Trapez-Rechner

A = ((a + b) ÷ 2) × h P = a + b + c + d x = (c² − d² + Δ²) ÷ (2Δ) h = √(c² − x²)

a, b

Die beiden parallelen Seiten, in Zentimetern — die Grundseiten. Jede von beiden kann die längere sein; die Seite arbeitet mit ihrer Differenz und kümmert sich nicht darum, welche Sie oben nennen. Ihr Mittel, (a + b) ÷ 2, mal der Höhe ist die Fläche, und das ist die Formel, um die sich hier alles dreht

c, d

Die beiden Schenkel, in Zentimetern: die nicht parallelen Seiten. Ihre Längen entscheiden, ob die Figur überhaupt existiert, denn zusammen müssen sie die Differenz der Grundseiten überbrücken. Sie müssen nicht gleich lang sein — ein Trapez mit den Schenkeln 5 und 4 ist völlig gewöhnlich —, und wenn sie es sind, heißt die Figur gleichschenklig und die Höhe ist einfach die Wurzel aus dem Schenkel zum Quadrat minus der halben Grundseitendifferenz zum Quadrat

Δ

Die Differenz der beiden Grundseiten, |b − a|, in Zentimetern. Sie ist die Grundlinie des Dreiecks, das die beiden Schenkel mit den beiden Grundseiten einschließen, und sie entscheidet, in welchem der drei Fälle Sie sich befinden: kleiner als die Schenkel überbrücken können, genau an der Grenze oder größer, als sie erreichen. Ist sie 0 — gleich lange Grundseiten —, ist die Figur ein Parallelogramm und die vier Seiten legen die Höhe nicht mehr fest, weshalb die Seite dann einen Fehler meldet statt zu antworten

x

Die Stelle, an der die Höhe auf der Grundseitendifferenz landet, in Zentimetern: der Abstand von einem Ende der Differenz bis zum Fuß des Lots. Sie stammt aus dem Kosinussatz, angewendet auf das Dreieck mit den Seiten c, d und Δ, und die Seite braucht sie nur, um zur Höhe zu kommen. Sie kann außerhalb des Bereichs von 0 bis Δ liegen, was dann passiert, wenn ein Schenkel über das Ende der kürzeren Grundseite hinaus nach außen kippt — die Figur ist dann immer noch ein Trapez, und die Rechnung geht weiter auf

h

Die Höhe, in Zentimetern: der senkrechte Abstand zwischen den beiden parallelen Grundseiten, und die Zahl, die die Flächenformel braucht. Sie ergibt sich als Wurzel aus c² − x² und wird mit vier Nachkommastellen ausgegeben. Weil sie die Wurzel aus einer Differenz ist, ist der Fall, in dem die Schenkel die Grundseitendifferenz nicht überbrücken können, genau der Fall, in dem die Zahl unter der Wurzel negativ würde — deshalb prüft die Seite erst die Dreiecksungleichung, statt die Wurzel einen Unsinn produzieren zu lassen

A, P

Die Fläche in Quadratzentimetern und der Umfang in Zentimetern. Die Fläche ist das Mittel der Grundseiten mal der Höhe, also dasselbe wie die halbe Summe mal der Höhe — ein Trapez und ein Rechteck derselben Höhe bedecken gleich viel, wenn das Rechteck so breit ist wie das Mittel der beiden Grundseiten. Der Umfang ist die Summe aller vier Seiten und hat mit der Höhe nie etwas zu tun

Nehmen Sie diese Seite, wenn die vier Kanten das sind, was Sie haben. Das ist der übliche Fall bei Grundstücken: ein Stück Land mit zwei parallelen und zwei nicht parallelen Seiten, am Rand mit dem Band abgemessen, wo die parallelen Seiten und die Schenkel alle leicht zu messen sind und die senkrechte Höhe nicht — man müsste sie quer über das Grundstück abschreiten, und genau das geht am Hang oder durch den Bewuchs nicht. Dasselbe gilt für eine Platte, die nach einer Zeichnung geschnitten wird, die vier Kanten angibt und keine Höhe, und für die Prüfung einer Figur, die jemand anderes vorgegeben hat: Tragen Sie die vier Seiten ein und sehen Sie, ob sie überhaupt ein Trapez beschreiben. Die siebte Zeile der Tabelle ist die Zeile für diese Prüfung — Schenkel von 4 und 2 unter Grundseiten von 10 und 4 ergeben eine Höhe von 0, weil die Differenz von 6 genau das ist, was die beiden Schenkel zusammen ausmachen, und die Figur flachgelegt ist. Machen Sie einen Schenkel kürzer, meldet die Seite einen Fehler. Nehmen Sie den Flächenrechner für das Trapez, wenn Sie die beiden Grundseiten und die Höhe haben und nicht die Schenkel, denn jener nimmt genau dieses Paar entgegen und überspringt die Zwischenrechnung. Nehmen Sie den Parallelogramm-Rechner, wenn die beiden Grundseiten gleich lang sind, weil die Figur dann ein Parallelogramm ist und die vier Seiten dieser Seite sie nicht mehr festlegen. Und nehmen Sie den Dreiecksrechner, wenn die kürzere Grundseite 0 ist — ein Dreieck ist ein Trapez mit einer Grundseite von null, und die vierte Zeile der Tabelle unten ist das rechtwinklige Dreieck 6-8-10, das auf diesem Weg eine Fläche von 24 ergibt. Die Formelzeichen folgen der internationalen Schreibweise: P steht für den Umfang, den deutsche Schulbücher meist mit U bezeichnen.

