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CalcMax

Calculadora de triángulo equilátero

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Resultado

15,5885 cm²

Superficie

Perímetro
18,0000 cm
Altura
5,1962 cm

Con esta calculadora de triángulo equilátero basta un dato: la longitud de un lado. De ahí salen el área, el perímetro y la altura, y no hace falta medir nada más sobre la figura. Eso es porque un triángulo equilátero tiene los tres lados iguales y, como consecuencia, los tres ángulos iguales también, y la suma de los ángulos de cualquier triángulo es siempre 180 grados, así que cada uno mide 60. Con los tres ángulos fijados de antemano la forma ya no tiene ninguna libertad: solo queda elegir el tamaño, y el tamaño lo dice un lado. No hay ninguna otra figura de tres lados de la que se pueda decir lo mismo. Un triángulo isósceles necesita dos datos y uno escaleno necesita tres, porque tienen grados de libertad que hay que rellenar; el equilátero es el único que se queda con uno. La altura es la cifra que menos gente sabe calcular de memoria y la que más se usa. Es la distancia del vértice superior al lado opuesto, medida perpendicularmente, y vale √3 partido por dos, multiplicado por el lado, o sea aproximadamente 0,866 veces el lado. Esa proporción constante es la que hace que un triángulo equilátero de lado 10 tenga 8,6603 de altura y no 10. La altura corta el triángulo en dos triángulos rectángulos iguales, cada uno con la hipotenusa igual al lado, un cateto igual a la mitad del lado y el otro cateto igual a la altura, y despejar ese tercer cateto es de donde sale el √3. Conviene fijarse en que la altura es menor que el lado, siempre, porque en un triángulo rectángulo la hipotenusa es el lado más largo, y aquí la hipotenusa es el lado del equilátero. El área también tiene un factor fijo: √3 partido por cuatro, multiplicado por el lado al cuadrado. Con lado 6 sale 15,5885, y con lado 3 sale exactamente la cuarta parte, 3,8971, porque el área depende del cuadrado del lado y no del lado. El perímetro es la cuenta más simple de las tres, tres veces el lado, y es la única que crece en línea recta: si doblas el lado, el perímetro se dobla, mientras que el área se multiplica por cuatro y la altura solo por dos. Hay un caso extremo que la última fila de la referencia recoge: un lado de cero da área, perímetro y altura de cero, que es la figura degenerada en un punto y no un error de la fórmula.

Triángulos equiláteros que aparecen a menudo

Lado (cm)Área (cm²)Perímetro (cm)Altura (cm)
615.5885185.1962
10.43330.866
21.732161.7321
33.897192.5981
510.8253154.3301
7.524.35722.56.4952
1043.3013308.6603
0000

La tabla empieza con el lado 6, que es la entrada con la que carga la calculadora, y sigue con el lado 1, que es la fila que conviene recordar: con lado 1 las salidas son los coeficientes de la fórmula sin multiplicar por nada, es decir 0,433 de área y 0,866 de altura por cada unidad de lado al cuadrado y de lado respectivamente. La tercera fila, con lado 2, es una coincidencia aritmética que solo ocurre ahí: el área y la altura salen las dos 1,7321, que es √3, aunque sean magnitudes distintas. La cuarta, con lado 10, es un lado redondo con salidas que no lo son, y deja ver que la altura es un 13,4 por ciento menor que el lado. La quinta lleva el lado a cero y las tres columnas se van a cero con él, que es la figura degenerada en un punto. Las filas se leen además en vertical para ver cómo crece cada columna: al pasar del lado 1 al lado 10 el perímetro se multiplica por diez, la altura también por diez y el área por cien, porque el área depende de la longitud al cuadrado. Esa diferencia de ritmo entre el área y las otras dos es lo que hay que tener presente al comparar dos triángulos de tamaños distintos.

