Calculadora de ángulo de referencia
Resultado
Ángulo de referencia
Una calculadora de ángulo de referencia toma un ángulo cualquiera y devuelve su ángulo de referencia: el ángulo agudo que forman el lado terminal con la parte más cercana del eje horizontal, que siempre cae entre 0° y 90°. Es el número sobre el que está construida la trigonometría, porque el seno, el coseno y la tangente de un ángulo grande valen lo mismo que los de su ángulo de referencia salvo el signo, y el signo es la parte fácil: sale de en qué cuadrante cae el ángulo. Por eso la manera estándar de calcular una razón trigonométrica de, por ejemplo, 210° es darse cuenta de que su ángulo de referencia es 30°, de que el seno de 30° es un medio y de que 210° está en el tercer cuadrante, donde el seno es negativo, lo que da menos un medio. Esta página hace la primera mitad de esa cuenta y, en su tabla, la segunda: al lado de cada ángulo va impreso su cuadrante. El ángulo puede ser cualquiera. Puede ser negativo, y entonces se mide en sentido horario desde el eje horizontal en lugar de antihorario; puede pasar de una vuelta completa, y entonces las vueltas de más se descartan antes de nada; y puede ser una fracción, y entonces la respuesta también lo es: el ángulo de referencia de 100,25° es 79,75°. Entre lo que entre, la respuesta sale siempre entre 0° y 90°, y esa es la propiedad que hace útil el ángulo de referencia: convierte una familia infinita de ángulos en una tabla finita que se puede aprender de memoria. El caso que a todo el mundo se le escapa es el de los ángulos que caen justo encima de un eje. Un ángulo de referencia es una distancia y no un giro, y el punto que está a 180° se apoya sobre el eje horizontal, así que su ángulo de referencia es 0 y no 180. Lo mismo vale para 90° y 270°, que se apoyan sobre el eje vertical y por eso quedan a 90° del horizontal. Esos cuatro ángulos no pertenecen a ningún cuadrante, y esta página lo dice así en lugar de meterlos en el cuadrante de al lado. La tabla de abajo da una vuelta al círculo: un ángulo de cada cuadrante, los cuatro casos de eje en medio y dos ángulos que enseñan la normalización trabajando — 400°, que es una vuelta más 40° y da la misma respuesta que 40°, y −45°, que es el reflejo de 45° y también da 45°.
Ángulos de referencia alrededor del círculo, incluidos los cuatro que caen sobre un eje
| Ángulo (°) | Cuadrante | Ángulo de referencia (°) |
|---|---|---|
| 30 | Cuadrante I | 30 |
| 135 | Cuadrante II | 45 |
| 210 | Cuadrante III | 30 |
| 300 | Cuadrante IV | 60 |
| 90 | En un eje | 90 |
| 180 | En un eje | 0 |
| 400 | Cuadrante I | 40 |
| -45 | Cuadrante IV | 45 |
Ocho ángulos: uno de cada cuadrante en la vuelta, luego los dos casos de eje y por último dos que enseñan el paso de normalización trabajando. Las filas de eje son las que hay que leer despacio. Un ángulo de 180° tiene un ángulo de referencia de 0° y no de 180°: un ángulo de referencia es una distancia al eje horizontal y el lado terminal de 180° está tumbado sobre ese eje. El ángulo de 90° da 90°, porque su lado terminal se apoya sobre el eje vertical y por tanto queda a 90° del horizontal; 270° es el mismo caso media vuelta más allá. Las dos filas de eje no pertenecen a ningún cuadrante, y por eso la columna del cuadrante dice que están en un eje en lugar de nombrar el cuadrante de al lado. Las dos últimas filas son la normalización: 400° es una vuelta más 40° y da el mismo ángulo de referencia que daría 40°, y menos 45° es la imagen especular de 45° y también da 45°. Fíjate en que la respuesta nunca pasa de 90° ni es negativa, sea lo que sea lo que entre en la primera columna: esa es la propiedad sobre la que descansa toda la idea. Cada celda se recalcula a partir de su fila al construir la página, en grados.
