Rechteck-Rechner
Ergebnis
Fläche
- Umfang
- 14,0000 cm
- Diagonale
- 5,0000 cm
Dieser Rechteck-Rechner nimmt Länge und Breite und gibt drei Maße derselben Figur zurück: die Fläche, den Umfang und die Diagonale. Wer die Schulzeit hinter sich hat, wird hier nichts Unerwartetes finden, und genau darum geht es — am Rechteck lassen sich die drei Arten von Maß, um die es auf dieser ganzen Seitenfamilie geht, am klarsten auseinanderhalten, weil alle drei dieselben zwei Eingaben verbrauchen und sich doch völlig verschieden verhalten, wenn sich diese Eingaben ändern. Die Fläche ist die Länge mal der Breite und beantwortet die Frage, wie viel Fläche das Rechteck bedeckt. Der Umfang ist zweimal die Summe aus Länge und Breite und beantwortet die Frage, wie viel Kante es hat — die Frage, die man stellt, wenn man einen Rahmen oder eine Leiste kauft. Die Diagonale ist die Wurzel aus der Länge zum Quadrat plus der Breite zum Quadrat und beantwortet die Frage, wie weit es von einer Ecke zur gegenüberliegenden ist — die Frage, die man stellt, wenn geprüft werden soll, ob etwas durch eine Tür oder quer durch einen Raum passt. Die ersten beiden sind Schulformeln. Die dritte ist der Satz des Pythagoras, und es lohnt sich zu bemerken, dass er hier die Arbeit macht: Die Diagonale zerschneidet das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke, Länge und Breite sind die beiden Katheten, die Diagonale ist die Hypotenuse, und deshalb ist die Antwort eine Wurzel aus einer Summe von Quadraten und nichts Einfacheres. Wer zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennt, kann diese Seite bereits berechnen, und wer sie nicht kennt, findet den Satz auf der eigenen Seite daneben ausgebreitet. Drei Dinge an dieser Seite lohnen einen zweiten Blick. Erstens: Die Fläche wächst mit dem Quadrat der Größe, die beiden anderen nur mit der Größe selbst — bei 100 auf 50 Zentimetern steht die Fläche bei 5.000 Quadratzentimetern, während der Umfang nur 300 und die Diagonale 111,8034 beträgt. Zweitens: Der Umfang wiederholt sich, und die Tabelle unten ist so gebaut, dass man das sieht — 4 auf 3 und 7 auf 0 kommen beide auf 14, 5 auf 5 und 6 auf 4 beide auf 20. Das ist kein Rechenfehler, sondern der Kern der Sache: Ein Umfang legt die Form nicht fest, und zwei sehr verschiedene Rechtecke können dieselbe Kantenlänge haben. Drittens: Nur zwei Zeilen haben durchweg ganzzahlige Antworten — 4 auf 3 mit der Diagonale 5 und 12 auf 5 mit der Diagonale 13 —, und das sind die beiden, die man im Kopf nachrechnen kann. Beide gehören zu alten ganzzahligen rechtwinkligen Dreiecken, 3-4-5 und 5-12-13, und beide taugen als Gegenprobe. Ein Hinweis zum Schluss, der in der Praxis häufiger gebraucht wird als jede Formel: Die Diagonale ist auch das schnellste Mittel, um zu prüfen, ob ein Rechteck wirklich rechtwinklig ist. Messen Sie beide Diagonalen eines Gegenstands, der rechteckig sein soll; sind sie gleich lang, sind alle vier Ecken rechte Winkel. Bei einem großen Raum ist es leichter, zwei gemessene Diagonalen zu vergleichen, als einen Winkel von 90 Grad zu messen, und deshalb arbeiten Handwerker so.