1. Grundseiten 4 und 10 mit Schenkeln 5 und 5

   1. Differenz der Grundseiten: 10 − 4 = 6
   2. Die Schenkel sind gleich lang, jeder übernimmt also die Hälfte: 6 ÷ 2 = 3
   3. Höhe: √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4
   4. Mittel der Grundseiten: (4 + 10) ÷ 2 = 7
   5. Fläche: 7 × 4 = 28
   6. Umfang: 4 + 10 + 5 + 5 = 24

   Die Zeile, mit der die Seite startet, und die, die man von Hand nachrechnen sollte, weil ihre Zahlen das 3-4-5-Dreieck in Verkleidung sind: Ein Schenkel von 5 und die halbe Grundseitendifferenz von 3 ergeben genau die Höhe 4. Die Höhe ist außerdem die einzige Größe, die man den vier Seiten nicht ansehen kann, und darum geht es auf dieser Seite überhaupt. Vergleichen Sie die Fläche mit dem Rechteck derselben Höhe und der Breite 7 — dem Mittel der Grundseiten —, kommt dasselbe heraus: 28 Quadratzentimeter. Anschaulicher lässt sich kaum zeigen, warum die Formel die Summe halbiert und nichts Klügeres tut.

2. Grundseiten 7 und 10 mit Schenkeln 5 und 4

   1. Differenz der Grundseiten: 10 − 7 = 3
   2. Die Schenkel sind verschieden lang, die Differenz wird also ungleich aufgeteilt: (25 − 16 + 9) ÷ (2 × 3) = 18 ÷ 6 = 3
   3. Höhe: √(25 − 9) = √16 = 4
   4. Mittel der Grundseiten: (7 + 10) ÷ 2 = 8,5
   5. Fläche: 8,5 × 4 = 34
   6. Umfang: 7 + 10 + 5 + 4 = 26

   Ein ungleichseitiges Trapez, bei dem die beiden Schenkel verschieden lang sind und die Höhe nicht in der Mitte der Grundseitendifferenz landet. Das Ergebnis ist hier, dass der 4 cm lange Schenkel senkrecht zwischen den rechten Enden der beiden Grundseiten steht — der Abstand x kommt genau als die ganze Differenz von 3 heraus, der andere Schenkel übernimmt also nichts davon —, und das ist es, was ein ungleich langes Schenkelpaar bewirkt; die Höhe wird dann genau so lang wie dieser Schenkel selbst. Die Höhe beträgt wieder exakt 4, diese Zeile und die erste haben also dieselbe Höhe und verschiedene Flächen, 28 und 34 Quadratzentimeter, allein weil ihre Grundseiten sich unterscheiden. Das erinnert daran, dass bei einem Trapez alle vier Seiten Arbeit leisten: Dieselbe Höhe von 4 steht hier auf zwei verschiedenen Grundseitenpaaren, und deshalb sind es die vier Seiten zusammen und nicht die Höhe allein, die die Fläche festlegen.

3. Grundseiten 0 und 10 mit Schenkeln 6 und 8

   1. Differenz der Grundseiten: 10 − 0 = 10
   2. Ungleiche Schenkel: (36 − 64 + 100) ÷ (2 × 10) = 72 ÷ 20 = 3,6
   3. Höhe: √(36 − 12,96) = √23,04 = 4,8
   4. Mittel der Grundseiten: (0 + 10) ÷ 2 = 5
   5. Fläche: 5 × 4,8 = 24
   6. Umfang: 0 + 10 + 6 + 8 = 24

   Ein Dreieck im Trapezgewand: Mit einer Grundseite von 0 schließt sich die Figur zu einem Dreieck, und die Zahlen sind hier das rechtwinklige Dreieck 6-8-10, dessen Fläche von 24 Quadratzentimetern dieselbe Antwort ist, die der Dreiecksrechner gibt. Die Rechnung erinnert daran, dass die Trapezformel die Dreiecksformel enthält: Mit einer Grundseite bei null wird das Mittel der Grundseiten zur Hälfte der anderen, und das ist genau der Faktor des Dreiecks. Der Umfang einer Figur mit einer Seite der Länge null ist einfach die Summe der anderen drei, hier ebenfalls 24 — ein Zufall dieser Zahlen und keine Regel.

