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CalcMax

Calculadora de coseno

Intervalo: -1.000.000 ° – 1.000.000 °

Resultado

0,5000

Coseno

Una calculadora de coseno devuelve el coseno de un ángulo: la razón entre el cateto adyacente a ese ángulo y la hipotenusa, en un triángulo rectángulo construido sobre él. También es, y de forma más útil, una de las coordenadas de un punto. Dibuja una circunferencia unitaria, de radio uno y con el centro en el origen, empieza en el semieje horizontal positivo y gira en sentido antihorario el ángulo que quieras: el punto donde te detengas tiene una coordenada x, y esa coordenada x es el coseno. El seno es la otra coordenada y la tangente es el cociente de las dos, pero el coseno es la que te dice cuánto has avanzado hacia la derecha, cuánto de tu recorrido es horizontal y no vertical. De esa imagen salen dos propiedades que conviene tener claras antes de usar el número. La primera es que el coseno nunca sale del intervalo que va de menos uno a uno, porque un punto de una circunferencia de radio uno no puede tener una coordenada x fuera de él: vale uno en cero grados, cero en un ángulo recto, menos uno en media vuelta y vuelve a cero a las tres cuartas partes. La segunda es que el coseno es una función par: girar un ángulo negativo te lleva por debajo del eje, pero la coordenada x es la misma que habrías tenido girando ese ángulo en el sentido contrario, así que el coseno de menos sesenta grados y el coseno de sesenta grados son el mismo número. A diferencia de la tangente y de la cotangente, esta función está definida en todos los ángulos que puedas escribir: no hay ninguno en el que se quede sin valor, y por eso esta página nunca rechaza una lectura. La tabla de abajo recoge el coseno de doce ángulos repartidos por la circunferencia, cuatro por vuelta, y leer esa única columna de arriba abajo es la manera más rápida de ver la forma de la función.

El coseno de doce ángulos repartidos por la circunferencia

θ (grados)cos θ
01
300.866
450.7071
600.5
900
120-0.5
135-0.7071
150-0.866
180-1
210-0.866
2700
3300.866

Doce ángulos, una columna y toda la forma de la función de un vistazo: uno en cero grados, bajando a cero en un ángulo recto, pasando por menos un medio a ciento veinte, hasta menos uno en media vuelta y subiendo otra vez por cero a los doscientos setenta hasta un medio a los trescientos treinta. Cuatro de esas lecturas son exactas —uno, cero, menos un medio, menos uno— y el resto son raíces redondeadas a cuatro decimales; el patrón es el mismo en los dos casos. Dos filas están en la tabla a propósito porque son los opuestos de otras dos: trescientos treinta grados tiene el mismo valor que treinta, y doscientos diez el mismo que ciento cincuenta, porque el coseno de un ángulo y el coseno de su opuesto son siempre el mismo número.

Fórmula

cos θ = adjacent ÷ hypotenuse cos θ = la coordenada x del punto en el que cae θ

θ
El ángulo, en grados o radianes. Puede ser negativo y puede pasar de una vuelta completa: lo único que importa es dónde cae sobre la circunferencia
adjacent
El cateto adyacente al ángulo θ en un triángulo rectángulo construido sobre él: el que no es opuesto a θ y no es la hipotenusa
hypotenuse
El lado más largo, el opuesto al ángulo recto. Siempre es al menos tan largo como el cateto adyacente, y por eso la razón nunca pasa de uno

Recurre a esta página cuando quieras un solo número y no tres: el coseno de un ángulo de fase que estás a punto de descomponer en componentes, la fracción de una fuerza que actúa a lo largo de una superficie, la coordenada x de un punto que estás girando. La tabla de valores del coseno que tienes debajo cubre doce ángulos, cuatro por vuelta, y es la forma más rápida de ver la forma completa de la función: arranca en uno, baja a cero en un ángulo recto, llega a menos uno en media vuelta y vuelve. Si además necesitas el seno y la tangente del mismo ángulo, la página de trigonometría imprime los tres juntos y los números coinciden hasta el último decimal; si lo que quieres imaginar es el punto, la página de la circunferencia unitaria está construida alrededor de él. Y si lo que tienes es un coseno y quieres recuperar el ángulo —un coseno de 0,5 pertenece a más de un ángulo, así que esa es otra pregunta, con un conjunto de respuestas y no una sola—, de eso se encarga la página del arcocoseno.

Ejemplos resueltos

  1. Un ángulo de 60 grados

    1. Gira 60 grados en sentido antihorario desde el semieje horizontal positivo
    2. El punto en el que te detienes es (1/2, √3/2)
    3. La coordenada x es el coseno, así que el coseno es 1/2; el √3/2 pertenece al seno

    El ángulo con el que se carga la página y el que conviene comparar con la página de trigonometría: allí el mismo ángulo da coseno 0,5 y seno 0,866, y 0,5 es exactamente lo que sale aquí. El par es el recordatorio más claro de que el coseno de sesenta y el seno de treinta son el mismo número, porque sesenta y treinta son los dos ángulos agudos de un mismo triángulo rectángulo.

  2. Un ángulo de 0 grados, el mayor valor que alcanza un coseno

    1. Cero grados no es ningún giro: el punto sigue sobre el semieje horizontal positivo
    2. Sus coordenadas son (1, 0)
    3. La coordenada x es 1, así que el coseno es 1

    Uno es el techo. El coseno no puede superarlo en ningún ángulo, porque es la coordenada x de un punto que está a una unidad del origen, y ningún punto así queda más a la derecha de uno. Alcanza ese valor en cero grados y otra vez en cada vuelta entera posterior, trescientos sesenta, setecientos veinte, y en ningún punto intermedio.

