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CalcMax

Calculadora de arcoseno

Intervalo: -1 – 1

Resultado

30,00 °

Ángulo

Ángulo en radianes
0,5236 rad

Una calculadora de arcoseno convierte un valor de seno en un ángulo. Le das un número entre menos uno y uno, y te dice qué ángulo tiene ese número como seno, en grados y en radianes. Todo lo que no puede hacer sale de un solo hecho: un valor de seno no pertenece a un único ángulo. Un seno de 0,5 es el seno de treinta grados, y también el de ciento cincuenta grados, y también el de trescientos noventa, y el de cada uno de esos menos una vuelta completa. La función arcoseno devuelve exactamente uno de ellos, el que está entre menos noventa grados y noventa grados, y esa elección es lo que significa el valor principal. No es una afirmación de que los demás no existan. La función se escribe arcsen, y a menudo se la llama seno inverso, aunque no sea lo mismo que uno partido por el seno; la página da su respuesta dos veces: una en grados y una en radianes, porque las dos se piden continuamente y convertir a mano entre ellas es donde ocurren la mayoría de los errores de cálculo de este terreno. Dos límites acotan la respuesta. El valor tiene que estar entre menos uno y uno, ya que el seno de un ángulo no sale nunca de esa banda: pide el arcoseno de 1,5 y no hay ángulo que dar, así que la página lo rechaza en lugar de imprimir un hueco. Y la respuesta lleva signo: una entrada negativa da un ángulo negativo en lugar del ángulo equivalente en la mitad inferior de la circunferencia, que es el único punto en el que esta página se lee al revés que las del ángulo doble y el ángulo mitad. La tabla de abajo recoge nueve valores con el ángulo principal, sus radianes y el segundo ángulo de la circunferencia que comparte ese mismo seno.

Nueve valores de seno con el ángulo principal y la segunda solución

sen θθ (grados)el otro θ (grados)θ (radianes)
-1-90270-1.5708
-0.866-60240-1.0471
-0.7071-45225-0.7854
-0.5-30210-0.5236
001800
0.5301500.5236
0.7071451350.7854
0.866601201.0471
190901.5708

La segunda columna es lo que devuelve la función y la tercera lo que deja fuera, y esa pareja es el asunto entero de la tabla. Lee primero las filas centrales: un valor de cero pertenece a la pareja cero y ciento ochenta, y 0,5, el valor con el que se carga la página, a la pareja conocida treinta y ciento cincuenta. En toda la tabla las dos columnas suman ciento ochenta, que es la aritmética del reflejo, y la suma se cumple incluso en los extremos. Los dos extremos son donde deja de ser interesante, y cada uno a su manera. Arriba la pareja es noventa y noventa: la curva del seno se da la vuelta en su máximo, así que el reflejo de noventa grados es noventa grados otra vez, y las dos columnas imprimen el mismo número. Abajo la pareja lee menos noventa y doscientos setenta, que son la misma dirección escrita de dos maneras: la segunda columna conserva el signo que devuelve la función y la tercera ya está colocada sobre la circunferencia, y las dos solo parecen ángulos distintos porque una de ellas tiene permitido ser negativa. La cuarta columna es la segunda convertida; fíjate en que va de menos 1,5708 a 1,5708, media pi por cada lado, mientras que las columnas de ángulos recorren media vuelta entera.

Fórmula

θ = arcsen x x ∈ [−1, 1] θ ∈ [−90°, 90°] la otra solución en [0°, 360°) es 180° − θ

x
El valor de seno del que partes. Tiene que estar entre menos uno y uno: el seno de un ángulo no puede salir de esa banda, así que un valor de fuera no corresponde a ningún ángulo
θ
El ángulo que devuelve la función, llamado valor principal. Está siempre entre menos noventa grados y noventa grados, y se da en grados y en radianes
180° − θ
El segundo ángulo de la circunferencia con el mismo seno. Los reflejos respecto del eje vertical comparten el seno, y por eso el compañero se encuentra restando de ciento ochenta y no sumando