Fórmula
a = ((θ mod 360) + 360) mod 360 a > 180° → a = 360° − a ángulo de referencia = min(a, 180° − a)
- θ
- El ángulo que escribes, en grados. Puede ser cualquier número real: positivo o negativo, menos de una vuelta o muchas vueltas de más, entero o fraccionario. Los ángulos negativos se miden en sentido horario desde el eje horizontal, que es la convención de la topografía y de todo lo que gira al revés
- a
- El ángulo plegado a la primera media vuelta: la primera línea lleva la entrada al intervalo que va de 0° hasta 360° sin incluirlo, y la segunda baja todo lo que pase de 180°. Después de las dos, el ángulo queda entre 0° y 180°, que es toda la información que necesita un ángulo de referencia, porque las dos mitades del círculo son imágenes especulares la una de la otra
- Reference angle
- El ángulo agudo entre el lado terminal y el eje horizontal, en grados, siempre entre 0° y 90°. Es una distancia y no un giro, y por eso un ángulo de 180° tiene un ángulo de referencia de 0°: el lado terminal está tumbado sobre el eje desde el que se mide. Se imprime con dos decimales, igual que la página de ángulos coterminales, para que un ángulo dado con un cuarto de grado dé una respuesta con esa misma precisión
- mod 360
- El resto de dividir entre una vuelta completa, que es lo que descarta las vueltas enteras de más. El paso doble — sumar 360 y volver a tomar el resto — hace falta porque el operador de resto de la mayoría de los lenguajes devuelve un resultado negativo para una entrada negativa, así que −45 daría −45 en lugar de 315 y todos los ángulos negativos se plegarían por la rama equivocada
- min(a, 180° − a)
- La distancia a la parte más cercana del eje horizontal: sobre un círculo de radio uno, el ángulo y el punto que está a 180° de él son los dos sitios donde el lado terminal toca el eje, así que el ángulo de referencia es el que de los dos quede más cerca. Escrito como una sola expresión en lugar de como cuatro reglas de cuadrante, también cubre los casos de eje sin una rama especial, que es la razón entera de que la fórmula esté escrita así
- Quadrant
- En qué cuarto del círculo acaba el lado terminal una vez normalizado y plegado el ángulo: el cuadrante I va de 0° a 90°, el II de 90° a 180°, el III de 180° a 270° y el IV de 270° a 360°. Los cuatro ángulos que caen justo encima de un eje no pertenecen a ningún cuadrante, y esta página los imprime así en lugar de adjudicárselos al vecino
Usa esta página cuando estés calculando a mano una razón trigonométrica, que es para lo que sirven los ángulos de referencia, y cuando necesites además el cuadrante. Los dos van juntos: el ángulo de referencia da el tamaño del seno, del coseno o de la tangente, y el cuadrante da el signo, así que una página que diera solo uno de los dos te dejaría haciendo la otra mitad de memoria. Los ángulos donde esto más se nota son los que aparecen en cualquier libro: 120°, 135°, 150°, 210°, 225°, 240°, 300°, 315° y 330°, y todos ellos tienen un ángulo de referencia sacado de la misma lista corta, 30°, 45° y 60°. Ese es el sentido de la idea. Hay infinitos ángulos pero solo unos pocos ángulos de referencia que merezca la pena saberse, de modo que una tabla de nueve ángulos se reduce a una tabla de tres y el resto es contabilidad de signos. La página también sirve sola, sin trigonometría ninguna, para orientar un ángulo. Si un topógrafo te da un rumbo de 315°, su ángulo de referencia de 45° te dice que está a 45° del eje más próximo y el cuadrante te dice de qué eje se trata; la misma lectura responde preguntas sobre la dirección del viento, las coordenadas de pantalla y cualquier otra cosa que se mida como un ángulo desde una dirección fija. Hay dos casos que conviene probar en la página antes de necesitarlos. Escribe 180° y comprueba que la respuesta es 0°: el lado terminal está sobre el eje y la distancia hasta él no es nada. Escribe −45° y comprueba que la respuesta es 45°: los ángulos negativos se normalizan en lugar de rechazarse, y el ángulo de referencia de un ángulo horario es el mismo que el de su imagen especular antihoraria. Y si estás comparando esta página con la de ángulos coterminales, ten claro que reciben la misma entrada y responden preguntas distintas: aquella te da otro ángulo con el mismo lado terminal, y esta te da la distancia de ese lado terminal al eje más cercano. Las dos juntas son lo que suele pedir un problema de trigonometría, que es un lado terminal identificado a la vez por su posición y por su distancia al eje.
Ejemplos resueltos
Un ángulo de 210°
- Normaliza: 210 mod 360 = 210, ya cabe dentro de una vuelta
- Pliega: 210 pasa de 180, así que 360 − 210 = 150
- Distancia al eje más cercano: min(150, 180 − 150) = min(150, 30) = 30
El ángulo con el que carga la página y el caso de manual: 210° está en el tercer cuadrante, donde el seno y el coseno son negativos, y su ángulo de referencia es 30°. Así que el seno de 210° es menos el seno de 30°, que es menos un medio, y el coseno es menos el coseno de 30°, que es menos raíz de tres partido por dos. Los dos datos que hacen falta para eso están en esta página y en su tabla: el tamaño, del ángulo de referencia, y los signos, del cuadrante.
