Saltar al contenido principal
CalcMax

Calculadora de arcocoseno

Intervalo: -1 – 1

Resultado

60,00 °

Ángulo

Ángulo en radianes
1,0472 rad

Una calculadora de arcocoseno toma un valor de coseno y devuelve el ángulo al que pertenece, en grados y en radianes. El valor tiene que estar entre menos uno y uno, ya que el coseno de un ángulo no sale nunca de esa banda, y la respuesta está siempre entre cero y media vuelta. Las dos cosas salen del mismo hecho que en la página del arcoseno: un valor de coseno no pertenece a un único ángulo. Un coseno de 0,5 es el coseno de sesenta grados, y también el de trescientos grados, y el de cada uno de esos más o menos una vuelta completa. La función arcocoseno, escrita arccos y también escrita cos con un menos uno pequeño encima, devuelve exactamente uno de ellos, el que está en la mitad superior de la circunferencia, y el resto son respuestas a la misma ecuación que la función no tiene permitido dar. Tres cosas separan esta página de su vecina. El rango es la mitad superior de la circunferencia y no la mitad derecha, así que la respuesta nunca es negativa: un valor que pertenece a un ángulo obtuso vuelve como un ángulo por encima de noventa grados, donde el arcoseno habría devuelto esa misma dirección como un ángulo negativo por debajo de cero. El rango es además decreciente, y la tabla de abajo es la única del sitio cuya columna de respuestas va al revés: ciento ochenta arriba, cero abajo. Y la segunda solución se encuentra restando de una vuelta completa y no de media vuelta, porque un coseno lo comparten los ángulos reflejados respecto del eje horizontal y no del vertical. Las dos páginas se encuentran en una sola identidad: el arcocoseno y el arcoseno de un mismo valor suman noventa grados, que es la manera más barata de comprobar cualquiera de las dos. A la función se la llama a menudo coseno inverso, aunque no sea lo mismo que uno partido por el coseno.

Nueve valores de coseno con el ángulo principal y la segunda solución

cos θθ (grados)el otro θ (grados)θ (radianes)
-11801803.1416
-0.8661502102.6179
-0.70711352252.3562
-0.51202402.0944
0902701.5708
0.5603001.0472
0.7071453150.7854
0.866303300.5236
1000

Lee la columna de entrada hacia abajo y después la de respuestas: la entrada sube de menos uno a uno mientras la respuesta baja de ciento ochenta a cero. Es la única tabla del sitio que va en direcciones opuestas así, y es una propiedad de la curva del coseno y no de esta página. Las dos columnas de ángulos suman una vuelta completa en todas las filas, que es la aritmética del reflejo respecto del eje horizontal. En los extremos la pareja se funde —ciento ochenta con ciento ochenta arriba, cero con cero abajo— porque esos dos puntos son donde la curva del coseno se da la vuelta, y el reflejo de un punto de giro es él mismo. La fila central es la que conviene mirar: un coseno de cero da exactamente noventa grados, que es el punto en el que las dos lecturas se intercambian, y es también el valor en el que la identidad con el arcoseno se ve más desnuda, noventa más cero.

Fórmula

θ = arccos x x ∈ [−1, 1] θ ∈ [0°, 180°] la otra solución en [0°, 360°) es 360° − θ

x
El valor de coseno del que partes, entre menos uno y uno. Fuera de esa banda no lo tiene ningún ángulo, y la página rechaza el valor en lugar de aproximarlo
θ
El ángulo que devuelve la función. A diferencia del arcoseno nunca es negativo, porque el rango cubre la mitad superior de la circunferencia y no la mitad derecha
360° − θ
El segundo ángulo de la circunferencia con el mismo coseno. Los reflejos respecto del eje horizontal comparten el coseno, y por eso el compañero se encuentra aquí restando de una vuelta completa y en la página del arcoseno restando de media

Acude a esta página cuando tengas la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa y quieras el ángulo entre los dos: el ángulo que forma una escalera con la pared, el ángulo entre dos vectores calculado a partir de su producto escalar, una dirección recuperada de un rumbo que se guardó como coseno. Es también la función a la que recurrir cuando un problema de triángulos te da tres lados y te pide hallar un ángulo, ya que la ley de los cosenos produce un coseno y nada más. Dos páginas vecinas importan. Si la razón que tienes es el cateto opuesto partido por la hipotenusa, esa es la del arcoseno, cuyo rango cubre la mitad derecha de la circunferencia en lugar de la superior y cuya respuesta lleva signo; las dos coinciden en el primer cuadrante y se separan en todo lo demás. Y si quieres el coseno en un ángulo y no el ángulo a partir de un coseno, la página del coseno va al revés.

