Gleichseitiges-Dreieck-Rechner
Ergebnis
Fläche
- Umfang
- 18,0000 cm
- Höhe
- 5,1962 cm
Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten und drei Winkel von je 60 Grad; damit ist seine Form vollständig festgelegt, und es bleibt nur noch die Größe zu wählen. Genau das ist die Seitenlänge, und der Rechner gibt zu ihr drei Werte aus: die Fläche, den Umfang und die Höhe von einer Ecke senkrecht hinunter zur Mitte der gegenüberliegenden Seite. Die Höhe wird hier als eigener Messwert gedruckt und nicht nur als Zwischenschritt zur Fläche, denn sie ist die Zahl, die eine Zeichnung braucht. Die Rechnung folgt aus einem einzigen Kunstgriff: Fällt man die Höhe, zerfällt das Dreieck in zwei deckungsgleiche rechtwinklige Dreiecke, jedes mit der Seite als Hypotenuse und der halben Seite als Grundlinie, und der Satz des Pythagoras liefert die Höhe als Wurzel aus drei durch zwei mal Seite. Die Fläche ist dann die Grundlinie mal der Höhe halbiert, was sich zu Wurzel aus drei durch vier mal Seite zum Quadrat zusammenzieht. Beide Konstanten, √3 ÷ 2 und √3 ÷ 4, lohnen sich, weil sie dieses Dreieck vollständig ausmachen; die Formel unten ist nichts weiter als die beiden, angewandt auf die Seite. Warum reicht überhaupt eine einzige Zahl? Bei einem allgemeinen Dreieck genügt eine Seite keineswegs: Zu einer festen Grundlinie gibt es unendlich viele Dreiecke, von einem Splitter bis zu einer Figur, die fast so breit ist wie lang. Das gleichseitige Dreieck entkommt dem, weil seine Gestalt schon vorher feststeht — alle drei Seiten gleich, alle drei Winkel 60 Grad —, sodass die Seitenlänge nur noch den Maßstab setzt. Deshalb hat diese Seite ein einziges Eingabefeld, und deshalb verdoppelt eine Verdopplung der Seite den Umfang, während die Fläche auf das Vierfache wächst.
Gleichseitige Dreiecke von der Seitenlänge null bis zur Seitenlänge zehn
| Seite (cm) | Fläche (cm²) | Umfang (cm) | Höhe (cm) |
|---|---|---|---|
| 6 | 15.5885 | 18 | 5.1962 |
| 1 | 0.433 | 3 | 0.866 |
| 2 | 1.7321 | 6 | 1.7321 |
| 3 | 3.8971 | 9 | 2.5981 |
| 5 | 10.8253 | 15 | 4.3301 |
| 7.5 | 24.357 | 22.5 | 6.4952 |
| 10 | 43.3013 | 30 | 8.6603 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
Acht Dreiecke, und die erste Zeile ist die, mit der die Seite geladen wird. Lesen Sie die dritte und die vierte Spalte von oben nach unten und achten Sie darauf, was sich nicht ändert: Die Höhe beträgt immer 0,866 der Seite und der Umfang immer das Dreifache, beide Spalten sind also die Seite mal eine feste Zahl. Die zweite Spalte ist die Ausreißerin, und die zweite und die dritte Zeile zeigen das am besten — von einer Seitenlänge von 1 auf 2 verdoppeln sich Umfang und Höhe, die Fläche aber vervierfacht sich, weil die Fläche mit dem Quadrat der Länge geht und die beiden anderen mit der Länge selbst. In der dritten Zeile sieht die Seite aus, als hätte sie einen Tippfehler: Ein Dreieck der Seitenlänge 2 hat eine Fläche von 1,7321 und eine Höhe von 1,7321. Beide sind bei dieser Seite die Wurzel aus drei — das Halbieren der Seite hebt die Division durch zwei in der Höhe auf, ihr Quadrieren die Division durch vier in der Fläche —, und es bleiben trotzdem zwei verschiedene Größen, die eine in Quadratzentimetern, die andere in Zentimetern. Es ist die einzige Zeile der Tabelle, in der die beiden Spalten übereinstimmen, und das ist ein Zufall dieser einen Seitenlänge und keine zweimal berechnete Spalte. Dieselbe erste Zeile ist zugleich die, an der die anderen Dreiecksseiten diese hier treffen: Eine Seitenlänge von 6 ergibt 15,5885, denselben Wert, den die Heron-Seite aus 6, 6, 6 erreicht und die Seite zum gleichschenkligen Dreieck aus einer Grundseite von 6 mit Schenkeln von 6. Jeder Wert hier ist beim Bau der Seite aus seiner Seitenlänge neu gerechnet, in Zentimetern, und die vier Nachkommastellen sind dieselben vier, die das Ergebnispanel verwendet. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (15.5885 statt 15,5885), weil die Zellwerte unverändert durchgereicht werden und nicht durch eine Textvorlage laufen.
