Calculadora de ángulos coterminales
Resultado
Ángulo coterminal
- Ángulo coterminal negativo
- -320,00 °
Escribe un ángulo de más de una vuelta y esta calculadora de ángulos coterminales devuelve los dos representantes del mismo lado terminal: el que cae dentro de 360 grados y el que está una vuelta completa por debajo de ese. Dos ángulos son coterminales cuando comparten el lado inicial y el lado terminal, lo que ocurre siempre que uno sea el otro más un número entero de vueltas completas, en un sentido o en el otro. Un ángulo de 30 grados, uno de 390 y uno de 750 terminan apuntando al mismo sitio, porque 390 son 30 más una vuelta y 750 son 30 más dos. De toda esa familia infinita, la página imprime los dos miembros que de verdad se usan: el que cabe dentro de una sola vuelta, que es aquel contra el que están escritas las tablas trigonométricas y el círculo unitario, y el que queda justo por debajo de cero, que es como se nombra un giro negativo que acaba en el mismo punto. Se dan los dos porque la tarjeta promete positivo o negativo, y porque ver el par hace visible la idea entera: un único ángulo reducido no puede enseñarte que hubo una reducción. Los ángulos mayores que una vuelta son la razón de que esta página exista. La entrada admite hasta un millón de grados en cualquier sentido, que son unas 2778 vueltas, porque en la práctica los ángulos grandes vienen de medidas que se han enrollado: un eje que ha girado varias revoluciones, una fase acumulada a lo largo de muchos ciclos, un devanado contado en vueltas y no en grados. La reducción es la misma operación sea cual sea el tamaño de la entrada, y merece la pena fijarse en que la primera fila de la tabla y la quinta describen el mismo lado terminal aunque una entrada sea treinta y la otra setecientos cincuenta. El sentido negativo se trata con una regla que conviene enunciar, porque la alternativa evidente también es defendible. El representante negativo es el ángulo reducido menos una vuelta completa, así que un ángulo de cero tiene por representante negativo menos 360 y no cero. Esa elección hace que las dos cifras impresas difieran siempre en exactamente 360 grados, cosa que se puede comprobar en cualquier fila de la tabla, y hace que el panel no muestre nunca el mismo número dos veces. La otra regla —tomar como lado negativo todo lo que va de menos 360 a cero incluido— imprimiría cero y cero para una entrada de cero, lo que se lee como una página averiada aunque no sea incorrecto. Queda un punto de vocabulario en el que la página toma la posición del uso corriente. En sentido estricto, los ángulos coterminales se definen como ángulos que no coinciden entre sí pero cuyos lados terminales sí coinciden, de modo que el ángulo que escribes no es, en ese sentido estricto, coterminal consigo mismo: coincide consigo mismo. Nadie lo entiende así en el uso ordinario, y esta página sigue el uso ordinario en la página y explica la distinción cuando se le pregunta, que es lo que hace la primera pregunta de abajo.
Ángulos y los dos representantes del lado terminal que comparten
| Ángulo (grados) | Vueltas completas quitadas | Ángulo coterminal (grados) | Ángulo coterminal negativo (grados) |
|---|---|---|---|
| 30 | 0 | 30 | -330 |
| 90 | 0 | 90 | -270 |
| 180 | 0 | 180 | -180 |
| 400 | 1 | 40 | -320 |
| 750 | 2 | 30 | -330 |
| 1000 | 2 | 280 | -80 |
| -30 | -1 | 330 | -30 |
| -400 | -2 | 320 | -40 |
Ocho ángulos y cuatro columnas, y la segunda existe para hacer visible la aritmética más que para responder nada: es el número de vueltas completas que se quitan, así que la primera fila y la quinta se ve que describen el mismo lado terminal —un ángulo de 30 grados y uno de 750, con dos vueltas quitadas al segundo—. La segunda fila es un cuarto de vuelta, donde no se quita nada y los dos representantes son el ángulo original y lo que le falta para la vuelta completa. La tercera fila es el caso de la mitad, donde los dos representantes son el negativo del otro, cosa que solo ocurre en 180 grados. La cuarta fila es el par con el que carga la página, 400 grados reducidos a 40 y -320. La sexta es mil grados, que se reduce a 280 y -80, el mismo lado terminal que un millón de grados, ya que la columna de las vueltas absorbe la diferencia. La séptima y la octava son entradas negativas: menos 30 grados vuelve como 330 y su representante negativo es la propia entrada, porque menos 30 ya está dentro del intervalo negativo; menos 400 se reduce a 320 con su negativo en -40. En todas las filas las dos últimas columnas difieren en exactamente 360, y la columna de las vueltas es negativa para las entradas negativas en lugar de ser un recuento en valor absoluto. La tercera fila merece además un aviso: 180 y -180 son el único par de la tabla en el que el representante negativo es el positivo cambiado de signo, y eso no es la regla general sino una coincidencia de estar justo a media vuelta.
