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Dreieck-Rechner

Bereich: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Bereich: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Bereich: 0 ° – 180 °

Ergebnis

5,0000 cmRechtwinklig

Seite c

Winkel A
36,87 °
Winkel B
53,13 °
Fläche
6,0000 cm²
Umfang
12,0000 cm

Der Dreieck-Rechner nimmt zwei Seiten und den Winkel dazwischen und rechnet daraus das ganze Dreieck aus: die dritte Seite, beide anderen Winkel, die Fläche und den Umfang. Diese drei Angaben — zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel — legen ein Dreieck vollständig fest, und das lohnt sich einmal deutlich zu sagen, weil es nicht offensichtlich ist: Zwei Seiten allein lassen die Form frei, sie klappen auf wie ein Zirkel, und erst der Winkel schließt sie. Der Weg führt von dort über den Kosinussatz, der die dritte Seite direkt liefert, und danach über den Sinussatz oder ein zweites Mal den Kosinussatz zu den beiden übrigen Winkeln. Zwei Seiten von 3 und 4 mit einem rechten Winkel dazwischen ergeben eine dritte Seite von 5, Winkel von 36,87 und 53,13, eine Fläche von 6 Quadratzentimetern und einen Umfang von 12. Ändern Sie den eingeschlossenen Winkel, ändert sich alles mit ihm — außer den beiden Seiten, mit denen Sie angefangen haben: Dieselben 3 und 4 ergeben bei 60 Grad eine dritte Seite von 3,6056 und eine Fläche von 5,1962, und bei 120 Grad eine dritte Seite von 6,0828 — eine längere Seite, weil der Kosinus von 120 Grad negativ ist und das Korrekturglied zur Summe addiert statt von ihr abzuziehen. Was die beiden Winkel gemeinsam haben, ist die Fläche: sin 60 und sin 120 sind beide 0,866, beide Dreiecke schließen also exakt 5,1962 Quadratzentimeter ein, obwohl ihre dritten Seiten verschieden sind. Was diese Seite über die Arithmetik hinaus beisteuert, ist ein Name für das Ergebnis. Der größte der drei Winkel entscheidet, um welche Art von Dreieck es sich handelt: unter 90 Grad ist es spitzwinklig, bei genau 90 Grad rechtwinklig, darüber stumpfwinklig. Das ist die Dreiecksart, die unter den Antworten steht, und es ist die Frage, die die anderen Seiten dieser Unterkategorie nicht beantworten — drei Seiten oder Grundseite und Höhe sagen Ihnen die Größe eines Dreiecks, diese Seite sagt Ihnen zusätzlich seine Gestalt. Die Regel lässt sich an den Seiten leicht nachprüfen, sobald man sie hat: Der größte Winkel liegt der längsten Seite gegenüber, ein Dreieck ist also genau dann rechtwinklig, wenn die Quadrate der beiden kürzeren Seiten zusammen das Quadrat der längsten ergeben, und ob diese Summe darüber oder darunter liegt, trennt das spitzwinklige vom stumpfwinkligen Dreieck. Ein Dreieck mit Seiten von 5, 5 und 5 ist spitzwinklig, weil alle drei Winkel 60 Grad betragen; eines mit Seiten von 10, 10 und 17,3205 hat einen Winkel von 120 Grad und ist stumpfwinklig; und eines mit Seiten von 5, 5 und 7,0711 hat einen rechten Winkel zwischen den beiden gleich langen Seiten. Das Winkelfeld auf dieser Seite nimmt Grad, Bogenmaß und Neugrad an, und die beiden ausgegebenen Winkel stehen immer in Grad, in welcher Einheit Sie auch eingegeben haben — ein Dreieck ist in jeder Einheit dieselbe Form, und die Antwort in einer Einheit auszugeben, die Sie nicht eingetippt haben, erschwert nur den Vergleich mit einer Zeichnung. Wenn Sie drei Seiten haben statt zwei, nehmen Sie den Heron-Formel-Rechner, der sie direkt verarbeitet; wenn Sie eine Grundseite und eine senkrechte Höhe haben, ist der Dreiecksfläche-Rechner der kürzere Weg zur selben Fläche; und wenn der Winkel, den Sie kennen, ein rechter ist, ist der Satz-des-Pythagoras-Rechner die dafür gebaute Seite.