Fórmula

A = (√3 ÷ 4) × s² P = 3s h = (√3 ÷ 2) × s

Lado
La longitud de cualquiera de los tres lados, que en un triángulo equilátero miden todos lo mismo. Es el único dato que hay que escribir, y de él salen las tres respuestas. Tiene que ser mayor que cero para que exista una figura; con cero el triángulo degenera en un punto y las tres salidas valen cero
Área
La superficie encerrada, igual a √3 dividido entre cuatro y multiplicado por el lado al cuadrado. Como el lado va al cuadrado, el área crece mucho más deprisa que el lado: al doblar el lado el área se multiplica por cuatro. Se imprime redondeada a cuatro decimales porque lleva √3 dentro
Perímetro
La suma de los tres lados, que al ser iguales es simplemente tres veces el lado. Es exacto siempre que el lado lo sea, sin raíces ni redondeos, y es la única de las tres salidas que crece proporcionalmente al lado y no con su cuadrado
Altura
La distancia perpendicular de un vértice al lado opuesto, igual a √3 partido por dos, multiplicado por el lado, o sea unas 0,866 veces el lado. Es siempre menor que el lado, porque en el triángulo rectángulo que la contiene ella es un cateto y el lado es la hipotenusa
√3
La raíz cuadrada de tres, que vale 1,7320508 y aparece en la fórmula del área y en la de la altura. Está ahí porque la altura divide el triángulo en dos triángulos rectángulos de hipotenusa igual al lado y cateto corto igual a medio lado, y el teorema de Pitágoras aplicado a ese par deja √3 en el resultado
Cuatro decimales
La precisión de las tres salidas. El perímetro se imprime entero cuando el lado lo es, porque es una multiplicación por tres. El área y la altura se recortan a cuatro decimales porque llevan √3, que es irracional y no termina nunca

Se usa cuando se mide un triángulo de tres lados iguales y hace falta su superficie, su borde o su altura. El área y el perímetro son las cuentas de siempre para pedir material: la chapa de una señal triangular, la tela de un banderín, la superficie de una cara de un tetraedro regular, que es exactamente un triángulo equilátero. La altura es la que aparece cuando el triángulo se apoya en un lado y hay que saber cuánto sobresale, o cuando se calcula el volumen de un prisma triangular recto, porque el volumen es el área de la base por la altura del prisma y no por la altura del triángulo. Y hay un uso que sale mucho más de lo que parece: el triángulo equilátero es la mitad de un rombo formado por dos de ellos, y es una sexta parte de un hexágono regular, así que las cifras de esta página son las piezas con las que se calcula un hexágono, un rombo de 60 grados y 120 grados, y las caras de un tetraedro y un octaedro. La simetría también sirve para dividir sin medir: la altura parte el triángulo en dos mitades exactas, y las tres alturas se cortan en un único punto que está a un tercio de la base y a dos tercios del vértice, que es el centro de la figura. Si lo que se tiene es el área o la altura y lo que falta es el lado, la página no despeja hacia atrás: hay que dividir el área entre √3 partido por cuatro y sacar la raíz cuadrada a mano.

Ejemplos resueltos

  1. Un triángulo equilátero de lado seis

    1. Perímetro: 3 × 6 = 18
    2. Altura: (√3 ÷ 2) × 6 = 1,7320508 ÷ 2 × 6 = 5,1962
    3. Área: (√3 ÷ 4) × 36 = 0,4330127 × 36 = 15,5885
    4. Comprobación por la vía clásica: base por altura entre dos, 6 × 5,1962 ÷ 2 = 15,5885

    La entrada con la que carga la página, y el ejemplo con el que se ve de dónde sale todo. La altura de 5,1962 es √3 multiplicado por tres, y el área se puede obtener de dos maneras que dan lo mismo: con el factor √3 partido por cuatro, o con la fórmula de toda la vida de base por altura entre dos, usando la altura que la propia página acaba de calcular. Que las dos vías coincidan es la mejor comprobación de que las tres fórmulas hablan de la misma figura, y merece la pena hacerla una vez con números a mano.

