Parallelogramm-Fläche-Rechner
Ergebnis
Fläche
- Umfang
- 22,0000 cm
Ein Parallelogramm-Rechner nimmt eine Grundseite, eine Höhe und eine schräge Seite und gibt die Fläche und den Umfang aus. Ein Parallelogramm ist jedes Viereck mit zwei Paaren paralleler Seiten: Rechteck, Raute und Quadrat sind Sonderfälle davon, und die allgemeine Form entsteht, wenn man ein Rechteck seitlich verschiebt. Seine Fläche lässt sich mit der kürzesten Formel der Geometrie berechnen, Grundseite mal Höhe, und es ist dieselbe Formel, die ein Rechteck verwendet — genau hier lohnt es sich innezuhalten, denn ein seitlich verschobenes Rechteck umfasst offensichtlich weniger als das aufrechte, und die Formel behauptet das Gegenteil. Die Auflösung ist, dass die Höhe nicht die schräge Seite ist. Sie ist der senkrechte Abstand zwischen der Grundseite und der gegenüberliegenden Seite, gerade nach oben gemessen und nicht entlang der Schräge, und sie ist die Größe, von der die Fläche tatsächlich abhängt. Schiebt man das Rechteck zur Seite, wird die schräge Seite länger, während die senkrechte Höhe gleich bleibt, und ein Rechteck und sein verschobener Zwilling haben genau dieselbe Fläche. Der Umfang ist der Punkt, an dem die Schräge zählt, und er ist der Grund, warum diese Seite drei Zahlen verlangt und nicht zwei. Ein Parallelogramm hat zwei gleich lange Seiten und zwei weitere gleich lange, sein Umfang ist also das Doppelte der Summe dieser beiden Längen — und diese beiden Längen sind die Grundseite und die schräge Seite, nicht die Grundseite und die Höhe. Höhe und schräge Seite sind bei jedem Parallelogramm verschiedene Zahlen außer beim Rechteck, wo sie zusammenfallen. Daraus folgt die einzige Verweigerung dieser Seite: Eine schräge Seite, die kürzer ist als die Höhe, beschreibt überhaupt kein Parallelogramm, denn die Höhe ist die schräge Seite mal dem Sinus des Winkels, den sie mit der Grundseite bildet, und der Sinus eines Winkels wird nie größer als eins. Eine Grundseite von 6 mit einer Höhe von 4 und einer Ankathete von 1 sind drei Zahlen, die sich nicht zeichnen lassen, und die Seite sagt das, statt eine Zahl zurückzugeben. Alles steht in Zentimetern und Quadratzentimetern, unabhängig von den Einheiten-Auswahlfeldern, und beide Werte sind genau, sobald es die Eingaben sind.
Parallelogramme aus Grundseite, Höhe und schräger Seite
| Grundseite (cm) | Höhe (cm) | Ankathete (cm) | Fläche (cm²) | Umfang (cm) |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 4 | 5 | 24 | 22 |
| 3 | 4 | 5 | 12 | 16 |
| 12 | 5 | 13 | 60 | 50 |
| 10 | 1 | 10 | 10 | 40 |
| 2.5 | 2 | 3 | 5 | 11 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 4 |
| 100 | 1 | 1 | 100 | 202 |
| 5 | 0 | 3 | 0 | 16 |
Acht Parallelogramme, und die erste Zeile ist die, mit der die Seite geladen wird. Die zweite Zeile ist die zum Vergleich mit der Dreiecksseite: Eine Grundseite von 3 und eine Höhe von 4 ergeben hier eine Fläche von 12, und das Dreieck auf derselben Grundseite und Höhe hat eine Fläche von 6 — das ist das Verhältnis von zwei zu eins, das der Diagonalschnitt offensichtlich macht. Die vierte Zeile ist ein langes flaches Exemplar, Grundseite 10 bei Höhe 1 und einer schrägen Seite von 10 — eine fast plattgedrückte Form, und die Stelle der Tabelle, an der sich am klarsten sehen lässt, dass die Fläche von der senkrechten Höhe bestimmt wird, während der Umfang