Calculadora de distancia
Resultado
Distancia
- Variación en x (Δx)
- 3,0000
- Variación en y (Δy)
- 4,0000
La calculadora de distancia entre dos puntos devuelve la distancia en línea recta que los separa: la longitud del segmento que los une, medida en línea recta y no por ningún camino que se pueda recorrer. Escribes los dos puntos, cuatro números en total, y la respuesta sale con cuatro decimales. Detrás está la fórmula de la distancia, que no es más que el teorema de Pitágoras vestido de coordenadas. Baja una línea horizontal desde un punto y una vertical desde el otro y se encuentran en una esquina: se forma un triángulo rectángulo cuyos catetos son las diferencias entre las coordenadas y cuya hipotenusa es la distancia que has pedido. Para los puntos (0, 0) y (3, 4) los catetos son 3 y 4, así que la distancia es √(9 + 16), que vale exactamente 5. Ese triángulo es la razón de que la página imprima tres números en lugar de uno. Los dos catetos vuelven como la distancia horizontal y la vertical entre los puntos, y son el desarrollo del cálculo: la respuesta es la raíz cuadrada de la suma de sus cuadrados, y con los dos en pantalla puedes seguir la aritmética sin hacerla tú. Además llevan signo, lo cual sorprende la primera vez. El cateto vertical es negativo siempre que el segundo punto esté más bajo que el primero, porque es una diferencia dirigida y no un hueco, y la página conserva el signo a propósito en vez de tomar el valor absoluto: el signo es lo único que dice hacia qué lado cae el segundo punto respecto al primero, y es justo lo que necesitaría después un cálculo de pendiente. Hay dos límites que conviene conocer antes de fiarse del resultado. Esta página mide distancias en un plano y solo en un plano. No hay una casilla para una tercera coordenada, porque una página con campos z opcionales tendría que inventarse una respuesta para el caso en que un punto tiene z y el otro no, y las otras dos páginas de coordenadas de esta familia, la del punto medio y la del punto extremo, tendrían entonces una forma distinta a la de esta sin ninguna razón que el lector pudiera ver. Si tus puntos están en el espacio puedes usar la página dos veces, pero tendrás que sumar el tercer cateto tú. Y las coordenadas no llevan unidad. Midas lo que midas, la respuesta va en eso: metros si tus números son metros, kilómetros si son kilómetros, cuadros de rejilla si salieron de un gráfico. La página no convierte ni puede avisarte de que un punto está en metros y el otro en milímetros.
Distancias entre puntos que aparecen a menudo
| Primera x | Primera y | Segunda x | Segunda y | Cateto horizontal | Cateto vertical | Distancia |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 3 | 4 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 2 | 5 | 8 | 4 | 6 | 7.2111 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1.4142 |
| 2.5 | -1.5 | 2.5 | -1.5 | 0 | 0 | 0 |
| -3 | 4 | 7 | -2 | 10 | -6 | 11.6619 |
| 0 | 0 | 10 | 0 | 10 | 0 | 10 |
| 3 | 4 | 0 | 0 | -3 | -4 | 5 |
| 0 | 0 | 6000000 | 8000000 | 6000000 | 8000000 | 10000000 |
Ocho pares, con dos columnas de desarrollo y la respuesta en la última. Empieza por la primera fila, que es la entrada con la que carga la página: los catetos son 3 y 4 y la distancia es exactamente 5, el triángulo rectángulo más pequeño de lados enteros. La segunda fila es la misma clase de diagonal sin la exactitud: catetos de 4 y 6, una distancia de 7,2111 y una raíz cuadrada que no se acaba nunca. La tercera fila es una diagonal de uno y uno, donde la distancia es la raíz de dos y se imprime como 1,4142, que conviene saberse de memoria porque es la distancia irracional más corta que hay. La cuarta fila es el mismo punto dos veces, con distancia cero. La quinta es la que hay que estudiar si los signos se te resisten: el segundo punto está muy a la derecha y por debajo del primero, así que el cateto horizontal es diez positivo y el vertical seis negativo, y la distancia de 11,6619 sale positiva de todos modos. La sexta fila discurre plana sobre el eje x, así que el cateto vertical es cero y la distancia es simplemente la horizontal. La séptima es el segmento tres cuatro cinco medido al revés, desde (3, 4) hasta el origen, lo que convierte los dos catetos en negativos mientras la distancia se queda en 5, y la octava es el mismo triángulo multiplicado por dos millones, que muestra que unas coordenadas grandes no introducen redondeo por sí solas.
