Umfang-Rechner

Quadrat: P = 4a Rechteck: P = 2(a + b) Dreieck: P = a + b + c

Form

Welche der drei Figuren gemessen wird. Sie entscheidet, welche Formel läuft und damit, welche der drei Seitenfelder gelesen werden: ein Quadrat liest eines, ein Rechteck zwei, ein Dreieck alle drei

a

Die Seite, in Zentimetern. Beim Quadrat ist sie die einzige Zahl, die die Seite braucht. Beim Rechteck ist sie die erste der beiden, beim Dreieck eine der drei

b

Die zweite Seite, in Zentimetern; gelesen von Rechteck und Dreieck und ignoriert vom Quadrat, das keine zweite Länge anzugeben hat

c

Die dritte Seite, in Zentimetern, allein vom Dreieck gelesen. Beim Dreieck sind die drei Felder austauschbar — nichts hängt davon ab, welche der drei Sie a, b oder c nennen

Die Dreiecksungleichung

Die Regel, die ein Dreieck ein Dreieck sein lässt: Je zwei Seiten zusammengenommen müssen länger sein als die dritte, und zwar für alle drei Paarungen. Die Seite prüft das und weist eine Seitenkombination zurück, die dagegen verstößt, einschließlich des Grenzfalls, in dem die Summe genau gleich statt kleiner ist

Zentimeter

Die Einheit der Antwort, immer, unabhängig davon, welche Einheit die Auswahlen tragen. Ein Umfang ist eine Länge und braucht deshalb — anders als eine Fläche — keinen Quadrierschritt: Die Antwort steht in derselben Einheit wie die Seiten

Vier Dezimalstellen

Die Breite, in der die Antwort ausgegeben wird. Vier und nicht zwei, damit ein in Metern eingegebener Umfang über die Auswahl genug Stellen behält, um brauchbar zu sein, und damit die Seiten mit Nachkommastellen in der Tabelle vollständig erscheinen statt weggerundet zu werden

Die Formenauswahl ist da, weil die drei Formeln verschieden sind; die Wahl trifft aber meist der Gegenstand, den Sie messen. Ein Quadrat ist für Fliesen, Platten und quadratische Grundstücke, wo alle vier Seiten wirklich gleich sind und eine Messung genügt. Ein Rechteck ist für Räume, Gärten, Bildschirme und Bleche, wo Sie eine Länge und eine Breite haben und die beiden Paare gleich sind. Ein Dreieck ist für das unhandliche Grundstück am Straßenende, eine Giebelfläche, eine Konsole oder eine Rampe, und es ist dasjenige, bei dem Sie alle drei Seiten brauchen — es gibt keine Formel, die die dritte aus den beiden anderen herleitet, weil die drei Seiten eines Dreiecks auf eine Weise unabhängig sind, wie es die Seiten eines Rechtecks nicht sind. Zwei Dinge lohnen sich aus der Geometrie rings um diese Seite mitzunehmen. Das erste ist, dass der Umfang eines Rechtecks nicht im Verhältnis zu seiner Fläche steht: Ein Rechteck von eins mal zehn und eines von fünf mal sechs haben beide den Umfang 22, aber das erste umschließt zehn Quadrateinheiten und das zweite dreißig — der klassische Grund, warum ein langes, schmales Feld mehr Zaun braucht als ein quadratisches derselben Größe. Das zweite ist die Dreiecksungleichung, und sie ist das Nützlichste auf dieser Seite, weil sie überhaupt erst verhindert, dass drei beliebige Zahlen ein Dreieck sind — und weil sie der Grund dafür ist, dass der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten der gerade ist, denn jeder Umweg über einen dritten Punkt macht den Weg länger.

1. Ein Rechteck von 3 mal 4

   1. Zwei Längen und zwei Breiten: 2 × (3 + 4) = 14
   2. Oder die vier Seiten einzeln addiert: 3 + 4 + 3 + 4 = 14
   3. Das dritte Feld liest das Rechteck nicht, die 5 darin ändert nichts

   Die Form, mit der die Seite startet. Die beiden Schreibweisen der Rechnung sind dieselbe Berechnung, und genau das ist der Punkt: Die Formel verdoppelt eine Summe, statt vier Terme zu addieren, daher stammt die Klammer. Das 3-4-5-Dreieck im dritten Feld ist ein Überbleibsel eines Dreiecks, das Sie sich vorher angesehen haben mögen, und die Seite nimmt es nicht zur Kenntnis.

