Heron-Formel-Rechner

s = (a + b + c) ÷ 2 A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) P = a + b + c

Seite a

Die erste der drei Seitenlängen, in Zentimetern. Die drei Felder sind austauschbar — welches Sie a und welches Sie b nennen, ändert an der Antwort nichts —, tragen Sie sie also in der Reihenfolge ein, in der Sie gemessen haben

Seite b

Die zweite Seitenlänge, in Zentimetern. Zusammen mit den beiden anderen muss sie die Dreiecksungleichung erfüllen: Jede Seite muss kürzer sein als die beiden anderen zusammen, sonst können die drei Längen überhaupt kein Dreieck schließen

Seite c

Die dritte Seitenlänge, in Zentimetern. Es lohnt sich, die längste Seite in ein beliebiges Feld einzutragen und dann den halben Umfang zu lesen: Er muss größer sein als sie, und dieser eine Vergleich erspart es, alle drei Summen nachzurechnen

Halber Umfang

Der halbe Weg um das Dreieck, in Zentimetern: die drei Seiten addiert und durch zwei geteilt. Er wird als Antwort gedruckt und nicht als Zwischenschritt zurückgehalten, weil die Formel um ihn herum geschrieben ist und weil er zugleich die Prüfung ist, ob die drei Seiten sich überhaupt treffen können

Fläche

Die Fläche, die das Dreieck bedeckt, in Quadratzentimetern, aus der Wurzel des halben Umfangs mal der drei Abstände zwischen ihm und jeder Seite. Es ist der einzige Wert, der alle drei Eingaben braucht: Der Umfang addiert sie nur, der halbe Umfang halbiert nur die Summe

Umfang

Der Weg einmal herum, in Zentimetern: die drei Seiten addiert. Er steht hier, weil die beiden leicht zu verwechseln sind, wenn der eine ein Schritt im anderen ist, und weil der Umfang das ist, wonach man Einfassung oder Leisten kauft

√

Die Quadratwurzel, angewandt auf das Produkt der vier Faktoren. Fast jedes Dreieck liefert eine irrationale Fläche, ein Zahlentripel, das eine ganze Zahl ergibt — etwa 3, 4, 5 mit 6 —, ist also die bemerkenswerte Ausnahme und nicht die Regel

Greifen Sie zu dieser Seite, wann immer Sie die drei Seiten gemessen haben und nicht die Höhe — und das ist in der Praxis der weitaus häufigste Fall. Grundstücke sind der klassische Fall: Ein Grundstück mit geraden Grenzen wird vermessen, indem man die Seiten aufmisst, und die Fläche folgt unmittelbar daraus — zerlegen Sie ein unregelmäßiges Stück in Dreiecke und schicken Sie jedes hier durch. Plattenmaterial ist der zweite Fall: Ein dreieckiges Knotenblech, ein Eckregal oder ein Segel wird über seine drei Kanten angeboten, und die Fläche sagt Ihnen, welche Platte Sie brauchen und wie viel Masse sie hinzufügt. Im Schulunterricht ist es der Weg zur Fläche, wenn die Höhe unhandlich ist oder außerhalb der Figur landen würde — das passiert bei jedem stumpfwinkligen Dreieck: Das Lot von der breitesten Ecke fällt über die Gegenseite hinaus, man kann es also nicht auf dem Material abmessen. Die Seite ist außerdem der ehrliche Weg, wenn ein Dreieck durch drei Längen gegeben ist, die woanders herkommen — aus einem CAD-Export, einer Zuschnittliste, einer Zeichnung, die nur mit ihren Kanten bemaßt ist —, denn es ist nichts umzurechnen und nichts erneut zu messen. Zwei Dinge sind zu beachten. Erstens müssen die drei Seiten sich schließen können: Ist die längste länger als die beiden anderen zusammen, gibt es kein Dreieck, und die Seite sagt das, statt eine Zahl auszugeben, weil die Rechnung die Wurzel aus einer negativen Zahl verlangen würde. Zweitens erfüllen echte Messungen die Ungleichung nie genau. Ein Grundstück mit den Seiten 10, 4 und 6 Metern kann es nicht geben, aber dasselbe, auf den Zentimeter genau gemessene Grundstück liest sich als etwa 10,01, 3,99 und 6,00, und die Fläche wird winzig — das ist die Arithmetik, die Ihnen sagt, dass die drei Punkte fast auf einer Geraden liegen, und nicht die Formel, die versagt.

