Calculadora de punto extremo
Resultado
Coordenada x del otro extremo
- Coordenada y del otro extremo
- 8,0000
- Distancia del punto medio a cada extremo
- 3,6056
La calculadora de punto extremo resuelve el problema inverso del punto medio: en lugar de darte el punto que queda en medio de otros dos, te da el extremo que falta. Le escribes el punto medio de un segmento y uno de sus dos extremos, y devuelve dónde está el otro. La cuenta es una simetría y no una media. El punto medio está exactamente a la misma distancia de los dos extremos y en la misma dirección desde cada uno, así que el extremo que buscas es el reflejo del conocido respecto al punto medio: se dobla la coordenada del punto medio y se le resta la del extremo conocido, una vez por cada eje. Si el punto medio está en (3, 5) y el extremo conocido en (1, 2), el otro extremo está en (5, 8). Conviene fijarse en que la resta va en ese orden. El error más común de esta página es restar el punto medio del extremo conocido en vez de al contrario, y el resultado es un punto que está al otro lado del conocido pero no al otro lado del punto medio, es decir una respuesta que no cumple la condición que se pedía. La comprobación es rápida y merece la pena hacerla siempre: el punto medio de los dos extremos que acabas de obtener tiene que ser el punto medio con el que empezaste. La página devuelve además la semilongitud, que es la distancia del extremo conocido al punto medio, o sea la mitad de la longitud total del segmento. Esa cifra hace dos trabajos. Por un lado permite comprobar la respuesta sin volver a calcular nada, porque la distancia entre el otro extremo y el punto medio tiene que dar exactamente lo mismo. Por otro lado es la longitud que hace falta cuando el segmento se va a usar para algo, ya que al partir de un punto medio el dato de la longitud total nunca se tuvo. Hay una comprobación que se puede hacer a ojo y que conviene conocer: si los dos extremos conocidos son el mismo punto, el punto medio también lo es y la semilongitud vale cero. Y si el extremo conocido está alineado horizontal o verticalmente con el punto medio, el otro también lo estará, y una sola coordenada cambiará.
Extremos que aparecen a menudo
| Punto medio x | Punto medio y | Extremo conocido x | Extremo conocido y | Otro extremo x | Otro extremo y | Semilongitud |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 5 | 1 | 2 | 5 | 8 | 3.6056 |
| 0 | 0 | 3 | 4 | -3 | -4 | 5 |
| -2 | 1 | 4 | -3 | -8 | 5 | 7.2111 |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1000000 | 0 | 0 | 0 | 2000000 | 0 | 1000000 |
| 5 | 5 | 5 | -5 | 5 | 15 | 10 |
| -1.5 | 2.5 | 3.5 | -0.5 | -6.5 | 5.5 | 5.831 |
Cinco columnas de datos y dos de resultado, con la semilongitud al final para poder comprobar de un vistazo. La primera fila es la entrada con la que carga la página: punto medio en (3, 5) y extremo conocido en (1, 2), que devuelve (5, 8) y una semilongitud de 3,6056; el extremo que falta está dos unidades a la derecha y tres por encima del punto medio, justo el desplazamiento contrario al del conocido. La segunda fila tiene el punto medio en el origen, y ahí la operación se reduce a cambiar los dos signos, que es lo que hace la simetría central. La tercera lleva el punto medio a (-2, 1) con signos dobles en las restas, que es el caso donde se falla. La cuarta es el segmento de longitud cero, con el extremo conocido encima del punto medio, y sirve para reconocer un cero en la última columna como respuesta legítima. La quinta trabaja con coordenadas de siete cifras sobre el eje horizontal, con la segunda coordenada en cero en todos los puntos, y deja ver que cada eje se trata por separado y que un número grande no introduce redondeo porque en el camino no hay ninguna división.