Ejemplos resueltos

  1. Un valor de coseno de 0,5

    1. El valor está dentro de la banda, así que hay un ángulo que encontrar
    2. Sesenta grados es el ángulo del rango cuyo coseno es 0,5, así que la página da sesenta grados
    3. En radianes eso es sesenta por pi partido por ciento ochenta, que es un tercio de pi, o 1,0472

    El valor con el que se carga la página y el que enseña cómo encajan las dos páginas inversas. El arcoseno de 0,5 es treinta grados y el arcocoseno de 0,5 es sesenta, y treinta más sesenta son noventa: no es casualidad, es la identidad que ata las dos páginas, cierta para todo valor de la banda. Ese mismo valor enseña también de dónde sale la segunda solución: trescientos grados tiene un coseno de 0,5 igualmente, y es el reflejo de sesenta respecto del eje horizontal, y por eso la tercera columna de la tabla lee 300 en esta fila.

  2. Un valor de coseno negativo, menos 0,5

    1. Menos 0,5 está dentro de la banda, así que la página encuentra un ángulo
    2. El ángulo del rango cuyo coseno es menos 0,5 es ciento veinte grados
    3. En radianes eso es dos tercios de pi, que es 2.0944

    La fila que explica por qué esta página no devuelve nunca una respuesta negativa. Un coseno negativo pertenece a un ángulo obtuso, y el rango resuelve eso pasando de noventa grados en lugar de bajar de cero: ciento veinte grados, no menos sesenta. La página del arcoseno se enfrenta a la misma entrada y responde esa misma dirección como un ángulo con signo, menos sesenta grados para menos 0,5. Las dos son correctas; las dos funciones simplemente reparten la circunferencia de otra manera, y la identidad sigue cumpliéndose: el arcoseno de menos 0,5 es menos treinta, y menos treinta más ciento veinte son noventa.

  3. Un valor de coseno de 0,25, que no es un ángulo notable

    1. Un cuarto no es el coseno de ningún ángulo de las tablas habituales, así que la respuesta será decimal
    2. El ángulo cuyo coseno es 0,25 es 75,52 grados
    3. En radianes ese mismo ángulo es 1,3181

    La mayoría de las entradas caen aquí y no sobre un ángulo notable. La fila es además el sitio más claro para ver el decrecimiento: un cuarto es un coseno pequeño, y un coseno pequeño pertenece a un ángulo cercano a lo más alto del rango y no a lo más bajo. Compara con la página del arcoseno, donde un valor pequeño da un ángulo pequeño. Esa inversión no es un accidente de las dos definiciones, es la misma inversión que se ve en la forma de las dos curvas, y las tablas la hacen visible de una manera que las fórmulas no.

  4. Un valor de coseno de menos 1, en el borde de la banda

    1. Menos uno es el coseno más pequeño que tiene cualquier ángulo, así que la respuesta es lo más alto del rango
    2. Ciento ochenta grados tiene un coseno de menos uno, y ningún ángulo tiene uno menor
    3. En radianes media vuelta es pi, que es 3,1416

    Una de las dos filas en las que la segunda solución no es un segundo ángulo. Un coseno de menos uno pertenece a ciento ochenta grados y a nada más en la circunferencia, porque la curva del coseno se da la vuelta en su punto más bajo y el reflejo de ese punto respecto del eje horizontal es el punto mismo. La tabla lo enseña: la segunda y la tercera columna de la primera fila leen las dos 180. El otro extremo se comporta igual, donde un coseno de uno pertenece a cero grados y a ningún otro. Entre esas dos filas todo valor de la banda tiene una pareja de verdad, y la pareja suma una vuelta completa.