von den beiden Seitenlängen bestimmt wird und die Höhe kaum bemerkt. Die siebte Zeile treibt das weiter: Eine Grundseite von 100 bei einer Höhe von 1 und einer schrägen Seite von 1 ist ein Streifen von hundert Zentimetern Länge und einem Zentimeter Höhe, dessen Fläche 100 Quadratzentimeter und dessen Umfang 202 beträgt. Die sechste Zeile ist die Grenze, die die Seite zulässt: eine schräge Seite, die so lang ist wie die Höhe, was den Winkel zu einem rechten und die Form zu einem Quadrat macht. Die achte und letzte Zeile hat eine Höhe von null, bei der die obere Seite auf die untere gefallen ist: Die Fläche ist ehrlich 0, und der Umfang beträgt weiterhin 16, weil die vier Seiten alle noch da sind, um sie abzulaufen. Zwei Zahlen, die in einer Zeile mit flachgedrückter Form widersprüchlich aussehen, trifft man besser erst in einer Tabelle als auf dem Ergebnispanel. Jeder Wert hier ist beim Bau der Seite aus seinen drei Eingaben neu gerechnet, in Zentimetern, und alle sind genau, weil auf dieser Seite kein π und keine Quadratwurzel auftritt. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (2.5 statt 2,5), weil die Zellwerte unverändert durchgereicht werden und nicht durch eine Textvorlage laufen.
Formel
Fläche = b × h Umfang = 2(b + a)
- Grundseite
- Die Länge einer der beiden parallelen Seiten, auf denen das Parallelogramm steht, in Zentimetern. Jedes der beiden parallelen Paare lässt sich Grundseite nennen; entscheidend ist, dass die Höhe im rechten Winkel zu derjenigen gemessen wird, die Sie wählen
- Höhe
- Der senkrechte Abstand von der Grundseite zur gegenüberliegenden Seite, in Zentimetern — gerade nach oben gemessen, nicht entlang der schrägen Seite. Von dieser Größe hängt die Fläche ab, und sie ist diejenige, die man mit der schrägen Seite verwechselt, die bei jedem Parallelogramm außer dem Rechteck eine andere Länge hat
- Ankathete
- Die Länge einer der beiden schrägen Seiten, in Zentimetern; das Feld auf dem Panel heißt Ankathete. Die Fläche ignoriert sie vollständig, der Umfang kommt ohne sie nicht aus: Er ist das Doppelte der Grundseite plus das Doppelte dieser Länge. Sie muss mindestens so lang sein wie die Höhe, denn sie ist die Höhe geteilt durch den Sinus des Winkels, den sie mit der Grundseite bildet
- Fläche
- Der eingeschlossene Bereich, in Quadratzentimetern: Grundseite mal Höhe, dieselbe Formel, die ein Rechteck verwendet. Sie ist genau das Doppelte der Fläche des Dreiecks, das dieselbe Grundseite und dieselbe Höhe hat — was die zweite Zeile der Referenztabelle zeigt
- Umfang
- Der Weg einmal herum, in Zentimetern: das Doppelte der Grundseite plus das Doppelte der schrägen Seite, weil die beiden Seitenpaare jeweils gleich lang sind. Die Höhe spielt darin überhaupt keine Rolle, und deshalb könnte eine Seite, die nur nach Grundseite und Höhe fragt, diesen Wert nicht liefern
- Zentimeter und Quadratzentimeter
- Die Einheiten der beiden Werte, immer, welches Einheiten-Auswahlfeld auch gesetzt ist. Der Umfang ist eine Länge, die Fläche eine Länge zum Quadrat; die beiden sind also nicht vergleichbar, und die Verdopplung der einen verdoppelt die andere nicht
- Vier Nachkommastellen
- Wie breit beide Werte geschrieben werden. Vier und nicht zwei, weil die Seite in ihrer Referenztabelle zwar auf ganzen Zahlen läuft, aber nicht darauf beschränkt ist, und eine über das Auswahlfeld in Metern eingegebene Grundseite als Dezimalzahl ankommt