Formel
A = (√3 ÷ 4) × s² P = 3s h = (√3 ÷ 2) × s
- Seite
- Die Länge einer der drei Seiten, in Zentimetern. Sie ist die einzige Eingabe auf der Seite, weil beim gleichseitigen Dreieck alle drei Seiten gleich lang und alle drei Winkel auf 60 Grad festgelegt sind — zu entscheiden bleibt damit nur die Größe
- Fläche
- Die Fläche, die das Dreieck bedeckt, in Quadratzentimetern: Wurzel aus drei durch vier mal die Seite zum Quadrat. Die Konstante beträgt rund 0,433, eine brauchbare Zahl zum Merken — ein gleichseitiges Dreieck bedeckt etwas mehr als vier Zehntel des Quadrats über seiner Seite
- Umfang
- Der Weg einmal herum, in Zentimetern: dreimal die Seite, weil alle drei gleich lang sind. Er ist der einzige der drei Werte, der immer genau ist, wenn es die Seite ist — deshalb taugt gerade er zum Nachrechnen der beiden anderen
- Höhe
- Der Abstand von einer Ecke senkrecht hinunter zur Mitte der gegenüberliegenden Seite, in Zentimetern: Wurzel aus drei durch zwei mal die Seite. Sie heißt auch die Höhe auf der Seite, und weil die Figur symmetrisch ist, ist es dieselbe Linie, von welcher Ecke aus man sie auch fällt
- √3
- Die Quadratwurzel aus drei, rund 1,7320508. Sie erscheint in der Fläche wie in der Höhe, und sie ist kein Rundungsartefakt: Halbiert man das Dreieck, bleibt ein rechtwinkliges Dreieck übrig, dessen Seiten nicht alle zugleich ganze Zahlen sein können — die krumme Zahl muss also irgendwo herauskommen
- Vier Nachkommastellen
- Wie breit jeder Wert geschrieben wird. Fläche und Höhe tragen fast immer die Wurzel aus drei und enden deshalb fast nie; der Umfang ist genau, und ihn auf vier Stellen zu drucken ist eine feste Breite und keine Aussage über die Genauigkeit
Die Seite ist für alles, was aus gleichseitigen Dreiecken besteht, und davon gibt es mehr, als der Name vermuten lässt. Dachbinder, Fahrradrahmen, Brückenvergitterungen und Regalwinkel nutzen sie, denn das Dreieck ist das einzige Vieleck, das sich nicht verformen lässt, ohne die Länge einer Seite zu ändern — ein Vierkantrohr gibt seitlich angestoßen nach, und genau deshalb sitzt am Gartentor eine Diagonale. Wer Dreiecke aus einer Platte schneidet, erfährt aus der Fläche, wie viele darauf gehen, und aus der Höhe, wie hoch eine Reihe wird: Spitze oben in Reihen gelegt, überlappen zwei Reihen um genau eine Höhe, die Höhe ist also der Reihenabstand und nicht die Fläche. Wer einen Streifen zu einer Form biegt, braucht den Umfang als Länge des Streifens, bevor der Stoß dazukommt. Und wer eine Zeichnung prüft, hat in der Höhe einen festen Anhaltspunkt: Sie teilt die Figur in zwei deckungsgleiche rechtwinklige Dreiecke und trifft die Gegenseite genau in ihrer Mitte — eine berechnete Höhe, die keine zwei gleichen Hälften hinterlässt, heißt also, dass das gezeichnete Dreieck nicht gleichseitig ist, was auch immer daneben steht. Eine Rechenwarnung gehört hierher und nicht ins Kleingedruckte: Die auf dieser Seite gedruckte Höhe ist bereits auf vier Stellen gerundet, wer sie von Hand wieder hineinmultipliziert, erhält eine Fläche, die in der letzten Stelle abweicht. Beide Werte auf dem Panel sind richtig; verloren geht die Stelle auf dem Umweg über die gedruckte Höhe.
Rechenbeispiele
Seitenlänge 6
- Umfang: 3 × 6 = 18
- Höhe: (√3 ÷ 2) × 6 = 5,196152…, gerundet 5,1962
- Fläche: (√3 ÷ 4) × 36 = 15,588457…, gerundet 15,5885
Der Wert, mit dem die Seite geladen wird, und die Zeile, an der sich die drei Dreiecksseiten treffen: Ein Dreieck mit drei Seiten von 6 hat hier eine Fläche von 15,5885, und dieselbe 15,5885 kommt auf der Seite zum gleichschenkligen Dreieck bei Grundseite 6 und Schenkel 6 heraus sowie auf der Heron-Seite bei 6, 6, 6. Drei Wege zu derselben Figur, und alle drei stimmen bis auf die letzte Stelle überein. Auch die Rechenfalle ist hier zu sehen: 6 × 5,1962 ÷ 2 ergibt 15,5886, eine Stelle über der Fläche darüber, und verloren geht diese Stelle in der Rundung der Höhe und nicht in einer der beiden Formeln.