Fórmula
Distancia = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) Cateto horizontal = x₂ - x₁ Cateto vertical = y₂ - y₁
- Primer punto
- Una x y una y: el punto desde el que mides. Sus coordenadas son números corrientes, así que pueden ser negativas, fraccionarias o cero, y no hay ninguna unidad que elegir
- Segundo punto
- El punto al que mides, con las mismas reglas. Puede estar en cualquier dirección respecto al primero, incluida justo encima, debajo, a la izquierda o a la derecha
- Cateto horizontal
- La primera x restada de la segunda, o sea el paso lateral de un punto al otro. Un valor negativo significa que el segundo punto queda a la izquierda del primero, y es el mismo número que un cálculo de pendiente usaría como avance horizontal
- Cateto vertical
- La primera y restada de la segunda, el paso hacia arriba entre los puntos. Un valor negativo significa que el segundo punto está más abajo. Junto con el cateto horizontal forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la distancia
- Distancia
- La raíz cuadrada de los dos catetos al cuadrado y sumados. Nunca es negativa, solo vale cero cuando los dos puntos coinciden, y como casi siempre es una raíz cuadrada se redondea a cuatro decimales
Úsala siempre que tengas dos puntos y quieras el hueco entre ellos sin que importe hacia dónde va. A qué distancia están dos referencias de un mapa, cuánto medirá una valla entre dos postes, cuánto cable hace falta para cruzar una sala en diagonal, a qué distancia está una entrega de un almacén cuando el recorrido es una línea recta y no una carretera. Es también la comprobación a la que recurrir cuando un cálculo más largo ha salido mal: dos resultados cualesquiera que se puedan situar en un plano se pueden medir entre sí, y una distancia que sale desviada en un orden de magnitud es un error de signo en algún paso anterior. Los dos catetos se ganan su sitio en otro tipo de trabajos. Si necesitas saber cuánto del hueco es lateral y cuánto es vertical, ellos lo responden directamente, y lo responden con signo, así que informan de la dirección además del tamaño. Eso es exactamente lo que hace falta antes de calcular una pendiente, un ángulo o un rumbo: la página de distancia no te dará ninguno de los tres, pero te entrega los dos números sobre los que se construyen. Una costumbre que merece la pena: eleva los dos catetos al cuadrado de cabeza antes de leer la respuesta. Nueve más dieciséis son veinticinco, así que una distancia de 5 es correcta, y una distancia de 50 significaría una coma mal puesta y no un resultado sorprendente.
Ejemplos resueltos
Tres a lo ancho y cuatro hacia arriba
- Cateto horizontal: 3 - 0 = 3
- Cateto vertical: 4 - 0 = 4
- Se elevan al cuadrado: 9 y 16
- Se suman y se saca la raíz: √25 = 5
El par con el que carga la página, y el triángulo rectángulo más pequeño cuyos tres lados son números enteros. Hay dos cosas que merece la pena observar. Los dos catetos son los números que escribiste, lo cual solo ocurre cuando uno de los puntos es el origen, y la distancia es exacta en vez de una raíz redondeada, lo cual es raro en esta página. Usa esta entrada como calibración: si aquí devuelve 5, la aritmética está bien y cualquier respuesta rara de otro sitio es una propiedad de la entrada y no un fallo.