Die drei Dreiecksarten, die diese Seite meldet

DreiecksartBedingungBedeutung
SpitzwinkligAlle drei Winkel unter 90°Jede Ecke ist spitz. Die längste Seite liegt dem größten Winkel gegenüber, und die Quadrate der beiden kürzeren Seiten ergeben zusammen mehr als das Quadrat der längsten — das Dreieck ist kurz und breit für seine Seiten.
RechtwinkligEin Winkel genau 90°Eine Ecke ist im Lot, und die beiden dort zusammentreffenden Seiten stehen senkrecht aufeinander. Die Quadrate der beiden kürzeren Seiten ergeben zusammen genau das Quadrat der längsten, das ist der Satz des Pythagoras, und der Kosinussatz verliert sein Korrekturglied.
StumpfwinkligEin Winkel über 90°Eine Ecke ist weiter als ein rechter Winkel geöffnet, und die ihr gegenüberliegende Seite ist länger als jede der beiden anderen. Das Korrekturglied im Kosinussatz ist negativ, es addiert also zur Summe statt abzuziehen, und die Fläche ist für ein gegebenes Seitenpaar kleiner, als ein rechter Winkel ergäbe.

Die Einstufung, die unter jeder Antwort dieser Seite steht, und der Grund, warum es drei Stufen gibt und nicht eine einzige Zahl. Geprüft wird immer der größte der drei Winkel, und weil der größte Winkel der längsten Seite gegenüberliegt, lässt sich dieselbe Probe an den Seiten durchführen: die Quadrate der beiden kürzeren Seiten addieren und mit dem Quadrat der längsten vergleichen. Gleich bedeutet die Zeile rechtwinklig, größer die Zeile spitzwinklig, kleiner die Zeile stumpfwinklig. Die Zeile rechtwinklig ist die, die man auswendig kennen sollte, denn sie ist der Satz des Pythagoras, und ein 3-4-5-Dreieck ist die übliche Art, eine Ecke auf der Baustelle zu prüfen.

Dreiecke nach zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel

Seite a (cm)Seite b (cm)Winkel C (°)Seite c (cm)Winkel A (°)Winkel B (°)Fläche (cm²)
3490536.8753.136
55605606010.8253
512901322.6267.3830
68901036.8753.1324
78607.549853.4166.5924.2487
101012017.3205303043.3013
55907.0711454512.5
44302.070675754

Acht Dreiecke, und die Spalten, die man zusammen lesen muss, sind der Winkel und die dritte Seite. Die erste, dritte und vierte Zeile sind rechtwinklige Dreiecke, deshalb kommen ihre dritten Seiten ganzzahlig heraus — 5, 13 und 10 —, und deshalb sind die beiden Winkel daneben die vertrauten Paare 36,87 und 53,13 sowie 22,62 und 67,38. Die zweite Zeile ist der eine Winkel, der die dritte Seite erzwingt: zwei gleich lange Seiten bei 60 Grad ergeben ein gleichseitiges Dreieck, die dritte Seite stimmt also mit den beiden angegebenen überein und alle drei Winkel sind 60. Die achte Zeile zeigt dasselbe Paar gleicher Seiten in einem viel engeren Winkel — 4 und 4 bei 30 Grad —, wo die dritte Seite auf 2,0706 fällt und sich die beiden restlichen Winkel auf je 75 öffnen. Die sechste Zeile ist der stumpfwinklige Fall: zwei Seiten von 10 bei 120 Grad, wo die dritte Seite von 17,3205 länger ist als jede angegebene Seite — die Signatur eines Winkels über 90 Grad — und wo die Fläche von 43,3013 kleiner ist als die 50, die dieselben zwei Seiten bei einem rechten Winkel einschließen. Die siebte Zeile ist ein rechter Winkel zwischen zwei gleich langen Seiten, das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck, dessen dritte Seite das Fünffache der Wurzel aus zwei ist. Jede Zelle wird beim Bau der Seite aus ihrer Zeile neu gerechnet, in Zentimetern, Grad und Quadratzentimetern. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (36.87 statt 36,87), weil die Spaltenwerte aus der Berechnung kommen und nicht aus einer Textvorlage.

