Calculadora de la ley de senos

a ÷ sen A = b ÷ sen B = c ÷ sen C sen B = b · sen A ÷ a C = 180° − A − B c = a · sen C ÷ sen A

a y A

El lado que conoces junto con el ángulo que tiene enfrente. Esa pareja es la que fija la razón para todo el triángulo, y una de las dos tiene que estar presente para poder usar esta ley

b

El segundo lado que conoces. Es el que decide cuántos triángulos permiten los datos, y todo el caso ambiguo depende de cómo sea su longitud comparada con la del lado a

B

El ángulo que tiene enfrente el lado b. Tomar el arcoseno de la razón devuelve siempre el ángulo agudo, entre cero y noventa grados, y cuando el compañero obtuso también cabe dentro de un ángulo llano hay un segundo triángulo que lo usa

C y c

El tercer ángulo y el tercer lado, los dos obtenidos después de fijar B: el ángulo restando los otros dos de un ángulo llano, y el lado a partir de esa misma razón compartida

Usa esta página cuando conozcas dos lados y un ángulo que no está entre ellos —dos rumbos y una distancia de un extremo a otro de una bahía, dos tramos de una poligonal de campo en los que el ángulo está en el extremo lejano— y quieras el resto del triángulo. Es la única forma de ángulos y lados que la ley de los cosenos no puede tomar cómodamente, y es también la única en la que la respuesta puede ser una elección y no una medida, y por eso esta página encabeza con el recuento. Si los datos admiten dos triángulos, mira los ángulos además de los lados antes de decidir en cuál estás: quien levanta un plano visando dos puntos de referencia suele saber si la esquina que tiene delante es aguda u obtusa, y ese solo dato elige el triángulo. Si tienes los tres lados, o dos lados y el ángulo entre ellos, la página de la ley de los cosenos es la herramienta adecuada y no tiene ninguna ambigüedad. Y si lo único que quieres es un lado de un triángulo rectángulo, la página del triángulo rectángulo es más corta que cualquiera de las dos.

1. Dos lados y un ángulo muy abierto, 6, 30 grados y 8

   1. La razón compartida es el lado a partido por el seno del ángulo A, que es 6 partido por 0,5, o 12
   2. El seno del ángulo B es el lado b partido por esa razón, que es 8 partido por 12, o 0,6667
   3. El ángulo cuyo seno es 0,6667 es 41,81 grados, y su suplementario de 138,19 grados tiene el mismo seno, así que los dos son candidatos
   4. El ángulo C es lo que queda de un ángulo llano: 180 menos 30 menos 41,81 es 108,19
   5. El lado c sale de la misma razón, 12 por el seno de 108,19 grados, que es 11,4

   Los valores con los que arranca la página y la estampa de manual del caso ambiguo: el segundo lado es más largo que el primero, así que puede bascular a cualquiera de los dos lados de la perpendicular y seguir cerrando la figura. Las cuatro lecturas describen el triángulo construido sobre el ángulo B agudo, ese en el que el segundo lado se inclina hacia atrás, hacia la base. El otro triángulo usa el compañero obtuso de 41,81 grados, que es 138,19, y está en la última columna de la tabla de abajo; su tercer ángulo es un estrecho 11,81 grados en lugar del 108,19 que se imprime aquí. Los dos son respuestas correctas a los mismos tres datos.

2. El mismo ángulo con un segundo lado más corto, 8, 30 grados y 6

   1. La razón compartida es 8 partido por el seno de 30 grados, o 16
   2. El seno del ángulo B es 6 partido por 16, o 0,375
   3. El ángulo cuyo seno es 0,375 es 22,02 grados; su suplementario de 157,98 no deja sitio para el ángulo A, ya que 30 más 157,98 pasa de un ángulo llano, así que solo sobrevive la opción aguda
   4. El ángulo C es 180 menos 30 menos 22,02, que es 127,98
   5. El lado c es 16 por el seno de 127,98 grados, que es 12,61

   Intercambia los dos lados y la ambigüedad desaparece: 6 es más corto que 8, así que la segunda posición ya no puede cerrar la figura y solo queda un triángulo. El recuento baja de dos a uno sin que ninguno de los otros números cambie de naturaleza, y ese es el motivo de imprimir el recuento primero: los mismos tres tipos de dato producen una respuesta distinta según cómo se comparen las dos longitudes. Fíjate en que el triángulo que sobrevive es el obtuso en C, con 127,98 grados, porque con un segundo lado más corto la figura tiene que completarse alargando más.