Un ángulo de 135°
- Normaliza: 135 mod 360 = 135
- Pliega: 135 no pasa de 180, así que se queda en 135
- Distancia al eje más cercano: min(135, 180 − 135) = min(135, 45) = 45
El segundo cuadrante, y el ángulo de referencia que merece la pena saberse de memoria junto con el de 30° y el de 60°. Un ángulo de 135° está 45° más allá del eje vertical, así que su ángulo de referencia es 45° y su seno y su coseno son iguales de tamaño —raíz de dos partido por dos— con el seno positivo y el coseno negativo. Fíjate en la forma de los dos pasos: el plegado es lo que mueve el ángulo a la segunda mitad del círculo y la distancia es lo que lo lleva el resto del camino hasta el eje. Los dos hacen falta para cualquier cosa del segundo, tercer o cuarto cuadrante.
Un ángulo de 100,25°
- Normaliza: 100,25 mod 360 = 100,25
- Pliega: no pasa de 180, así que se queda en 100,25
- Distancia al eje más cercano: 180 − 100,25 = 79,75
La fila que justifica los dos decimales. Un ángulo que pasa un cuarto de grado de 100 da un ángulo de referencia que se queda un cuarto de grado corto de 80, y una página que redondeara sus respuestas a grados enteros imprimiría 80 y se equivocaría en un cuarto de grado. Los ángulos de este orden son normales en topografía y en astronomía, donde se miden en minutos de arco y no en grados enteros, y 79,75 es el tipo de respuesta que tiene que sobrevivir intacta al viaje por la página.
Un ángulo de 180°
- Normaliza: 180 mod 360 = 180
- Pliega: 360 − 180 = 180
- Distancia al eje más cercano: min(180, 180 − 180) = min(180, 0) = 0
El caso que a todo el mundo se le escapa y la razón de que el último paso esté escrito como una distancia y no como un giro. Un ángulo de referencia mide lo lejos que está el lado terminal del eje horizontal, y a 180° el lado terminal está tumbado justo encima de ese eje, así que la distancia es cero. La respuesta es 0 y no 180, y este ángulo no pertenece a ningún cuadrante: la tabla lo imprime como un caso de eje en lugar de meterlo en el segundo o en el tercer cuadrante, que serían las dos respuestas equivocadas.
Un ángulo de menos 45°
- Normaliza: −45 pasa a ser −45 + 360 = 315
- Pliega: 315 pasa de 180, así que 360 − 315 = 45
- Distancia al eje más cercano: min(45, 180 − 45) = min(45, 135) = 45
Un ángulo negativo, medido en sentido horario desde el eje horizontal, y la fila que demuestra que el paso de normalización gana su sueldo: menos 45 tiene el mismo lado terminal que 315°, que está en el cuarto cuadrante, y su ángulo de referencia es 45°, el mismo que el del 45 positivo. Los ángulos horarios y antihorarios del mismo tamaño comparten ángulo de referencia y solo se diferencian en el cuadrante, que es exactamente el reparto de tareas entre las dos columnas de la tabla.
Limitaciones
La página trabaja en grados y los ángulos de referencia que imprime están en grados; no acepta radianes en la casilla ni los imprime, así que un ángulo dado en radianes hay que convertirlo antes: se multiplica por 180 y se divide entre pi. La respuesta está siempre entre 0° y 90°, extremos incluidos, lo que significa que dos ángulos muy distintos pueden compartir una misma respuesta: 30°, 150°, 210° y 330° tienen todos un ángulo de referencia de 30°, y el ángulo de referencia por sí solo no puede decirte con cuál de ellos empezaste. Para eso hace falta el cuadrante, que esta página da en la tabla pero no imprime en el panel de resultados, porque un cuadrante no tiene nada de mejor ni de peor y las insignias de este sitio significan algo cuando aparecen. Los cuatro ángulos que caen exactamente sobre un eje —0°, 90°, 180° y 270°, con sus negativos y sus múltiplos— no tienen cuadrante ninguno, y la página lo dice así en lugar de asignarles el más próximo; quien necesite agruparlos con un cuadrante tendrá que decidir qué convención usa su libro. La casilla del ángulo acepta hasta un millón de grados en cualquiera de los dos sentidos, que está muy por encima de cualquier uso real, pero las vueltas enteras de más se descartan, así que la página no sirve para contar revoluciones. La salida tiene dos decimales de ancho de visualización y no es una afirmación sobre la precisión: es el ancho correcto para un ángulo medido al cuarto de grado o a la centésima, y demasiado generoso para uno medido al grado entero. La página no evalúa funciones trigonométricas: da el ángulo de referencia y, en la tabla, el cuadrante, que son los dos ingredientes, pero el valor del seno, del coseno o de la tangente es un paso aparte que la página no da. Tampoco tiene nada que decir sobre ángulos en tres dimensiones, coordenadas esféricas ni giros que no sean alrededor de un eje fijo en un plano, cosas todas que usan ideas emparentadas pero no esta.
