo triángulo pitagórico que aparece en esta página y sirve para lo mismo que el primero: verificar una fórmula nueva contra un resultado que ya se sabe.

5. Un triángulo escaleno de lados 9, 10 y 17

   1. Semiperímetro: (9 + 10 + 17) ÷ 2 = 18
   2. Restas: 18 - 9 = 9, 18 - 10 = 8 y 18 - 17 = 1
   3. Producto: 18 × 9 × 8 × 1 = 1296
   4. Área: √1296 = 36, exacta
   5. Perímetro: 36, el doble del semiperímetro

   Un triángulo muy aplastado, con un lado casi tan largo como los otros dos juntos, y el área sale exacta por casualidad porque 1296 es 36 al cuadrado. Vuelve a coincidir el área con el perímetro, los dos en 36, que es la clase de coincidencia que hace sospechar de un error y que aquí se puede descartar comprobando el producto. Comparado con el equilátero del mismo perímetro, que sería de lado 12 y tendría un área de 62,3538, este triángulo aprovecha bastante peor su borde: es la manifestación de que, entre todos los triángulos con el mismo perímetro, el equilátero es el que mayor superficie encierra.

6. El caso degenerado de lados 1, 1 y 2

   1. Semiperímetro: (1 + 1 + 2) ÷ 2 = 2
   2. Restas: 2 - 1 = 1, 2 - 1 = 1 y 2 - 2 = 0
   3. Producto: 2 × 1 × 1 × 0 = 0, porque uno de los factores es nulo
   4. Área: √0 = 0
   5. Perímetro: 4

   El límite exacto de la desigualdad triangular, donde un lado mide justo la suma de los otros dos, y el resultado es una figura plana de área cero: los tres puntos están alineados y lo que hay es un segmento de longitud 2 recorrido dos veces, con un perímetro de 4. La fórmula no falla, devuelve cero, que es la respuesta correcta. Un paso más allá, con lados 1, 1 y 3, la suma de los dos cortos ya no llega al largo, no existe ninguna figura y la página rechaza la entrada. Es la fila que enseña a distinguir entre el caso límite, que tiene respuesta, y el imposible, que no la tiene.

Los tres lados tienen que cumplir la desigualdad triangular, es decir que la suma de dos cualesquiera sea mayor que el tercero. Cuando la suma coincide exactamente con el tercero la figura degenera en un segmento, el área vale cero y la página la acepta porque la respuesta es correcta; cuando la suma se queda corta no existe ningún triángulo y la entrada se rechaza en lugar de devolver una raíz de un número negativo. La fórmula es simétrica respecto a los tres lados, así que la página no puede decirte cuál de ellos es la base ni cuál es la altura, y tampoco los ángulos: para eso haría falta el teorema del coseno, que no se aplica aquí. Un triángulo isósceles y uno escaleno se calculan igual, sin ninguna casilla que los distinga, así que si lo que necesitas son las propiedades particulares de un isósceles, como su altura sobre la base o sus dos ángulos iguales, esta página no las da. El área se imprime con cuatro decimales y casi siempre es irracional, así que el valor impreso es dónde se acaban los dígitos y no la respuesta exacta. Los lados tienen que estar en la misma unidad: la fórmula no convierte y no hay ninguna casilla para elegirla, así que mezclar centímetros y pulgadas dará un número sin sentido, y como el área va al cuadrado la unidad de la respuesta es la de los lados elevada al cuadrado. La página no comprueba que los números describan un triángulo realista para lo que estés haciendo, ni dibuja nada; y no despeja hacia atrás, de modo que si lo que falta es un lado y lo que se tiene es el área, la respuesta hay que buscarla por otro camino.

¿Qué dice la fórmula de Herón?

Que el área de un triángulo se puede calcular solo con sus tres lados. Se suma el semiperímetro, que es la mitad de la suma de los tres lados, se multiplica ese semiperímetro por lo que queda al restarle cada lado y se saca la raíz cuadrada del producto. Con lados 3, 4 y 5 el semiperímetro es 6, el producto es 6 por 3 por 2 por 1, o sea 36, y el área es 6. No aparece ninguna altura ni ningún ángulo en ninguna parte de la cuenta.

¿Qué es el semiperímetro y por qué se usa?

Es la mitad del perímetro, o sea la suma de los tres lados dividida entre dos. Se usa porque la fórmula de Herón se escribe de forma mucho más corta con él: el área es la raíz cuadrada del producto del semiperímetro por lo que queda al restarle cada uno de los tres lados. Con 5, 12 y 13 el semiperímetro vale 15 y el producto es 15 por 10 por 3 por 2, que son 900, y su raíz es 30. No tiene ningún significado geométrico especial más allá de eso; es una cantidad de comodidad.

¿Para qué sirve si ya existe base por altura entre dos?

Porque la altura no siempre se puede medir. La fórmula clásica necesita la altura, y medir una altura perpendicular sobre un terreno o sobre una pieza requiere una escuadra y un punto de referencia que a veces no existen; los tres lados, en cambio, se miden siempre con una cinta. También sirve cuando los tres lados no vienen de medir sino de otro cálculo, por ejemplo de tres distancias entre puntos de un mapa. Lo que no hace es sustituir a la fórmula clásica cuando la altura ya se conoce, porque entonces la clásica es más corta.

¿Funciona con cualquier triángulo?

Con cualquier triángulo que pueda existir, sí: escaleno, isósceles y equilátero se calculan igual, sin ningún caso especial y sin que el orden en que escribas los lados importe. La única condición es la desigualdad triangular: la suma de dos lados cualesquiera tiene que superar al tercero. Si se queda corta no hay ninguna figura que calcular y la página rechaza la entrada. Si la suma coincide exactamente con el tercero, el triángulo degenera en un segmento y el resultado es un área de cero, que es correcto.

¿Por qué a veces el área sale exacta y a veces con decimales?

Porque el área es la raíz cuadrada del producto de los cuatro factores, y ese producto solo es un cuadrado perfecto en algunos casos. Con los lados 3, 4 y 5 el producto es 36, que es seis al cuadrado, y el área sale exacta. Con los lados 5, 12 y 13 el producto es 900, que es treinta al cuadrado, y también. Son triángulos rectángulos de lados enteros, y por eso aparecen tanto en los ejemplos. Con lados 6, 6 y 6 el producto es 243, que no es un cuadrado perfecto, y el área es 15,5885 con cuatro decimales y sin terminar.

¿Puedo escribir un lado que sea mayor que la suma de los otros dos?

Puedes escribirlo, pero no describe ningún triángulo y la página lo rechazará. Es la desigualdad triangular: con tres segmentos de longitudes 1, 1 y 3 no se puede cerrar ninguna figura, porque los dos cortos no llegan a unir los extremos del largo ni estirados en línea recta. El caso límite, con el lado largo igual a la suma de los otros dos, sí se acepta: la figura es un segmento y el área sale cero. La distinción entre el caso límite y el imposible es exactamente la diferencia entre «igual» y «menor».

• Heron's formula — the expression for the area of a triangle in terms of its three side lengths and the semiperimeter, which is exactly what this page evaluates — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the figure whose area is computed here, together with the triangle inequality that the three side lengths must satisfy for such a figure to exist at all — Wolfram MathWorld (United States)
• Semiperimeter — half the perimeter of a figure, the intermediate quantity this page reports because the area formula is built from it — Wolfram MathWorld (United States)