Fórmula
θ′ = θ + 360°·n ángulo coterminal = θ − 360°·⌊θ ÷ 360°⌋
- θ
- El ángulo que escribes, en grados. Puede ser negativo y puede ser mucho mayor que una vuelta completa: aquí los dos son entradas corrientes y no casos especiales
- n
- Cualquier número entero, positivo, negativo o cero. Cada valor de n señala a un miembro de la familia de ángulos que comparten el lado terminal, así que hay infinitos y la página imprime los dos más útiles
- 360°
- Una vuelta completa. Restarla deja el rayo apuntando exactamente donde estaba, que es lo que hace que dos ángulos sean coterminales en lugar de distintos
- ⌊θ ÷ 360°⌋
- Cuántas vueltas completas se quitan, redondeando hacia abajo, hacia menos infinito, y no hacia cero. Redondear hacia cero dejaría un ángulo negativo fuera del intervalo en lugar de meterlo dentro, y es el único punto de esta página que puede equivocarse en silencio
- Coterminal angle
- El representante que va de 0 hasta 360 grados sin incluirlo. Es la cifra contra la que están escritas las tablas trigonométricas y el círculo unitario, y es la que se quiere en la mayoría de los casos
- Negative coterminal angle
- El mismo rayo descrito como giro negativo: el ángulo reducido menos una vuelta completa, que cae de menos 360 hasta cero sin incluirlo. Está siempre exactamente 360 grados por debajo de la otra cifra
- Two decimal places
- El ancho con el que se imprimen las lecturas. Los ángulos se miden normalmente a una fracción de grado y no a una fracción de segundo, y dos decimales es aproximadamente lo más fino que una lectura de transportador puede ser honestamente
Siempre que un ángulo haya dado más de una vuelta y se quiera una respuesta dentro de una sola. Los ejes y la maquinaria giratoria son el caso más claro: un acoplamiento que ha girado tres vueltas y cuarto tiene una orientación final que se expresa como un ángulo menor que 360, y la misma reducción vale para una leva, una manivela, un plato giratorio o una articulación de robot cuyo recorrido venga dado en revoluciones. El bobinado y el arrollamiento son el segundo: una bobina devanada 14 vueltas, un cable que se suelta y se vuelve a recoger, un muelle girado un número conocido de vueltas, todo eso se cuenta en revoluciones y se necesita en grados. Los instrumentos de medida son el tercero: una fase acumulada a lo largo de muchos ciclos de una señal, un ángulo total leído de un codificador que cuenta sin reiniciarse, un error de rumbo acumulado, y cualquier aparato que informe de un ángulo al que se le ha permitido pasar de una vuelta. La navegación y la topografía lo usan para rumbos que se han sumado y restado hasta salirse del rango de 0 a 360, y para la diferencia entre dos rumbos, que es la razón de que un rumbo de menos 30 grados se reescriba habitualmente como 330. En matemáticas es el primer paso de casi cualquier cálculo trigonométrico: una tabla de senos y cosenos solo cubre una vuelta, así que cualquier ángulo fuera de ese rango hay que traerlo de vuelta antes de poder usarla. En el aula es la demostración visual de la periodicidad: dibuja el mismo lado terminal para 30, 390 y 750 grados, comprueba que los tres brazos caen sobre la misma recta, y la razón de que el seno se repita cada 360 grados deja de ser una regla que memorizar. Y en la aritmética de todos los días son los pocos casos en que a un ángulo se le ha restado otro y ha salido negativo, que es el momento en que casi todo el mundo quiere por primera vez una respuesta entre 0 y 360 en lugar de una con signo.