Preguntas frecuentes
- ¿Cómo se calcula el ángulo de referencia de un ángulo del tercer cuadrante?
- Restándole 180. Un ángulo de 210° del tercer cuadrante tiene un ángulo de referencia de 30°; uno de 240 tiene 60 y uno de 225 tiene 45. La regla general para todo el círculo es: resta 180 a los ángulos entre 180° y 270°, resta el ángulo a 360 para los que están entre 270° y 360°, réstalo a 180 en el segundo cuadrante y déjalo tal cual en el primero. Esta página aplica esas cuatro reglas mediante una sola expresión, y por eso además resuelve bien los casos de eje en los que las cuatro reglas fallan.
- ¿Por qué el ángulo de referencia de 180° no es 180?
- Porque un ángulo de referencia es una distancia y no un giro. Mide lo lejos que está el lado terminal del eje horizontal, y a 180° el lado terminal está tumbado sobre ese eje: la distancia es cero. El mismo razonamiento da 90° tanto para 90° como para 270°, porque esos dos lados terminales se apoyan sobre el eje vertical y están a 90° del horizontal. Los cuatro caen sobre un eje y no pertenecen a ningún cuadrante, y la tabla de esta página lo imprime así en lugar de adjudicárselos al más cercano.
- ¿Puede salir negativo el ángulo de referencia?
- No. La respuesta está siempre entre 0° y 90°, extremos incluidos, entre lo que entre. Un ángulo negativo no se rechaza: menos 45° se mide en sentido horario desde el eje horizontal, tiene el mismo lado terminal que 315° y su ángulo de referencia es 45°. Los ángulos horarios y antihorarios del mismo tamaño comparten ángulo de referencia y solo se diferencian en el cuadrante en el que acaban.
- ¿Qué ángulos de referencia merece la pena memorizar?
- Tres: 30°, 45° y 60°. Cualquier ángulo que pida un libro se reduce a uno de ellos —120°, 135°, 150°, 210°, 225°, 240°, 300°, 315° y 330° acaban en uno de los tres— y el resto del trabajo es elegir el signo según el cuadrante. Esa reducción es todo el sentido del ángulo de referencia: hay infinitos ángulos, pero solo un puñado de cuyos valores trigonométricos merezca la pena saberse algo.
- ¿Qué diferencia hay entre un ángulo de referencia y uno coterminal?
- Un ángulo coterminal es otro ángulo que acaba en el mismo sitio: 400° y 40° tienen el mismo lado terminal, y la página de ángulos coterminales es la que trata eso. Un ángulo de referencia es lo lejos que está ese lado terminal del eje horizontal más próximo, siempre entre 0° y 90°. Reciben la misma entrada y responden preguntas distintas, y un problema de trigonometría suele querer las dos: el lado terminal situado y su distancia al eje.
- ¿Tiene menos 45 el mismo ángulo de referencia que 45?
- Sí, los dos son 45°. Los dos ángulos son imágenes especulares el uno del otro respecto del eje horizontal, así que están a la misma distancia de él y solo se diferencian en de qué lado del eje caen: 45° está en el primer cuadrante y menos 45°, o sea 315°, está en el cuarto. Por eso la respuesta a una pregunta de ángulo de referencia nunca basta por sí sola para identificar el ángulo del que partiste.
Referencias
- Reference angle — the acute angle between the terminal side of an angle and the horizontal axis, which is the quantity this page computes, with the quadrant-by-quadrant values and the axis cases — Wolfram MathWorld (United States)
- Trigonometric functions — the sine, cosine and tangent whose values are recovered from a reference angle together with the sign given by the quadrant, which is what makes the reference angle useful — Wolfram MathWorld (United States)
- Unit circle — the picture this page's arithmetic is really about, in which the terminal side meets a circle of radius one and the reference angle is the distance from that meeting point to the nearest axis — Wolfram MathWorld (United States)