Calculadora de círculo unitario

sen θ = y · cos θ = x · tan θ = y ÷ x

θ

El ángulo, medido en sentido antihorario desde el semieje positivo de las x. Puede ser negativo y puede pasar de una vuelta completa: lo único que importa es en qué punto del círculo aterriza

cos θ

La coordenada x del punto en el que aterriza el ángulo. A 0 grados el punto es el (1, 0), así que el coseno vale uno; a 90 grados vale cero

sin θ

La coordenada y de ese mismo punto. A 0 grados vale cero; a 90 grados el punto está en lo alto del círculo y el seno vale uno

tan θ

El seno dividido entre el coseno, que es la pendiente de la recta que va del origen al punto. No tiene valor donde el coseno es cero, porque es ahí donde esa recta queda vertical

Radius one

La razón de que las coordenadas se puedan leer directamente. El punto está a una unidad del origen, así que por Pitágoras sus dos coordenadas, elevadas al cuadrado, siempre suman uno: es la identidad cos²θ + sen²θ = 1

Degrees or radians

El desplegable convierte en grados lo que escribas antes de que corra el cálculo, así que la respuesta es la misma de las dos maneras. Un cuarto de vuelta son 90 grados, o la mitad de pi si se escribe en radianes

Four decimal places

El ancho con el que se escriben las lecturas. Solo unas pocas salen exactas —el seno de 30 es un medio, la tangente de 45 es exactamente uno y los valores que caen sobre los ejes son todos números enteros—, y todo lo demás es un valor como raíz de dos partido por dos que hay que redondear al final

El círculo unitario es la tabla que todo curso de trigonometría obliga a memorizar, porque las razones trigonométricas no son más que las coordenadas de un punto sobre él, y esta página es esa tabla con una casilla donde escribir cualquier ángulo. Los usos inmediatos son aquellos en los que tienes un ángulo y necesitas sus componentes: descomponer una fuerza o una velocidad en una parte horizontal y otra vertical, que es el par seno y coseno y nada más; calcular un desfase en electrónica o un factor de potencia; averiguar el alcance horizontal de algo lanzado con un ángulo. La topografía y la navegación lo usan siempre que hay que convertir un rumbo en una distancia hacia el este y una distancia hacia el norte, que son exactamente las dos coordenadas. Los gráficos digitales y los videojuegos lo usan para todo lo que gira —un personaje que rota, una cámara que orbita, un punto sobre una rueda—, porque la posición de un punto que gira es el coseno y el seno, y escribir eso una vez con esta función en lugar de con aritmética caso por caso es lo que hace corto el código de una rotación. Está después el uso puramente didáctico, que es para el que esta página está hecha de verdad: los ángulos notables merecen saberse de memoria, y poder teclear 90 y ver que la tangente se niega es una manera mucho mejor de recordar que ahí no tiene valor que oírselo decir a alguien. La tabla de más abajo es ese mismo conjunto de ángulos escrito como fracciones exactas en lugar de decimales, porque es así como se usan en la práctica: la tabla de los ángulos notables es la que se consulta, y las funciones trigonométricas se evalúan a partir de ella.

1. Un ángulo de 30 grados

   1. Gira 30 grados en sentido antihorario desde el semieje positivo de las x
   2. El punto en el que aterrizas es (√3/2, 1/2)
   3. El coseno es la coordenada x: 0,8660
   4. El seno es la coordenada y: 0,5
   5. La tangente es el cociente: 0,5 ÷ 0,8660 = 0,5774

   El ángulo con el que carga la página, y la primera fila de la tabla en la que se suelen enseñar los ángulos notables. Sus valores exactos son raíz de tres partido por dos, un medio y raíz de tres partido por tres; aquí se enseñan decimales y en la tabla de referencia de abajo, las fracciones exactas.

2. Un ángulo de 45 grados

   1. Gira 45 grados en sentido antihorario, lo que deja el punto sobre la diagonal
   2. El seno y el coseno son iguales porque el punto está a 45 grados de los dos ejes: √2/2 = 0,7071
   3. La tangente es su cociente, y un número dividido entre sí mismo es 1

   El único ángulo entre cero y noventa en el que el seno y el coseno son iguales, lo que ocurre porque el punto cae sobre la recta y = x. Que la tangente valga exactamente 1 es el álgebra confirmándolo, y es la razón de que una pendiente de 45 grados se llame pendiente del uno a uno.

3. Un ángulo de 180 grados

   1. Gira media vuelta, lo que deja el punto sobre el semieje negativo de las x
   2. El coseno es la coordenada x: −1
   3. El seno es la coordenada y: 0
   4. La tangente es cero dividido entre menos uno, que es 0

   Media vuelta, y el signo que pilla a la gente: el coseno es menos uno y no uno, porque el punto se ha ido al lado opuesto del círculo. El seno vuelve como cero exacto aunque la aritmética de dentro produzca de paso un número muy pequeño, porque la lectura se redondea al final, que es la manera honesta de tratarlo.

4. Un ángulo de 390 grados

   1. Una vuelta completa te devuelve al punto de partida, así que 390 grados es lo mismo que 30
   2. El punto es (√3/2, 1/2), exactamente como lo era para 30 grados

   Las mismas tres lecturas que el ejemplo de 30 grados, porque dar una vuelta más aterriza en el mismo punto. Esto es lo que hace que la página sirva para ángulos que no están entre cero y una vuelta: la reducción la hace ella, en lugar de ser algo que tengas que hacer a mano antes de escribir el número.