Fórmula
Otro extremo x = 2 × (punto medio x) − (extremo conocido x) Otro extremo y = 2 × (punto medio y) − (extremo conocido y) Semilongitud = √((conocido x − medio x)² + (conocido y − medio y)²)
- Punto medio
- El centro del segmento, en dos coordenadas. Es el punto respecto al cual se refleja el extremo conocido para obtener el que falta, y por eso la fórmula lo multiplica por dos: el punto medio está tan lejos del extremo conocido como del otro, así que el doble del medio menos el conocido cae simétricamente al otro lado
- Extremo conocido
- El extremo del segmento que sí tienes, con sus dos coordenadas. Puede estar en cualquier dirección respecto al punto medio, y admite valores negativos y decimales. Es el número que se resta, y el orden de la resta importa: si se resta al revés, el resultado queda al otro lado del extremo conocido y no del punto medio
- Otro extremo
- El resultado, un punto con dos coordenadas, simétrico del conocido respecto al punto medio. La distancia entre este punto y el punto medio es exactamente la misma que entre el punto medio y el conocido, y los tres puntos están siempre alineados sobre una misma recta
- Semilongitud
- La distancia del extremo conocido al punto medio, que es la mitad de la longitud del segmento completo. Se calcula con la fórmula de la distancia entre dos puntos y es la cifra que permite comprobar la respuesta sin volver a hacer las cuentas de simetría, porque distancias iguales desde el punto medio es justo lo que define a los dos extremos
- Cuatro decimales
- La precisión de la semilongitud y de la respuesta. Las coordenadas del otro extremo se imprimen enteras siempre que el punto medio y el extremo conocido lo sean, porque la fórmula solo dobla y resta y no introduce ninguna división ni ninguna raíz. La semilongitud casi siempre lleva raíz cuadrada, así que se recorta a cuatro decimales
Se usa siempre que el punto medio sea el dato que se tiene y el extremo sea lo que falta. En topografía y en obra civil es corriente que se replanteen los puntos medios de un tramo antes que sus extremos, porque es más fácil medir desde una referencia central; cuando después hace falta clavar el último jalón, la cuenta es esta. En dibujo y en diseño ocurre lo mismo al revés: si se ha dibujado un elemento a partir de su centro y hay que situar un borde que cuelga de él, el borde que falta sale de aquí. Sirve también para duplicar una figura por simetría central sin tener que medir la distancia a mano, porque el resultado es exactamente el punto reflejado. Y es la herramienta que hay que tener a mano cuando dos puntos deben estar a la misma distancia de un tercero: con el punto medio y uno de ellos, la página da el otro, y esa es una forma rápida de construir polígonos regulares y de repartir longitudes iguales a lo largo de una recta. Si lo que se conoce son los dos extremos y lo que falta es el punto medio, la operación es la contraria y esta página no la hace: hay que ir a la calculadora que promedia las coordenadas, que es el mismo problema resuelto al revés.
Ejemplos resueltos
El punto que falta a partir del medio
- Coordenada x: 2 × 3 - 1 = 5
- Coordenada y: 2 × 5 - 2 = 8
- El otro extremo está en (5, 8)
- Comprobación: el punto medio de (1, 2) y (5, 8) es (3, 5), el dato de partida
- Semilongitud: √((1 - 3)² + (2 - 5)²) = √(4 + 9) = √13 = 3,6056
La entrada con la que carga la página, y la que deja ver la estructura del problema: el extremo conocido está dos unidades a la izquierda y tres por debajo del punto medio, así que el que falta está dos a la derecha y tres por encima, o sea en (5, 8). Ese desplazamiento y su opuesto son toda la operación, y por eso la comprobación es tan barata: promediar los dos extremos tiene que devolver el punto medio del enunciado, y sin ese paso un error de orden en la resta pasa desapercibido. La semilongitud de 3,6056 es la raíz de trece, el número que no se puede simplificar.