Die Flächenformel ist die wichtigste, und es lohnt sich zu wissen, dass es dieselbe ist, die jedes Parallelogramm teilt, das Rechteck eingeschlossen. Ihre Stunde schlägt sie, wenn es zu zeigen gilt, dass eine schräge Form nicht kleiner ist als eine aufrechte mit derselben Grundseite und Höhe: Ein Feld, das ein schiefer Zaun aus dem Lot gedrückt hat, verliert nichts an Fläche, und das Auge meldet das Gegenteil. Wer allerdings die Fläche eines Grundstücks braucht, dessen Seiten er auf dem Boden entlang gemessen hat, sollte aufpassen — die Höhe ist der senkrechte Abstand, und das ist selten die Zahl, die ein Maßband liefert, die schräge Seite ersetzt sie nicht. Für den Umfang braucht dasselbe Grundstück die beiden Seitenlängen, und dort verlangt diese Seite die dritte Zahl. Die Verweigerung sollte man absichtlich antreffen und nicht zufällig: Wer eine schräge Seite einträgt, die kürzer ist als die Höhe, setzt zwei Zahlen in Widerspruch zueinander, und die häufigste Ursache ist, dass Grundseite und schräge Seite gemessen, die senkrechte Höhe aber geschätzt oder für die andere Seite gehalten wurde. Die Dreiecksseite neben dieser hier verwendet dieselbe Grundseite und dieselbe Höhe und liefert die halbe Fläche, die Rechteckseite liefert dieselbe Fläche, wenn die schräge Seite so lang ist wie die Höhe — die beiden sind die kürzeste Probe darauf, dass diese Seite sich richtig verhält.
Rechenbeispiele
Grundseite 6, Höhe 4 und schräge Seite 5
- Fläche: 6 × 4 = 24 Quadratzentimeter
- Umfang: 2 × (6 + 5) = 22 Zentimeter
- Die Höhe von 4 geht nicht in den Umfang ein, und die schräge Seite von 5 nicht in die Fläche
Die Eingaben, mit denen die Seite geladen wird, und das Rechenpaar, das zeigt, warum diese Seite drei Zahlen braucht: Die Fläche kommt aus der Grundseite und der Höhe, der Umfang aus der Grundseite und der schrägen Seite, und keiner der beiden Werte nutzt alle drei. Die Form ist ein seitlich verschobenes 3-4-5-Rechteck, daher sind die Zahlen so sauber.
Grundseite 3, Höhe 4 und schräge Seite 5
- Fläche: 3 × 4 = 12 Quadratzentimeter
- Umfang: 2 × (3 + 5) = 16 Zentimeter
- Zwölf ist genau das Doppelte der Fläche des Dreiecks mit derselben Grundseite und Höhe, also von 3 × 4 ÷ 2 = 6
Die Zeile, in der das Verdoppeln sichtbar wird. Schneidet man das Parallelogramm entlang einer Diagonalen auf, entstehen zwei Dreiecke mit derselben Grundseite und derselben Höhe, die Fläche des Parallelogramms ist also genau das Doppelte der des Dreiecks — 12 gegen 6. Dorther kommt die Zwei in der Dreiecksformel, rückwärts gelesen.
Grundseite 12, Höhe 5 und schräge Seite 13
- Fläche: 12 × 5 = 60 Quadratzentimeter
- Umfang: 2 × (12 + 13) = 50 Zentimeter
- Das 5-12-13-Dreieck ist das zweitkleinste ganzzahlige rechtwinklige Dreieck, und daher stammen diese runden Zahlen
Ein langes flaches Parallelogramm, und die Zeile, in der die beiden Werte am weitesten auseinanderliegen: Die Fläche ist 60, während der Umfang 50 beträgt — eine Erinnerung daran, dass die beiden verschiedene Größen in verschiedenen Einheiten sind und es keine Regel gibt, dass die eine die andere übersteigt. Die 5, 12 und 13 in den drei Feldern sind die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, und das ist der ordentlichste Weg, ein Parallelogramm zu bauen, dessen Schräge genau die Senkrechte ist.