Una diagonal en la que la distancia es una raíz redondeada
- Cateto horizontal: 5 - 1 = 4
- Cateto vertical: 8 - 2 = 6
- Se elevan al cuadrado: 16 y 36
- Se suman: 52, y se saca la raíz, que es 7,21110255… y se redondea a 7,2111
El caso corriente en lugar del limpio. Cincuenta y dos no es un cuadrado perfecto, así que la respuesta es irracional y los cuatro dígitos impresos son el principio y no el número entero. Una comprobación útil que no cuesta nada: la distancia tiene que ser mayor que cualquiera de los dos catetos, así que 7,2111 frente a catetos de 4 y 6 es plausible, mientras que una distancia menor que el cateto más largo significaría que la raíz se aplicó a la cantidad equivocada.
Los mismos dos puntos medidos al revés
- Cateto horizontal: 0 - 3 = -3
- Cateto vertical: 0 - 4 = -4
- Se elevan al cuadrado: 9 y 16, porque elevar al cuadrado elimina los signos
- Se suman y se saca la raíz: √25 = 5
El segmento tres cuatro cinco con los extremos intercambiados, y la demostración más clara de dos propiedades a la vez. Los dos catetos salen negativos porque las dos diferencias se miden ahora en el otro sentido, mientras que la distancia no cambia y sigue siendo 5, porque elevarlas al cuadrado se lleva los signos por delante antes de que puedan hacer daño. Esa es toda la razón de que la distancia sea siempre positiva: es una longitud, y la dirección en la que se midió nunca entra en la cuenta.
Una distancia medida en millones
- Cateto horizontal: 6.000.000 - 0 = 6.000.000
- Cateto vertical: 8.000.000 - 0 = 8.000.000
- Se elevan al cuadrado y se suman: 3,6 × 10¹³ más 6,4 × 10¹³ son 10¹⁴
- Se saca la raíz: 10.000.000
El triángulo tres cuatro cinco multiplicado por dos millones, que es lo que pasa cuando las mismas coordenadas se usan para una rejilla cartográfica proyectada en metros en vez de para un gráfico sobre papel. Nada en la página cambia con el tamaño de los números: los dos catetos son tan exactos como las entradas y la distancia sale entera, y esta fila está aquí para dejarlo claro, porque un lector que espere que unas coordenadas grandes introduzcan redondeo sospechará de una respuesta exacta.
Dos puntos que son el mismo punto
- Cateto horizontal: 2,5 - 2,5 = 0
- Cateto vertical: (-1,5) - (-1,5) = 0
- Se elevan al cuadrado: 0 y 0
- Se suman y se saca la raíz: √0 = 0
Una distancia de cero es la respuesta correcta para un punto consigo mismo, y es la única entrada que puede producir una, porque la suma de dos cuadrados solo vale cero cuando los dos cuadrados valen cero. La página no lo tratará como un resultado vacío. Merece la pena verlo una vez para que un cero en la primera columna no se lea como un campo que no se rellenó.
Limitaciones
La página mide en un plano y solo en un plano. No hay casilla para una tercera coordenada, así que una distancia entre dos puntos del espacio queda fuera de su alcance: haría falta también la diferencia en el tercer eje, y esta página no tiene dónde ponerla. Se consideró una versión con campos z opcionales y se descartó, porque un punto con z y otro sin ella no tiene respuesta sensata y las dos páginas vecinas de coordenadas habrían tenido que crecer con los mismos campos para seguir siendo coherentes. Las coordenadas no llevan unidad, así que la respuesta va en lo que hayas medido, y la página no puede detectar un par mezclado: si un punto está en metros y el otro en milímetros, la aritmética funcionará tan contenta y devolverá un número equivocado, y nada en la página lo dirá. Los dos catetos son diferencias dirigidas y no distancias, así que un cateto que salga negativo es correcto y no un error que haya que arreglar. La distancia en sí se redondea a cuatro decimales y casi siempre es irracional, así que el valor impreso es dónde se acaban los dígitos y no la respuesta entera. Las coordenadas están limitadas a más menos mil millones, que está muy por encima de cualquier gráfico pero bien dentro del rango de algunos sistemas de coordenadas proyectadas medidos en metros, y la página los rechazará en vez de calcularlos. Por último, esto es una distancia en línea recta y no un recorrido: si hay que seguir carreteras, muros o una costa, el número de aquí es el camino más corto posible y siempre será menor que el que puedas recorrer de verdad.