3. El caso frontera, 5, 30 grados y 10

   1. La razón compartida es 5 partido por el seno de 30 grados, o 10
   2. El seno del ángulo B es 10 partido por 10, que es exactamente 1
   3. Un seno de 1 fija el ángulo en 90 grados sin segunda opción, porque no hay otro ángulo entre cero y 180 con el mismo seno
   4. El ángulo C es 180 menos 30 menos 90, que es 60, y el lado c es 10 por el seno de 60 grados, que es 8,66

   El segundo lado es lo bastante largo para llegar exactamente una vez: cae en escuadra sobre el tercer lado y el triángulo es rectángulo, con B en 90 grados exactos. Esta es la línea divisoria entre ningún triángulo y dos, y merece la pena mirar qué pasa al cruzarla desde abajo: las dos soluciones aparecen juntas en el momento en que el lado es un pelo más largo que esto, una de ellas justo por encima de noventa grados y la otra justo por debajo, y luego se separan a medida que el lado crece. En el valor exacto hay uno, y su seno sale exactamente 1 sin nada redondeado.

4. Un ángulo de 90 grados dado en lugar de hallado

   1. La razón compartida es 10 partido por el seno de 90 grados, que es 10 mismo
   2. El seno del ángulo B es 6 partido por 10, o 0,6, lo que da 36,87 grados
   3. El ángulo C es 180 menos 90 menos 36,87, que es 53,13
   4. El lado c es 10 por el seno de 53,13 grados, que es 8

   Aquí el ángulo recto es uno de los datos que has dado tú y no algo que descubra la aritmética, y la razón compartida pasa a ser la hipotenusa partida por uno, o sea la hipotenusa misma. A partir de ahí la ley de los senos da directamente los dos ángulos agudos y el tercer lado sale exactamente 8, un número limpio porque esto no es otra cosa que el triángulo de tres, cuatro y cinco multiplicado por dos. Es una comprobación útil para la página entera: siempre que el lado que tiene enfrente el ángulo recto sea el más largo de los tres, todo debe concordar con el teorema de Pitágoras, y aquí concuerda.

Tres límites que conviene decir sin rodeos. El panel imprime un triángulo y no dos. Cuando el recuento es 2, las cuatro lecturas de debajo pertenecen al triángulo construido sobre el ángulo B agudo, y el compañero obtuso aparece nombrado en la última columna de la tabla de referencia en lugar de mostrarse en el panel: el panel tiene un solo sitio para una respuesta y ninguna manera de presentar dos en paralelo, así que la decisión fue imprimir el ángulo menor y señalar el otro. Segundo, los datos tienen que tener sentido antes de que se pueda resolver nada: el ángulo dado tiene que estar estrictamente entre cero y ciento ochenta grados, y si el segundo lado es demasiado corto para alcanzar el tercero no hay triángulo y esta página lo informa en lugar de inventarse uno. Los ángulos de exactamente cero o de exactamente un ángulo llano se rechazan en lugar de aproximarse, porque un triángulo con un ángulo de cero no tiene forma que resolver. Tercero, las lecturas se dan con dos decimales, lo que deja de significar algo en un triángulo muy grande: un lado de varios cientos de millones de centímetros no puede cargar con centésimas en un número de coma flotante, así que trata los decimales de la longitud impresa como indicativos en cuanto la figura sea así de grande. Los ángulos siguen siendo precisos, porque una centésima de grado sigue siendo una centésima de grado sea cual sea el tamaño del triángulo.

¿Qué es el caso ambiguo de la ley de los senos?