Grundseite 1, Höhe 1 und schräge Seite 1
- Fläche: 1 × 1 = 1 Quadratzentimeter
- Umfang: 2 × (1 + 1) = 4 Zentimeter
- Die schräge Seite ist so lang wie die Höhe, der Winkel also 90 Grad und die Form ein Quadrat
Die Grenze, die die Seite zulässt, statt sie zu verweigern. Wenn die schräge Seite so lang ist wie die Höhe, ist der Sinus des Winkels eins, der Winkel ein rechter und das Parallelogramm ein Quadrat — ein echtes Mitglied der Familie und kein entartetes. Die Regel, die die Seite anwendet, lautet, dass die schräge Seite mindestens so lang sein muss wie die Höhe, und nicht, dass sie länger sein muss; diese Zeile ist der Fall, der den Unterschied ausmacht.
Grundseite 5, Höhe 0 und schräge Seite 3
- Fläche: 5 × 0 = 0 Quadratzentimeter
- Umfang: 2 × (5 + 3) = 16 Zentimeter
- Beide Zahlen folgen aus ihrer eigenen Formel und beschreiben Verschiedenes an derselben flachgedrückten Figur
Der Fall, in dem die beiden Werte widersprüchlich aussehen und es nicht sind. Eine Höhe von null bedeutet, dass die obere Seite auf die untere heruntergekommen und die Form zu einer Strecke zusammengefallen ist, sie schließt also überhaupt keine Fläche ein — null ist die richtige Antwort. Der Umfang dagegen ist die Gesamtlänge der vier Seiten, also das, was die Formel berechnet und was ein Umfang bedeutet: an der Grundseite entlang, an der schrägen Seite zurück, wieder an der Grundseite entlang, wieder an der schrägen Seite zurück. Es ist nicht die Länge des flachgedrückten Ergebnisses, die 2 × 5 = 10 betragen würde. Die Seite gibt die Kantenlänge der vierseitigen Figur an, und das lohnt sich zu wissen, bevor eine der beiden Zahlen wie ein Fehler aussieht.
Einschränkungen
Die Höhe ist der senkrechte Abstand zwischen der Grundseite und der gegenüberliegenden Seite, und die Seite kann nicht erkennen, ob Sie in Wahrheit die schräge Seite gemessen haben. Wer die schräge Seite in das Höhenfeld einträgt, bekommt eine zu große Fläche, und das ist der häufigste Fehler, den diese Seite zu sehen bekommt, weil die schräge Seite diejenige ist, an die ein Maßband heranreicht. Der Umfang verwendet die Grundseite und die Ankathete und berücksichtigt die Höhe überhaupt nicht; geben Sie eine Höhe und keine Ankathete an, kann die Seite gar nicht rechnen. Eine schräge Seite, die kürzer ist als die Höhe, wird abgelehnt, weil sie kein Parallelogramm beschreibt: Die Höhe ist die schräge Seite mal dem Sinus des Winkels, den sie mit der Grundseite bildet, und kein Winkel hat einen Sinus über eins. Die Werte stehen in Zentimetern und Quadratzentimetern, welches Auswahlfeld auch gesetzt ist. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit. Die Seite setzt ein echtes Parallelogramm mit zwei Paaren paralleler Seiten voraus, prüft also kein Viereck mit ungleichen Gegenseiten nach und liefert keine Winkel, keine Diagonalen und keinen Weg, den Winkel zwischen den Seiten direkt einzugeben. Eine Höhe von null wird angenommen und ergibt eine Fläche von null bei einem Umfang ungleich null — arithmetisch korrekt und physikalisch eine Strecke und keine Figur; der Umfang beschreibt dann den Weg um die vier Seiten herum und nicht die Länge des flachgedrückten Ergebnisses.
Häufige Fragen
- Warum verlangt die Seite drei Zahlen, wenn die Fläche nur zwei braucht?
- Weil der Umfang eine Zahl braucht, die die Fläche nicht verwendet. Die Fläche ist Grundseite mal Höhe; der Umfang ist das Doppelte der Grundseite plus das Doppelte der schrägen Seite, und Höhe und schräge Seite sind bei jedem Parallelogramm außer dem Rechteck verschiedene Längen. Grundseite und Höhe legen die Fläche fest, lassen die Form aber frei, flachgedrückt zu werden, und das Drücken ändert den Umfang, während die Fläche stehen bleibt.