4. Grundseiten 4 und 10 mit Schenkeln 4 und 2

   1. Differenz der Grundseiten: 10 − 4 = 6
   2. Die beiden Schenkel addieren sich zu 4 + 2 = 6, genau die Differenz
   3. Höhe: Die Schenkel reichen gerade eben, also ist die Höhe 0
   4. Mittel der Grundseiten: (4 + 10) ÷ 2 = 7
   5. Fläche: 7 × 0 = 0
   6. Umfang: 4 + 10 + 4 + 2 = 20

   Die Grenze dessen, was die Seite annimmt, und der Grund, warum sie die Schenkel prüft, bevor sie eine Wurzel zieht. Hier addieren sich die beiden Schenkel genau zur Differenz der Grundseiten, also liegen sie beide flach auf der längeren Grundseite, die beiden Grundseiten liegen übereinander, und die Figur schließt nichts ein. Die Seite antwortet mit 0 statt sich zu weigern, weil diese vier Seiten tatsächlich eine Figur beschreiben — eine flache. Kürzen Sie einen Schenkel um einen Zentimeter, gibt es überhaupt kein solches Trapez mehr, und das ist der Fall, der als Fehler gemeldet wird, mit der Begründung, dass eine negative Zahl unter einer Wurzel keine Höhe ist.

Diese Seite berechnet Fläche, Umfang und Höhe eines Trapezes aus seinen vier Seiten und sonst nichts. Sie gibt weder die Winkel noch die Diagonalen, die Länge der Mittellinie oder die Lage der Höhe auf den Grundseiten an, obwohl die vier Seiten das alles festlegen — die Seite berichtet es schlicht nicht, und die Diagonale eines Trapezes verlangt insbesondere eine zweite Anwendung derselben Dreiecksrechnung, die hier ohnehin im Hintergrund läuft. Sie rechnet nicht rückwärts: Es gibt keinen Weg von einer Fläche zu den Seiten, die sie erzeugen, und zu einer gegebenen Fläche gehören unendlich viele Vier-Seiten-Beschreibungen. Die Ausgaben stehen in Zentimetern und Quadratzentimetern, unabhängig davon, in welcher Einheit die Eingaben gemacht wurden, denn die Auswahlfelder rechnen jede Seite vor der Rechnung in Zentimeter um. Die Seite setzt voraus, dass die Figur ein Trapez mit genau einem Paar paralleler Seiten ist und dass die beiden Seiten, die Sie als Grundseiten eintragen, das parallele Paar sind — vertauschen Sie eine Grundseite mit einem Schenkel, rechnet die Seite die Höhe einer anderen Figur aus und meldet keinen Fehler, weil vier Zahlen, die mit der Grundseitendifferenz ein gültiges Dreieck bilden, immer eine Antwort ergeben. Beide Grundseiten werden als Längen behandelt, die nicht negativ sein können. Gleich lange Grundseiten werden als Fehler gemeldet statt beantwortet, was Absicht ist, aber gewusst werden sollte: Die Figur ist in diesem Fall ein Parallelogramm, und seine Höhe ist durch die vier Seiten tatsächlich nicht festgelegt, eine Seite, die eine Zahl zurückgäbe, würde also eine erfinden. Woran Sie die drei entarteten Fälle unterscheiden, sagt die Seite über die Fehlermeldung hinaus nicht: Ein flachgelegtes Trapez mit der Höhe 0 wird beantwortet, Schenkel, die für die Grundseitendifferenz zu kurz sind, werden abgelehnt, und zwischen beidem liegt ein Zentimeter an einem Schenkel. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite, die sich diese Seite mit den übrigen Flächenseiten der Unterkategorie teilt, und keine Aussage über die Genauigkeit — eine auf den Zentimeter genau gemessene Seite verschiebt die Höhe um mehr als die vierte Nachkommastelle. Und nichts hier berücksichtigt Verschnitt, Schnittfuge oder unebenen Boden; die zurückgegebene Fläche ist also die der beschriebenen Figur und nicht die zu bestellende Materialmenge.

Wie bekomme ich die Fläche eines Trapezes aus seinen vier Seiten?