  3. Un ángulo del segundo cuadrante, 120 grados

    1. Ciento veinte grados es un tercio de vuelta, así que el punto cae en el segundo cuadrante
    2. Su coordenada x queda a la izquierda del origen, de modo que es negativa
    3. El tamaño de la lectura es el mismo que a sesenta grados, y el signo se ha invertido

    Pasado un ángulo recto el punto cruza a la izquierda del eje vertical y el coseno se vuelve negativo, y ahí sigue hasta los doscientos setenta grados. Esto es lo más útil que te dice el signo de un coseno: un coseno negativo significa que la dirección que estás describiendo apunta hacia atrás, haga lo que haga el seno.

  4. Un ángulo negativo, menos 60 grados

    1. Un ángulo negativo gira en sentido horario en lugar de antihorario
    2. El punto cae por debajo del eje horizontal, en (1/2, −√3/2)
    3. Su coordenada x es el mismo 1/2, así que el coseno no cambia

    El coseno es una función par: da la misma respuesta para un ángulo y para su opuesto. El seno y la tangente no lo hacen, los dos cambian de signo aquí. En una tabla con una sola columna esto se ve muy bien, y por eso los doce ángulos de abajo incluyen dos que son los opuestos de los que tienen enfrente.

Limitaciones

Dos cosas que conviene tener presentes. Las lecturas se dan con cuatro decimales, y en la mayoría de los ángulos de la tabla el valor exacto es una raíz o una fracción que ningún decimal termina: el coseno de treinta grados es raíz de tres partido por dos, y 0,866 es donde eso cae después de redondear, no el número. Los ángulos en los que el valor sí es exacto —cero, sesenta, noventa, ciento veinte, ciento ochenta— son aquellos en los que la lectura parece limpia, y eso es una propiedad de esos ángulos, no de la calculadora. Lo segundo: esta página no va en el sentido contrario. Un coseno de 0,5 pertenece a sesenta grados, a trescientos y a infinitos ángulos más, porque la función se repite cada vuelta completa y se refleja respecto de cero; recuperar un único ángulo a partir de un coseno exige una decisión adicional sobre qué intervalo quieres, y ese es el trabajo de la página del arcocoseno.

Preguntas frecuentes

¿Hay algún ángulo cuyo coseno no exista?
No. El coseno está definido en todos los ángulos, incluidos aquellos en los que la tangente no tiene valor: en noventa grados el coseno es cero y en doscientos setenta grados vuelve a ser cero, los dos números perfectamente corrientes. Esa es la diferencia entre las dos funciones en una frase: la tangente es una razón que puede acabar dividiendo entre cero, y el coseno nunca. Por eso esta página no rechaza ninguna lectura.
¿Por qué el coseno de 60 grados es igual que el seno de 30 grados?
Porque sesenta y treinta son los dos ángulos agudos de un mismo triángulo rectángulo. En ese triángulo, el cateto adyacente al ángulo de sesenta grados es el cateto opuesto al de treinta, así que la razón que da el coseno de uno es la razón que da el seno del otro. La tabla de abajo muestra lo mismo desde la circunferencia: la columna del coseno y la del seno son los mismos números, desplazados un cuarto de vuelta.
¿Qué significa un coseno negativo?
Que la dirección que estás describiendo apunta a la izquierda del eje vertical, es decir, a más de un cuarto de vuelta del punto de partida y a menos de tres cuartos. No es un error ni un valor más pequeño: menos un medio es mayor que menos uno, y el coseno alcanza su valor mínimo en media vuelta. Entre noventa y doscientos setenta grados todos los cosenos son negativos, y fuera de ese tramo todos son positivos.
¿Puedo escribir el ángulo en radianes?
Sí: hay un selector de unidad junto a la casilla y el ángulo se lee igual elijas la que elijas. Sesenta grados y 1,0472 radianes dan el mismo coseno, un medio. Lo único que hay que vigilar es en qué unidad está escrito el texto con el que comparas, porque por defecto casi todos entienden grados.
¿Por qué el coseno de 90 grados sale cero y el seno de ese mismo ángulo es exactamente uno?
Porque en un ángulo recto el punto está sobre el eje vertical: su coordenada x es cero y su coordenada y es uno. El coseno es la coordenada x, así que es cero, y el seno es la coordenada y, así que es uno. Los dos son exactos, y el par es la mejor ilustración de qué son las dos funciones: el coseno mide cuánto está el punto hacia la derecha y, en ese ángulo, no está hacia la derecha en absoluto.
¿Por qué esta página da un número donde la de trigonometría da tres?
Porque para eso están las dos. La página de trigonometría existe para que las tres razones se puedan comparar entre sí, y su tabla tiene una columna para cada una. Esta existe para quien quiere el coseno y nada más, y su única columna es lo que hace visible la forma de la función: uno en cero, cero en un ángulo recto, menos uno en media vuelta, cero otra vez a las tres cuartas partes y de vuelta a uno. Las dos páginas coinciden hasta el último decimal en todos los ángulos, así que la elección va de presentación, no de aritmética.

Referencias

Calculadoras relacionadas

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