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CalcMax

Calculadora de arcotangente

Resultado

45,00 °

Ángulo

Ángulo en radianes
0,7854 rad

Una calculadora de arcotangente convierte un valor de tangente en el ángulo al que pertenece, en grados y en radianes. La razón que entra es la que se suele escribir tan. A diferencia de las otras dos funciones inversas, acepta cualquier número real: una pendiente puede ser tan empinada como quieras, así que no hay banda en la que quedarse, y una tangente de un millón es una entrada perfectamente válida. El ángulo que vuelve está siempre entre menos noventa grados y noventa, y los dos extremos de ese intervalo son la parte interesante, porque no se alcanza ninguno. Una tangente de noventa grados no existe: la razón pondría el cateto adyacente en cero y dividiría entre él. Así que por grande que sea el valor que escribas, la respuesta sube hacia noventa y se queda corta, y la página imprime noventa grados para cualquier cosa lo bastante grande como para que la diferencia caiga por debajo del último decimal que muestra. Eso es un artificio del redondeo y no una respuesta, y conviene saberlo antes de que ocurra. El resto de la página sale de una propiedad más. La tangente se repite cada media vuelta y no cada vuelta entera, así que una tangente de uno pertenece a cuarenta y cinco grados y a doscientos veinticinco, y esos dos están media vuelta de distancia en lugar de ser reflejos el uno del otro. La tabla de abajo recoge nueve valores con su ángulo, sus radianes y el ángulo compañero a media vuelta. Dos páginas vecinas merecen un vistazo. Si la razón que tienes es el cateto opuesto partido por la hipotenusa, esa es la del arcoseno, que vive dentro de la banda que va de menos uno a uno y responde en la mitad derecha de la circunferencia. Y si es el cateto adyacente partido por la hipotenusa, esa es la del arcocoseno, cuyo rango es la mitad superior de la circunferencia y cuyas respuestas nunca son negativas. A la función se la llama a menudo tangente inversa, aunque no sea lo mismo que uno partido por la tangente.

Nueve valores de tangente con el ángulo principal y el compañero a media vuelta

tan θθ (grados)el otro θ (grados)θ (radianes)
-3-71.57108.43-1.249
-1.7321-60120-1.0472
-1-45135-0.7854
-0.5774-30150-0.5236
001800
0.5774302100.5236
1452250.7854
1.7321602401.0472
371.57251.571.249

Es la única tabla de las tres páginas inversas sin ninguna fila en la que las dos columnas de ángulos coincidan, y el motivo merece un momento. En la página del arcoseno y en la del arcocoseno la segunda solución es un reflejo, así que en los dos puntos de giro de la curva el compañero es el propio ángulo y las columnas imprimen el mismo número: las filas de esas tablas que leen noventa con noventa son ese fundido. La tangente no tiene puntos de giro ni cota: sube de menos infinito a más infinito a lo largo de una sola media vuelta, y las dos columnas de ángulos están siempre a media vuelta de distancia. Así que aquí todas las filas difieren en ciento ochenta, y no hay filas en los extremos que puedan fundirse porque los extremos no están en la tabla: el rango es abierto, y los ángulos suben hacia noventa y hacia menos noventa sin serlo nunca. Lee juntas la primera y la última fila: tres y menos tres dan ángulos que son imágenes especulares el uno del otro, setenta y uno coma cinco y siete por encima de cero y lo mismo por debajo, y las dos columnas del compañero se reflejan igual respecto de la fila central.

Fórmula

θ = arctan x x ∈ ℝ θ ∈ (−90°, 90°) la otra solución en [0°, 360°) es θ + 180°

x
El valor de la tangente, que puede ser cualquier número real. Aquí no se rechaza nada, porque la tangente toma todos los valores reales en algún punto de la circunferencia
θ
El ángulo que devuelve la función, siempre estrictamente entre menos noventa grados y noventa. Los dos extremos quedan excluidos, porque la tangente no tiene valor en ninguno de ellos
θ + 180°
El segundo ángulo de la circunferencia con la misma tangente. La tangente se repite cada media vuelta, así que el compañero se encuentra sumando y no reflejando respecto de un eje