Esta página toma un ángulo y devuelve su seno, su coseno y su tangente. La tangente no tiene valor a 90 grados ni a 270, ni en ningún ángulo que se diferencie de esos en un número entero de vueltas, porque el punto se ha ido a donde su coordenada x es cero y el cociente no tiene entre qué dividir. Cuando eso ocurre la página se niega y lo explica en lugar de imprimir un número desmesurado, y el seno y el coseno están perfectamente definidos ahí —uno y cero—, pero como esta página devuelve los tres juntos, retiene los tres en lugar de dos; la tabla de abajo lleva los valores exactos de esas dos filas. Los ángulos muy próximos a esos valores se aceptan y dan tangentes enormes, lo cual es matemáticamente correcto —una pendiente casi vertical es de verdad empinada—, así que acercarse no es lo mismo que acertar y la página no lo trata como si lo fuera. Las tres lecturas son números puros, sin unidad, diga lo que diga el desplegable: el desplegable elige cómo se introduce el ángulo, no qué sale. Los cuatro decimales son un ancho de visualización y no una afirmación sobre la precisión, y la mayoría de los ángulos no tienen valores decimales exactos: por eso la tabla de abajo da los más comunes como fracciones exactas. Aquí no se resuelve el problema inverso: la página convierte un ángulo en coordenadas, pero no vuelve de las coordenadas a un ángulo, y no da longitud de arco, ni área de sector, ni cuánto ha recorrido el ángulo alrededor del círculo.

¿Por qué la tangente no tiene respuesta a 90 grados?

Porque la tangente es el seno dividido entre el coseno, y a 90 grados el coseno vale cero. El punto se ha ido a lo alto del círculo, su coordenada x es cero y no hay entre qué dividir. La descripción honesta es que la tangente no tiene valor ahí, no que sea enorme. El seno y el coseno sí están perfectamente definidos en ese ángulo —el punto está en lo alto del círculo, así que el seno vale uno y el coseno cero—, y como esta página informa de los tres juntos, no da ninguno en lugar de dar dos: se niega y dice por qué. La tabla de abajo sigue llevando los valores exactos de esa fila.

¿Puedo escribir un ángulo mayor de 360 grados?

Sí, y también negativo. Lo único que importa es dónde aterriza el ángulo en el círculo, así que 390 grados da exactamente las mismas tres lecturas que 30, y menos 30 da las mismas que 330. La página reduce el ángulo por ti en lugar de obligarte a hacerlo a mano antes, lo cual importa porque los rumbos y los giros pasan de una vuelta con toda naturalidad.

¿Por qué los valores salen en decimales si la tabla del colegio los pone en fracciones?

Porque el panel de resultados es una calculadora y la tabla es una tabla. Los valores exactos de los ángulos notables son raíz de dos partido por dos, raíz de tres partido por dos y sus parientes, y esos no se pueden escribir como decimales exactos: 0,7071 es una versión redondeada de uno de ellos. La tabla de referencia de abajo da esos mismos ángulos como fracciones exactas, que es la forma en la que merece la pena memorizarlos.

¿Para qué sirve la tangente en la práctica?

Es una pendiente. La tangente del ángulo es lo que sube dividido entre lo que avanza la recta que va del origen al punto, y por eso aparece en inclinaciones, en pendientes de tejado y en todo lo que se mida como una proporción entre lo vertical y lo horizontal. El seno y el coseno son coordenadas; la tangente es el cociente entre ellas, y esa diferencia es la razón de que solo la tangente tenga agujeros en su dominio.

¿Importa la unidad?

El desplegable elige cómo se introduce el ángulo —grados, radianes o gradianes— y nada más. Las tres lecturas son números sin unidad ninguna, porque una coordenada sobre un círculo de radio uno no tiene unidad y un cociente entre dos de ellas tampoco. La página convierte tu ángulo a grados por dentro, así que 0,5236 radianes y 30 grados dan respuestas idénticas.

¿Es lo mismo que una calculadora de triángulos rectángulos?

Es el caso particular de una. En cualquier triángulo rectángulo el seno es el cateto opuesto partido por la hipotenusa y el coseno es el adyacente partido por la hipotenusa; sobre el círculo unitario la hipotenusa vale uno, así que los cocientes son simplemente los dos catetos. Todo triángulo rectángulo es una copia a escala de un dibujo del círculo unitario, y esa es la razón de que los números de esta página sirvan para triángulos de cualquier tamaño.

• Unit Circle — the circle of radius one, why the coordinates of a point on it are the cosine and the sine, and the special angles that have exact values — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, their domains, and why the tangent is undefined wherever the cosine is zero — Wolfram MathWorld (United States)
• Tangent — the ratio this page divides to get, its period of a half turn rather than a whole one, and its poles at ninety and two hundred and seventy degrees — Wolfram MathWorld (United States)
• Funciones trigonométricas — el seno, el coseno y la tangente definidos sobre la circunferencia de radio uno, con sus dominios y sus valores en los ángulos notables, en español — Universo Formulas (España)