Formel

c = √(a² + b² − 2ab × cos C) A = ½ × a × b × sin C A + B + C = 180°

a, b
Die beiden Seiten, die Sie kennen, in Zentimetern. Sie sind austauschbar — der Seite ist gleichgültig, welche Sie a und welche Sie b nennen, ein Tausch vertauscht nur die beiden ausgegebenen Winkel. Beide müssen größer als null sein, eine Seite von null ließe überhaupt kein Dreieck übrig
C
Der Winkel zwischen den beiden bekannten Seiten, in Grad, Bogenmaß oder Neugrad. Er heißt eingeschlossener Winkel, weil die beiden Seiten, die Sie angegeben haben, ihn einschließen, und er ist der einzige Winkel, den diese Seite abfragt. Er darf alles von 0 bis 180 Grad sein; bei genau 0 oder 180 klappt das Dreieck zu einer Linie zusammen und die Seite antwortet trotzdem, mit einem Winkel von 0 und einem von 180
c
Die dritte Seite, in Zentimetern, gegenüber dem Winkel C. Sie kommt aus dem Kosinussatz, und der ist der Satz des Pythagoras mit einem Korrekturglied für Dreiecke, die nicht rechtwinklig sind: Bei C gleich 90 Grad ist der Kosinus 0 und das Glied fällt weg, übrig bleibt a² + b² = c². Sie ist die Hauptantwort der Seite, weil jede andere Anzeige von ihr abhängt
A, B
Die beiden Winkel, die Sie nicht vorgegeben haben, in Grad. Jeder kommt aus einem erneuten Kosinussatz auf das nun vollständig bekannte Dreieck, wobei die dritte Seite vor ihrer Rundung eingesetzt wird, und die beiden addieren sich danach mit C bis auf die letzte Nachkommastelle zu 180. Ein Dreieck, das fast rechtwinklig ist, kann nach dem Runden der Winkel auf zwei Stellen trotzdem genau auf 90 kommen und als rechtwinklig gemeldet werden — die Einstufung geschieht aus den Zahlen, die die Seite ausgibt, und nicht aus denen dahinter
½ × a × b × sin C
Die Fläche in Quadratzentimetern: das halbe Produkt der beiden bekannten Seiten mal dem Sinus des eingeschlossenen Winkels. Es ist die Flächenformel für den Fall, dass der Winkel bekannt ist, denn die Höhe, die man sonst bräuchte, ist b × sin C — deshalb ergeben dieselben 3 und 4 bei einem rechten Winkel eine Fläche von 6 und bei 60 Grad nur 5,1962, ohne dass sich die Seiten ändern
A + B + C = 180°
Die Winkelsumme, und sie ist es, die die Einstufung möglich macht: Sind alle drei Winkel bekannt, entscheidet der größte darüber, ob das Dreieck spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig ist, und der größte Winkel liegt immer der längsten Seite gegenüber. Die Einstufung liest die beiden ausgegebenen Winkel und nimmt den dritten als 180 minus diese beiden, das Abzeichen beurteilt also die Zahlen auf dem Bildschirm — Rundung eingeschlossen — und kann ihnen nicht wegen eines Rundungsartefakts widersprechen

