Einheitskreis-Rechner

sin θ = y, cos θ = x, tan θ = y ÷ x

θ

Der Winkel, gemessen gegen den Uhrzeigersinn vom positiven Teil der x-Achse aus. Er darf negativ sein, und er darf mehr als eine volle Umdrehung betragen — entscheidend ist allein, wo er auf dem Kreis landet. Das Feld nimmt Werte bis plus und minus eine Million Grad entgegen, also rund 2778 Umdrehungen; diese Grenze kommt aus der Zahlendarstellung und nicht aus der Anschauung, denn bei so großen Winkeln ist irgendwann schon die Division durch 360 nicht mehr genau

cos θ

Die x-Koordinate des Punktes, auf dem der Winkel landet. Bei null Grad liegt der Punkt bei (1; 0), der Kosinus ist also eins; bei 90 Grad ist er null, weil der Punkt dann ganz oben steht. Das Vorzeichen sagt, auf welcher Seite der y-Achse man sich befindet

sin θ

Die y-Koordinate desselben Punktes. Bei null Grad ist sie null, bei 90 Grad ist der Punkt am oberen Rand des Kreises und der Sinus ist eins. Sie bewegt sich immer zwischen minus eins und eins, weil der Punkt den Kreis nie verlässt

tan θ

Der Sinus geteilt durch den Kosinus, also die Steigung der Geraden vom Ursprung zu dem Punkt. Genau dort, wo der Kosinus null ist, hat er keinen Wert, weil die Gerade dann senkrecht steht. Diese Seite gibt für solche Winkel keine Zahl aus, sondern lehnt sie ab

Radius gleich 1

Der Grund, warum die Koordinaten direkt abgelesen werden können und warum dieses Formular keinen Radius abfragt. Der Punkt ist eine Einheit vom Ursprung entfernt, die beiden Koordinaten sind also die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse eins. Nach dem Satz des Pythagoras addieren sich ihre Quadrate deshalb immer zu eins — das ist die Identität cos²θ + sin²θ = 1

Grad oder Bogenmaß

Das Auswahlfeld rechnet jede Eingabe vor der Berechnung in Grad um, das Ergebnis ist also in jeder Einheit dasselbe. Eine Vierteldrehung ist 90 Grad oder 1,5708 im Bogenmaß oder 100 Gon. Umgerechnet wird nur der eingehende Winkel, die drei Ausgaben bleiben einheitenlose Zahlen

Vier Nachkommastellen

Die Anzeigebreite der drei Ergebnisse. Nur wenige Winkel gehen glatt auf: der Sinus von 30 Grad ist ein Halb, der Tangens von 45 Grad ist genau eins, und alle Werte auf den Achsen sind ganze Zahlen. Alles andere sind Zahlen wie die halbe Wurzel aus zwei, die am Ende gerundet werden müssen

Der Einheitskreis ist die Tafel, die jeder Trigonometriekurs auswendig lernen lässt, und der Grund dafür ist, dass die drei Winkelfunktionen nichts anderes sind als die Koordinaten eines Punktes auf diesem Kreis. Diese Seite ist dieselbe Tafel mit einem Eingabefeld, in das jeder beliebige Winkel hineinpasst. Die unmittelbaren Anwendungen sind die, in denen ein Winkel vorliegt und seine Anteile gebraucht werden: eine Kraft oder eine Geschwindigkeit in einen waagerechten und einen senkrechten Anteil zerlegen, und das ist genau das Paar aus Kosinus und Sinus und nichts weiter; in der Elektrotechnik eine Phasenlage oder einen Leistungsfaktor ausrechnen; die waagerechte Reichweite eines schräg abgeworfenen Körpers bestimmen. Vermessung und Navigation brauchen sie, sobald aus einem Kurswinkel ein Abstand nach Osten und ein Abstand nach Norden wird, denn das sind die beiden Koordinaten. Grafik und Spiele brauchen sie für alles, was sich dreht — eine Figur, die sich wendet, eine Kamera, die um ein Objekt kreist, ein Punkt auf einem Rad —, weil die Lage eines rotierenden Punktes eben der Kosinus und der Sinus ist und weil es kürzer ist, das einmal über diese Funktion zu schreiben als für jeden Einzelfall eine eigene Rechnung. Dazu kommt der reine Lerngebrauch, für den diese Seite eigentlich gebaut ist: Die besonderen Winkel lohnen sich zum Auswendiglernen, und wer 90 eingibt und sieht, wie der Tangens sich weigert, merkt sich besser, dass er dort keinen Wert hat, als wenn es ihm nur gesagt wird. Bei Winkeln nahe an 90 Grad lohnt ein zweiter Blick: Ein Wert wie 89,999999999 liefert einen sehr großen Tangens, und das ist richtig so — eine fast senkrechte Gerade ist tatsächlich eine sehr steile Steigung, und wer nicht genau 90 Grad eingetippt hat, hat eben nicht genau 90 Grad eingetippt. Die Tabelle weiter unten führt dieselben Winkel als exakte Brüche statt als Dezimalzahlen, weil sie in dieser Form tatsächlich verwendet werden.

