Calculadora de punto medio

Punto medio x = (x₁ + x₂) ÷ 2 Punto medio y = (y₁ + y₂) ÷ 2 Semilongitud = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) ÷ 2

First endpoint

Uno de los dos extremos del segmento, con una x y una y. Los dos extremos son intercambiables: da igual cuál escribas primero, porque el punto medio no cambia al cambiar el orden. Puede ser negativo sin ningún problema

Second endpoint

El otro extremo, con las mismas reglas. Ninguno de los dos tiene que ser mayor que el otro, así que la segunda x puede ser menor que la primera y cualquiera de las cuatro coordenadas puede llevar signo menos

Midpoint

Los dos promedios, uno por eje, cada uno redondeado a cuatro decimales. Es la respuesta, y siempre cae entre los dos extremos: un punto medio que quede fuera de ellos significa que se perdió un signo por el camino

Half-length

La distancia del punto medio a cualquiera de los dos extremos, calculada a partir de las coordenadas y no del punto medio ya redondeado. Vale lo mismo por los dos lados, y esa igualdad es la comprobación que justifica la fila

Four decimal places

La anchura con la que se escribe cada número de la página, no una afirmación sobre la precisión. Las coordenadas se imprimen con sus ceros finales, y la semilongitud es muchas veces una raíz cuadrada que no termina, así que los cuatro decimales son el punto donde se corta

Recurre al punto medio cuando algo tiene que quedar repartido por igual entre dos cosas que puedes nombrar. A mitad de camino entre dos pueblos en un mapa, el centro de un diámetro, el punto donde un topógrafo clava una estaca, la mitad de una pared en la que vas a colgar algo, el punto de equilibrio entre dos figuras de un gráfico. En todos esos casos tienes los dos extremos y quieres lo que queda entre ellos, y promediar cada coordenada lo resuelve. Es también la forma más rápida de sacar el centro de una circunferencia cuando conoces dos puntos opuestos de ella, porque el centro de una circunferencia es el punto medio de cualquier diámetro. La otra mitad de la página es la que se olvida usar. El punto medio no es solo un par de números que sale de una regla: es un punto que está a la misma distancia de los dos extremos, y la semilongitud te permite confirmarlo en el momento. Si mediste el segmento con una regla ya sabes la longitud total, y su mitad tiene que coincidir con lo que imprime la página. Cuando no coincide, lo que está mal es la entrada y no la respuesta, y la causa más frecuente es un signo: la diferencia entre una y de menos 7 y una y de 7 es catorce y no cero, y un signo menos que se pierde en el segundo extremo desplaza toda la respuesta hacia arriba o hacia abajo sin que nada más se vea raro.

1. El segmento con el que carga la página, de uno a cinco y de dos a ocho

   1. Se promedian las x: (1 + 5) ÷ 2 = 3
   2. Se promedian las y: (2 + 8) ÷ 2 = 5
   3. El punto medio es (3, 5)
   4. Semilongitud: la diferencia en x es 4 y la diferencia en y es 6, así que la longitud total es √(16 + 36) = √52 = 7,2111 y su mitad es 3,6056

   El par que aparece al cargar la página, y uno bueno para comprobar a ojo. Los dos promedios son números enteros, así que las dos coordenadas son exactas, mientras que la semilongitud es una raíz cuadrada y por tanto va redondeada: es una buena muestra de lo que hace la página en conjunto. Ir de (1, 2) a (5, 8) son cuatro pasos a lo ancho y seis hacia arriba; el punto medio queda a dos de ancho y tres hacia arriba del primer extremo, que es lo que dice (3, 5), y la semilongitud de 3,6056 es la diagonal de ese paso de dos por tres.

2. El segmento de tres, cuatro y cinco, donde todo sale exacto

   1. Se promedian las x: (0 + 3) ÷ 2 = 1,5
   2. Se promedian las y: (0 + 4) ÷ 2 = 2
   3. El punto medio es (1,5, 2)
   4. La diferencia en x es 3 y la diferencia en y es 4, así que la longitud total es √(9 + 16) = 5 y la semilongitud es 2,5

   El triángulo de tres, cuatro y cinco aparece por todo este lote porque es el triángulo rectángulo más pequeño con los tres lados enteros, y aquí compensa dos veces: la longitud total es exactamente 5 y la semilongitud exactamente 2,5, así que no hay nada redondeado en la página. Sirve de calibración cuando dudas si una respuesta sorprendente es un efecto del redondeo, porque con esta entrada no puede serlo. Fíjate además en el cero final escrito de otra forma: la coordenada x es 1,5 y se imprime como 1,5000, que es el contrato de cuatro decimales y no la afirmación de que el resultado se conozca hasta la cuarta cifra.

