¿Por qué la tangente no tiene valor a 90 grados?

Porque la tangente es el seno partido por el coseno, y a noventa grados el coseno vale cero. El punto se ha ido a lo más alto de la circunferencia, su coordenada x es cero y no queda nada entre lo que dividir. La manera honesta de decirlo es que la tangente ahí no tiene valor, y no que sea muy grande. El seno y el coseno en ese ángulo están perfectamente definidos, uno y cero, y la tabla de abajo los sigue listando.

¿Escribo el ángulo en grados o en radianes?

En cualquiera de los dos: la casilla tiene un selector de unidad al lado y la lectura es el mismo ángulo en ambos casos. Treinta grados y 0,5236 radianes dan los mismos tres números con cuatro cifras. La diferencia solo aparece cuando comparas con un texto que da por supuesta una unidad, que es la mayoría: una página que dice que el seno de treinta es un medio está hablando de grados.

¿Para qué sirve la tabla de trigonometría de abajo?

Doce ángulos, cuatro por vuelta, con las tres funciones en cada fila. Entre los doce cubren todas las combinaciones de signos que pueden tomar las tres funciones, los dos puntos en los que la tangente se queda sin valor y los cuatro cuadrantes. Lee una columna cada vez y el patrón de cada función se hace visible: el seno sube hasta uno y vuelve a bajar, el coseno es la misma forma desplazada, y la tangente se repite cada media vuelta en lugar de cada vuelta entera.

¿El ángulo puede ser negativo o mayor que 360 grados?

Sí a las dos cosas, y ninguna es un caso especial. Un ángulo negativo gira en sentido horario en lugar de antihorario, lo que aterriza en el mismo punto que su equivalente positivo más una vuelta completa: menos treinta grados y trescientos treinta grados son el mismo ángulo y dan las mismas tres lecturas. Cualquier cosa que pase de una vuelta sigue dando vueltas: trescientos noventa es treinta otra vez. Solo cuenta la posición final, así que la calculadora reduce primero el ángulo y luego lee las razones trigonométricas.

¿Hay alguna diferencia entre esta página y la de la circunferencia unitaria?

Comparten un campo y coinciden hasta el último decimal, a propósito: están hechas para contrastarse la una con la otra. La diferencia está en lo que muestran. La de la circunferencia unitaria está construida alrededor del dibujo, con un punto sobre una circunferencia de radio uno, sus coordenadas y los ángulos notables con sus valores exactos. Esta está construida alrededor de las funciones y de los ángulos que resultan incómodos de dibujar: los negativos, los que pasan de una vuelta y los dos en los que la tangente no tiene valor alguno.

¿Por qué cuatro decimales y no más?

Porque cuatro bastan para distinguir una respuesta de libro de una equivocada, y a partir de ahí las cifras dejan de tener que ver con el ángulo. Los valores exactos en la mayoría de los ángulos de la tabla son raíces cuadradas y fracciones, y sus desarrollos decimales ni terminan ni se repiten: el coseno de treinta grados es raíz de tres partido por dos, y 0,8660254037844386 es un truncamiento suyo, no otro número. Imprimir más cifras sugeriría una precisión que el ángulo no tiene.

Calculadora de trigonometría

Resultado

0,5000

Seno

Coseno: 0,8660
Tangente: 0,5774

Una calculadora de trigonometría toma un ángulo y devuelve su seno, su coseno y su tangente. Escribe el ángulo, indica si está en grados o en radianes, y la página entrega los tres a la vez: los tres números que describen dónde cae ese ángulo. El seno y el coseno son dos coordenadas de un mismo punto. Dibuja una circunferencia de radio uno con el centro en el origen, empieza en el semieje horizontal positivo y gira en sentido antihorario el ángulo que quieras: el punto donde te detengas tiene una coordenada x y una coordenada y, y esas coordenadas son el coseno y el seno. La tangente es la razón entre las dos, el seno partido por el coseno, que es también la pendiente de la recta que va del origen a ese punto. Y como es una razón y no una coordenada, hace algo que las otras dos no hacen nunca: se queda sin valor. Donde el coseno vale cero, es decir en un ángulo recto y a las tres cuartas partes de vuelta, no queda nada por lo que dividir, así que la tangente ahí no es un número enorme, es ningún número. Esta página rechaza esos ángulos y los nombra, en lugar de imprimir un valor desmesurado y dejarte adivinar que significa lo mismo. La tabla de abajo pone las tres funciones en doce ángulos, cuatro por vuelta, para que el patrón se vea en vez de darse por supuesto. Los ángulos mayores de una vuelta completa son una entrada corriente: trescientos noventa grados es el mismo ángulo que treinta, y la página lo lee así. Todo lo de abajo se muestra con cuatro decimales, suficiente para contrastarlo con un libro de texto y honesto sobre el hecho de que las respuestas exactas aquí son raíces y fracciones que ningún decimal termina.