Preguntas frecuentes
- ¿Cuál es la fórmula de la distancia entre dos puntos?
- Es el teorema de Pitágoras con coordenadas dentro. Toma la diferencia entre los dos valores de x y la diferencia entre los dos de y, eleva cada una al cuadrado, súmalas y saca la raíz cuadrada. Esas dos diferencias son los catetos de un triángulo rectángulo y la distancia es su hipotenusa, así que la fórmula no es una regla aparte que memorizar: es la regla del triángulo aplicada a los pasos entre los puntos. Para (0, 0) y (3, 4) eso es √(9 + 16), que da 5.
- ¿Por qué los dos catetos salen negativos a veces?
- Porque son pasos dirigidos y no huecos, y un paso tiene dirección. El cateto horizontal es la primera x restada de la segunda, así que es negativo exactamente cuando el segundo punto queda a la izquierda del primero; el vertical es negativo cuando el segundo está más abajo. La página conserva el signo a propósito. Es lo único que dice hacia qué lado cae el segundo punto, es lo que necesita después un cálculo de pendiente o de rumbo, y la distancia ignora los signos por completo porque elevarlos al cuadrado se los lleva.
- ¿Sirve para puntos en tres dimensiones?
- No, y la página no finge lo contrario: no hay una tercera casilla de coordenada que rellenar. Una distancia tridimensional necesita también la diferencia en el tercer eje, sumada a la de los cuadrados antes de sacar la raíz, y con solo dos coordenadas la página tendría que suponer un valor para la tercera. Si tus puntos están en el espacio, puedes calcular con esta página la distancia en el plano y combinar después el desnivel tú, pero la página no dará ese paso.
- ¿Las coordenadas van en metros, en centímetros o en qué?
- En lo que tú digas. La página las trata como números corrientes, no le pone unidad a la respuesta y no ofrece ningún desplegable para elegirla, y eso es deliberado: un par de coordenadas de un gráfico o de una rejilla cartográfica no trae unidad hasta que decides en qué se dibujó la rejilla. Si tus números son metros, la distancia es metros; si son grados de longitud, la distancia son grados, y eso último no se puede pasar a kilómetros sin saber en qué punto del globo estás.
- ¿Puede la distancia ser negativa o cero?
- Negativa no puede ser, porque elevar los catetos al cuadrado elimina cualquier signo antes de sumarlos y la raíz cuadrada de un número no negativo nunca es negativa. Vale cero solo cuando los dos catetos son cero, lo cual significa que los dos puntos son el mismo: una respuesta legítima y no un cálculo fallido. Cualquier otro par de puntos distintos da una distancia positiva, por muy juntos que estén.
- ¿Cómo compruebo la respuesta sin calculadora?
- Eleva los dos catetos al cuadrado, súmalos y pregúntate qué número elevado al cuadrado da ese total. Cuatro y seis dan 16 más 36, que es 52, y 7,2111 al cuadrado se acerca a 52, así que la respuesta está en la región correcta aunque 52 no sea un cuadrado perfecto. Hay dos propiedades que hacen la comprobación rápida: la distancia siempre es mayor que cualquiera de los catetos, porque la hipotenusa de un triángulo rectángulo es su lado más largo, y siempre es menor que la suma de los dos catetos. Cualquier cosa fuera de esos límites está mal.
Referencias
- Distance — the distance between two points in the plane, given as the square root of the sum of the squared coordinate differences, which is the formula this page evaluates — Wolfram MathWorld (United States)
- Cartesian coordinates — the coordinate system in which a point is named by its perpendicular distances from a pair of axes, and the setting in which the two legs here are horizontal and vertical — Wolfram MathWorld (United States)
- Pythagorean theorem — the relation between the legs of a right triangle and its hypotenuse, which is what the distance formula is, since the two coordinate differences are the legs and the distance is the hypotenuse — Wolfram MathWorld (United States)