Rechtwinkliges-Dreieck-Rechner

a² + b² = c² A + B = 90° sin A = a ÷ c tan A = a ÷ b Fläche = a × b ÷ 2 Umfang = a + b + c

a, b

Die beiden Katheten, die Seiten, die sich im rechten Winkel treffen. Die Seite führt jede Eingabe auf diese beiden zurück, bevor sie irgendetwas anderes berechnet, ein Fall, der von einer Hypotenuse und einem Winkel ausging, wird also zuerst in zwei Katheten verwandelt

c

Die Hypotenuse, die Seite gegenüber dem rechten Winkel und immer die längste. Sie ist das Hauptergebnis der Seite, und sie wird immer neu gerechnet statt wiederholt — auch dann, wenn Sie sie selbst eingetippt haben

A, B

Die beiden spitzen Winkel. A ist der gegenüber der Kathete a und B der gegenüber der Kathete b; jeder von ihnen liegt zwischen null und 90 Grad, und zusammen machen sie das aus, was von den 180 Grad des Dreiecks übrig bleibt

Nehmen Sie diese Seite, wenn Sie zwei Maße eines rechtwinkligen Dreiecks kennen und den Rest davon berechnen wollen: die beiden Katheten, eine Kathete und die Hypotenuse, oder irgendeine Seite zusammen mit einem der beiden spitzen Winkel. Sie ist damit die Seite, auf der sich eine fehlende Kathete genauso berechnen lässt wie eine fehlende Hypotenuse. Sie ist der Allzweckrechner für das rechtwinklige Dreieck, und sie unterscheidet sich von der Seite zum Satz des Pythagoras darin, womit sie anfängt — jene Seite beantwortet die engere Frage nach der fehlenden Seite, diese beantwortet das ganze Dreieck und stellt die Hypotenuse nach oben, gleich welche zwei Felder Sie gefüllt haben. Sie unterscheidet sich auch von der Dreiecksseite, die dieselbe Idee ohne den rechten Winkel ist: Jene braucht zwei Seiten plus den Winkel zwischen ihnen, und diese holt sehr viel mehr aus denselben zwei Zahlen, weil der rechte Winkel ein drittes Stück Information gratis ist. Ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei gleich langen Katheten ist der gleichschenklige Fall, und die Seite dazu druckt dieselbe Figur in ihren eigenen Begriffen.

1. Zwei Katheten, 3 und 4

   1. Die beiden Katheten sind gegeben, der Satz des Pythagoras gibt also die Hypotenuse: 9 plus 16 ist 25, und die Wurzel aus 25 ist 5
   2. Winkel A liegt der Seite der Länge 3 gegenüber, sein Tangens ist also 3 durch 4, das ergibt 36,87 Grad
   3. Winkel B ist das, was von 90 Grad übrig bleibt, also 53,13
   4. Die Fläche ist die Hälfte von drei mal vier, und der Umfang ist die Summe der drei Seiten

   Das Dreieck, mit dem die Seite lädt, und das kleinste der ganzzahligen rechtwinkligen Dreiecke — dasselbe, um das die Seite zum Satz des Pythagoras gebaut ist, die beiden stimmen also bis zur letzten Nachkommastelle bei Hypotenuse, Fläche und Umfang überein. Beachten Sie, dass beide Katheten in der Ausgabe erscheinen, obwohl sie eingetippt wurden: Das Panel druckt immer alle sieben Größen, und das Versprechen, das ganze Dreieck zu lösen, ist der Grund. Beide Winkel liegen zwischen null und 90, und sie addieren sich zu exakt 90 statt zu 89,99, weil der zweite als Rest gerechnet wird.

2. Eine Kathete und die Hypotenuse, 6 und 10

   1. Die Hypotenuse und eine Kathete sind gegeben, die andere Kathete ist also die Wurzel aus zehn zum Quadrat minus sechs zum Quadrat
   2. Hundert minus sechsunddreißig ist vierundsechzig, dessen Wurzel 8 ist
   3. Die Winkel folgen aus den Katheten: Der Tangens von A ist 6 durch 8
   4. Drei Seiten sind jetzt bekannt, Fläche und Umfang sind also Arithmetik

   Die andere Kathete kommt aus demselben Satz, rückwärts gelesen: hundert minus sechsunddreißig ist vierundsechzig, und die Wurzel aus vierundsechzig ist acht. Das ist der Fall, in dem der Satz des Pythagoras subtrahiert statt addiert, und es ist zugleich der, der scheitert, wenn die beiden Felder in der falschen Reihenfolge gefüllt werden — eine Hypotenuse, die kürzer ist als eine Kathete, hat keine Lösung, und die Seite sagt das, statt eine Zahl zurückzugeben. Die Winkel stimmen mit der Zeile drei-vier-fünf genau überein, weil sechs-acht-zehn dieses Dreieck verdoppelt.