Seno, coseno y tangente en doce ángulos repartidos por la circunferencia

θ (grados)	sen θ	cos θ	tan θ
0	0	1	0
30	0.5	0.866	0.5774
45	0.7071	0.7071	1
60	0.866	0.5	1.7321
90	1	0	—
120	0.866	-0.5	-1.7321
135	0.7071	-0.7071	-1
150	0.5	-0.866	-0.5774
180	0	-1	0
210	-0.5	-0.866	0.5774
270	-1	0	—
330	-0.5	0.866	-0.5774

Doce ángulos, cuatro por vuelta, y los dos guiones de la columna de la tangente son el motivo de la tabla: a noventa y a doscientos setenta grados la tangente no tiene valor, y la página lo dice con un guion en lugar de con un número grande. Lee la columna del seno desde arriba y sube de cero a uno a lo largo del primer cuarto de vuelta, vuelve a cero hacia la media vuelta, se hace negativa y regresa: una onda completa por vuelta. La columna del coseno es esa misma onda un cuarto de vuelta antes. La tangente es distinta de raíz: se repite cada media vuelta y no cada vuelta entera, y por eso las cuatro filas que van de cero a ciento ochenta ya contienen toda su historia. Fíjate también en dónde llegan a su máximo las dos columnas positivas: el seno alcanza uno a los noventa exactamente donde el coseno alcanza cero, y la tangente es la razón entre esos dos, que es lo que convierte ese ángulo en su punto sin valor.

Fórmula

sen θ = opposite ÷ hypotenuse cos θ = adjacent ÷ hypotenuse tan θ = sen θ ÷ cos θ

θ: El ángulo, en grados o radianes. Puede ser negativo y puede pasar de una vuelta completa: lo único que importa es dónde cae sobre la circunferencia
opposite / adjacent: Los dos catetos de un triángulo rectángulo con el ángulo θ dentro: el cateto opuesto a θ y el que está junto a él. Sobre una hipotenusa de uno se convierten en las dos coordenadas que leen el seno y el coseno
hypotenuse: El lado más largo de un triángulo rectángulo, el opuesto al ángulo recto. Dividir entre él es lo que mantiene al seno y al coseno entre menos uno y uno

Esta página responde a una sola pregunta de tres maneras: dado un ángulo, cuáles son su seno, su coseno y su tangente. Acude a ella cuando ya tengas el ángulo —una inclinación de tejado que conoces en grados y quieres como pendiente, una fase que conoces en radianes, una dirección que estás a punto de descomponer en componentes— y quieras las tres razones trigonométricas juntas y no de una en una. La tabla de valores de las funciones trigonométricas en doce ángulos está ahí por el mismo motivo: la mayoría de los ángulos con los que uno se topa de verdad es uno de esos doce, y tener las tres funciones lado a lado es como uno se da cuenta de que el seno de treinta y el coseno de sesenta son el mismo número. Acude en cambio a la página de la circunferencia unitaria cuando lo que quieras imaginar sea el punto, y a la del triángulo rectángulo cuando lo que conozcas sean dos lados y no un ángulo. Y si tienes una razón y quieres recuperar el ángulo, esa es la dirección inversa: el seno, el coseno y la tangente de un ángulo no te dan el ángulo, y de eso se encargan las páginas inversas.

Ejemplos resueltos

Un ángulo de 30 grados
1. El ángulo está en el primer cuadrante, así que las tres lecturas son positivas
2. El punto a 30 grados sobre la circunferencia de radio uno es (√3/2, 1/2)
3. Así que el coseno es √3/2 y el seno es 1/2, y la tangente es su razón, √3/3
El ángulo con el que se carga la página y la primera fila de la tabla de abajo. Los valores exactos son un medio, raíz de tres partido por dos y raíz de tres partido por tres; los decimales que se ven son esos tres redondeados a cuatro cifras, y 0,5774 es el que merece un segundo vistazo: un tercio de una raíz, no un decimal periódico.
Un ángulo de 45 grados
1. A 45 grados el punto está sobre la recta y = x, así que las dos coordenadas son iguales
2. Coordenadas iguales significan que el seno y el coseno son el mismo número, √2/2
3. La razón de dos números iguales es exactamente 1, y por eso aquí la tangente es exacta
El único ángulo por debajo de noventa grados cuya tangente es exacta: 1, y no 0,9999. El seno y el coseno valen los dos 0,7071, y ese es el mayor valor que alcanza cualquiera de los dos en el primer cuadrante después de los 45: pasado este ángulo el seno sigue subiendo y el coseno empieza a bajar. Es también el único ángulo en el que la tangente coincide con el seno partido por el coseno y la respuesta sale limpia.
Un ángulo del segundo cuadrante, 135 grados
1. Ciento treinta y cinco grados son 45 grados más que un ángulo recto, así que el punto cae en el segundo cuadrante
2. Su coordenada y sigue siendo positiva, de modo que el seno sigue siendo 0,7071
3. Su coordenada x ya es negativa, así que el coseno es −0,7071
4. La tangente es la razón de un positivo entre un negativo, luego es negativa
Los signos son el motivo de este ejemplo. El seno de ciento treinta y cinco grados es exactamente el seno de 45, el coseno ha cambiado de signo y la tangente ha cambiado con él. Leyendo la tabla de abajo de arriba abajo, la columna del seno es positiva en los dos primeros cuadrantes y negativa en los dos últimos; la del coseno cambia en noventa, y la de la tangente cambia también en noventa, que es el mismo punto en el que se queda sin valor.