Acude a esta página siempre que la razón que tengas sea una pendiente: lo que sube entre lo que avanza, la inclinación de una carretera o de un tejado, el ángulo que una recta forma con la horizontal, la dirección de un vector en el plano. Es también la función inversa a la que recurrir para hallar el ángulo cuando los dos lados que conoces son los que se juntan en el ángulo recto, ya que la tangente de un ángulo es el cateto opuesto partido por el adyacente, y es la que nunca rechaza una entrada por ser demasiado grande. Dos páginas vecinas importan. Si la razón que tienes es el cateto opuesto partido por la hipotenusa, esa es la del arcoseno, cuyo rango cubre la mitad derecha de la circunferencia en lugar de la banda central. Y si lo que quieres es la tangente en un ángulo y no el ángulo a partir de una tangente, la página de la tangente va al revés, y su propia página explica por qué la razón se dispara en un ángulo recto.

Ejemplos resueltos

  1. Un valor de tangente de 1

    1. El valor se acepta sea cual sea, así que hay un ángulo que encontrar
    2. Cuarenta y cinco grados es el ángulo del rango cuya tangente es 1, así que la página da cuarenta y cinco grados
    3. En radianes eso es un cuarto de pi, que es 0,7854

    El valor con el que se carga la página y el ejemplo más pequeño del compañero a media vuelta. Una tangente de 1 pertenece también a doscientos veinticinco grados, que son cuarenta y cinco más media vuelta: la tercera columna de la tabla lee 225 en esa fila. Fíjate en lo que el compañero no es: no es un reflejo de cuarenta y cinco respecto de ningún eje, como sí lo es la segunda solución en las páginas del arcoseno y del arcocoseno. La tangente simplemente se repite media vuelta después, y esa es la misma afirmación que decir que su periodo es de ciento ochenta grados y no de trescientos sesenta.

  2. Un valor de tangente negativo, menos 1

    1. El valor se acepta, y es negativo, así que la respuesta también lo será
    2. El ángulo del rango cuya tangente es menos 1 es menos cuarenta y cinco grados
    3. Los radianes siguen el signo: menos 0,7854

    La convención con signo, como en la página del arcoseno y al revés que en la del arcocoseno. Una pendiente negativa da un ángulo negativo, porque el rango es la banda que va de menos noventa a noventa y la mitad de ella está por debajo de cero. El compañero aquí es ciento treinta y cinco grados, que es menos cuarenta y cinco más media vuelta, y es también el reflejo de cuarenta y cinco respecto del eje vertical, pero esa coincidencia pertenece a este valor y no a la página, y deja de cumplirse en cuanto el valor no es exactamente menos uno.

  3. Un valor de tangente de 0,5, que no es un ángulo notable

    1. Un medio no es la tangente de ningún ángulo de las tablas habituales, así que la respuesta será decimal
    2. El ángulo cuya tangente es 0,5 es 26,57 grados
    3. En radianes ese mismo ángulo es 0,4636

    La mayoría de las pendientes caen en una fila como esta y no sobre un ángulo notable. Es también el sitio más claro para ver la forma de la respuesta: a medida que el valor crece el ángulo sube hacia noventa y no lo toca nunca, y a medida que el valor se acerca a cero el ángulo baja hacia cero. La tangente de un ángulo pequeño está muy cerca del propio ángulo en radianes —0,4636 frente a 0,5—, que es la misma aproximación para ángulos pequeños que aparece en la página del arcoseno, y aquí es más floja que allí.

  4. Un valor de tangente de un millón, en el borde del rango

    1. Un millón es una entrada corriente aquí, ya que no se aplica ninguna cota
    2. El ángulo cuya tangente es un millón es 89,99994 grados, un pelo por debajo de noventa
    3. Dos decimales no bastan para mostrar la diferencia, así que la página imprime noventa grados

    La fila sobre la que la página existe para avisar. Noventa grados no está en el rango y nunca lo estará, porque ahí la tangente no tiene valor alguno, pero una entrada así de grande cae lo bastante cerca como para que la respuesta impresa redondee hasta él. La cifra impresa es honesta sobre lo que es: el ángulo es noventa grados con la precisión que se muestra. Lo que estaría mal es leerla como un valor exacto o, peor, entender que la tangente de noventa grados es un millón en lugar de ser indefinida. Empuja la entrada más allá, hasta cien millones, y el ángulo verdadero se acerca a noventa sin que la lectura cambie.