Diese Seite ist die richtige, wenn zwei Seiten und der Winkel dazwischen das sind, was Sie haben — der häufige Fall bei allem, was vor Ort gemessen oder festgelegt wird: zwei Kanten eines Grundstücks mit der Ecke dazwischen, zwei Streben, die in einem bekannten Winkel zusammentreffen, ein Dachsparren, beschrieben durch Lauf und Neigung, ein Dreieck Stoff, aus einer Ecke zugeschnitten. Sie ist auch dann die richtige Seite, wenn die Frage auf die Gestalt des Dreiecks zielt und nicht auf seine Größe — ob eine Ecke im Lot ist, ob ein Dreieck spitzwinklig ist, ob drei Seiten überhaupt ein stumpfwinkliges Dreieck bilden können. Weil die Seite die Dreiecksart ausgibt, beantwortet sie die Probe, die ein Zimmermann mit einem 3-4-5-Dreieck macht: Tragen Sie Seiten von 3 und 4 mit einem Winkel von 90 ein, kommt rechtwinklig zurück; tragen Sie dieselben Seiten mit einem Winkel von 92 ein, kommt stumpfwinklig zurück, und die dritte Seite ist dann schon zu lang für einen rechten Winkel. Nehmen Sie den Heron-Formel-Rechner, wenn Sie drei Seiten und keinen Winkel haben, das ist der umgekehrte Fall. Nehmen Sie den Dreiecksfläche-Rechner, wenn Sie eine Grundseite und eine senkrechte Höhe haben, denn jene Seite braucht keine Trigonometrie. Nehmen Sie den Satz-des-Pythagoras-Rechner, wenn der Winkel sicher ein rechter ist und Sie den schlichten Weg über a² + b² = c² wollen, oder wenn Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Seite und der Hypotenuse haben. Und nehmen Sie die Seiten für das gleichseitige oder das gleichschenklige Dreieck, wenn das Dreieck eine besondere Symmetrie hat, denn jene Seiten brauchen weniger Zahlen und geben die Winkel aus, ohne danach zu fragen.

Rechenbeispiele

  1. Seiten von 3 und 4 in einem rechten Winkel

    1. Der Kosinus von 90° ist 0, das Korrekturglied fällt also weg: c = √(3² + 4²) = √25 = 5
    2. Fläche: ½ × 3 × 4 × sin 90° = ½ × 12 × 1 = 6
    3. Umfang: 3 + 4 + 5 = 12
    4. Winkel A, gegenüber der Seite von 3: cos A = (4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5) = 32 ÷ 40 = 0,8, also A = 36,87°
    5. Winkel B: 180 − 90 − 36,87 = 53,13°
    6. Der größte Winkel ist 90°, die Seite meldet also ein rechtwinkliges Dreieck

    Das 3-4-5-Dreieck, und die Zeile, die die Einstufung überhaupt lohnend macht: Die Seite erkennt den rechten Winkel und sagt es, statt Sie nachprüfen zu lassen. Die beiden Winkel von 36,87 und 53,13 sind das Paar, das in jedem 3-4-5-Dreieck auftaucht und, am anderen Ende derselben Rechnung, in der Raute mit den Diagonalen 6 und 8. Und es ist die deutlichste Vorführung dessen, dass der Kosinussatz den Satz des Pythagoras enthält: Bei 90 Grad ist das Korrekturglied null, und die beiden Formeln sind derselbe Satz.

  2. Seiten von 5 und 5 bei 60 Grad

    1. Der Kosinus von 60° ist 0,5: c = √(25 + 25 − 2 × 5 × 5 × 0,5) = √(50 − 25) = √25 = 5
    2. Die dritte Seite kommt genauso lang heraus wie die beiden, die Sie angegeben haben, alle drei Seiten sind also 5
    3. Fläche: ½ × 5 × 5 × sin 60° = 12,5 × 0,866025… = 10,8253
    4. Umfang: 5 + 5 + 5 = 15
    5. Drei gleich lange Seiten lassen drei gleich große Winkel übrig: (180 − 60) ÷ 2 = 60, die Seite gibt also für beide restlichen Winkel 60 aus
    6. Der größte Winkel ist 60°, die Seite meldet also ein spitzwinkliges Dreieck