Gängige Rechtecke, vom Feld 4 auf 3 bis zum flachgelegten
| Länge (cm) | Breite (cm) | Fläche (cm²) | Umfang (cm) | Diagonale (cm) |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 3 | 12 | 14 | 5 |
| 5 | 5 | 25 | 20 | 7.0711 |
| 6 | 4 | 24 | 20 | 7.2111 |
| 12 | 5 | 60 | 34 | 13 |
| 10 | 10 | 100 | 40 | 14.1421 |
| 100 | 50 | 5000 | 300 | 111.8034 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 0 | 0 | 14 | 7 |
Acht Rechtecke, und die erste Zeile ist die, mit der die Seite startet. Die Spalte, die man aufmerksam lesen sollte, ist der Umfang, denn er wiederholt sich: Die erste und die achte Zeile kommen beide auf 14, die zweite und die dritte beide auf 20. Das ist kein Rechenfehler in der Tabelle, sondern die Tatsache, dass ein Umfang keine Form festnagelt — das Rechteck von 5 auf 5 und das von 6 auf 4 haben gleich viel Kante und ganz verschiedene Flächen und Diagonalen, und deshalb fragt die Seite nach zwei Zahlen statt nach einer. Die vierte Zeile ist das Rechteck 5-12-13, die einzige hier, deren drei Werte alle ganzzahlig sind, und die, die man neben 4 auf 3 als zweite Gegenprobe behalten sollte. Die fünfte Zeile ist ein Quadrat von 10 auf 10, dessen Diagonale 14,1421 beträgt — eine Wurzel, die nie aufgeht, und die richtige Antwort für ein Quadrat dieser Größe. Die sechste Zeile ist absichtlich groß gewählt, um zu zeigen, wie die Fläche den beiden anderen davonläuft: Bei 100 auf 50 steht die Fläche bei 5000, der Umfang aber nur bei 300 und die Diagonale bei 111,8034, weil die Fläche mit dem Quadrat der Größe geht und die beiden anderen mit der Größe selbst. Die siebte Zeile ist ein Rechteck ohne jede Ausdehnung und liefert durchweg Nullen — auch das eine beantwortete und keine abgelehnte Eingabe. Die achte Zeile schließlich ist ein auf die Breite null flachgelegtes Rechteck, dessen Fläche 0 ist und dessen Umfang weiterhin 14 beträgt, weil die beiden Längsseiten nun aufeinanderliegen. Jede Zahl wird beim Bau der Seite aus ihrer Länge und ihrer Breite neu berechnet, in Zentimetern und Quadratzentimetern, und die vier Nachkommastellen sind dieselben vier, die auch das Ergebnispanel verwendet. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (7.0711 statt 7,0711), weil die Spaltenwerte aus der Berechnung kommen und nicht aus einer Textvorlage — und Tausender sind nicht gruppiert (5000 statt 5.000).
Formel
A = l × w P = 2(l + w) d = √(l² + w²)
- Länge
- Die längere der beiden Seiten, in Zentimetern. Die Seite prüft nicht, ob es wirklich die längere ist — die beiden Felder zu vertauschen ergibt genau dieselben drei Antworten, weil jede Formel hier Länge und Breite gleich behandelt
- Breite
- Die andere Seite, in Zentimetern, im rechten Winkel zur Länge. Zusammen mit der Länge legt sie das Rechteck vollständig fest: Zwei unabhängige Zahlen braucht ein Rechteck, während ein Quadrat mit einer auskommt und ein Dreieck drei benötigt
- Fläche
- Die Fläche, die das Rechteck bedeckt, in Quadratzentimetern, also die Länge mal der Breite. Sie ist der einzige der drei Werte, der mit dem Quadrat der Größe wächst statt mit der Größe selbst — verdoppeln Sie beide Seiten, vervierfacht sich die Fläche
- Umfang
- Der Weg einmal herum, in Zentimetern: zweimal die Summe aus Länge und Breite, einmal für jedes der beiden Seitenpaare. Er ist der Wert, den man für alles braucht, was an der Kante entlangläuft, und derjenige, der am wenigsten über die Form aussagt, weil sich ein und derselbe Umfang auf viele verschiedene Rechtecke verteilt
- Diagonale
- Der geradlinige Abstand von einer Ecke zur gegenüberliegenden, in Zentimetern. Sie ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks aus Länge und Breite und immer die längste gerade Strecke, die in das Rechteck passt