3. Eine Kathete und der ihr gegenüberliegende Winkel, 3 und 30 Grad

   1. Winkel A liegt der Kathete a gegenüber, der Sinus von 30 Grad verbindet die Kathete also mit der Hypotenuse: Die Kathete ist die Hypotenuse mal ein Halb
   2. Die Hypotenuse ist also das Doppelte der Kathete, das ist 6
   3. Die andere Kathete ist die Kathete durch den Tangens von 30 Grad, etwa 5,2
   4. Winkel B ist das, was von 90 übrig bleibt, also 60

   Das ist das Dreieck mit 30, 60 und 90 Grad, das, dessen Seiten im Verhältnis eins zu Wurzel drei zu zwei stehen, und es ist die Zeile, die zeigt, welcher Winkel welcher ist: A liegt der Seite gegenüber, die Sie angegeben haben, die Seite der Länge 3 ist also die, welche dem 30-Grad-Winkel zugewandt und die kurze ist. Füllen Sie dieselbe Kathete mit Winkel B gleich 60, und jede Zahl kommt identisch heraus — die beiden Winkel beschreiben dieselbe Gestalt, und dieses Paar ist die Probe der Seite auf die Zuordnung. Die Kathete, die Fläche und der Umfang sind auf zwei Nachkommastellen gerundet, 5,196 erscheint also als 5,2.

4. Die Hypotenuse und ein Winkel, 10 und 30 Grad

   1. Ist die Hypotenuse bekannt, so ist die dem 30-Grad-Winkel zugewandte Kathete die Hypotenuse mal dem Sinus von 30, also 10 mal ein Halb
   2. Die andere Kathete ist die Hypotenuse mal dem Kosinus von 30, etwa 8,66
   3. Die Winkel sind bereits bekannt: 30 und sein Komplement 60
   4. Die Fläche ist die Hälfte von fünf mal 8,66, und der Umfang ist die Summe der drei Seiten

   Dieselbe Gestalt wie die Zeile darüber, doppelt so groß — die Seiten sind 5, 8,66 und 10 gegen 3, 5,2 und 6, und das Verhältnis zwischen ihnen ist überall dasselbe, und das heißt es, wenn zwei Dreiecke dieselben Winkel haben. Beachten Sie, dass die Hypotenuse gedruckt wird, obwohl Sie sie eingetippt haben: Sie wird aus den Katheten neu gerechnet statt wiederholt, die drei Seiten auf dem Panel erfüllen den Satz des Pythagoras also immer exakt und können einander nie widersprechen. Die Rundung auf zwei Nachkommastellen ist es, die 8,66 statt 8,6602 erscheinen lässt.

Vier Dinge, die man kennen sollte. Erstens müssen genau zwei der fünf Felder gefüllt sein, und die beiden dürfen nicht beide Winkel sein. Ein Feld ist zu wenig Information, drei sind mehr als genug, und die Seite unterscheidet diese beiden Fälle in ihrer Meldung; zwei Winkel erfüllen die Anzahl und lassen sich trotzdem nicht lösen, weil zwei Winkel die Gestalt festlegen und nichts über die Größe sagen. Das Panel markiert nicht, auf welche Felder es wartet, die Zählung liegt also bei Ihnen. Zweitens werden beide spitzen Winkel angenommen, keiner von ihnen darf aber null oder 90 sein, weil die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks echt zwischen diesen Werten liegen; eine Seite von null wird aus demselben Grund abgelehnt, denn ein ausgeartetes Dreieck hat keine Fläche und keinen Umfang, die sich zu drucken lohnten. Drittens meldet die Seite in Zentimetern und Quadratzentimetern, unabhängig von der Einheit, die Sie eingetippt haben — eine in Fuß eingegebene Kathete wird umgerechnet, bevor das Dreieck gelöst wird, und die Antworten kommen in Zentimetern zurück. Viertens sind zwei der sieben Ausgabezeilen gewöhnlich eine Wiederholung Ihrer eigenen Eingabe, eine Kathete einzutragen und dieselbe Kathete zurückgedruckt zu sehen heißt also nicht, dass die Seite nicht rechnet; der Wert, den sie druckt, hat die Einheitenumrechnung und die Rundung durchlaufen, und die anderen Zeilen sind die, welche die neue Information tragen.