3. Dos extremos en lados opuestos del origen

   1. Se promedian las x: (4 + (−4)) ÷ 2 = 0
   2. Se promedian las y: ((−7) + 7) ÷ 2 = 0
   3. El punto medio es el origen, (0, 0)
   4. La diferencia en x es −8 y la diferencia en y es 14, así que la longitud es √(64 + 196) = √260 = 16,1245 y su mitad es 8,0623

   Un punto medio de cero es una respuesta de verdad, no una casilla vacía. El par de esta fila es simétrico respecto al origen, así que el origen queda exactamente a la mitad entre los dos extremos y las dos coordenadas vuelven como 0,0000. Ese mismo cero se ve en la página con cualquier segmento cuyos extremos sean simétricos, que son una familia muy grande y no una curiosidad. Fíjate también en el manejo de los signos en las diferencias: restar una coordenada negativa suma, así que la diferencia en y es 14 aunque las dos y valgan 7 y menos 7.

4. Un punto medio entero a partir de extremos que no lo parecen

   1. Se promedian las x: ((−3) + 7) ÷ 2 = 2
   2. Se promedian las y: (4 + (−2)) ÷ 2 = 1
   3. El punto medio es (2, 1)
   4. La diferencia en x es 10 y la diferencia en y es −6, así que la longitud es √(100 + 36) = √136 = 11,6619 y su mitad es 5,831

   Aquí las dos diferencias son pares, y por eso un par de coordenadas que parecen incómodas promedian números enteros. Diez a lo ancho y seis hacia abajo dan una semilongitud de 5,831, una raíz que no termina nunca, así que este es también el caso que deja ver el corte de cuatro decimales haciendo su trabajo. Si quieres comprobar la fila a mano, eleva al cuadrado la semilongitud impresa: 5,831 al cuadrado son 34,0 y 5,8309 al cuadrado son 33,999, lo bastante cerca del 34 exacto como para ser la mejor confirmación que dan cuatro dígitos.

5. Dos extremos que son el mismo punto

   1. Se promedian las x: (2,5 + 2,5) ÷ 2 = 2,5
   2. Se promedian las y: ((−1,5) + (−1,5)) ÷ 2 = −1,5
   3. El punto medio es el punto del que partiste
   4. Las dos diferencias son cero, así que la longitud es 0 y la semilongitud es 0

   Un segmento de longitud cero, que la página responde con honestidad: el punto medio de un punto consigo mismo es ese mismo punto y la semilongitud es cero. Es el único tipo de entrada que puede hacer que la tercera fila imprima 0, porque una semilongitud de cero exige que los dos extremos coincidan. Merece la pena verlo una vez para que una página que muestra tres números con uno de ellos a cero no se lea como un valor que falta: aquí no ha fallado ningún cálculo.

La página devuelve el punto medio del segmento que le describas y nada más sobre él. No te da la recta que pasa por los dos puntos, así que no te dirá la pendiente, los cortes con los ejes ni la ecuación de esa recta, y tampoco te da la longitud completa del segmento: la tercera fila es su mitad, así que multiplica por dos la semilongitud si lo que querías era la longitud entera. Las coordenadas no llevan unidad y ninguna salida lleva unidad tampoco. Si tus puntos están en pies, las respuestas están en pies; si son cuadros de una cuadrícula, las respuestas son cuadros de cuadrícula, pero la página no convierte entre nada ni te avisará si mezclas metros con milímetros entre los dos extremos. Ese es el riesgo real de una página sin unidades: no puede ver que (1, 2) y (5000, 8000) son probablemente el mismo segmento escrito en dos unidades distintas, y el punto medio que devuelva estará sencillamente equivocado por un factor. Las coordenadas están limitadas a más menos mil millones. El límite existe por razones aritméticas y no matemáticas, y el mensaje de error dirá qué casilla lo rompió, pero sí significa que la página no sirve para coordenadas a la escala de un levantamiento continental ni de una órbita de satélite expresada en metros. Por último, la semilongitud va redondeada a cuatro decimales y es muchas veces un número irracional, así que para la mayoría de las entradas es una aproximación; la multiplicación por dos de una comprobación a mano heredará ese redondeo, y por eso una semilongitud doblada puede diferir de la longitud completa en el último dígito o en los dos últimos.