Limitaciones

Tres cosas que esta página no hace. Primero, un valor fuera de la banda que va de menos uno a uno se rechaza, porque ningún ángulo tiene ese coseno: la misma frontera que en la página del arcoseno y por el mismo motivo. Segundo, la respuesta es solo el valor principal. Todo coseno entre menos uno y uno pertenece a dos ángulos de una vuelta completa y a infinitos a lo largo de las vueltas, y la página devuelve el que está en la mitad superior de la circunferencia; la tercera columna de la tabla tiene el otro, y aquí nada informa de a cuántas vueltas completas de distancia está una copia más. Tercero, los radianes se imprimen con cuatro decimales y los grados con dos, así que un valor que tras redondear cae sobre un ángulo notable se imprime como ese ángulo: el arcocoseno de 0,866 se imprime como treinta grados, aunque el coseno exacto de treinta grados sea un poco menor que 0,866.

Preguntas frecuentes

¿Por qué el arcocoseno no da nunca un ángulo negativo?
Porque el rango está fijado como la mitad superior de la circunferencia, de cero a ciento ochenta grados. Un coseno negativo pertenece a un ángulo obtuso, y este rango lo da como un ángulo por encima de noventa en lugar de doblarlo por debajo de cero como hace el arcoseno. Menos 0,5 tiene un coseno en ciento veinte grados, no en menos sesenta, aunque esos dos ángulos apunten en la misma dirección.
¿En qué se diferencia esto del arcoseno?
En el rango, y por tanto en lo que pasa lejos del primer cuadrante. El arcoseno devuelve un ángulo entre menos noventa y noventa; el arcocoseno devuelve uno entre cero y ciento ochenta. Para todo valor de la banda las dos respuestas suman noventa grados, que es la comprobación más rápida de cualquiera de las dos: el arcocoseno de 0,5 es sesenta y el arcoseno es treinta. La segunda solución también se encuentra de otra manera, restando de una vuelta completa aquí y de media vuelta allí.
¿Qué pasa si el valor es mayor que 1?
La página lo rechaza. El coseno de un ángulo se queda entre menos uno y uno haga lo que haga el ángulo, así que el dominio de la función inversa es exactamente esa banda y un valor de fuera no corresponde a ningún ángulo. Es la misma frontera que tiene el arcoseno, y viene del mismo sitio: una razón entre dos lados de un triángulo no puede pasar de uno cuando el lado de abajo es el más largo de los tres.
¿Cómo hallo el ángulo a partir de un coseno a mano?
Usa los valores que merece la pena recordar —un coseno de 0,5 son sesenta grados, 0,7071 son cuarenta y cinco y 0,866 son treinta— y lee el resto de una tabla o de una calculadora. Después acuérdate del segundo ángulo, que es el reflejo del primero respecto del eje horizontal y se encuentra restando de trescientos sesenta. Esta es la página a la que recurrir cuando un triángulo te da tres lados: la ley de los cosenos te entrega un coseno y ahí se queda.
¿Por qué la tabla va al revés?
Porque el coseno disminuye a medida que el ángulo crece. A lo largo del rango que da esta página, de cero a ciento ochenta grados, el coseno cae de uno a menos uno, así que una entrada mayor significa siempre un ángulo menor. Lee la tabla de arriba abajo y la columna de respuestas va de ciento ochenta a cero. La página del arcoseno se comporta al contrario, y esa diferencia es la misma que se ve en la forma de las dos curvas.
¿El arcocoseno es lo mismo que uno partido por el coseno?
No. El arcocoseno deshace el coseno: dale 0,5 y devuelve sesenta grados. Uno partido por el coseno le da a 0,5 la respuesta 2, que es la secante de sesenta grados: una razón y no un ángulo. La notación facilita la confusión, porque la inversa se escribe a menudo con un menos uno volado que parece un exponente y no lo es.

Referencias

Calculadoras relacionadas

Calculadora de cosenoCoseno de un ángulo, en grados o radianes.Calculadora de trigonometríaSeno, coseno y tangente de un ángulo, en grados o radianes.Calculadora de arcosenoArcoseno de un valor, en grados o radianes.Calculadora de arcotangenteArcotangente de un valor, en grados o radianes.