2. Ein Quadrat mit der Seitenlänge 5

   1. Vier gleich lange Seiten: 4 × 5 = 20
   2. Das zweite und das dritte Feld liest das Quadrat nicht

   Die schlichteste Zeile der Seite und die, an der man das Ganze gegenprüfen kann: Ein Quadrat mit fünf Zentimetern Seitenlänge hat zwanzig Zentimeter Rand. Bemerkenswert ist, dass sich das Quadrat auch über die Rechteck-Formel erreichen ließe, denn ein Quadrat ist ein Rechteck mit zwei gleich langen Seiten — 2 × (5 + 5) = 20 —, und die Seite hält trotzdem eine eigene Auswahl bereit, weil eine Zahl statt zweier abzufragen der ganze Grund ist, aus dem man ein Quadrat wählt.

3. Ein Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5

   1. Drei Seiten addiert: 3 + 4 + 5 = 12
   2. Die Dreiecksungleichung prüfen: 3 + 4 = 7 ist mehr als 5, 3 + 5 = 8 ist mehr als 4, und 4 + 5 = 9 ist mehr als 3
   3. Alle drei Paarungen halten, das Dreieck schließt sich

   Das kleinste rechtwinklige Dreieck mit ganzzahligen Seiten und das einzige dieser Beispiele, bei dem sich die Prüfung der Ungleichung ausschreibt — geprüft wird nicht, ob die längste Seite lang aussieht, sondern ob jede Paarung besteht, und hier bestehen alle drei mit Reserve. Der Umfang 12 ist dieselbe Zahl, die das 3-4-5-Dreieck auf der Flächenseite für dieselben Seiten liefert, wo es sich allerdings um eine Fläche von 12 handelt und nicht um einen Umfang.

4. Ein Dreieck mit den Seiten 6, 8 und 10

   1. Drei Seiten addiert: 6 + 8 + 10 = 24
   2. Die Dreiecksungleichung prüfen: 6 + 8 = 14 ist mehr als 10, und die beiden anderen Paarungen halten mit Reserve
   3. Das Dreieck schließt sich

   Das doppelte 3-4-5-Dreieck, und es zeigt zugleich etwas Wissenswertes: Ein Dreieck zu skalieren verdoppelt den Umfang, weil ein Umfang eine Länge ist. Die beiden sind dieselbe Form in zwei Größen, deshalb stehen sie in der ersten Spalte der Tabelle unter derselben Formel.

5. Ein gleichschenkliges Dreieck mit den Seiten 5, 5 und 6

   1. Drei Seiten addiert: 5 + 5 + 6 = 16
   2. Die Dreiecksungleichung prüfen: 5 + 5 = 10 ist mehr als 6, und 5 + 6 = 11 ist mehr als 5
   3. Alle drei Paarungen halten, das Dreieck schließt sich

   Das schmalste Dreieck auf dieser Seite und das, an dem sich die Ungleichung besser prüfen lässt als am 3-4-5. Zwei Seiten von fünf und eine Grundseite von sechs ist so nah an einem Verstoß, wie diese Zahlen kommen: Die beiden kurzen Seiten ergeben zusammen zehn gegen eine längste Seite von sechs, das besteht mit vier Reserve. Schieben Sie die Grundseite auf zehn, treffen sich die beiden Fünfen genau auf ihr, und das ist der Fall, den die Seite zurückweist — warum eine Seitenkombination, die sich nicht schließt, keinen Umfang bekommt statt der Summe ihrer Seiten, steht in den Einschränkungen unten.

Die Seite ist für drei Formen gedacht: ein Quadrat, ein Rechteck und ein Dreieck. Ein Parallelogramm braucht eine Angabe, die ein Rechteck nicht braucht, ein Kreis hat gar keinen Umfang, sondern einen Kreisumfang, und ein allgemeines Viereck lässt sich mit vier Zahlen nicht beschreiben, ohne auch seine Winkel zu kennen. Die Ausgaben stehen in Zentimetern, unabhängig davon, welche Einheit die Auswahlen tragen. Jedes Feld bleibt für jede Form sichtbar, und die nicht gelesenen werden ignoriert statt geleert; eine Zahl, die von einer vorher betrachteten Form übrig geblieben ist, ändert also nichts, und die Seite sagt Ihnen auch nicht, dass sie ungenutzt geblieben ist. Die drei Seiten des Dreiecks werden gegen die Dreiecksungleichung geprüft, und eine Kombination, die sie verletzt, wird zurückgewiesen statt beantwortet; das schließt den Grenzfall ein, in dem zwei Seiten zusammen genau die Länge der dritten ergeben — das ist eine gerade Strecke und kein Dreieck, und ihre Summe ist kein Umfang. Darüber hinaus wird ein Dreieck nicht geprüft: Es gibt keinen Test auf einen rechten Winkel, keinen Versuch festzustellen, welche Seite die Grundseite ist, und keine Fläche, weshalb der Umfang eines Dreiecks eine einzige Zahl ist, während die Beschreibung des Dreiecks drei braucht. Vier Nachkommastellen sind eine Ausgabebreite und keine Aussage über die Genauigkeit, und die Antwort ist exakt, sobald es die Seiten sind, denn nichts auf dieser Seite bringt einen eigenen Rundungsschritt mit.