El origen como punto medio
- Coordenada x: 2 × 0 - 3 = -3
- Coordenada y: 2 × 0 - 4 = -4
- El otro extremo está en (-3, -4)
- Semilongitud: √(9 + 16) = √25 = 5
Con el punto medio en el origen la operación se reduce a cambiar los dos signos, que es lo que hace la simetría central respecto al origen. Sale el triángulo 3-4-5 otra vez, y con las dos coordenadas negativas, así que la página admite signos negativos sin ninguna queja. Si la respuesta hubiera salido (3, 4) en lugar de (-3, -4) sería la señal de que la resta se hizo al revés: el otro extremo nunca puede coincidir con el conocido cuando el punto medio no está encima de él.
El punto medio fuera del primer cuadrante
- Coordenada x: 2 × (-2) - 4 = -4 - 4 = -8
- Coordenada y: 2 × 1 - (-3) = 2 + 3 = 5
- El otro extremo está en (-8, 5)
- Semilongitud: √((4 + 2)² + (-3 - 1)²) = √(36 + 16) = √52 = 7,2111
La misma raíz de 52 que aparece en la calculadora de distancia entre (1, 2) y (5, 8), porque es el mismo segmento medido desde el otro lado: si el punto medio es (-2, 1) y un extremo es (4, -3), el otro cae en (-8, 5) y el segmento entero mide 14,4222. Las dos restas tienen signos dobles y por eso están escritas paso a paso, que es donde se falla: restar un número negativo suma, y equivocarse ahí manda el punto al lado contrario del plano sin que ninguna cifra chirríe.
El extremo conocido coincide con el punto medio
- Coordenada x: 2 × 2 - 2 = 2
- Coordenada y: 2 × 2 - 2 = 2
- El otro extremo está en (2, 2), el mismo punto
- Semilongitud: √(0 + 0) = 0
Un segmento de longitud cero, que es lo que hay cuando los dos extremos y el punto medio son el mismo sitio. La simetría respecto a un punto que es el propio punto deja todo donde estaba, así que la fórmula devuelve el mismo par de coordenadas que se escribió y la semilongitud vale cero. Es un resultado legítimo y no un cálculo fallido, y conviene verlo una vez para no confundir un cero en la primera columna con un campo que se dejó en blanco.
Coordenadas de siete cifras
- Coordenada x: 2 × 1.000.000 - 0 = 2.000.000
- Coordenada y: 2 × 0 - 0 = 0
- El otro extremo está en (2.000.000, 0), sobre el eje x como el conocido
- Semilongitud: √(1.000.000² + 0) = 1.000.000
El extremo conocido en el origen y el punto medio un millón a la derecha, así que el otro extremo está a dos millones, exactamente al doble de distancia en la misma dirección. Un segmento que discurre entero sobre el eje horizontal, con la segunda coordenada en cero en los tres puntos, que es la comprobación de que la fórmula trata cada eje por separado y no los mezcla. Números de este tamaño son corrientes en coordenadas proyectadas medidas en metros, y la página no pierde exactitud con ellos porque no hay ninguna división en el camino.
Limitaciones
La página resuelve una sola dirección del problema: dado el punto medio y un extremo, da el otro. Si lo que tienes son los dos extremos y lo que quieres es el punto medio, hay que promediarlos, y eso no se hace aquí. Los dos puntos viven en el plano y solo en el plano, así que una tercera coordenada no tiene dónde escribirse y un segmento en el espacio queda fuera de su alcance. Las coordenadas no llevan unidad y la página no ofrece ninguna casilla para elegirla, así que la semilongitud sale en lo que midan las entradas y una mezcla de unidades entre el punto medio y el extremo conocido dará un número equivocado sin que nada lo señale. No hay ninguna comprobación de que los tres puntos sean distintos: si el extremo conocido coincide con el punto medio, la respuesta correcta es el mismo punto otra vez y la página la da, y si lo que se busca es un segmento de verdad habrá que mirar el resultado y decidir. La única salida redondeada es la semilongitud, que se recorta a cuatro decimales y casi siempre es irracional; las coordenadas del otro extremo son exactas mientras los datos lo sean, y llevan decimales exactos en cuanto alguno de los datos los tenga. Por último, la página no dibuja nada ni comprueba que la respuesta tenga sentido geométrico para lo que estés haciendo: si el punto que devuelve cae fuera de la zona que te interesa, eso es una propiedad de los datos de entrada y no un error del cálculo.