1. Seiten 3, 4 und 5

   1. Umfang: 3 + 4 + 5 = 12
   2. Halber Umfang: 12 ÷ 2 = 6
   3. Die drei Differenzen: 6 − 3 = 3, 6 − 4 = 2, 6 − 5 = 1
   4. Fläche: √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6

   Das 3-4-5-Dreieck, mit dem im Bauhandwerk jeder rechte Winkel abgesteckt wird, und der klarste Fall, in dem die Antwort eine ganze Zahl ist. Es ist zugleich die Gegenprobe zwischen dieser Seite und der Dreiecksseite: Grundlinie 3 mit einer Höhe von 4 ergibt dort 6, die drei Seiten ergeben hier 6. Dasselbe Dreieck, zwei Eingabesätze, eine Fläche. Dass die Wurzel genau aufgeht, ist eine Eigenschaft dieses Tripels und nicht der Formel — fast jedes andere Zahlentripel lässt eine irrationale Zahl übrig.

2. Seiten 6, 5 und 5

   1. Umfang: 6 + 5 + 5 = 16
   2. Halber Umfang: 16 ÷ 2 = 8
   3. Die drei Differenzen: 8 − 6 = 2, 8 − 5 = 3, 8 − 5 = 3
   4. Fläche: √(8 × 2 × 3 × 3) = √144 = 12

   Ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Grundseite von 6 und zwei Schenkeln von 5 — genau die Werte, mit denen die Seite zum gleichschenkligen Dreieck daneben geladen wird —, und es liefert dieselbe 12 und denselben Umfang von 16. Das ist die zweite der beiden Dreiecksproben in diesem Satz: Die gleichschenklige Seite erreicht ihre Fläche über eine Grundseite und einen Schenkel, diese Seite erreicht sie über die drei Seiten, und die beiden stimmen bis auf die letzte Stelle überein. Man sieht hier auch, dass der halbe Umfang von 8 bequem größer ist als die längste Seite von 6 — die Prüfung, dass diese drei Längen sich schließen.

3. Seiten 6, 6 und 6

   1. Umfang: 6 + 6 + 6 = 18
   2. Halber Umfang: 18 ÷ 2 = 9
   3. Die drei Differenzen: 9 − 6 = 3, dreimal dasselbe
   4. Fläche: √(9 × 3 × 3 × 3) = √243 = 15,588457…, gerundet 15,5885

   Der gleichseitige Fall und der dritte Weg zur Zahl 15,5885: Die Seite zum gleichseitigen Dreieck bekommt sie aus einer einzigen Seitenlänge von 6, die gleichschenklige Seite aus einer Grundseite von 6 mit Schenkeln von 6, und diese Seite aus drei Seiten von 6. Drei Seiten, drei Arten, dasselbe Dreieck zu beschreiben, eine Fläche. √243 ist 9√3, und genau dort taucht die Wurzel aus drei auf, die die gleichseitige Seite in ihrer Konstante mit sich führt.

4. Seiten 5, 12 und 13

   1. Umfang: 5 + 12 + 13 = 30
   2. Halber Umfang: 30 ÷ 2 = 15
   3. Die drei Differenzen: 15 − 5 = 10, 15 − 12 = 3, 15 − 13 = 2
   4. Fläche: √(15 × 10 × 3 × 2) = √900 = 30

   Die Zeile, bei der man hängen bleibt: Die Fläche ist 30 und der Umfang ist 30. Es sind nicht dieselbe Größe und sie stehen nicht einmal in derselben Einheit — die eine in Quadratzentimetern, die andere in Zentimetern —, es ergibt sich nur, dass dieses eine Dreieck zweimal dieselbe Zahl liefert. 5-12-13 ist ein pythagoreisches Tripel, das Dreieck also rechtwinklig, und rechtwinklige Dreiecke landen am ehesten auf ganzen Zahlen, weil auch die Quadrate ihrer Seiten ganze Zahlen sind.