Seitenlänge 1
- Umfang: 3 × 1 = 3
- Höhe: (√3 ÷ 2) × 1 = 0,8660254…, gerundet 0,866
- Fläche: (√3 ÷ 4) × 1 = 0,4330127…, gerundet 0,433
Das Einheitsdreieck und die Zeile, an der sich die beiden Konstanten am leichtesten merken lassen: Ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge 1 hat eine Höhe von 0,8660 und eine Fläche von 0,4330. Gegen das Quadrat über derselben Seite, dessen Fläche 1 ist, bedeckt das Dreieck für dieselbe Kante etwas weniger als die Hälfte — deutlicher lässt sich nicht zeigen, woher Wurzel aus drei durch vier stammt. Bei zwei der drei Werte ist die vierte Nachkommastelle eine null und wird deshalb weggelassen.
Seitenlänge 2
- Umfang: 3 × 2 = 6
- Höhe: (√3 ÷ 2) × 2 = 1,7320508…, gerundet 1,7321
- Fläche: (√3 ÷ 4) × 4 = 1,7320508…, gerundet 1,7321
Die Zeile, die wie ein Fehler aussieht und keiner ist: Fläche und Höhe drucken beide 1,7321. Beide sind bei dieser Seite die Wurzel aus drei — das Halbieren der Seite hebt die Division durch zwei in der Höhe auf, ihr Quadrieren die Division durch vier in der Fläche —, aber die eine Zahl sind 1,7321 Quadratzentimeter und die andere 1,7321 Zentimeter. Es sind zwei verschiedene Größen, die bei dieser einen Seitenlänge zufällig denselben Zahlenwert haben; bei keiner anderen Seite der Tabelle passiert dasselbe.
Seitenlänge 10
- Umfang: 3 × 10 = 30
- Höhe: (√3 ÷ 2) × 10 = 8,660254…, gerundet 8,6603
- Fläche: (√3 ÷ 4) × 100 = 43,301270…, gerundet 43,3013
Ein Dreieck von zehn Zentimetern, ungefähr die Größe eines Dachbinder-Winkels. Die Höhe von 8,6603 sind 86,6 Prozent der Seite, und dieses Verhältnis ändert sich nie: Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks beträgt immer 0,866 seiner Seite, gleich wie groß es ist. Wer solche Dreiecke spitze oben in Reihen legt, nimmt diesen Wert als Reihenabstand, weil jede Reihe die darunter um genau eine Höhe überlappt.
Seitenlänge 0
- Umfang: 3 × 0 = 0
- Höhe: (√3 ÷ 2) × 0 = 0
- Fläche: (√3 ÷ 4) × 0 = 0
Die null ist eine zulässige Eingabe und kein leeres Feld. Ein Dreieck mit der Seitenlänge null ist zu einem einzigen Punkt zusammengefallen, und alle drei Werte sind null — eine Zeile voller Nullen ist also eine echte Antwort. Ein leeres Feld ist der andere Fall: Steht nichts darin, zeigt die Seite überhaupt kein Ergebnis, weil es nichts zu rechnen gibt.
Einschränkungen
Die Seite gilt ausschließlich für gleichseitige Dreiecke: alle drei Seiten gleich lang und alle drei Winkel 60 Grad. Ein Dreieck, das nur gleichschenklig ist, oder rechtwinklig, oder irgendeine andere Gestalt mit einer Seite dieser Länge hat, lässt sich durch diese eine Zahl nicht beschreiben; die Seite liefert dafür die Werte des gleichseitigen Dreiecks, statt Ihnen zu sagen, dass die Figur, die Sie im Kopf haben, eine andere ist. Kennen Sie zwei Seiten eines allgemeinen Dreiecks, nimmt die Dreiecksseite eine Grundseite und eine Höhe, die Heron-Seite alle drei Seiten. Die Werte stehen in Zentimetern und Quadratzentimetern, was das Einheiten-Auswahlfeld auch anzeigt, eine in Zoll eingegebene Seite kommt also als Zentimeterantwort zurück. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit; für eine gemessene Seite ist das großzügig. Höhe und Fläche werden unabhängig voneinander gedruckt: Die Fläche entsteht aus der ungerundeten Höhe, wer also die gedruckte Höhe von Hand wieder hineinmultipliziert, landet in der vierten Nachkommastelle eine Stelle daneben — das ist ein Rundungsunterschied und kein Fehler in einem der beiden Werte. Die Seite ist durchweg zweidimensional und hat kein Feld für die Dicke eines körperlichen Dreiecks, sie kann also weder das Volumen eines dreieckigen Prismas noch die Masse einer dreieckigen Platte liefern.