  2. El triángulo de lado uno

    1. Perímetro: 3 × 1 = 3
    2. Altura: √3 ÷ 2 = 0,866
    3. Área: √3 ÷ 4 = 0,433
    4. Los dos valores son los factores de la fórmula sin multiplicar por nada

    Con lado 1 las salidas son los coeficientes desnudos, y por eso esta fila es la que hay que recordar: el área de un triángulo equilátero es 0,433 veces el lado al cuadrado y su altura es 0,866 veces el lado, siempre, sea cual sea el tamaño. Es también la comprobación de que un triángulo equilátero no es «medio cuadrado»: el área de un cuadrado de lado 1 sería 1, y la de este triángulo es menos de la mitad, 0,433.

  3. El lado dos y la proporción que se conserva

    1. Perímetro: 3 × 2 = 6
    2. Altura: (√3 ÷ 2) × 2 = √3 = 1,7321
    3. Área: (√3 ÷ 4) × 4 = √3 = 1,7321
    4. Área y altura coinciden porque el lado al cuadrado dividido entre cuatro y el lado dividido entre dos dan lo mismo cuando el lado vale dos

    Una coincidencia aritmética que solo ocurre con el lado dos: el área y la altura salen las dos √3 y valen 1,7321, aunque son magnitudes distintas y no comparables, una en centímetros cuadrados y la otra en centímetros. Está en la tabla porque es la clase de coincidencia que hace dudar de si la calculadora se equivocó, y aquí queda claro que no. Compárese con el lado uno: el área se ha multiplicado por cuatro y la altura por dos, que es lo que dicta la proporción.

  4. Un triángulo equilátero de lado diez

    1. Perímetro: 3 × 10 = 30
    2. Altura: (√3 ÷ 2) × 10 = 8,6603, que es bastante menos que el lado
    3. Área: (√3 ÷ 4) × 100 = 43,3013
    4. Comprobación por base por altura entre dos: 10 × 8,6603 ÷ 2 = 43,3015, que redondeado a cuatro decimales coincide

    Un lado redondo con salidas que no lo son, que es la situación normal de esta página: el perímetro sale exacto en 30 y el área y la altura arrastran el √3. La altura de 8,6603 frente al lado de 10 es donde mejor se ve que la altura es apreciablemente menor que el lado: un 13,4 por ciento menos, y no una diferencia de redondeo. La comprobación por la fórmula clásica da 43,3015 en lugar de 43,3013 porque la altura ya venía redondeada, y esa diferencia de dos diezmilésimas es el efecto acumulado del redondeo y no un error.

  5. El caso límite con el lado en cero

    1. Perímetro: 3 × 0 = 0
    2. Altura: (√3 ÷ 2) × 0 = 0
    3. Área: (√3 ÷ 4) × 0 = 0
    4. Las tres salidas son cero y no hay ninguna indeterminación

    El extremo al que se puede llegar sin que la fórmula se rompa. Con el lado en cero el triángulo degenera en un punto, y las tres magnitudes valen cero de verdad: no hay superficie, no hay borde y no hay altura que medir. Es un caso limpio y sin ambigüedad, a diferencia de lo que ocurre en otras figuras donde un parámetro en cero deja una división indefinida. Sirve para reconocer que un cero en las tres columnas es una respuesta legítima y no una casilla sin rellenar.

Limitaciones

La página solo va en una dirección: dado el lado, da el área, el perímetro y la altura, pero no al contrario. Si lo que se tiene es el área y lo que falta es el lado, hay que dividir entre √3 partido por cuatro y sacar la raíz cuadrada a mano, porque no hay un campo donde escribir el área. Solo hay una casilla, y eso no es una simplificación sino la consecuencia de que un triángulo equilátero quede determinado por un único dato: no hay ninguna otra magnitud que se pueda pedir y que aporte información nueva. Un triángulo que sea casi equilátero pero no exactamente equilátero no se puede calcular aquí, y el resultado que devuelve la página será incorrecto para él sin que nada lo advierta: si un lado mide 6 y otro 6,1, esto ya no es un triángulo equilátero y hacen falta los tres lados, que es el terreno de la fórmula de Herón. La página no da los ángulos, y eso es porque en un triángulo equilátero no hay nada que calcular: los tres miden 60 grados siempre, así que una salida que valiera 60 en todas las filas sería una constante disfrazada de resultado. Tampoco da el radio de la circunferencia inscrita ni el de la circunscrita, ni las coordenadas de los vértices ni la orientación, porque el área, el perímetro y la altura no dependen de hacia dónde apunte el triángulo ni de dónde esté situado. El lado entra en la unidad que uses y las salidas salen en esa unidad, el área al cuadrado y el perímetro y la altura sin elevar, sin conversión y sin ninguna casilla para elegirla. Y el lado tiene que ser mayor o igual que cero: un valor negativo no describe ninguna figura y la página lo rechazará en lugar de dar un resultado con signo.