- l² + w²
- Die Summe der beiden Quadrate, gebildet vor der Wurzel und nicht danach. Das ist der Satz des Pythagoras in der Form, in der das Rechteck ihn verwendet, und der Grund dafür, dass die Diagonale etwas länger als die Länge, aber nie so lang wie die Länge plus die Breite ist
- Vier Dezimalstellen
- So breit wird jeder Ausgabewert geschrieben. Fläche und Umfang sind exakt, solange es die beiden Eingaben sind, die Diagonale dagegen fast nie: Sie ist eine Wurzel, trägt also meist eine lange Ziffernfolge, und vier Stellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit
Die drei Ausgaben beantworten drei verschiedene praktische Fragen zu ein und demselben Gegenstand, und zu wissen, welche man braucht, ist schon der größte Teil der Arbeit. Bodenbelag, Farbe, Rollrasen und Stoff werden nach Fläche gekauft, also ist das die Spalte für alles, was eine Fläche ist. Sockelleisten, Einfassungen, Rahmen, Zäune und Zierleisten werden nach Länge gekauft, also nach dem Umfang — und es lohnt sich zu wissen, dass der Umfang allein die Form nicht beschreibt: Ein Zimmer von 4 auf 3 und ein Streifen von 7 auf 0 haben gleich viel Sockelleiste, was ebenso wahr wie nutzlos ist. Die Diagonale kommt ins Spiel, wenn das Rechteck durch etwas hindurch oder in etwas hineinpasst: eine Türöffnung, ein Rahmen, der rechtwinklig ausgerichtet werden soll, ein Bildschirm, der über seine Diagonale statt über seine Seiten angeboten wird, oder der längste gerade Gegenstand, der flach in eine Kiste passt. Sie ist außerdem das schnellste Mittel, um zu prüfen, ob ein Rechteck wirklich rechtwinklig ist: Messen Sie beide Diagonalen, und wenn sie übereinstimmen, sind die Ecken 90 Grad groß — ein Handgriff, den Zimmerleute bei Räumen und Rahmenbauer bei Passepartouts anwenden. Und wenn Sie diese Seite mit dem Quadrat-Rechner vergleichen: Dort tragen Sie eine einzige Zahl ein und bekommen den Rest, weil ein Quadrat nur einen Freiheitsgrad hat, während ein Rechteck zwei braucht — hier sind es deshalb zwei Felder. Der Parallelogramm-Rechner schließlich ist für das Viereck mit gleich langen Gegenseiten ohne rechte Winkel zuständig; er hat dieselbe Form von zwei Eingaben und drei Ausgaben, aber eine andere Diagonale. Die Formelzeichen folgen der internationalen Schreibweise: l und w stehen für Länge und Breite und P für den Umfang; deutsche Schulbücher schreiben dafür meist a, b und U.
Rechenbeispiele
Ein Rechteck von 4 auf 3
- Fläche: 4 × 3 = 12
- Umfang: 2 × (4 + 3) = 14
- Diagonale: √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5
Die Eingabe, mit der die Seite startet, und das einzige Rechteck hier, dessen drei Antworten alle klein und ganzzahlig sind. Es ist das an seiner Hypotenuse halbierte 3-4-5-Dreieck, und deshalb geht es so glatt auf: Die Diagonale dieses Rechtecks ist eines der ältesten ganzzahligen rechtwinkligen Dreiecke überhaupt. Wenn Sie von dieser Seite nur eine Zeile von Hand nachrechnen, dann diese — jeder Schritt ist Arithmetik, die ohne Rechner geht.
Ein Quadrat, 5 auf 5
- Fläche: 5 × 5 = 25
- Umfang: 2 × (5 + 5) = 20
- Diagonale: √(5² + 5²) = √50 = 7,0710678…, gerundet 7,0711
Ein Rechteck, dessen Seiten zufällig gleich lang sind — ein Quadrat also, das aber keine eigene Seite braucht: Tragen Sie in beide Felder dieselbe Zahl ein, und die drei Formeln liefern die richtigen Antworten. Die Diagonale ist 5√2, eine Wurzel, die nie aufgeht; deshalb druckt der Quadrat-Rechner daneben für eine Seite von 5 dieselben 7,0711. Zwei Seiten, eine Zahl, und das ist Absicht.