    Zwei gleich lange Seiten mit einem Winkel von 60 Grad sind der eine Fall, in dem die dritte Seite ihnen gleich werden muss, und das Dreieck wird gleichseitig — 60 Grad ist der Winkel, bei dem die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks genau so lang wird wie seine beiden gleichen Schenkel. Der Gleichseitiges-Dreieck-Rechner derselben Unterkategorie löst dieselbe Form aus einer einzigen Seite, denn bei drei gleichen Seiten bleibt nichts zu sagen; der Reiz besteht hier darin, zuzusehen, wie die dritte Seite auf 5 landet, statt es gesagt zu bekommen. Die Fläche von 10,8253 ist dieselbe Zahl, die bei der Raute mit Seite 5 und Winkel 60 auftaucht, und das ist kein Zufall: Diese Raute besteht aus zwei solchen Dreiecken, und 2 × 10,8253 wären ihre 21,6506 Quadratzentimeter.

  3. Seiten von 7 und 8 bei 60 Grad

    1. Der Kosinus von 60° ist 0,5: c = √(49 + 64 − 2 × 7 × 8 × 0,5) = √(113 − 56) = √57 = 7,549834… → 7,5498
    2. Fläche: ½ × 7 × 8 × sin 60° = 28 × 0,866025… = 24,2487
    3. Umfang: 7 + 8 + 7,5498 = 22,5498
    4. Winkel A, gegenüber der Seite von 7: cos A = (64 + 57 − 49) ÷ (2 × 8 × 7,5498) = 72 ÷ 120,797 = 0,596, also A = 53,41°
    5. Winkel B: 180 − 60 − 53,41 = 66,59°
    6. Der größte Winkel ist 66,59°, die Seite meldet also ein spitzwinkliges Dreieck

    Der gewöhnliche Fall, und der, den man lesen sollte, wenn man sehen will, was die Seite tut, wenn nichts Besonderes vorliegt: zwei verschieden lange Seiten, ein Winkel von 60 Grad und drei Antworten, die keine runden Zahlen sind. Die dritte Seite von 7,5498 ist länger als 7 und kürzer als 8, und mehr lässt sich vorab nicht sagen — die dem 60-Grad-Winkel gegenüberliegende Seite liegt zwischen den beiden Seiten, die ihn einschließen, und die beiden nicht vorgegebenen Winkel teilen die restlichen 120 Grad im Verhältnis der ihnen gegenüberliegenden Seiten: Die kürzere Seite von 7 bekommt den kleineren Anteil, 53,41 gegen 66,59. Die Fläche von 24,2487 liegt nahe bei den 24 Quadratzentimetern, die die Trapezseite aus vier anderen Seiten erreicht, ist aber nicht dieselbe — und dieses knappe Danebenliegen erinnert daran, dass runde Zahlen aus den Eingaben kommen und nicht aus der Formel.

  4. Seiten von 10 und 10 bei 120 Grad

    1. Der Kosinus von 120° ist −0,5: c = √(100 + 100 − 2 × 10 × 10 × (−0,5)) = √(100 + 100 + 100) = √300 = 17,320508… → 17,3205
    2. Fläche: ½ × 10 × 10 × sin 120° = 50 × 0,866025… = 43,3013
    3. Umfang: 10 + 10 + 17,3205 = 37,3205
    4. Die beiden gleich langen Seiten lassen zwei gleich große Winkel übrig: (180 − 120) ÷ 2 = je 30
    5. Der größte Winkel ist 120°, die Seite meldet also ein stumpfwinkliges Dreieck

    Ein stumpfwinkliges Dreieck, und der Fall, in dem das Korrekturglied im Kosinussatz wächst statt zu schrumpfen: Der Kosinus von 120 Grad ist negativ, sein Abzug addiert also zur Summe, und die dritte Seite wird länger als jede der beiden Seiten, die Sie angegeben haben — 17,3205 gegen 10. Das ist die Signatur eines Winkels über 90 Grad, und genau das liest die Einstufung ab. Die Fläche ist mit 43,3013 kleiner als die 50 Quadratzentimeter, die dieselben zwei Seiten bei einem rechten Winkel einschließen würden; den Winkel über 90 Grad hinaus zu öffnen, erkauft also Länge auf der gegenüberliegenden Seite mit Fläche — derselbe Tausch, den die Rautenseite beim Kippen eingeht, und der Grund, warum die Seite die Dreiecksart ausgibt, statt Sie sie aus den Zahlen erschließen zu lassen.