Welche Felder nutzt jede Form?

Das Quadrat liest die erste Seite und sonst nichts. Das Rechteck liest die ersten beiden. Das Dreieck liest alle drei. Jedes Feld bleibt sichtbar und behält seinen Inhalt, eine Zahl, die von einer vorher betrachteten Form übrig geblieben ist, bewirkt also gar nichts. Die Formelspalte der Tabelle zeigt auf einen Blick, welche Zahlen in eine bestimmte Zeile eingegangen sind.

Warum nimmt die Seite die Seiten 1, 1 und 2 nicht an?

Weil diese drei Längen sich nicht zu einem Dreieck schließen. Die beiden kurzen Seiten aneinandergesetzt reichen genau so weit wie die lange, die Figur liegt also flach auf einer geraden Linie, statt eine Fläche zu umschließen. Die Regel lautet, dass je zwei Seiten zusammengenommen strikt mehr ergeben müssen als die dritte, und der Gleichfall verletzt sie genauso wie die unmöglichen Fälle. Die Summe vier ist eine reelle Zahl, aber sie ist kein Umfang.

Ist ein Umfang dasselbe wie eine Fläche?

Nein, und die beiden laufen nicht parallel. Ein Rechteck von eins mal zehn und eines von fünf mal sechs haben beide den Umfang 22, aber das erste umschließt zehn Quadrateinheiten und das zweite dreißig. Ein Umfang ist eine Länge in Zentimetern, eine Fläche wird in Quadratzentimetern gemessen. Diese Seite gibt nur den Umfang aus, und die Flächen dieser Formen werden auf anderen Seiten berechnet.

Warum hat das Quadrat eine eigene Auswahl, wo es das Rechteck doch auch täte?

Weil ein Quadrat eine Zahl braucht und ein Rechteck zwei, und jemanden dieselbe Länge zweimal eintippen zu lassen ist ein schlechteres Formular, als dem Quadrat eine eigene Auswahl zu geben. Die Rechnung ist so oder so dieselbe: Ein Quadrat ist ein Rechteck, dessen zwei Seiten zufällig gleich lang sind, und 4 × 5 ergibt dieselben zwanzig wie 2 × (5 + 5).

Wie rechne ich die Antwort in Meter oder Fuß um?

Für Meter teilen Sie durch hundert, denn ein Umfang ist eine Länge und die Umrechnung die gewöhnliche. Für angloamerikanische Einheiten nehmen Sie die Auswahl auf der Eingabeseite; sie rechnet Ihre Seiten beim Hineinlesen in Zentimeter um und lässt die Antwort in Zentimetern — ein in Fuß eingegebenes Rechteck kommt also als Zentimeterantwort zurück, und durch 30,48 geteilt ergibt sie den Wert wieder in Fuß.

Darf eine Seite null sein?

Bei einem Quadrat und einem Rechteck ja, und der Umfang ergibt sich aus den übrigen Seiten: Ein Rechteck von fünf mal null liefert zehn, eine zu einer Linie plattgedrückte Figur. Beim Dreieck hängt es davon ab, weil die Ungleichung weiterhin gelten muss — die Seiten 5, 0 und 5 verletzen sie, denn die beiden Fünfen ergeben zusammen mehr als null, aber die Null und eine Fünf ergeben zusammen nicht mehr als die andere Fünf. Die Seite sagt Ihnen das, statt zu raten, was Sie gemeint haben.

• Perimeter — der Weg rings um eine geschlossene ebene Figur, mit den Formeln für Quadrat, Rechteck und Dreieck, die diese Seite umsetzt — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle Inequality — die Bedingung, dass je zwei Seiten eines Dreiecks zusammengenommen mehr ergeben als die dritte; genau diese Prüfung führt die Seite durch, bevor sie einen Umfang ausgibt — Wolfram MathWorld (United States)
• Rectangle — die vierseitige Figur mit zwei Paaren gleich langer Seiten, deren Umfang das Doppelte der Summe aus Länge und Breite ist, und der Grund, warum zwei Zahlen genügen — Wolfram MathWorld (United States)
• Umfang Dreieck — Mathebibel: die Formel für den Umfang eines Dreiecks, die Dreiecksungleichung als Bedingung und durchgerechnete Beispiele — Mathebibel (Deutschland)