Zuerst die Höhe, dann das Mittel der Grundseiten damit malnehmen. Die beiden Grundseiten unterscheiden sich um einen Betrag Δ; diese Differenz bildet zusammen mit den beiden Schenkeln ein Dreieck, und die Höhe des Trapezes ist die Höhe dieses Dreiecks. Für die Grundseiten 4 und 10 mit den Schenkeln 5 und 5: Die Differenz ist 6, jeder Schenkel übernimmt 3 davon, die Höhe ist √(25 − 9) = 4, das Mittel der Grundseiten ist 7, und die Fläche beträgt 28 Quadratzentimeter.

Warum lehnt die Seite manche Sätze von vier Seiten ab?

Weil die meisten Sätze von vier Seiten kein Trapez beschreiben. Die beiden Schenkel müssen die Differenz der Grundseiten überbrücken können, genau wie die beiden kürzeren Seiten eines Dreiecks die längste überbrücken müssen. Grundseiten von 10 und 4 unterscheiden sich um 6, Schenkel von 4 und 2 reichen also gerade eben — die Höhe ist 0 —, während Schenkel von 3 und 2 die 6 überhaupt nicht überbrücken können und keine solche Figur existiert. Die Seite meldet das, statt aus der Wurzel eine negative Zahl zurückzugeben.

Was ist, wenn die beiden Grundseiten gleich lang sind?

Dann ist die Figur ein Parallelogramm, und ihre vier Seiten legen sie nicht mehr fest. Die Seiten 5, 5, 6 und 6 beschreiben ein Rechteck von 6 auf 5 mit der Höhe 5 und ebenso eine fast flach gelegte Figur mit einer Höhe von beinahe nichts — dieselben vier Seiten, verschiedene Flächen. Diese Seite meldet einen Fehler, statt sich für eine der Möglichkeiten zu entscheiden. Der Parallelogramm-Rechner nimmt stattdessen eine Grundseite und eine Höhe entgegen und beantwortet die Frage direkt.

Was ist ein gleichschenkliges Trapez, und was macht es einfacher?

Eines, dessen beide Schenkel gleich lang sind. Die Grundseitendifferenz teilt sich dann gleichmäßig auf die beiden Schenkel auf, jeder Schenkel und die halbe Differenz bilden also ein rechtwinkliges Dreieck, und die Höhe ist √(Schenkel² − (Δ ÷ 2)²). Bei den Grundseiten 4 und 10 und gleich langen Schenkeln ist Δ gleich 6, die Hälfte davon 3, und ein Schenkel von 5 ergibt √(25 − 9) = 4. Die erste Zeile der Tabelle ist dieser Fall, und ihre Figur ist symmetrisch — die beiden Basiswinkel sind gleich groß und ebenso die beiden Diagonalen.

Ist ein Dreieck ein Sonderfall des Trapezes?

Rechnerisch ja, wenn eine der Grundseiten 0 ist. Das Mittel der Grundseiten wird dann zur Hälfte der verbleibenden Grundseite, und die Flächenformel verwandelt sich in die halbe Grundseite mal der Höhe, also in die Dreiecksformel. Tragen Sie eine obere Grundseite von 0 mit den Schenkeln 6 und 8 und einer unteren Grundseite von 10 ein, gibt die Seite 24 Quadratzentimeter zurück, dieselbe Antwort, die der Dreiecksrechner für ein 6-8-10-Dreieck liefert. Ob ein Dreieck als Trapez zählt, ist eine Frage der Definition, der Formel ist es gleichgültig.

Warum ist die Höhe keine der vier Seiten?

Weil sie bei einem Trapez überhaupt keine Seite ist, sondern der senkrechte Abstand zwischen den beiden parallelen Grundseiten, und damit im Inneren der Figur liegt statt auf ihrem Rand. Sie ist die einzige Größe, die man nicht bekommt, indem man mit dem Band einmal um den Rand läuft, und deshalb ist eine Seite wie diese nützlich: Sie leitet die Höhe aus den vier Seiten her, die Sie messen können. Die Höhe ist nur in dem entarteten Fall so lang wie der kürzere Schenkel, in dem dieser Schenkel senkrecht auf beiden Grundseiten steht.

• Trapezoid — the four-sided figure with one pair of parallel sides that this page describes, including the area formula based on the average of the bases and the relations between the sides and the height — Wolfram MathWorld (United States)
• Isosceles Trapezoid — the case where the two legs are equal, where the base difference splits evenly and the height is the square root of the leg squared minus half the difference squared — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the figure the two legs and the difference between the bases form, and the source of the triangle inequality that decides whether four given sides describe a trapezoid at all — Wolfram MathWorld (United States)
• Dreiecke, Vierecke, Kreise und andere ebene Figuren — der Überblick über die ebenen Figuren, in dem das Trapez neben seinen Verwandten steht und die Dreiecksungleichung als das Kriterium auftaucht, an dem diese Seite ihre Eingaben prüft — Serlo Education e. V. (Deutschland)