Wie viele der fünf Felder fülle ich aus?

Genau zwei. Je zwei der drei Seiten und der beiden spitzen Winkel genügen, um ein rechtwinkliges Dreieck vollständig festzulegen, und eines genügt nicht — eine einzelne Seite lässt die Gestalt frei und ein einzelner Winkel die Größe. Die Seite lehnt auch drei ab, nicht weil drei Maße mehrdeutig wären, sondern weil die Meldung, die Sie dann brauchen, die Anzahl betrifft und nicht die Rechnung. Das einzige Paar, das beide Felder füllt und trotzdem scheitert, sind die beiden Winkel, die die Gestalt festlegen und nicht die Größe.

Warum druckt das Panel die Seite, die ich eingetippt habe?

Weil die Seite das ganze Dreieck verspricht und nicht nur die Teile, die Sie nicht geliefert haben. Ihre Ausgabeliste ist fest, eine eingetippte Kathete erscheint also unter den sieben Zeilen, zusammen mit allem anderen. Die Zeile sieht aus, als hätte sie nichts getan, aber der Wert hat die Einheitenumrechnung und die Rundung durchlaufen, und die anderen sechs Zeilen sind die, in denen die neue Information steckt. Die Alternative — ein Panel, dessen Zeilen sich danach ändern, welche Felder Sie gefüllt haben — wäre schwerer zu lesen, nicht leichter.

Welcher Winkel ist Winkel A?

Winkel A ist der gegenüber der Kathete a, Winkel B der gegenüber der Kathete b. Tippen Sie also eine Kathete von 3 und einen Winkel von 30 Grad ein, liest die Seite die 3 als die diesem 30-Grad-Winkel zugewandte Seite, was sie zur kurzen Kathete eines Dreiecks mit 30, 60 und 90 Grad macht. Die beiden spitzen Winkel addieren sich immer zu genau 90 Grad, weil der rechte Winkel die restlichen 90 der 180 Grad des Dreiecks belegt, und die Seite rechnet den zweiten als Rest statt ihn getrennt herzuleiten — deshalb runden sie nie auf 89,99.

In welchen Einheiten stehen die Antworten?

Immer in Zentimetern und Quadratzentimetern, welche Einheit Sie auch eingegeben haben. Die Seite rechnet Ihre Eingabe in eine gemeinsame Einheit um, bevor sie das Dreieck löst, und die Ausgaben sind in Zentimetern angegeben, eine in Fuß eingetippte Kathete kommt also als Zahl in Zentimetern zurück. Winkel stehen aus demselben Grund immer in Grad: Sie dürfen sie im Bogenmaß oder in Neugrad eingeben, das Panel meldet aber Grad.

Was ist der Unterschied zwischen dieser Seite und der Seite zum Satz des Pythagoras?

Diese Seite nimmt mehr Eingaben an und gibt mehr Ausgaben zurück. Die Seite zum Satz des Pythagoras nimmt zwei der drei Seiten und beantwortet die engere Frage nach der fehlenden Seite; diese nimmt je zwei von fünf Maßen — Winkel eingeschlossen — und gibt die vollständige Figur zurück, wobei sie in jedem Fall mit der Hypotenuse anfängt. Die beiden stimmen überall genau überein, wo sie sich überschneiden, weil beide am selben Dreieck mit derselben Rundung arbeiten.

Warum wird eine Hypotenuse abgelehnt, die kürzer ist als eine Kathete?

Weil es kein solches Dreieck gibt. Die Hypotenuse ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel und immer die längste der drei, sie muss also echt größer sein als jede Kathete. Sind die beiden Felder mit einer Kathete und einer Hypotenuse gefüllt und ist die Hypotenuse die kleinere Zahl, so sind die beiden mit ziemlicher Sicherheit vertauscht eingegeben worden, und die Seite sagt das und schlägt vor, sie zu tauschen, statt die Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen — was überhaupt keine Antwort ergäbe.

• Right Triangle — the five measurements, which combinations determine the triangle, and the identities that relate them — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean Theorem — the relation between the three sides, with the converse and the degenerate cases — Wolfram MathWorld (United States)
• Rechtwinkliges Dreieck — die fünf Maße, der Satz des Pythagoras und die Winkelfunktionen als Seitenverhältnisse — Mathepedia (Deutschland)
• Sinus und Kosinus — Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse, und wie man aus einer Seite und einem Winkel die übrigen gewinnt — Mathepedia (Deutschland)