Calculadora de la ley de cosenos

a² = b² + c² − 2bc·cos A cos A = (b² + c² − a²) ÷ 2bc A = arccos((b² + c² − a²) ÷ 2bc)

a, b, c

Los tres lados del triángulo, en la unidad que quieras siempre que los tres usen la misma. El lado a es el que tiene enfrente el ángulo A, y los otros dos siguen el mismo patrón

A

El ángulo que tiene enfrente el lado a, el que recupera esta forma de la ley. Los otros dos ángulos salen de la misma fórmula con las letras giradas

cos A

El coseno de ese ángulo, que es lo que los tres lados te dan directamente. Recuperar el ángulo a partir de él es un paso aparte, y es el paso que deja la lectura entre cero y ciento ochenta grados

2bc

El doble del producto de los dos lados que se juntan en el ángulo. Este es el término de corrección que el teorema de Pitágoras no tiene, y es lo que hace que la ley funcione cuando ningún ángulo es recto

Usa esta página cuando tengas los tres lados de un triángulo y quieras resolver sus tres ángulos: una parcela medida por su perímetro, un soporte cortado a tres longitudes, un triángulo dibujado sobre un mapa en el que puedes medir los lados a pasos pero no visar las esquinas. Es la única de las dos páginas de triángulos que no necesita ningún ángulo para empezar, que es exactamente cuando la ley de los senos no sirve de nada. Es también la manera más rápida de averiguar si tres longitudes pueden formar un triángulo antes de construir nada: escríbelas y o vuelven tres ángulos o vuelve un mensaje que dice qué lado es demasiado largo. Si tienes dos lados y el ángulo entre ellos, esa es la forma lado-ángulo-lado, que pertenece a la página del triángulo rectángulo y llega al mismo teorema desde el otro extremo. Si lo que quieres es el área del triángulo y no sus ángulos, los tres lados son también lo único que necesita la fórmula de Herón. Y si lo que tienes es un lado y dos ángulos, o dos lados y un ángulo que no está entre ellos, la página de la ley de los senos es la que hay que usar.

1. El triángulo de tres, cuatro y cinco, donde un ángulo es exactamente recto

   1. Toma el ángulo que tiene enfrente el lado de longitud 5
   2. Los cuadrados de los otros dos lados suman 9 más 16, que es 25
   3. El término de corrección es el doble de 3 por 4 por el coseno de ese ángulo; igualar la expresión entera a 25 deja el coseno en cero, así que el ángulo es de 90 grados
   4. Los otros dos ángulos salen de la misma fórmula con las letras giradas, y dan 36,87 y 53,13

   Los valores con los que arranca la página y el triángulo que todo lector ha visto antes. Es el caso en el que la ley de los cosenos y el teorema de Pitágoras coinciden: el término de corrección se anula porque el coseno de un ángulo recto es cero, y la fórmula se derrumba de vuelta al teorema. Los dos ángulos agudos son la pareja que enseña por qué se puede confiar en esta página: suman 90 exactos, y el tercer ángulo es un 90 limpio sin nada redondeado.

2. Un triángulo equilátero, donde no se redondea nada

   1. Los tres lados son iguales, así que los tres ángulos también lo son
   2. Los tres ángulos suman 180 grados
   3. 180 partido por 3 es exactamente 60, así que todas las lecturas son 60 sin perder ningún decimal

   Tres lados iguales dan tres ángulos iguales, y como tienen que sumar un ángulo llano cada uno es exactamente sesenta grados: la única fila de la tabla de abajo en la que las tres lecturas son exactas y ninguna es cero. Es también una comprobación útil de la fórmula: el término de corrección aquí es el doble de 5 por 5 por el coseno de sesenta, que es 25, y 25 más 25 menos 25 es 25, que es el cuadrado del tercer lado. La fórmula concuerda consigo misma.

3. Un triángulo obtuso, de lados 2, 3 y 4

   1. Toma el ángulo que tiene enfrente el lado más largo, que es el que puede ser obtuso
   2. Los cuadrados de los otros dos lados suman 4 más 9, que es 13
   3. Resta el cuadrado del lado más largo, 16, y quedan menos 3
   4. Divide por el doble del producto de los otros dos lados, que es 12, lo que da un coseno de menos 0,25
   5. El ángulo cuyo coseno es menos 0,25 es 104,48 grados, y los otros dos salen 28,96 y 46,57

   El ángulo que tiene enfrente el lado más largo es el obtuso, y eso es una regla y no una casualidad: el lado mayor se enfrenta al ángulo mayor, y en cuanto un lado pasa de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los otros dos, el ángulo que se le enfrenta pasa de un ángulo recto. Aquí 4 es mayor que la raíz cuadrada de trece, así que el ángulo que tiene enfrente es de 104,48 grados. Fíjate en cuánto suman las tres lecturas: 180,01, una centésima por encima de un ángulo llano, porque cada una se redondeó por separado. El párrafo de limitaciones de abajo va exactamente sobre esto.

4. Tres lados que apenas encajan, 3, 4 y 7

   1. Tres más cuatro son siete, exactamente la longitud del lado más largo
   2. El término de corrección llega a su extremo y el coseno del ángulo que tiene enfrente el lado más largo sale menos uno
   3. El ángulo cuyo coseno es menos uno es 180 grados, y los otros dos se derrumban a cero

   Siete es exactamente tres más cuatro, así que al triángulo no le queda sitio: los dos lados cortos se tumban a lo largo del más largo y la figura es una recta con las esquinas derrumbadas sobre ella. Esta es la frontera que permite la desigualdad triangular, y se imprime en lugar de rechazarse porque es un límite de verdad: los ángulos van realmente a 0, 0 y 180. Sube cualquiera de los dos lados cortos en cualquier cantidad y aparece un triángulo real, con ángulos positivos que crecen a medida que los lados se separan; bájalo y la página informa de que ningún triángulo tiene esos lados.