Ejemplos resueltos
Un ángulo de 400 grados
- Cuenta las vueltas completas: 400 ÷ 360 = 1,11, así que se quita una vuelta
- Réstala: 400 − 360 = 40
- Resta otra vuelta para el representante negativo: 40 − 360 = -320
El par con el que carga la página, elegido porque acaba de rebasar la vuelta completa: quien no haya visto nunca la idea ve toda la operación en un paso. Las dos respuestas están a 360 de distancia, cosa que se cumple en todas las filas de la tabla y es la comprobación más rápida de que un resultado tiene sentido. El 400 no es un número arbitrario: es el primer ángulo que hace falta reducir, y verlo aquí evita el malentendido de que 400 grados sea un ángulo con una orientación propia.
Un ángulo de 750 grados
- Cuenta las vueltas completas: 750 ÷ 360 = 2,08, así que se quitan dos vueltas
- Réstalas: 750 − 720 = 30
- Resta otra vuelta: 30 − 360 = -330
El mismo lado terminal que un ángulo de 30 grados, dos vueltas más allá, y el par de filas que enseña para qué está la columna de las vueltas: restar dos vueltas a 750 deja 30 es exactamente como se hace la aritmética a mano, y es la razón de que esa columna esté en la tabla. Fíjate en que la respuesta es más pequeña que la entrada por un factor de veinticinco, lo que sorprende a quien espera que reducir signifique restar un poco.
Un ángulo de menos 30 grados
- Cuenta las vueltas completas redondeando hacia abajo: −30 ÷ 360 = −0,08, que redondeado hacia abajo es −1
- Vuelve a sumar esa vuelta: −30 − 360 × (−1) = 330
- Resta una vuelta para el lado negativo: 330 − 360 = -30
La dirección por la que llega casi todo el mundo, ya que un ángulo negativo es lo que sale cuando se resta un rumbo de otro. Fíjate en que el representante negativo es el ángulo original sin tocar: menos 30 ya está dentro del intervalo negativo. El redondeo tiene que ir hacia abajo justo aquí: redondear hacia cero dejaría menos 30 tal cual, fuera del intervalo positivo al que pertenece. Es también la fila que enseña que un representante negativo no significa que el ángulo sea de los que giran en sentido antihorario.
Un ángulo de 1000 grados
- Cuenta las vueltas completas: 1000 ÷ 360 = 2,77, así que se quitan dos vueltas
- Réstalas: 1000 − 720 = 280
- Resta otra vuelta: 280 − 360 = -80
Dos vueltas y un resto de 280, y aquí es donde la aritmética deja de ser obvia: la respuesta está cerca de una vuelta completa en lugar de cerca de cero, y quien espere el resto pequeño de los ejemplos anteriores se llevará una sorpresa. Merece la pena comprobarlo con el resto de la división: 1000 dividido entre 360 da dos vueltas y sobran 280, y esos 280 son la respuesta. La página admite además un millón de grados, que da los mismos 280 y menos 80: cambia el número de vueltas, no el lado terminal.
Un ángulo de cero grados
- No se quita ninguna vuelta: 0 ya está dentro del intervalo
- El representante positivo es 0
- Resta una vuelta para el lado negativo: 0 − 360 = -360
El caso que fija la regla del lado negativo. La convención alternativa imprimiría cero en las dos cifras, lo que se lee como una página que no ha hecho nada. Tomar el representante negativo como una vuelta completa por debajo del ángulo reducido garantiza que las dos cifras impresas no coincidan nunca, y se cumple igual en este límite que en todo lo demás. Es la fila que hay que mirar cuando parece que el par de resultados es redundante: aquí la diferencia de 360 se ve sin ninguna aritmética de por medio.
Limitaciones
Esta página reduce un ángulo y nada más: no dice en qué cuadrante cae el lado terminal, no da el ángulo de referencia y no evalúa ninguna función trigonométrica. Cada una de esas cosas pertenece a una página propia. Solo se aceptan grados: no hay salida en radianes, y un ángulo dado en radianes hay que convertirlo antes de escribirlo, multiplicando por 180 y dividiendo entre π. La entrada está limitada a un millón de grados en cualquiera de los dos sentidos, que son unas 2778 vueltas completas; más allá la cifra deja de corresponder a nada que alguien mida, aunque la aritmética seguiría funcionando. Las dos cifras impresas difieren siempre en exactamente 360 grados y la negativa es siempre la menor de las dos, así que una entrada negativa puede producir una salida positiva y al revés. En sentido estricto, los ángulos coterminales se definen como ángulos que no coinciden entre sí pero cuyos lados terminales coinciden, de modo que el ángulo que escribes no es coterminal consigo mismo en ese sentido estricto: coincide consigo mismo. La página sigue el uso corriente, en el que cualquier ángulo sobre el mismo lado terminal cuenta, y lo dice aquí y no en una nota al pie. Los ángulos se redondean a dos decimales, que es un ancho de presentación y no una afirmación de precisión: los ángulos reales que se miden con un transportador no suelen llegar a esa fineza. No hay nada que trate los grados, minutos y segundos como unidades separadas, ni ángulos medidos en gradianes, ni vueltas como unidad de entrada; el desplegable de unidades y el par de resultados en radianes son otra página.