Ein Rechteck von 6 auf 4
- Fläche: 6 × 4 = 24
- Umfang: 2 × (6 + 4) = 20
- Diagonale: √(36 + 16) = √52 = 7,2111025…, gerundet 7,2111
Die Zeile, die man gegen die darüber halten sollte: Dieses Rechteck ist länger und schmaler als das von 5 auf 5, es bedeckt etwas weniger — 24 gegen 25 —, und es hat genau denselben Umfang von 20, aber seine Diagonale ist 7,2111 gegen 7,0711. Gleich viel Kante, andere Form, und die Diagonale ist der Wert, der das bemerkt. Genau darum ist ein Umfang für sich allein eine schwache Beschreibung eines Rechtecks.
Das Rechteck 5-12-13
- Fläche: 12 × 5 = 60
- Umfang: 2 × (12 + 5) = 34
- Diagonale: √(144 + 25) = √169 = 13
Das andere ganzzahlige rechtwinklige Dreieck auf dieser Seite, und ein größeres. Ein Rechteck von 5 auf 12 lohnt sich als zweite Gegenprobe neben 3-4-5, weil es groß genug ist, dass ein Skalierungsfehler auffällt: Ein Rechteck von 12 auf 5 Metern ist ein plausibles Zimmer, und seine Diagonale von genau 13 Metern ist ein Maß, das man mit dem Band prüfen kann statt mit einer Formel.
Ein Rechteck ohne Breite
- Fläche: 7 × 0 = 0
- Umfang: 2 × (7 + 0) = 14
- Diagonale: √(49 + 0) = 7
Eine Breite von null ist zugelassen, und die drei Werte, die dabei herauskommen, sind alle richtig und bedeuten alle etwas anderes. Das Rechteck ist zu einer Strecke flachgelegt: Es bedeckt keine Fläche, also ist die Fläche 0; es hat keine Diagonale mehr, also fällt die Diagonale auf die Länge selbst zusammen und ist 7; und der Umfang ist weiterhin 2 × 7 = 14, also die Strecke einmal entlang und wieder zurück, zweimal. Ein Umfang für eine Figur ohne Fläche sieht nach einem Fehler aus und ist keiner.
Einschränkungen
Diese Seite ist für Rechtecke gedacht: vier Seiten, vier rechte Winkel, gleich lange Gegenseiten. Ein Parallelogramm, das kein Rechteck ist, hat dieselbe Form von zwei Eingaben und drei Ausgaben, aber eine andere Diagonale; dafür ist der Parallelogramm-Rechner daneben zuständig. Die Ausgabe steht in Zentimetern und Quadratzentimetern, unabhängig davon, worauf das Auswahlfeld gestellt ist; eine in Zoll eingegebene Länge kommt also als Zentimeterantwort zurück, die Sie selbst umrechnen müssen. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit: Fläche und Umfang sind exakt, solange es die Eingaben sind, die Diagonale dagegen ist eine Wurzel, und ihre letzten beiden Stellen bedeuten nichts, wenn die Eingaben nicht von vornherein exakt waren. Die Seite prüft nicht, welche der beiden Eingaben die längere ist, und muss es auch nicht — jede Formel hier ist symmetrisch in Länge und Breite, ein Vertauschen ergibt also dieselben drei Antworten und keine Warnung. Eine Breite von null wird angenommen und liefert ein echtes, wenn auch entartetes Ergebnis; die Seite behandelt sie nicht wie ein leeres Feld. Und nichts hier deckt ein Rechteck mit abgerundeten Ecken ab, ein auf eine gekrümmte Fläche gezeichnetes Rechteck oder die Dicke eines Brettes oder Balkens, also eine dritte Dimension, für die diese Seite kein Feld hat.
Häufige Fragen
- Spielt es eine Rolle, welche Seite ich als Länge eintrage?
- Nein. Jede Formel auf dieser Seite behandelt Länge und Breite gleich — die Fläche multipliziert sie, der Umfang addiert sie, die Diagonale quadriert und addiert sie —, ein Vertauschen der beiden Felder ergibt also genau dieselben drei Antworten. Die Seite prüft nicht, welche die längere ist, und braucht das auch nicht. Wenn es Ihnen leichterfällt, immer die größere Zahl zuerst einzutragen, ist das eine Gewohnheit und keine Vorschrift.
- Warum ist die Diagonale länger als die Länge, aber kürzer als Länge plus Breite?