Es la situación en la que dos lados y un ángulo que no está entre ellos admiten dos triángulos distintos en lugar de uno. El ángulo dado fija la dirección de un lado pero no hacia dónde bascula el otro, así que el segundo lado puede inclinarse hacia atrás y cerrar la figura antes o hacia adelante y cerrarla después: un triángulo es pequeño con un ángulo obtuso donde el otro es grande y agudo. Los dos usan los mismos tres datos. Esta página cuenta primero las posibilidades y luego resuelve la aguda, porque que la segunda posición exista o no depende de cómo se comparen las dos longitudes.

¿Cómo sé si hay un triángulo o dos?

Compara el segundo lado con el primero. Calcula el segundo lado multiplicado por el seno del ángulo dado y dividido por el primer lado: si ese número pasa de uno, los datos no forman ningún triángulo, porque no hay ángulo con seno mayor que uno. Si queda por debajo de uno tienes el ángulo agudo, y hay un segundo triángulo siempre que su compañero obtuso deje sitio todavía para el ángulo dado, es decir, siempre que los dos ángulos juntos se queden por debajo de 180 grados. La página hace esa comparación por ti e imprime el recuento como su respuesta principal.

¿Cuál de los dos triángulos me muestra la calculadora?

El construido sobre el ángulo B menor, que es el triángulo cuyo tercer ángulo es mayor. El panel imprime el recuento y después las cuatro lecturas de ese triángulo, y el compañero obtuso de B aparece en la última columna de la tabla de referencia que tiene al lado, así que los dos están en la página. El motivo de mostrar uno y no los dos es que un panel de resultados tiene un solo sitio para una respuesta; imprimir dos juegos de cuatro números sin espacio para etiquetarlos sería peor que imprimir uno y nombrar el otro.

¿Por qué la página rechaza un ángulo de 0 o de 180 grados?

Porque un triángulo con un ángulo de cero no es un triángulo: es un segmento con un punto encima, y el lado que tiene enfrente ese ángulo de cero tendría que ser cero también. Esos dos valores están en la frontera donde la figura deja de existir y no en el borde de la aritmética, y la respuesta honesta es decir eso en lugar de devolver un ángulo de cero y un lado de cero que parecen una solución. Los ángulos intermedios están bien, incluidos los muy cercanos a cualquiera de los dos extremos, donde el triángulo se vuelve muy largo y muy fino pero sigue siendo un triángulo de verdad.

¿Uso la ley de los senos o la de los cosenos?

Usa la ley de los senos cuando tengas un lado junto con el ángulo que tiene enfrente y un dato más, y la ley de los cosenos cuando tengas los tres lados o dos lados y el ángulo entre ellos. El caso que decide es el de dos lados y un ángulo que no está entre ellos: esa es la forma de esta página, y es la que la ley de los cosenos toma de manera incómoda porque tiene que resolver una ecuación de segundo grado. Es también la forma que carga con la ambigüedad, y por eso esta página se gasta el titular en el recuento.

¿Por qué la longitud impresa solo es exacta hasta unos dos decimales?

Dos decimales es lo que redondea la página, y para un triángulo corriente eso está muy dentro de lo que puede representar un número de coma flotante. En un triángulo muy grande, no: un lado de varios cientos de millones ha agotado la precisión del número antes de que los decimales lleguen a ninguna parte, así que las últimas cifras de una lectura así van de acompañantes y no de medidas. Los ángulos no tienen ese problema, porque una centésima de grado sigue siendo una centésima de grado por grande que sea el triángulo.

• Law of Sines — the shared ratio of a side to the sine of the opposite angle, and the conditions under which the relation admits two triangles — Wolfram MathWorld (United States)
• Law of Cosines — the companion relation for three sides, and the shape of triangle this page cannot take — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the triangle inequality, the rule that the largest side faces the largest angle, and the cases in which a triangle is not determined by its parts — Wolfram MathWorld (United States)
• The Law of Sines — the theorem worked through from first principles, including the ambiguous case and how the number of solutions follows from the lengths — Math is Fun (United Kingdom)