Acude a esta página cuando tengas una razón y quieras el ángulo: una pendiente medida que viene dada como un seno, la componente de una fuerza expresada como fracción del total, la lectura de una tabla en la que solo se tabuló la razón. La función arcoseno es también la que hay que usar cuando un problema de triángulos te da dos lados y te pide hallar el ángulo opuesto a uno de ellos, ya que el seno de un ángulo es el lado opuesto partido por la hipotenusa. Dos páginas vecinas importan aquí. Si quieres las tres razones en un ángulo y no el ángulo a partir de una razón, la página de trigonometría va al revés y las dos coinciden allí donde ambas estén definidas. Y si lo que tienes es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa, esa es la del arcocoseno, cuyo rango cubre la mitad superior de la circunferencia en lugar de la mitad derecha.

Ejemplos resueltos

  1. Un valor de seno de 0,5

    1. El valor está dentro de la banda que va de menos uno a uno, así que hay un ángulo que encontrar
    2. Treinta grados es el ángulo del rango principal cuyo seno es 0,5, así que la página da treinta grados
    3. En radianes eso es treinta por pi partido por ciento ochenta, que es un sexto de pi, o 0,5236

    El valor con el que se carga la página y el que enseña lo que cuesta el rango. Ciento cincuenta grados también tiene un seno de 0,5, ya que es el reflejo de treinta grados respecto del eje vertical, pero la función devuelve un solo número y treinta es el que está en el rango. La tabla deja ver el ángulo perdido: 0,5 es la sexta de sus nueve filas, y la tercera columna de esa fila es 150. Los dos ángulos son respuestas a la misma pregunta; solo una de ellas es lo que una función tiene permitido devolver.

  2. Un valor de seno de 0,25, que no es un ángulo notable

    1. Un cuarto no es el seno de ningún ángulo de las tablas habituales, así que la respuesta será decimal
    2. El ángulo cuyo seno es 0,25 es 14,48 grados, con dos decimales
    3. En radianes ese mismo ángulo es 0,2527, que es más o menos un cuarto del propio valor del seno

    La mayoría de los valores caen aquí y no sobre un ángulo notable, y esta fila es el aspecto que tiene una consulta real. Merece un vistazo la columna de los radianes: en ángulos pequeños la medida en radianes está muy cerca del propio valor del seno, y por eso 0,2527 queda junto a 0,25. Esa es la aproximación para ángulos pequeños, y el hecho de que aparezca sola en una tabla es la demostración más corta de por qué el radián es la unidad que usa el cálculo.

  3. Un valor de seno negativo, menos 0,5

    1. Menos 0,5 está dentro de la banda, así que la página encuentra un ángulo
    2. El ángulo del rango principal cuyo seno es menos 0,5 es menos treinta grados
    3. Los radianes siguen el mismo signo: menos 0,5236

    El otro punto en el que esta página se lee al revés que las del ángulo doble y el ángulo mitad. Allí un ángulo negativo se devolvía a su rango antes de que pasara nada y volvía como una posición de la mitad superior de la circunferencia. Aquí la respuesta se deja con signo, porque el rango principal es la banda que va de menos noventa a noventa y la mitad de ella está por debajo de cero. Treinta grados por debajo de la horizontal y treinta por encima son el mismo ángulo con signos opuestos, y la función da el que coincide con el signo de la entrada. La fila de menos 0,5 en la tabla muestra las dos lecturas: menos treinta en la segunda columna y 210 en la tercera.

  4. Un valor de seno de 1, en el borde de la banda

    1. Uno es el mayor seno que tiene cualquier ángulo, así que la respuesta es lo más alto del rango principal
    2. Noventa grados tiene un seno de uno, y ningún ángulo tiene uno mayor
    3. En radianes un ángulo recto es la mitad de pi, que es 1,5708

    La fila en la que las dos soluciones se funden en una. Todos los demás valores de seno de la banda pertenecen a dos ángulos distintos, pero el uno pertenece a noventa y a nada más en la circunferencia: la curva del seno se da la vuelta ahí, así que el reflejo de noventa grados respecto del eje vertical es noventa grados otra vez. La tabla lo enseña con claridad: la segunda y la tercera columna de la última fila leen las dos 90. No es una entrada duplicada, es la curva aplanándose en su máximo.