Limitaciones

Tres cosas que esta página no hace. Lee un ángulo y da razones; no va en el sentido contrario. Si tienes 0,5 y quieres el ángulo cuyo seno es eso, aquí no lo vas a encontrar: de eso se encargan las páginas inversas, que son una pregunta genuinamente distinta con un conjunto de respuestas genuinamente distinto, porque un seno de 0,5 pertenece a más de un ángulo. En segundo lugar, la tangente de un ángulo recto o de las tres cuartas partes de una vuelta se rechaza en lugar de aproximarse, y ese mismo rechazo alcanza a todos los ángulos que se reducen a uno de esos dos, incluidos los negativos y los que pasan de una vuelta. Es el trato honesto, pero implica que un ángulo de 450 grados devuelve un error donde 450 es un ángulo perfectamente razonable para el seno y el coseno. Y en tercer lugar, las lecturas se dan con cuatro decimales. Para los doce ángulos de la tabla eso no basta para ver las respuestas exactas —el coseno de treinta es 0,866 aquí y √3/2 exactamente— y ningún desarrollo decimal basta, porque los valores exactos en esos ángulos son irracionales. La tabla de abajo imprime los decimales; si necesitas las raíces tal cual, están en la tabla de valores exactos de cualquier formulario.

Preguntas frecuentes

¿Por qué la tangente no tiene valor a 90 grados?: Porque la tangente es el seno partido por el coseno, y a noventa grados el coseno vale cero. El punto se ha ido a lo más alto de la circunferencia, su coordenada x es cero y no queda nada entre lo que dividir. La manera honesta de decirlo es que la tangente ahí no tiene valor, y no que sea muy grande. El seno y el coseno en ese ángulo están perfectamente definidos, uno y cero, y la tabla de abajo los sigue listando.
¿Escribo el ángulo en grados o en radianes?: En cualquiera de los dos: la casilla tiene un selector de unidad al lado y la lectura es el mismo ángulo en ambos casos. Treinta grados y 0,5236 radianes dan los mismos tres números con cuatro cifras. La diferencia solo aparece cuando comparas con un texto que da por supuesta una unidad, que es la mayoría: una página que dice que el seno de treinta es un medio está hablando de grados.
¿Para qué sirve la tabla de trigonometría de abajo?: Doce ángulos, cuatro por vuelta, con las tres funciones en cada fila. Entre los doce cubren todas las combinaciones de signos que pueden tomar las tres funciones, los dos puntos en los que la tangente se queda sin valor y los cuatro cuadrantes. Lee una columna cada vez y el patrón de cada función se hace visible: el seno sube hasta uno y vuelve a bajar, el coseno es la misma forma desplazada, y la tangente se repite cada media vuelta en lugar de cada vuelta entera.
¿El ángulo puede ser negativo o mayor que 360 grados?: Sí a las dos cosas, y ninguna es un caso especial. Un ángulo negativo gira en sentido horario en lugar de antihorario, lo que aterriza en el mismo punto que su equivalente positivo más una vuelta completa: menos treinta grados y trescientos treinta grados son el mismo ángulo y dan las mismas tres lecturas. Cualquier cosa que pase de una vuelta sigue dando vueltas: trescientos noventa es treinta otra vez. Solo cuenta la posición final, así que la calculadora reduce primero el ángulo y luego lee las razones trigonométricas.
¿Hay alguna diferencia entre esta página y la de la circunferencia unitaria?: Comparten un campo y coinciden hasta el último decimal, a propósito: están hechas para contrastarse la una con la otra. La diferencia está en lo que muestran. La de la circunferencia unitaria está construida alrededor del dibujo, con un punto sobre una circunferencia de radio uno, sus coordenadas y los ángulos notables con sus valores exactos. Esta está construida alrededor de las funciones y de los ángulos que resultan incómodos de dibujar: los negativos, los que pasan de una vuelta y los dos en los que la tangente no tiene valor alguno.
¿Por qué cuatro decimales y no más?: Porque cuatro bastan para distinguir una respuesta de libro de una equivocada, y a partir de ahí las cifras dejan de tener que ver con el ángulo. Los valores exactos en la mayoría de los ángulos de la tabla son raíces cuadradas y fracciones, y sus desarrollos decimales ni terminan ni se repiten: el coseno de treinta grados es raíz de tres partido por dos, y 0,8660254037844386 es un truncamiento suyo, no otro número. Imprimir más cifras sugeriría una precisión que el ángulo no tiene.

Referencias

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