5. Seiten 9, 10 und 17

   1. Umfang: 9 + 10 + 17 = 36
   2. Halber Umfang: 36 ÷ 2 = 18
   3. Die drei Differenzen: 18 − 9 = 9, 18 − 10 = 8, 18 − 17 = 1
   4. Fläche: √(18 × 9 × 8 × 1) = √1296 = 36

   Die zweite Zeile, in der Fläche und Umfang dieselbe Zahl drucken, und dieses Dreieck ist nicht rechtwinklig: 9 zum Quadrat plus 10 zum Quadrat ist 181, während 17 zum Quadrat 289 ist. Dass 36 und 36 übereinstimmen, kommt also nicht von einem rechten Winkel — genau das macht die Zeile erwähnenswert. Zwei Zeilen derselben Tabelle mit dieser Eigenschaft sind es, die die erste wie eine Regel aussehen lassen, und diese hier ist der Beleg, dass sie keine ist.

6. Seiten 1, 1 und 2

   1. Umfang: 1 + 1 + 2 = 4
   2. Halber Umfang: 4 ÷ 2 = 2
   3. Die drei Differenzen: 2 − 1 = 1, 2 − 1 = 1, 2 − 2 = 0
   4. Fläche: √(2 × 1 × 1 × 0) = √0 = 0

   Der genaue Grenzfall, und er wird durchgelassen statt abgewiesen: 1 plus 1 ist genau 2, das Dreieck ist also zu einer geraden Linie zusammengeklappt, mit den beiden kurzen Seiten Stoß an Stoß. Die Fläche ist tatsächlich null und der Umfang tatsächlich 4, eine Antwort von null ist hier also richtig und kein Zeichen für ein Scheitern. Schieben Sie die dritte Seite auf 2,1, verweigert die Seite die Rechnung, weil die beiden kurzen Seiten einander dann nicht mehr erreichen und kein Dreieck existiert.

Die drei Zahlen müssen ein Dreieck bilden können: jede Seite kürzer als die beiden anderen zusammen. Können sie das nicht, hält die Seite an und sagt es, statt eine Zahl auszugeben, weil die Formel die Wurzel aus einer negativen Zahl verlangen würde. Der genaue Fall, in dem die längste Seite den beiden anderen zusammen entspricht, wird durchgelassen und ergibt eine Fläche von null — die ehrliche Antwort für ein Dreieck, das zu einer Linie zusammengeklappt ist. Die Werte stehen in Zentimetern und Quadratzentimetern, was das Einheiten-Auswahlfeld auch anzeigt, in Zoll eingegebene Seiten kommen also als Zentimeterantwort zurück. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit, und bei drei gemessenen Seiten trägt der Fehler jeder einzelnen in die Fläche: Ein auf den Millimeter genau gemessenes Dreieck hat seine Fläche leicht schon in der dritten Nachkommastelle unsicher, die letzte gedruckte Stelle ist also nicht als bedeutsam zu lesen. Die Heron-Formel ist zudem ein schlechter Begleiter für sehr schmale Dreiecke: Ist eine Seite fast so lang wie die beiden anderen zusammen, enthält sie einen sehr kleinen Faktor, und die Wurzel verstärkt jede Rundung, die schon in den Messungen steckte — die Fläche eines Splitters ist also als Näherung zu behandeln, so viele Stellen auch gedruckt werden. Die Seite ist zweidimensional und hat kein Feld für die Dicke eines körperlichen Dreiecks, sie kann daher weder das Volumen eines Prismas noch die Masse einer Platte liefern.

Warum sollte ich das statt halber Grundlinie mal Höhe nehmen?

Weil eine Höhe schwer zu messen ist und die drei Seiten leicht. Die Höhe ist das Lot von einer Ecke auf die Gegenseite, man muss zum Messen also ein Winkeleisen gegen das Dreieck stemmen, und bei einem stumpfwinkligen Dreieck fällt sie ganz aus der Figur heraus. Ein Maßband entlang jeder Seite braucht diese Sorgfalt nicht, und die Heron-Formel macht aus diesen drei Ablesungen die Fläche, ohne dass irgendwo eine Höhe vorkommt. Wer Grundlinie und Höhe schon hat, nimmt die Dreiecksseite: Dort ist die Rechnung kürzer.

Was ist der halbe Umfang, und warum wird er angezeigt?