Tres límites que conviene decir sin rodeos. Los tres ángulos se calculan de forma independiente a partir de los tres lados y cada uno se redondea a dos decimales, así que a menudo sumarán 180,01 o 179,99 en lugar de un ángulo llano exacto: al triángulo de dos, tres y cuatro le sobra una centésima, como enseña el tercer ejemplo de arriba. La alternativa sería calcular dos ángulos y deducir el tercero por resta, lo que siempre suma exactamente 180, pero rompe la simetría por el otro lado: un triángulo isósceles con dos lados de 3 y una base de 3,3 tiene dos ángulos en la base de 56,63 grados, y ese método los imprimiría como 56,63 y 56,64, porque el tercer ángulo se resta de dos valores que ya venían redondeados. Se juzgó que una centésima de grado de deriva era la mentira más pequeña. Segundo, los lados tienen que cumplir la desigualdad triangular: cada uno de ellos más corto que la suma de los otros dos. Esta página rechaza todo lo que no la cumpla, y acepta el caso frontera en el que un lado es exactamente la suma de los otros dos, que produce un triángulo plano con ángulos de 0, 0 y 180 grados. Tercero, la página no imprime longitudes de lado ni área. Los lados no faltan: son los tres números que escribiste, y el triángulo queda completamente determinado por ellos, así que no hay nada más que informar. Si lo que quieres es el área, esa es otra salida de los mismos tres números.

¿Para qué sirve la ley de los cosenos?

Para los dos trabajos que el teorema de Pitágoras no puede hacer. Primero, cuando tienes los tres lados de un triángulo y quieres sus ángulos, que es lo que hace esta página: el teorema solo produce un ángulo cuando uno de ellos ya es recto, y el término de corrección añadido es lo que hace que funcione en cualquier otro triángulo. Segundo, cuando tienes dos lados y el ángulo entre ellos y quieres el tercer lado: la página del triángulo rectángulo lo usa así. Las dos direcciones son la misma ecuación leída por cualquiera de los dos extremos.

¿Por qué mis tres ángulos suman 180,01 en lugar de 180?

Porque cada ángulo se calcula a partir de los tres lados por su cuenta y luego se redondea a dos decimales, y tres redondeos separados no tienen por qué cancelarse. No es un fallo y no significa que el triángulo sea imposible; significa que cada lectura impresa está dentro de una centésima de grado del ángulo verdadero. La alternativa, calcular dos ángulos y sacar el tercero restándolos de 180, siempre suma exacto, pero redondea dos ángulos y luego los resta, así que un triángulo isósceles con dos ángulos en la base de 56,63 grados sale como 56,63 y 56,64, que es una mentira peor en la otra dirección.

¿Tres longitudes cualesquiera forman un triángulo?

No. Cada lado tiene que ser más corto que los otros dos juntos, que es la desigualdad triangular: la ruta más corta entre dos esquinas es el lado que las une directamente, así que ir dando un rodeo por la tercera esquina no puede ser más corto. Si un lado es más largo que la suma de los otros dos, esta página rechaza la entrada en lugar de devolver un ángulo imposible. Si es exactamente igual, el triángulo es plano y los ángulos salen 0, 0 y 180, cosa que la página acepta porque es una frontera real y no un error.

¿Por qué esta página da tres ángulos y ninguna longitud de lado?

Porque los tres lados son la entrada. Un triángulo con tres lados dados queda completamente determinado —solo puede tener una forma, salvo deslizarlo y girarlo— así que imprimir los lados de vuelta sería repetir lo que acabas de escribir. Lo que la página añade es la parte que no podías ver: dónde están las esquinas, que son los tres ángulos. Esos mismos tres números también dan el área, y esa es otra herramienta.

¿Cómo sé si el triángulo tiene un ángulo obtuso?

Mira el lado más largo. Si su cuadrado es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos, el ángulo que se le enfrenta es obtuso; si los dos son iguales, ese ángulo es exactamente recto; si es menor, los tres ángulos son agudos. El triángulo de 2, 3 y 4 de los ejemplos de arriba es el caso obtuso —dieciséis contra trece— y siempre es el ángulo mayor el que se vuelve obtuso, porque el lado mayor se enfrenta al ángulo mayor.

¿Cuándo uso esta en lugar de la ley de los senos?

Usa esta cuando conozcas los tres lados, o dos lados y el ángulo entre ellos. Usa la ley de los senos cuando conozcas un lado y el ángulo que tiene enfrente junto con un dato más, porque esa es la información que necesita la razón entre lado y seno. El caso en el que las dos páginas se solapan es el de dos lados y un ángulo que no está entre ellos, y ahí la ley de los senos es la herramienta mejor: es también el caso en el que un triángulo puede tener dos formas distintas, cosa que a esta página no le preocupa nunca.

• Law of Cosines — the relation between the three sides of a triangle and the cosine of one of its angles, and its reduction to the Pythagorean theorem — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the triangle inequality, the rule that the largest side faces the largest angle, and the degenerate cases — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the sine, cosine and tangent of an angle, their ranges, and why recovering an angle from a cosine gives a value between zero and one hundred and eighty degrees — Wolfram MathWorld (United States)
• The Law of Cosines — the theorem worked through from first principles, with the side-angle-side and three-sides cases shown separately — Math is Fun (United Kingdom)