Limitaciones

Tres cosas que esta página no hace. Primero, un valor fuera de la banda que va de menos uno a uno no tiene respuesta y se rechaza en lugar de aproximarse: 1,5 no es el seno de nada. Segundo, la respuesta es solo el valor principal. Todo valor de seno entre menos uno y uno pertenece a dos ángulos de una vuelta completa y a infinitos a lo largo de las vueltas, y la página devuelve el que está en la banda que va de menos noventa a noventa; si el ángulo que quieres es el otro, la tercera columna de la tabla lo tiene, y si es ese mismo ángulo más o menos vueltas completas, aquí nada te dirá cuántas. Tercero, los radianes se imprimen con cuatro decimales y los grados con dos, así que un valor que tras redondear cae sobre un ángulo notable se imprimirá como ese ángulo: el arcoseno de 0,866 se imprime como sesenta grados, aunque el seno exacto de sesenta grados sea un poco mayor que 0,866.

Preguntas frecuentes

¿Por qué el arcoseno de 0,5 da 30 grados y no 150?
Porque los dos ángulos tienen un seno de 0,5, y una función solo puede devolver un número. El rango de la función arcoseno está fijado como la banda que va de menos noventa grados a noventa grados, y treinta es el ángulo que está en esa banda. Ciento cincuenta grados es una respuesta perfectamente válida para la ecuación, y la tabla de esta página la muestra en la tercera columna, pero no es lo que devuelve la función.
¿Qué pasa si escribo un valor mayor que 1?
La página lo rechaza, porque ningún ángulo tiene un seno mayor que uno. El seno de un ángulo se queda entre menos uno y uno haga lo que haga el ángulo, así que el dominio de la función inversa es exactamente esa banda y nada de fuera corresponde a un ángulo. Esto es distinto de un valor como 1,5 en una división, donde un número grande simplemente produce uno pequeño: aquí la pregunta misma no tiene respuesta.
¿Por qué la respuesta es negativa para un valor negativo?
Porque el rango principal va de menos noventa grados a noventa grados, y la mitad de él está por debajo de cero. La función seno es impar, es decir, el seno de menos treinta es el opuesto del seno de treinta, así que deshacerla sobre un valor negativo da un ángulo negativo. El ángulo equivalente en la mitad inferior de la circunferencia, 330 grados para una entrada de menos 0,5, apunta en la misma dirección; la página da el que lleva signo.
¿Cómo hallo el ángulo a partir de un valor de seno a mano?
Busca el valor en una tabla de senos, o estímalo a partir de la banda: un seno de 0,5 son treinta grados, un seno de 0,7071 son cuarenta y cinco y un seno de 0,866 son sesenta. Para cualquier cosa entre esos valores, una calculadora es el camino práctico. Lo único que hay que recordar al hacerlo a mano es el segundo ángulo: todo valor de seno de la banda abierta pertenece a dos ángulos de una vuelta completa, y una tabla suele listar solo el primero.
¿Cuál es el arcoseno en radianes?
El mismo ángulo, medido de la otra manera. Treinta grados son un sexto de pi, que es 0,5236 radianes, y la página imprime los dos para que nunca haya que hacer la conversión a mano. El radián es la unidad que hace que la derivada del seno sea el coseno, y por eso todo lo que tiene que ver con el cálculo enuncia los ángulos así, mientras que todo lo que se mide con un transportador los enuncia en grados.
¿El arcoseno es lo mismo que uno partido por el seno?
No, y es fácil confundir las dos cosas porque en las dos aparece la palabra seno. El arcoseno deshace el seno: toma 0,5 y devuelve treinta grados. Uno partido por el seno toma 0,5 y devuelve 2, que es la cosecante de treinta grados: una razón, no un ángulo. La notación lo empeora, porque la inversa se escribe a menudo con un menos uno volado que se parece exactamente a un exponente.

Referencias

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