Häufige Fragen
- Warum genügt eine einzige Messung, um ein gleichseitiges Dreieck zu beschreiben?
- Weil die Gestalt schon vorher feststeht. Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten und drei Winkel von 60 Grad, zu wählen bleibt also nur, wie groß es ist, und das legt die Seitenlänge fest. Ein allgemeines Dreieck hat diese Freiheit nicht verbraucht: Eine Seite lässt unendlich viele Gestalten zu, und erst drei Seiten oder zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel legen das Dreieck fest.
- Wie wird die Höhe berechnet, und woher kommt die Wurzel aus drei?
- Fällt man die Höhe von einer Ecke, zerfällt das Dreieck in zwei deckungsgleiche rechtwinklige Dreiecke. Jedes hat die Seite als Hypotenuse und die halbe Seite als Grundlinie, der Satz des Pythagoras liefert die Höhe also als Wurzel aus der Seite zum Quadrat minus einem Viertel der Seite zum Quadrat, und das ist Wurzel aus drei durch zwei mal die Seite. Die krumme Zahl ist kein Rundungsartefakt; sie ist das, was übrig bleibt, wenn man eine Figur mit lauter gleichen Seiten halbiert.
- Die gedruckte Höhe mal der halben Grundlinie ergibt nicht genau die gedruckte Fläche. Warum?
- Weil die Höhe auf dem Panel bereits auf vier Nachkommastellen gerundet ist und die Fläche aus der ungerundeten Höhe berechnet und dann für sich gerundet wurde. Bei einer Seitenlänge von 6 steht die Höhe als 5,1962 da, die halbe Grundlinie ist 3, und das Produkt ist 15,5886, während die Fläche als 15,5885 erscheint. Beide Werte sind richtig; die vierte Stelle geht auf dem Umweg verloren, nicht in einer der beiden Rechnungen. Wer die genaue Fläche braucht, nimmt die Flächenzeile statt sie nachzubauen.
- Welchen Anteil der Seite macht die Höhe aus?
- Immer 0,866 der Seite, also rund 86,6 Prozent, gleich wie groß das Dreieck ist. Das folgt aus derselben Wurzel aus drei durch zwei: Eine größere Seite skaliert die Höhe im selben Verhältnis mit, das Verhältnis der beiden zueinander ändert sich also nie. Es ist die Zahl, mit der sich solche Dreiecke in Reihen legen lassen, denn jede Reihe spitz stehender Dreiecke überlappt die darunter um genau eine Höhe.
- Wie schlägt sich die Fläche im Vergleich zu einem Quadrat derselben Seitenlänge?
- Das Quadrat ist größer, mit 1 Flächeneinheit gegen rund 0,433 beim Dreieck bei einer Seitenlänge von 1. Das Dreieck verbraucht für dieselbe Kante weniger Material, hat über dieser Fläche aber auch einen kürzeren Umfang — der Vergleich sagt also nur etwas aus, wenn man ihn als Material je Kante formuliert. In der Praxis fällt die Wahl auf ein Dreieck wegen seiner Steifigkeit und nicht wegen der Fläche: Ein Dreieck lässt sich nicht verformen, ohne die Länge einer Seite zu ändern, ein Quadrat schon.
- Darf die Seitenlänge null sein, und ist das dasselbe wie ein leeres Feld?
- Die null ist eine echte Eingabe, und alle drei Werte kommen als null zurück — die ehrliche Antwort für ein Dreieck ohne Größe. Ein leeres Feld ist etwas anderes: Steht nichts darin, zeigt die Seite überhaupt kein Ergebnis, weil es nichts zu rechnen gibt. Dieser Unterschied zählt während des Tippens, denn das Löschen des Feldes zum Neutippen sollte keine Zeile voller Nullen aufblitzen lassen.
Quellen
- Equilateral triangle — the three-sided regular polygon, with the height, the area and the 60-degree angles this page computes, and the split into two right-angled triangles that produces the square root of three — Wolfram MathWorld (United States)
- Regular polygon — the family an equilateral triangle belongs to as the three-sided member, where the side count sets the angles: 60 degrees here, 108 in a pentagon and 135 in an octagon — Wolfram MathWorld (United States)
- Fläche eines gleichseitigen Dreiecks — die beiden Konstanten √3 ÷ 4 und √3 ÷ 2, ihre Herleitung über den Satz des Pythagoras und der Weg von der Seitenlänge zu Fläche, Umfang und Höhe — Mathebibel (Deutschland)
- Gleichseitiges Dreieck — die drei gleich langen Seiten, die drei 60-Grad-Winkel, Höhe und Symmetrieachsen in der deutschen Schreibweise — Mathebibel (Deutschland)