Einschränkungen

Diese Seite löst ein Dreieck aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel und löst keine der anderen fünf Kombinationen aus drei bekannten Stücken. Geben Sie ihr drei Seiten, hat sie nichts zu rechnen; der Heron-Formel-Rechner nimmt die und liefert die Fläche, und die Winkel kämen aus einem zweiten Schritt, den diese Seite nicht geht. Geben Sie ihr zwei Winkel und eine Seite, hilft sie ebenfalls nicht, obwohl sie intern genau das ausrechnet. Sie arbeitet nicht rückwärts: Es gibt keinen Weg von einer Fläche oder einem Umfang zu dem Dreieck, das sie erzeugt hat, und ein Dreieck mit gegebener Fläche hat unendlich viele Gestalten. Die Ausgaben stehen in Zentimetern und Quadratzentimetern, in welchen Einheiten auch immer eingegeben wurde, und die beiden Winkel werden immer in Grad ausgegeben, auch wenn Sie Bogenmaß oder Neugrad eingetippt haben — die Einheitenauswahl ändert, wie Ihr Winkel gelesen wird, nicht wie die Antworten geschrieben werden. Diese Auswahl ist auch die eine Falle, die es zu benennen lohnt: 60 im Bogenmaß sind nicht 60 Grad, und die Seite rechnet das Dreieck für die gewählte Einheit, statt zu melden, dass die Zahl für einen Winkel weit zu groß ist. Beide Seiten müssen größer als null sein, ein Dreieck mit einer Seite von null wird also abgelehnt; ein Winkel von genau 0 oder 180 Grad dagegen wird angenommen und erzeugt ein flaches Dreieck mit Winkeln von 0, 180 und 0, das die Seite als stumpfwinklig einstuft — arithmetisch folgerichtig und fast nie das, was jemand will, und die Seite warnt nicht davor, dass die Figur zusammengefallen ist. Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten und einem Winkel von 0 wird abgelehnt statt beantwortet, weil die dritte Seite null wäre und überhaupt kein Dreieck übrig bliebe. Die unter den Antworten ausgegebene Dreiecksart wird aus den gerundeten, auf zwei Nachkommastellen angezeigten Winkeln bestimmt, ein Dreieck mit einem größten Winkel von 89,999 Grad wird also als rechtwinklig gemeldet — die ehrliche Lesart der Zahlen auf dem Bildschirm und eine Erinnerung daran, dass die Einstufung so genau ist wie die Anzeige und nicht genauer. Die Seite prüft über den Winkelbereich hinaus nicht, ob Ihre drei Zahlen überhaupt ein Dreieck beschreiben, denn jedes Paar positiver Seiten und jeder Winkel im Bereich tut das. Vier Nachkommastellen bei den Längen und zwei bei den Winkeln sind Anzeigebreiten, die diese Unterkategorie teilt, und keine Aussagen über die Genauigkeit. Nichts hier berücksichtigt Verschnitt oder Sägeschnitt.