Preguntas frecuentes

¿Por qué basta con un solo dato para un triángulo equilátero?
Porque la forma de la figura ya está fijada de antemano. Los tres lados iguales obligan a que los tres ángulos sean iguales, y como la suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180 grados, cada uno mide 60. Con los ángulos fijados no queda ninguna libertad salvo el tamaño, y el tamaño lo determina un solo lado. Es el único triángulo del que se puede decir esto: uno isósceles necesita dos datos y uno escaleno necesita tres.
¿Cuál es la fórmula del área de un triángulo equilátero?
El área es √3 dividido entre cuatro, multiplicado por el lado al cuadrado. Con lado 6 son 0,4330127 por 36, o sea 15,5885. También se puede calcular con la fórmula de siempre, base por altura entre dos, usando la altura que da esta misma página, y las dos vías coinciden: 6 por 5,1962 entre dos son 15,5885. La versión con √3 es la que se usa cuando no se quiere pasar por la altura.
¿Cómo se calcula la altura de un triángulo equilátero?
Es √3 dividido entre dos, multiplicado por el lado, o sea unas 0,866 veces el lado. Con lado 10 son 8,6603. La razón es que la altura parte el triángulo en dos triángulos rectángulos iguales: cada uno tiene la hipotenusa igual al lado, un cateto igual a la mitad del lado y el otro cateto igual a la altura. Al despejar ese tercer cateto con el teorema de Pitágoras queda una raíz de tres. Por eso la altura siempre es menor que el lado, ya que es un cateto y el lado es la hipotenusa.
¿Cuánto miden los ángulos de un triángulo equilátero?
Los tres miden 60 grados. No hace falta calcularlos: la igualdad de los tres lados obliga a la igualdad de los tres ángulos, y como en cualquier triángulo los tres suman 180 grados, cada uno tiene que valer un tercio de 180. Esta página no imprime los ángulos precisamente por eso, porque una salida que valiera 60 en todas las filas no sería un resultado sino una constante. Lo que sí se puede hacer con las salidas de aquí es comprobar el 60: la altura dividida entre medio lado da la tangente de 60, que es √3.
¿Se puede usar para un hexágono o un tetraedro?
Sus cifras aparecen dentro de los dos. Un hexágono regular de lado s se descompone en seis triángulos equiláteros de lado s, así que su área es seis veces la que da esta página y su apotema coincide con la altura del triángulo. Un tetraedro regular tiene cuatro caras que son triángulos equiláteros, y para su área total hay que multiplicar por cuatro la superficie que sale aquí. Lo que no hace la página es dar el volumen de esos cuerpos, porque para eso haría falta también su altura como sólido.
¿Qué pasa si escribo una altura o un área en lugar del lado?
Saldrá un resultado equivocado, y nada te avisará. El campo es el lado y la fórmula aplica los factores de √3 partido por cuatro y √3 partido por dos esperando una longitud de lado. Si escribes 5,1962 creyendo que es la altura, la página calculará el triángulo equilibátero cuyo lado mide 5,1962, y su altura real será 4,5 en vez de 5,1962. Para ir del área al lado hay que dividir el área entre √3 partido por cuatro y sacar la raíz cuadrada, y para ir de la altura al lado hay que dividir la altura entre √3 partido por dos; ninguna de las dos operaciones se puede hacer en esta página.

Referencias

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