Trigonometrie-Rechner

sin θ = Gegenkathete ÷ Hypotenuse cos θ = Ankathete ÷ Hypotenuse tan θ = sin θ ÷ cos θ

θ

Der Winkel, in Grad oder im Bogenmaß. Er darf negativ sein und größer als eine volle Umdrehung — es zählt nur, wo er auf dem Kreis landet

Gegenkathete / Ankathete

Die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks mit dem Winkel θ: die Seite gegenüber von θ und die Seite daneben. Über einer Hypotenuse von eins werden sie zu den beiden Koordinaten, die Sinus und Kosinus ablesen

Hypotenuse

Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die Seite gegenüber dem rechten Winkel. Durch sie zu teilen ist der Grund, warum Sinus und Kosinus zwischen minus eins und eins bleiben

Diese Seite beantwortet eine Frage auf drei Weisen: Wie lauten zu einem gegebenen Winkel sein Sinus, sein Kosinus und sein Tangens? Greifen Sie zu ihr, wenn Sie den Winkel bereits haben — eine Dachneigung, die Sie in Grad kennen und als Steigung brauchen, eine Phasenlage im Bogenmaß, eine Richtung, die Sie gleich in Komponenten zerlegen wollen — und wenn Sie die drei Winkelfunktionen zusammen berechnen wollen statt einzeln nacheinander. Die Wertetabelle mit zwölf Winkeln steht aus demselben Grund dort: Fast jeder Winkel, den man tatsächlich trifft, ist einer dieser zwölf, und alle drei Funktionen nebeneinander zu sehen ist die Art, wie man bemerkt, dass der Sinus von dreißig Grad und der Kosinus von sechzig Grad dieselbe Zahl sind. Wer stattdessen den Punkt selbst vor Augen haben will, nimmt die Seite zum Einheitskreis, und wer zwei Seiten kennt statt eines Winkels, die Seite zum rechtwinkligen Dreieck. Und wenn Sie ein Verhältnis haben und den Winkel dazu suchen, ist das die umgekehrte Richtung — Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels verraten Ihnen den Winkel nicht, und dafür sind die Arkusfunktionen zuständig: Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens rechnen jeweils einzeln zurück.

1. Ein Winkel von 30 Grad

   1. Der Winkel liegt im ersten Quadranten, alle drei Vorzeichen sind also positiv
   2. Der Punkt bei 30 Grad auf dem Kreis mit dem Radius eins ist (√3/2, 1/2)
   3. Der Kosinus ist also √3/2 und der Sinus 1/2, und der Tangens ist ihr Verhältnis, √3/3

   Der Winkel, mit dem die Seite lädt, und die erste Zeile der Tabelle weiter unten. Die exakten Werte sind ein Halb, Wurzel drei durch zwei und Wurzel drei durch drei; die gedruckten Dezimalzahlen sind diese drei auf vier Stellen gerundet, und 0,5774 ist die, die man sich ansehen sollte — ein Drittel einer Wurzel, keine periodische Dezimalzahl.

2. Ein Winkel von 45 Grad

   1. Bei 45 Grad liegt der Punkt auf der Geraden y = x, die beiden Koordinaten sind also gleich
   2. Gleiche Koordinaten heißen, dass Sinus und Kosinus dieselbe Zahl sind, nämlich √2/2
   3. Das Verhältnis zweier gleicher Zahlen ist genau 1, deshalb ist der Tangens hier exakt

   Der einzige Winkel unter neunzig Grad, dessen Tangens exakt ist — 1 und nicht 0,9999. Sinus und Kosinus sind beide 0,7071, und das ist der größte Wert, den einer von beiden im ersten Quadranten nach 45 Grad erreicht: Jenseits dieses Winkels steigt der Sinus weiter und der Kosinus fällt. Es ist zugleich der einzige Winkel, an dem der Tangens als Sinus durch Kosinus glatt aufgeht.

3. Ein Winkel im zweiten Quadranten, 135 Grad

   1. 135 Grad sind 45 Grad über den rechten Winkel hinaus, der Punkt liegt also im zweiten Quadranten
   2. Seine y-Koordinate ist weiterhin positiv, der Sinus ist also noch 0,7071
   3. Seine x-Koordinate ist jetzt negativ, der Kosinus ist also −0,7071
   4. Der Tangens ist das Verhältnis eines Positiven zu einem Negativen, also negativ

   Um die Vorzeichen geht es in diesem Beispiel. Der Sinus von 135 Grad ist genau der Sinus von 45 Grad, der Kosinus hat das Vorzeichen gewechselt und der Tangens mit ihm. Liest man die Tabelle weiter unten von oben nach unten, so ist die Sinusspalte in den ersten beiden Quadranten positiv und in den letzten beiden negativ; die Kosinusspalte wechselt bei neunzig Grad; und die Tangensspalte wechselt ebenfalls bei neunzig Grad, also an derselben Stelle, an der sie ausfällt.