¿Cuál es la fórmula del punto medio?

Se promedia cada coordenada por separado. La x del punto medio es la suma de las dos x dividida entre dos, y la y del punto medio es la suma de las dos y dividida entre dos, y por eso la respuesta cae siempre entre los dos extremos, eje a eje, y no en otro lugar del plano. Para los extremos (1, 2) y (5, 8) eso da 3 y 5, porque 1 y 5 promedian 3 mientras que 2 y 8 promedian 5. No hay ninguna segunda regla escondida detrás: si sabes promediar dos números, sabes sacar un punto medio.

¿Por qué la página imprime un tercer número además de las dos coordenadas?

Porque dos coordenadas no se pueden comprobar y una semilongitud sí. Todo punto tiene coordenadas, así que un punto medio equivocado sigue siendo un par de números que parece razonable y no lleva nada que lo delate. La semilongitud es la distancia del punto medio a cualquiera de los dos extremos, y por definición esas dos distancias son iguales, así que compararla con la mitad de la longitud que hayas medido es una comprobación que pasa o falla en el momento. Muchas veces es además el número que querías: la distancia del centro de una cosa hasta su borde.

¿Las coordenadas llevan unidades?

No, y la respuesta tampoco. La página trata tus números como coordenadas corrientes, y es deliberado: un plano cartesiano no tiene unidad propia, y una calculadora que te obligara a elegir centímetros o pulgadas antes de poder escribir una lectura de un gráfico estaría inventando una unidad que nunca tuviste. Si tus puntos vienen de un mapa en metros, lee la salida en metros; si son longitud y latitud, lee la semilongitud en grados, que no es una distancia en kilómetros y no se puede convertir en una sin saber en qué parte del globo estás.

¿Puede el punto medio quedar fuera del segmento?

No, y eso es útil saberlo al comprobar una respuesta. El punto medio de dos números es su promedio, y un promedio nunca queda fuera del intervalo de los números de los que sale, así que el punto medio de un segmento está siempre entre sus dos extremos, y solo cae en uno de ellos cuando los dos extremos coinciden. Si la página devuelve un punto que no está entre tus dos extremos, lo que está mal son las entradas y no la aritmética. La causa habitual es un signo menos que se perdió.

¿Qué pasa si los dos extremos son el mismo punto?

Recuperas ese punto y una semilongitud de cero, que es la respuesta correcta y no un error. Un punto consigo mismo define un segmento de longitud cero, y el punto medio de ese segmento es el propio punto. Es la única entrada capaz de producir un cero en la tercera fila, porque una semilongitud de cero exige que las dos diferencias se anulen. La página no se quejará, porque no hay nada de lo que quejarse.

¿Cuántos decimales tiene la respuesta?

Cuatro, y los ceros finales se imprimen en lugar de eliminarse, así que el punto medio de (1, 2) y (5, 8) se lee como 3,0000 y 5,0000. Esos ceros hablan de la anchura de la presentación y no de la certeza: la coordenada es exactamente 3, y la página la escribe así para que la columna de números quede alineada. La que suele ser aproximada es la semilongitud, porque en la mayoría de las entradas es una raíz cuadrada, y los cuatro decimales son el punto donde la página deja de escribirla.

¿Sale el mismo punto medio si intercambio los dos extremos?

Sí. La suma no depende del orden, así que el promedio de 1 y 5 es el mismo que el de 5 y 1, y lo mismo vale para las otras dos coordenadas. Lo único que cambia al intercambiar los extremos es el signo de las dos diferencias que se usan para la semilongitud, y como esas diferencias se elevan al cuadrado antes de sumarse, la semilongitud sale igual también. Puedes intercambiar los pares con libertad: nada en la página depende de cuál de los dos extremos llamaste primero.

• Midpoint — the point on a line segment equidistant from both endpoints, with the coordinate formula for it and the property that the midpoint of a diameter is the centre of a circle — Wolfram MathWorld (United States)
• Line segment — the part of a line bounded by two endpoints, and the object whose midpoint this page returns — Wolfram MathWorld (United States)
• Point — the coordinate pair this page takes in and gives back, and the reason a coordinate-plane problem carries no unit unless the axes were drawn with one — Wolfram MathWorld (United States)
• El Sistema Internacional de Unidades (SI) — the reference for the length and area units in which the side and the results of this page are expressed — Centro Español de Metrología (España)