1. Ein Winkel von 30 Grad

   1. Vom positiven Teil der x-Achse aus 30 Grad gegen den Uhrzeigersinn drehen
   2. Der Punkt, auf dem Sie landen, ist (√3/2; 1/2)
   3. Der Kosinus ist die x-Koordinate: 0,8660
   4. Der Sinus ist die y-Koordinate: 0,5
   5. Der Tangens ist das Verhältnis der beiden: 0,5 ÷ 0,8660 = 0,5774

   Der Winkel, mit dem die Seite geladen wird, und die erste Zeile, in der die besonderen Winkel üblicherweise unterrichtet werden. Seine genauen Werte sind die halbe Wurzel aus drei, ein Halb und ein Drittel der Wurzel aus drei — hier stehen Dezimalzahlen, in der Tabelle weiter unten die Brüche. Der Tangens ist der Wert, der beim Nachrechnen am ehesten verblüfft: Er ist hier kleiner als eins, denn eine Gerade mit 30 Grad Steigung steigt flacher als sie läuft.

2. Ein Winkel von 45 Grad

   1. 45 Grad gegen den Uhrzeigersinn drehen, wodurch der Punkt auf die Diagonale fällt
   2. Sinus und Kosinus sind gleich, weil der Punkt zu beiden Achsen denselben Winkel hat: √2/2 = 0,7071
   3. Der Tangens ist ihr Verhältnis, und eine Zahl durch sich selbst ist 1

   Der einzige Winkel zwischen null und neunzig Grad, bei dem Sinus und Kosinus gleich sind, und der Grund dafür ist, dass der Punkt auf der Geraden y = x liegt. Dass der Tangens hier genau 1 ist, bestätigt das nicht nur, sondern liefert auch den Namen: Eine Steigung von 45 Grad heißt im Bauwesen eins zu eins, weil eine Einheit Höhe auf eine Einheit Länge kommt. Die vierte Nachkommastelle ist in diesem Beispiel zum ersten Mal keine Aussage über den Winkel, sondern nur noch über die Anzeige — 0,7071 ist gerundet, die wahre Zahl bricht nicht ab.

3. Ein Winkel von 180 Grad

   1. Eine halbe Umdrehung drehen, wodurch der Punkt auf den negativen Teil der x-Achse fällt
   2. Der Kosinus ist die x-Koordinate: -1
   3. Der Sinus ist die y-Koordinate: 0
   4. Der Tangens ist null geteilt durch minus eins, also 0

   Die halbe Umdrehung, und das Vorzeichen, das erfahrungsgemäß stolpert: Der Kosinus ist minus eins und nicht eins, weil der Punkt auf die gegenüberliegende Seite des Kreises gewandert ist. Der Sinus kommt hier als glatte Null heraus, obwohl die Rechnung im Inneren der Seite unterwegs eine winzige Zahl erzeugt — gerundet wird erst am Ende, und das ist bei Gleitkommazahlen die ehrliche Reihenfolge. Zu beachten ist auch, dass der Tangens hier definiert ist: Der Zähler ist null, nicht der Nenner, und null geteilt durch minus eins ist ein sauberes Ergebnis.