Es ist die Hälfte des Umfangs, die drei Seiten addiert und durch zwei geteilt, und es ist die Größe, um die die Heron-Formel herum geschrieben ist: Die Fläche ist die Wurzel aus s mal s minus a, mal s minus b, mal s minus c. Er wird gedruckt und nicht als Zwischenschritt zurückgehalten, weil er zugleich eine Prüfung ist. Ist der halbe Umfang nicht größer als die längste Seite, können die drei Längen kein Dreieck bilden, und dieser eine Vergleich erspart es, die drei Differenzen durchzurechnen.

Was passiert, wenn die drei Seiten kein Dreieck bilden können?

Die Seite hält an und sagt es Ihnen, statt eine Zahl auszugeben. Drei Längen können sich nur schließen, wenn jede kürzer ist als die beiden anderen zusammen; ist das verletzt, wird einer der vier Faktoren unter der Wurzel negativ, und es gibt keine reelle Fläche. Die Meldung nennt die längste Seite und die Summe der beiden anderen, Sie sehen also, wie weit die Messungen danebenliegen. Durchgelassen wird nur der genaue Grenzfall, in dem die längste Seite den beiden anderen zusammen entspricht: Dieses Dreieck ist tatsächlich zu einer Linie zusammengeklappt, und seine Fläche von null ist eine echte Antwort.

Woher kommt der Name?

Von Heron von Alexandria, der die Formel im ersten Jahrhundert aufschrieb, was sie zu einem der älteren Ergebnisse macht, die noch heute täglich benutzt werden. Sie wurde für die Landvermessung notiert, wo die drei Seiten eines Grundstücks genau das sind, was eine Messkette liefert, und die Höhe nicht. Sie heißt nach derselben Person mitunter auch Formel des Heron, dessen Name in den Quellen in beiden Schreibweisen auftaucht.

Bei manchen Dreiecken kommen Fläche und Umfang als dieselbe Zahl heraus. Ist das eine Regel?

Nein, und die Tabelle zeigt, warum nicht. Das 5-12-13-Dreieck hat eine Fläche von 30 und einen Umfang von 30, und das 9-10-17-Dreieck ebenso, mit 36 und 36 — aber das sind verschiedene Größen in verschiedenen Einheiten, Quadratzentimeter gegen Zentimeter, und die Gleichheit hängt ganz davon ab, in welcher Einheit die Längen gemessen wurden. Messen Sie dasselbe Dreieck in Metern, sinkt der Umfang auf ein Hundertstel und die Fläche auf ein Zehntausendstel, und die beiden Zahlen gehen auseinander. Das lohnt sich zu wissen, bevor der Zufall als Eigenschaft von Dreiecken gelesen wird.

Wie genau ist die Fläche, wenn ich die Seiten mit dem Maßband gemessen habe?

Weniger genau, als die vier Nachkommastellen nahelegen, und bei schmalen Dreiecken wird der Fehler größer. Jede gemessene Seite bringt ihre eigene Unsicherheit in alle vier Faktoren ein, und wenn eine Seite fast so lang ist wie die beiden anderen zusammen, wird ein Faktor sehr klein und die Wurzel verstärkt jede Rundung, die schon in Ihren Zahlen steckt. Runden Sie die Antwort passend zur Messung: Sind die Seiten auf den Millimeter genau, ist die Fläche auf etwa drei signifikante Stellen genau, was das Panel danach noch druckt.

• Heron's formula — the area of a triangle from its three side lengths by way of the semiperimeter, which is the whole of what this page computes, including the proof and the note on the degenerate case — Wolfram MathWorld (United States)
• Semiperimeter — the half-sum of the sides that Heron's formula is written around, and which doubles as the cheapest test of whether three lengths form a triangle at all — Wolfram MathWorld (United States)
• Die heronische Formel für die Dreiecksfläche — Herleitung über den Satz des Pythagoras und über die Trigonometrie, mit dem halben Umfang als Ausgangsgröße (PDF, 16 Seiten) — Walter Fendt (Deutschland)
• Dreieck — die Dreiecksungleichung, die entscheidet, ob drei Längen sich schließen können, und die Grundbegriffe Seite, Höhe und Fläche in der deutschen Schreibweise — Mathebibel (Deutschland)