Häufige Fragen

Wie lässt sich ein Dreieck aus zwei Seiten und einem Winkel berechnen?
Mit dem Kosinussatz, und zwar in zwei Schritten. Zuerst ist die dritte Seite die Wurzel aus a² + b² − 2ab × cos C, wobei C der Winkel zwischen den beiden bekannten Seiten ist; danach liefern ein zweites Mal der Kosinussatz oder der Sinussatz die beiden übrigen Winkel. Für Seiten von 3 und 4 mit einem rechten Winkel dazwischen ist der Kosinus 0 und die dritte Seite √25 = 5. Bei 60 Grad ist der Kosinus 0,5, das Korrekturglied 12, und die dritte Seite ist √13, also etwa 3,6056 — merklich kürzer, aus denselben zwei Seiten.
Wie entscheidet die Seite, ob ein Dreieck spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig ist?
Über den größten der drei Winkel. Unter 90 Grad ist das Dreieck spitzwinklig, bei genau 90 rechtwinklig, darüber stumpfwinklig. Der größte Winkel liegt immer der längsten Seite gegenüber, dieselbe Probe lässt sich also an den Seiten durchführen: die beiden kürzeren quadrieren und ihre Summe mit dem Quadrat der längsten vergleichen — gleich heißt rechtwinklig, größer heißt spitzwinklig, kleiner heißt stumpfwinklig. Seiten von 5, 5 und 8,6603 ergeben einen Winkel von 120 Grad und ein stumpfwinkliges Dreieck.
Warum legen zwei Seiten und der Winkel dazwischen das ganze Dreieck fest?
Weil die beiden Seiten frei auseinanderklappen können wie ein Zirkel und erst der Winkel festlegt, wie weit sie am Ende auseinanderstehen. Ist der Winkel gesetzt, haben die beiden freien Enden nur einen möglichen Abstand zueinander, die dritte Seite ist damit festgelegt, und mit drei Seiten sind auch die Winkel festgelegt. Deshalb reichen zwei Seiten allein nicht — 3 und 4 können alles zwischen fast 0 und 6 Quadratzentimetern einschließen, das Meiste bei einem rechten Winkel —, und deshalb reichen drei Winkel allein ebenso wenig, denn sie legen die Gestalt fest, aber nicht die Größe.
Welche Flächenformel wird hier verwendet?
Das halbe Produkt der beiden bekannten Seiten mal dem Sinus des eingeschlossenen Winkels: A = ½ × a × b × sin C. Es ist die übliche Formel Grundseite mal Höhe geteilt durch zwei, nur mit ersetzter Höhe, denn die Höhe über einer der Seiten ist die andere Seite mal dem Sinus des eingeschlossenen Winkels. Seiten von 3 und 4 in einem rechten Winkel ergeben ½ × 12 × 1 = 6 Quadratzentimeter; dieselben zwei Seiten bei 60 Grad ergeben 5,1962, weil sin 60 gleich 0,866 ist.
Was passiert, wenn der Winkel 0 oder 180 Grad beträgt?
Das Dreieck klappt zu einer Linie zusammen, und die Seite antwortet trotzdem: Bei einem Winkel von 0 zwischen Seiten von 3 und 4 ist die dritte Seite 1, ein Winkel beträgt 180 Grad und die beiden anderen sind 0. Die Einstufung kommt als stumpfwinklig zurück, was zur Regel passt, dass alles über 90 Grad stumpfwinklig ist, obwohl ein flachgeklapptes Dreieck ein entarteter Fall und keine echte Form ist. Die einzige Kombination, die rundheraus abgelehnt wird, sind zwei gleich lange Seiten mit einem Winkel von 0, wo die dritte Seite null wäre und nichts übrig bliebe.
Kann ich diese Seite für ein rechtwinkliges Dreieck verwenden?
Ja, und die Seite sagt es Ihnen auch: Tragen Sie 3 und 4 mit einem Winkel von 90 ein, kommt rechtwinklig zurück. Die Arithmetik entartet sauber, weil der Kosinus von 90 Grad 0 ist und der Kosinussatz zu a² + b² = c² zusammenfällt. Wenn jedes Dreieck, das Sie lösen, rechtwinklig ist, nimmt der Satz-des-Pythagoras-Rechner dieser Unterkategorie die beiden Seiten direkt und überspringt die Trigonometrie — aber diese Seite ist die richtige, wenn Sie nicht sicher sind, ob der Winkel genau im Lot steht.

Quellen

Verwandte Rechner

Dreiecksfläche-RechnerHalbe Grundseite mal der senkrechten Höhe darüber.Heron-Formel-RechnerDreiecksfläche aus drei Seitenlängen nach der Heron-Formel.Satz-des-Pythagoras-RechnerJede Seite eines rechtwinkligen Dreiecks aus den anderen.Gleichseitiges-Dreieck-RechnerFläche, Höhe und Umfang eines gleichseitigen Dreiecks.