4. Ein Winkel von 390 Grad

   1. Eine volle Umdrehung bringt Sie an den Ausgangspunkt zurück, 390 Grad ist also dasselbe wie 30 Grad
   2. Der Punkt ist (√3/2; 1/2), genau wie bei 30 Grad

   Dieselben drei Zahlen wie im 30-Grad-Beispiel, weil eine zusätzliche volle Umdrehung auf demselben Punkt endet. Das ist der Grund, warum die Seite für Winkel taugt, die außerhalb einer einzigen Umdrehung liegen: Das Zurückrechnen auf den Kreis erledigt der Rechner, statt es dem Benutzer zu überlassen. Wer eine Schraube zweimal herumdreht oder eine Welle in mehreren Umdrehungen beschreibt, tippt den Winkel so ein, wie er anfällt.

Diese Seite nimmt einen Winkel und gibt Sinus, Kosinus und Tangens dazu aus. Der Tangens hat bei 90 Grad und bei 270 Grad keinen Wert, ebenso bei jedem Winkel, der sich von diesen um eine ganze Zahl von Umdrehungen unterscheidet, weil der Punkt dann dort steht, wo seine x-Koordinate null ist, und dem Verhältnis der Divisor fehlt. In diesem Fall lehnt die Seite den Winkel ab und erklärt das, statt eine sehr große Zahl auszugeben. Sinus und Kosinus sind an diesen Stellen wohldefiniert, nämlich eins und null, aber die Seite gibt die drei Werte nur gemeinsam aus und enthält deshalb alle drei vor statt zwei — die genauen Werte für diese zwei Zeilen stehen in der Tabelle weiter unten. Winkel, die nur sehr nahe an diesen Stellen liegen, werden angenommen und liefern sehr große Tangenswerte, und das ist mathematisch richtig: Eine fast senkrechte Gerade ist wirklich sehr steil. Knapp daneben ist also nicht dasselbe wie genau getroffen, und die Seite behandelt es auch nicht so. Die drei Ausgaben sind reine Zahlen ohne Einheit, unabhängig davon, was im Auswahlfeld steht; das Auswahlfeld bestimmt, wie der Winkel eingegeben wird, und nicht, was herauskommt. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit, und die meisten Winkel haben überhaupt keine exakte Dezimaldarstellung — die Tabelle gibt die gebräuchlichen deshalb als Brüche an. Diese Seite löst keine Umkehraufgaben: Sie macht aus einem Winkel Koordinaten, aber nicht aus Koordinaten einen Winkel, und sie gibt weder Bogenlänge noch Ausschnittsfläche noch einen Anteil am Vollkreis aus. Wer den Winkel aus einem gegebenen Sinuswert sucht, braucht eine Seite für Arcusfunktionen; wer aus zwei Koordinaten einen Winkel sucht, eine Seite für rechtwinklige Dreiecke. Und der Radius ist hier keine Eingabe: Er ist eins, weil das die Definition des Einheitskreises ist. Für Kreise mit beliebigem Radius sind die Kreis-, Ausschnitts- und Segmentseiten derselben Unterkategorie zuständig.

Warum hat der Tangens bei 90 Grad keinen Wert?

Weil der Tangens der Sinus geteilt durch den Kosinus ist und der Kosinus bei 90 Grad null ist. Der Punkt ist an den oberen Rand des Kreises gewandert, seine x-Koordinate ist null, und es gibt nichts, wodurch geteilt werden könnte. Die ehrliche Beschreibung lautet, dass der Tangens dort keinen Wert hat, und nicht, dass er unendlich groß wäre. Sinus und Kosinus sind bei diesem Winkel völlig unproblematisch: Der Punkt steht ganz oben, der Sinus ist eins und der Kosinus null. Diese Seite gibt die drei Werte nur gemeinsam aus und liefert deshalb keinen von ihnen statt zweien; sie lehnt den Winkel ab und sagt, warum. Die Tabelle weiter unten führt für diese Zeile trotzdem die genauen Werte.