Preguntas frecuentes
- Escribí 40 y el ángulo coterminal me sale 40, ¿no ha hecho nada?
- No hacía falta nada: 40 ya está dentro de una sola vuelta, así que es su propio representante y la reducción lo deja como estaba. En sentido estricto, los ángulos coterminales se definen como ángulos que no coinciden entre sí pero terminan en el mismo rayo, de modo que un ángulo no es coterminal consigo mismo bajo esa definición: coincide consigo mismo. La página sigue el uso corriente, en el que cualquier ángulo sobre el mismo lado terminal cuenta, así que la primera cifra repite tu entrada siempre que tu entrada ya esté reducida. La que cambia es la segunda.
- ¿Por qué el ángulo negativo es una vuelta entera por debajo y no simplemente el mismo ángulo con signo negativo?
- Porque la alternativa evidente se rompe en el cero. Si el representante negativo fuera cualquier valor de menos 360 a cero, una entrada de cero imprimiría cero y cero, dos cifras idénticas, lo que se lee como una página que no ha hecho nada. Tomarlo como exactamente una vuelta por debajo del ángulo reducido hace que las dos cifras impresas nunca sean iguales y que difieran siempre en exactamente 360 grados, cosa que puedes comprobar en cualquier fila de la tabla de abajo.
- ¿Puedo escribir un ángulo negativo?
- Sí, y es una de las entradas más frecuentes. Los ángulos negativos aparecen siempre que se resta un rumbo de otro o se mide un giro en sentido antihorario, y menos 30 grados se reescribe habitualmente como 330. La reducción redondea hacia abajo y no hacia cero precisamente por esto: redondear hacia cero dejaría menos 30 fuera del intervalo en lugar de meterlo dentro. La entrada admite hasta un millón de grados en los dos sentidos, así que no hay problema por grandes que sean.
- ¿Por qué las dos respuestas están siempre a 360 grados de distancia?
- Porque la segunda es la primera menos una vuelta completa, por construcción. Restar 360 grados a un ángulo deja el rayo apuntando exactamente donde estaba, así que las dos cifras describen el mismo lado terminal y difieren en exactamente una revolución. Es la comprobación más rápida de cualquier resultado que te dé esta página: suma 360 a la cifra menor y tienes que aterrizar en la mayor.
- ¿Me dice esto en qué cuadrante está el ángulo?
- No: reduce el ángulo y se detiene ahí. El cuadrante en el que cae un lado terminal, y el ángulo de referencia entre ese lado y el eje más cercano, son el asunto de las páginas de ángulo de referencia y de círculo unitario. La reducción que hace esta página es el paso que va antes que cualquiera de esos dos, y por eso es una página propia en lugar de una línea en el resultado de otra. Si lo que necesitabas era el cuadrante, la reducción sigue siendo el primer paso, así que el número que tienes delante no se desperdicia.
- ¿Puedo escribir radianes?
- En esta página no: solo toma grados y no tiene conmutador de unidades. Un ángulo en radianes hay que convertirlo antes, multiplicando por 180 y dividiendo entre π. La reducción es la misma idea en cualquiera de las dos unidades, pero la página tendría que saber cuál le has dado antes de poder decidir qué es una vuelta completa, y una vuelta completa en radianes es 2π.
Referencias
- Coterminal Angle — angles whose terminal sides coincide, with the definition this page implements and the n = 0 case that is coincident rather than coterminal — Wolfram MathWorld (United States)
- Angle — what an angle is, including angle in standard position, from which the initial side and the terminal side are defined — Wolfram MathWorld (United States)
- Trigonometry — why an angle is reduced into a single turn before a table of values can be used, which is the commonest reason to want this reduction — Wolfram MathWorld (United States)