- Ist die Höhe dasselbe wie die schräge Seite?
- Nein, und das ist der Fehler, den diese Seite am häufigsten sieht. Die Höhe ist der senkrechte Abstand von der Grundseite gerade nach oben zur gegenüberliegenden Seite; die schräge Seite ist die Länge der Kante selbst. Gleich groß sind sie nur beim Rechteck. Bei einem Parallelogramm, das um 30 Grad geneigt ist, ist die schräge Seite doppelt so lang wie die Höhe, wer sie also in das Höhenfeld einträgt, verdoppelt die Fläche.
- Warum wird eine schräge Seite, die kürzer ist als die Höhe, nicht angenommen?
- Weil es ein solches Parallelogramm nicht gibt. Die Höhe ist die schräge Seite mal dem Sinus des Winkels, den diese Seite mit der Grundseite bildet, und ein Sinus steigt nie über eins, die schräge Seite ist also immer mindestens so lang wie die Höhe. Eine schräge Seite, die genauso lang ist wie die Höhe, bedeutet einen Winkel von 90 Grad und damit ein Rechteck — deshalb lässt die Seite die Gleichheit zu und lehnt sie nicht ab.
- Warum ist die Fläche dieselbe wie bei einem Rechteck?
- Weil ein Parallelogramm und ein Rechteck mit derselben Grundseite und derselben senkrechten Höhe dieselbe Fläche einschließen, egal wie weit das Parallelogramm geneigt ist. Schiebt man das Dreieck an einem Ende des Parallelogramms ab, passt es genau an das andere Ende und macht daraus ein Rechteck mit derselben Grundseite und Höhe. Ein zur Seite geschobenes Rechteck bekommt längere schräge Seiten, ohne dass sich ändert, was es einschließt.
- Die Fläche ist null, der Umfang aber nicht — welche der beiden Zahlen ist falsch?
- Keine von beiden. Eine Höhe von null bedeutet, dass die obere Seite auf die untere heruntergekommen ist, die Form also eine Strecke ist und keine Fläche einschließt; die null ist richtig. Der Umfang ist die Gesamtlänge der vier Seiten — an der Grundseite entlang, an der schrägen Seite zurück, wieder an der Grundseite entlang, wieder zurück — und dieser Weg ist bei einer Grundseite von 5 und einer Seite von 3 immer noch 16 Zentimeter lang. Es ist nicht die Länge des flachgedrückten Ergebnisses, die 10 wäre.
- Wie bekomme ich stattdessen die Fläche eines Dreiecks?
- Halbieren Sie die Fläche dieser Seite, sofern das Dreieck dieselbe Grundseite und dieselbe senkrechte Höhe hat. Schneidet man ein Parallelogramm entlang einer Diagonalen auf, entstehen zwei flächengleiche Dreiecke, und genau daher stammt die Hälfte in der Dreiecksformel. Wenn Sie an Ihrem Dreieck nicht die Grundseite und die Höhe, sondern die drei Seiten gemessen haben, nehmen die Dreiecksseiten dieser Website die drei Seiten direkt entgegen.
Quellen
- Parallelogram — the quadrilateral with two pairs of parallel sides, with the base-times-height area formula and the note that a parallelogram and a rectangle on the same base and height have equal areas — Wolfram MathWorld (United States)
- Sine — the function that relates a parallelogram's sloping side, its height and the angle between them, and the reason a sloping side can never be shorter than the height — Wolfram MathWorld (United States)
- Fläche eines Parallelogramms — Grundseite mal Höhe, die Herleitung über das Abschneiden und Anlegen eines Dreiecks und der Vergleich mit dem Rechteck — Mathebibel (Deutschland)
- Parallelogramm — Eigenschaften, Formeln, Flächeninhalt und Umfang, mit Grundseite, Höhe und schräger Seite in der deutschen Schreibweise — Frustfrei-Lernen.de (Deutschland)