Kann ich einen Winkel eingeben, der größer als 360 Grad ist?

Ja, und negative Winkel ebenfalls. Entscheidend ist nur, wo der Winkel auf dem Kreis landet, deshalb liefert 390 Grad genau dieselben drei Werte wie 30 Grad und minus 30 Grad dieselben wie 330 Grad. Die Seite rechnet den Winkel selbst auf den Kreis zurück, statt das vom Benutzer zu verlangen — das ist wichtig, weil Kurswinkel und Drehungen im Alltag regelmäßig über eine volle Umdrehung hinauslaufen. Zulässig sind Werte bis plus und minus eine Million Grad, also rund 2778 Umdrehungen.

Warum stehen im Ergebnis Dezimalzahlen, in der Tabelle aber Brüche?

Weil das Ergebnis einer Rechnung und die Tabelle eine Formelsammlung ist. Die genauen Werte der besonderen Winkel sind die halbe Wurzel aus zwei, die halbe Wurzel aus drei und ihre Verwandten, und die lassen sich nicht als endliche Dezimalzahl schreiben; 0,7071 ist eine gerundete Fassung von einer davon. Die Tabelle weiter unten führt dieselben Winkel als exakte Brüche, weil sie in dieser Form gelernt und verwendet werden.

Wofür braucht man den Tangens überhaupt?

Er ist eine Steigung. Der Tangens des Winkels ist die Höhe geteilt durch die Länge der Geraden vom Ursprung zu dem Punkt, und deshalb taucht er bei Gradienten, Dachneigungen und allem auf, was als Verhältnis von Senkrechte zu Waagerechte gemessen wird. Sinus und Kosinus sind Koordinaten, der Tangens ist das Verhältnis zwischen ihnen, und dieser Unterschied ist der Grund, warum ausgerechnet er Lücken in seinem Definitionsbereich hat.

Spielt die Einheit des Winkels eine Rolle?

Das Auswahlfeld bestimmt, wie der Winkel eingegeben wird, nämlich in Grad, im Bogenmaß oder in Gon, und sonst nichts. Die drei Ergebnisse sind reine Zahlen ohne Einheit, weil eine Koordinate auf einem Kreis mit dem Radius eins keine hat und ein Verhältnis zweier Koordinaten ebenso wenig. Die Seite rechnet die Eingabe vor der Berechnung in Grad um, deshalb liefern 0,5236 im Bogenmaß, 33,3333 Gon und 30 Grad dasselbe Ergebnis.

Ist das dasselbe wie ein Rechner für rechtwinklige Dreiecke?

Es ist der Sonderfall davon. In jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus die Gegenkathete geteilt durch die Hypotenuse und der Kosinus die Ankathete geteilt durch die Hypotenuse; auf dem Einheitskreis ist die Hypotenuse eins, die Verhältnisse sind also einfach die beiden Katheten. Jedes rechtwinklige Dreieck ist ein vergrößertes oder verkleinertes Abbild eines Einheitskreis-Bildes, und deshalb gelten die Zahlen dieser Seite für Dreiecke jeder Größe.

• Unit Circle — from Wolfram MathWorld (English original; the circle of radius one, why the coordinates of a point on it are the cosine and the sine, and the special angles that have exact values) — Wolfram MathWorld
• Trigonometric Functions — from Wolfram MathWorld (English original; the definitions of sine, cosine and tangent, their domains, and why the tangent is undefined wherever the cosine is zero) — Wolfram MathWorld
• Tangent — from Wolfram MathWorld (English original; the ratio this page divides to get, its period of a half turn rather than a whole one, and its poles at ninety and two hundred and seventy degrees) — Wolfram MathWorld
• Einheitskreis — Mathebibel: der Kreis mit dem Radius 1 um den Koordinatenursprung, Sinus und Kosinus als die Koordinaten eines Punktes auf ihm, die Winkelfunktionen für alle Winkel und die Vorzeichen in den vier Quadranten — Mathebibel