Preguntas frecuentes
- ¿Cómo se halla el otro extremo si se conoce el punto medio?
- Se dobla la coordenada del punto medio y se le resta la del extremo conocido, una vez por cada eje. Con el punto medio en (3, 5) y un extremo en (1, 2), la x es 2 × 3 menos 1, que da 5, y la y es 2 × 5 menos 2, que da 8, así que el otro extremo está en (5, 8). La razón es que el punto medio está a la misma distancia de los dos extremos, así que cada extremo es el reflejo del otro respecto a él, y restar es lo que invierte ese desplazamiento.
- ¿Por qué hay que restar en ese orden y no al contrario?
- Porque la fórmula refleja respecto al punto medio y no respecto al extremo conocido. Al doblar el punto medio se obtiene un punto que está al doble de distancia del origen en esa dirección, y restarle el extremo conocido deja justo el simétrico. Si se resta al revés, el resultado queda al otro lado del extremo conocido, que no es lo que se pide, y el número que sale puede ser perfectamente razonable a la vista, así que el error no se nota. La comprobación que lo detecta es promediar el resultado con el extremo conocido: tiene que devolver el punto medio del enunciado.
- ¿Qué es la semilongitud y para qué sirve?
- Es la distancia del extremo conocido al punto medio, o sea la mitad de la longitud total del segmento. Se calcula con la fórmula de la distancia entre dos puntos. Sirve para dos cosas: comprobar la respuesta, porque la distancia del otro extremo al punto medio tiene que dar exactamente lo mismo, y conocer el tamaño del segmento, que es un dato que no se tenía al partir solo de un punto medio y de un extremo. Para la longitud completa basta con multiplicarla por dos.
- ¿Puedo usarla si tengo los dos extremos y quiero el punto medio?
- No, porque esta página hace la operación contraria. El punto medio de dos extremos conocidos se obtiene promediándolos, es decir sumando las dos coordenadas y dividiendo entre dos, y esa cuenta no se hace aquí. Lo que sí puedes hacer es comprobar con esta página un punto medio que hayas calculado a mano: escribe ese punto medio y uno de los extremos, y si el resultado coincide con el otro extremo, el cálculo era correcto.
- ¿Las coordenadas pueden ser negativas o decimales?
- Sí, las dos cosas, y la fórmula las trata igual que a cualquier otro número. Con el punto medio en (-2, 1) y un extremo en (4, -3), el otro extremo sale en (-8, 5), y la semilongitud de 7,2111. Hay que tener cuidado con los signos en las restas, que es donde se producen casi todos los errores: restar un número negativo equivale a sumar, y equivocarse ahí manda el punto al lado contrario del plano sin que ninguna cifra resulte extraña por sí sola.
- ¿En qué unidades sale la semilongitud?
- En las mismas que tengan las coordenadas, porque la página no convierte ni pide que se elija una unidad. Si las coordenadas son metros, la semilongitud son metros y el segmento completo son metros. Si están en grados de longitud y latitud, la semilongitud sale en grados, y eso no se puede pasar a kilómetros sin saber en qué punto del globo está el segmento, porque un grado de longitud no mide lo mismo en el ecuador que cerca de los polos.
Referencias
- Midpoint — the point halfway between two others, which is the datum this page starts from and the point about which the missing endpoint is reflected — Wolfram MathWorld (United States)
- Line segment — the object whose two endpoints and midpoint are related here, and the reason the result is exact: doubling and subtracting involves no division and no square root — Wolfram MathWorld (United States)
- Point — the object named by a pair of coordinates in the plane, which is the form in which every input and every result on this page is written — Wolfram MathWorld (United States)