Drei Dinge tut diese Seite nicht. Sie liest einen Winkel und gibt Verhältnisse aus; sie geht nicht den umgekehrten Weg. Haben Sie 0,5 und suchen den Winkel, dessen Sinus das ist, so sagt Ihnen hier nichts etwas darüber — das erledigen die Arkusfunktionen, und das ist eine ehrlich andere Frage mit einer ehrlich anderen Lösungsmenge, weil ein Sinus von 0,5 zu mehr als einem Winkel gehört. Zweitens wird der Tangens im rechten Winkel und nach drei Vierteln einer Umdrehung abgelehnt statt angenähert, und dieselbe Ablehnung trifft jeden Winkel, der auf einen dieser beiden hinausläuft, negative und über eine volle Umdrehung hinaus eingeschlossen. Das ist die ehrliche Behandlung, sie bedeutet aber, dass ein Winkel von 450 Grad einen Fehler zurückgibt, obwohl 450 Grad für Sinus und Kosinus ein völlig vernünftiger Winkel ist. Drittens stehen alle Werte auf vier Nachkommastellen. Für die zwölf Winkel der Tabelle reicht das nicht, um die exakten Werte zu sehen — der Kosinus von dreißig Grad ist hier 0,866 und exakt √3/2 — und keine Anzahl von Stellen reicht dafür, weil die exakten Werte an diesen Winkeln irrational sind. Die Tabelle unten druckt die Dezimalzahlen; wer die Wurzeln selbst braucht, findet sie in der üblichen Tafel der exakten Werte.

Warum hat der Tangens bei 90 Grad keinen Wert?

Weil der Tangens der Sinus geteilt durch den Kosinus ist und der Kosinus bei neunzig Grad null ist. Der Punkt ist an den oberen Rand des Kreises gewandert, seine x-Koordinate ist null, und es gibt nichts, wodurch man teilen könnte. Ehrlich gesagt hat der Tangens dort keinen Wert — nicht, dass er besonders groß wäre. Sinus und Kosinus sind an diesem Winkel beide einwandfrei definiert, nämlich eins und null, und die Wertetabelle unten führt sie auch weiter.

Tippe ich den Winkel in Grad oder im Bogenmaß ein?

Beides — neben dem Feld steht eine Einheitenauswahl, und der Winkel ist so oder so derselbe. Dreißig Grad und 0,5236 Radiant ergeben auf vier Stellen dieselben drei Zahlen. Der Unterschied fällt nur auf, wenn Sie gegen eine Quelle prüfen, die eine der beiden Einheiten voraussetzt, und das sind die meisten Lehrbücher: Eine Seite, auf der steht, der Sinus von dreißig sei ein Halb, spricht über Grad.

Wofür ist die Trigonometrie-Tabelle unten da?

Zwölf Winkel, viermal pro Umdrehung, mit allen drei Winkelfunktionen in jeder Zeile. Zusammen decken die zwölf jede Vorzeichenkombination ab, die die drei Funktionen annehmen können, beide Polstellen des Tangens und alle vier Quadranten. Liest man eine Spalte von oben nach unten, wird das Muster jeder einzelnen Funktion sichtbar: Der Sinus steigt bis eins und kommt wieder herunter, der Kosinus ist dieselbe Kurve um eine Viertelumdrehung verschoben, und der Tangens wiederholt sich alle halbe Umdrehung statt nach jeder vollen.

Darf der Winkel negativ sein oder über 360 Grad liegen?

Beides ja, und keines von beiden ist ein Sonderfall. Ein negativer Winkel dreht im Uhrzeigersinn statt dagegen und landet auf demselben Punkt wie sein positiver Gegenpart plus eine volle Umdrehung: minus dreißig Grad und dreihundertdreißig Grad sind derselbe Winkel und ergeben dieselben drei Werte. Alles über eine volle Umdrehung läuft einfach weiter — dreihundertneunzig ist wieder dreißig. Es zählt nur die Endlage, der Rechner reduziert den Winkel also zuerst und liest dann die Winkelfunktionen daran ab.

Was unterscheidet diese Seite von der Seite zum Einheitskreis?

Sie teilen sich ein Feld und stimmen bis zur letzten Stelle überein, absichtlich — sie sind dazu gedacht, gegeneinander geprüft zu werden. Der Unterschied liegt darin, was sie zeigen. Die Seite zum Einheitskreis ist um das Bild herum gebaut: ein Punkt auf dem Kreis mit dem Radius eins, seine Koordinaten und die besonderen Winkel mit ihren exakten Werten. Diese Seite ist um die Funktionen und um die Winkel gebaut, die man ungern zeichnet: negative Winkel, Winkel jenseits einer vollen Umdrehung und die beiden Winkel, an denen der Tangens überhaupt keinen Wert hat.

Warum vier Nachkommastellen und nicht mehr?

Weil vier genügen, um eine Lehrbuchantwort von einer falschen zu unterscheiden, und weil danach die Ziffern aufhören, etwas über den Winkel zu sagen. Die exakten Werte an den meisten Winkeln der Tabelle sind Quadratwurzeln und Brüche, und ihre Dezimalentwicklung bricht weder ab noch wiederholt sich — der Kosinus von dreißig Grad ist Wurzel drei durch zwei, und 0,8660254037844386 ist ein Abschnitt davon, keine andere Zahl. Mehr Stellen zu drucken würde eine Genauigkeit behaupten, die der Winkel nicht hat.

• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, their domains, and why the tangent is undefined where the cosine is zero — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine — the function the unit circle reads off as the y-coordinate, its period, and the values it takes at the special angles — Wolfram MathWorld (United States)
• Tangent — the ratio the other two functions produce, its period of half a turn rather than a whole one, and its poles at ninety and two hundred and seventy degrees — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometrie — Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck und am Einheitskreis, mit den Vorzeichen in den vier Quadranten — Mathebibel (Deutschland)