- Weil sie die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ist, das sie abtrennt, also die Wurzel aus der Länge zum Quadrat plus der Breite zum Quadrat. Quadrieren, addieren und dann die Wurzel ziehen ergibt immer etwas dazwischen: größer als jede der beiden Seiten für sich, weil vor dem Wurzelziehen etwas Positives addiert wurde, und kleiner als die Summe der beiden, weil das Quadrat einer Summe größer ist als die Summe der Quadrate. Der Abstand zwischen der Diagonale und der Summe aus Länge und Breite ist das, was man spart, wenn man quer abschneidet statt außen herumgeht.
- Der Umfang kommt bei zwei verschiedenen Rechtecken gleich heraus. Ist das ein Fehler?
- Nein, und die Tabelle ist so gebaut, dass man es zweimal sieht: 4 auf 3 und 7 auf 0 haben beide einen Umfang von 14, 5 auf 5 und 6 auf 4 beide einen von 20. Ein Umfang legt fest, wie viel Kante ein Rechteck hat, aber nicht seine Form — ein und derselbe Umfang verteilt sich auf viele verschiedene Rechtecke, und die haben unterschiedliche Flächen und unterschiedliche Diagonalen. Wer ein Rechteck vollständig beschreiben will, braucht zwei Zahlen, und genau deshalb fragt diese Seite nach zwei.
- Kann ich damit prüfen, ob eine Ecke rechtwinklig ist?
- Ja, und es ist der älteste Trick, den es gibt. Messen Sie beide Diagonalen des Gegenstands, den Sie prüfen. Sind sie gleich lang, sind alle vier Ecken rechte Winkel und Sie haben ein Rechteck; sind sie es nicht, haben Sie ein Parallelogramm oder eine verbogene Ecke, und die längere Diagonale liegt auf der Seite des stumpfen Winkels. Bei einem großen Raum ist es leichter, zwei gemessene Diagonalen zu vergleichen, als einen Winkel von 90 Grad zu messen, und deshalb arbeiten Bauleute so.
- Warum ergibt eine Breite von null einen Umfang von 14 statt gar nichts?
- Weil ein flachgelegtes Rechteck immer noch eine Figur ist, nur eine entartete. Auf die Breite null zusammengedrückt, wird es zu einer Strecke der Länge 7, die keine Fläche bedeckt, weshalb die Fläche 0 ist und die Diagonale auf die Länge zusammenfällt. Der Umfang kümmert das nicht: zweimal die Länge plus die Breite ist zweimal 7, also die Strecke einmal entlang und wieder zurück, einmal für jede der beiden langen Seiten, die jetzt aufeinanderliegen. Die Antwort ist echt, und die Seite behandelt die Null als Eingabe und nicht als leeres Feld.
- Worin unterscheidet sich diese Seite vom Quadrat-Rechner?
- Ein Quadrat ist ein Rechteck mit gleich langen Seiten, hier funktioniert also alles auch für ein Quadrat — tragen Sie in beide Felder dieselbe Zahl ein, und die drei Antworten stimmen. Der Unterschied liegt in der Richtung der Frage. Diese Seite nimmt zwei Zahlen und gibt Antworten; der Quadrat-Rechner nimmt eine der Größen Seite, Umfang oder Fläche und rechnet den Rest aus, weil ein Quadrat nur einen Freiheitsgrad hat und ein Rechteck zwei. Nehmen Sie diese Seite, wenn Sie beide Seiten kennen, und den Quadrat-Rechner, wenn Sie ein Maß kennen und die übrigen brauchen.
Quellen
- Rectangle — the four-sided figure with right angles, with the area, the perimeter and the diagonal this page computes, and the note that the diagonal follows from the Pythagorean theorem — Wolfram MathWorld (United States)
- Pythagorean theorem — the relation the diagonal output rests on, that the square on the hypotenuse equals the sum of the squares on the other two sides, which for a rectangle is the length squared plus the width squared — Wolfram MathWorld (United States)
- Quadrilateral — the family a rectangle belongs to, with the inclusion tree showing that every square is a rectangle and every rectangle is a parallelogram, which is why the square and parallelogram pages are the ones linked from here — Wolfram MathWorld (United States)
- Rechteck und Quadrat — die beiden Vierecke mit vier rechten Winkeln, mit Umfang und Flächeninhalt als den Größen, die diese Seite für ein Rechteck aus Länge und Breite ausrechnet — Serlo Education e. V. (Deutschland)