Limitaciones

Tres cosas que esta página no hace. Primero, los extremos del rango no se devuelven nunca. Noventa grados y menos noventa están excluidos, porque ahí la tangente no tiene valor, así que la respuesta se les acerca sin llegar; para entradas lo bastante grandes como para que la diferencia caiga por debajo de dos decimales la página imprime el extremo de todos modos, y esa lectura es redondeada y no exacta. Segundo, la respuesta es solo el valor principal. La tangente se repite cada media vuelta, así que todo valor de esta página pertenece a dos ángulos de una vuelta completa y a infinitos a lo largo de las vueltas, y la página devuelve el que está estrictamente entre menos noventa y noventa; la tercera columna de la tabla tiene el compañero, que está a media vuelta. Tercero, los radianes se imprimen con cuatro decimales y los grados con dos, así que un valor que tras redondear queda cerca de un ángulo notable se imprimirá como ese ángulo: el arcotangente de 1,7321 se imprime como sesenta grados, aunque la tangente exacta de sesenta grados sea un poco mayor.

Preguntas frecuentes

¿Por qué aquí se admite cualquier valor y las otras dos rechazan los mayores que 1?
Porque la tangente no tiene cota superior. El arcoseno y el arcocoseno toman una razón entre dos lados con el más largo abajo, así que su entrada no puede pasar de uno; la tangente es el cateto opuesto partido por el adyacente, y ninguno de esos dos es el lado más largo, así que la razón puede ser tan grande como empinado sea el triángulo. Una tangente de un millón es la pendiente de una pared un millón de veces más alta que ancha.
¿Por qué un valor muy grande da exactamente 90 grados?
Estrictamente hablando no lo hace: da un ángulo justo por debajo de noventa que redondea hasta él. Noventa grados no está en el rango, porque ahí la tangente no tiene valor, ya que la razón dividiría entre cero. A medida que la entrada crece la respuesta sube hacia noventa y no llega nunca, así que para cualquier cosa por encima de unos diez mil la respuesta impresa es noventa grados con los dos decimales que se muestran. La lectura es correcta con esa precisión y equivocada si la tratas como exacta.
¿Por qué el segundo ángulo está media vuelta después y no es un reflejo?
Porque la tangente se repite cada ciento ochenta grados y no cada trescientos sesenta. Sumar media vuelta a un ángulo deja el cateto opuesto y el adyacente con el signo cambiado, así que su razón no cambia. Las páginas del arcoseno y del arcocoseno encuentran su segunda solución reflejando respecto de un eje, porque el seno y el coseno los comparten las imágenes especulares; la tangente no, así que su compañero sale de sumar y no de restar.
¿Cómo hallo el ángulo a partir de una tangente a mano?
Recuerda que una tangente de 1 son cuarenta y cinco grados y que una tangente de 1,7321 son sesenta, saca el resto de una tabla o de una calculadora, y después suma ciento ochenta grados si quieres el otro ángulo de la circunferencia. Es la función inversa que hay que usar para una pendiente —lo que sube entre lo que avanza— y la que hay que usar cuando los dos lados que conoces son los dos que se juntan en el ángulo recto.
¿Por qué la respuesta es negativa para un valor negativo?
Porque el rango va de menos noventa grados a noventa, y la mitad de él está por debajo de cero. Una tangente negativa significa que el cateto opuesto y el adyacente tienen signos opuestos, lo que es una pendiente que baja en lugar de subir, y la página lo da con el signo que sugiere la entrada. El ángulo compañero, a media vuelta, es positivo: menos cuarenta y cinco y ciento treinta y cinco son la misma pendiente en direcciones opuestas.
¿El arcotangente es lo mismo que uno partido por la tangente?
No. El arcotangente deshace la tangente: dale 1 y devuelve cuarenta y cinco grados. Uno partido por la tangente le da a 1 la respuesta 1, que es la cotangente de cuarenta y cinco grados: una razón y no un ángulo. Las dos coinciden solo a cuarenta y cinco grados, que es exactamente el tipo de coincidencia que hace que la confusión dure tanto.

Referencias

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