Quadrat-Rechner
Ergebnis
Seite
- Umfang
- 20,0000 cm
- Fläche
- 25,0000 cm²
- Diagonale
- 7,0711 cm
Auf dieser Seite genügt eine einzige Zahl vom Quadrat — die Seite, der Umfang oder die Fläche —, und Sie bekommen alle vier Werte zurück: die Seite, den Umfang, die Fläche und die Diagonale über die Ecken. Das ist eine andere Art von Frage als die der Rechteckseite daneben, und der Unterschied lohnt sich einmal klar zu sehen. Ein Rechteck hat zwei Freiheitsgrade, Sie müssen also zwei Zahlen liefern, bevor sich überhaupt etwas ausrechnen lässt. Ein Quadrat hat einen einzigen: Jedes Quadrat ist dieselbe Form in einer anderen Größe, und eine einzige Zahl, die sagt wie groß, entscheidet alles Weitere über es. Statt nach zwei bestimmten Zahlen zu fragen, nimmt diese Seite deshalb die, die Sie gerade zur Hand haben. Haben Sie eine Seite gemessen, tragen Sie sie in das Seitenfeld ein. Kennen Sie den Umfang, weil Sie eine Einfassung kaufen, tragen Sie ihn in das Umfangsfeld ein. Kennen Sie die Fläche, weil Sie eine Fläche belegen, tragen Sie sie dort ein. Die drei anderen Werte folgen, und die Seite gibt Ihnen den eingegebenen Wert mit aus, damit die Zeile als vollständiger Satz gelesen werden kann. Die Arithmetik dahinter ist kurz, und sie ist der ganze Inhalt dieser Seite. Der Umfang ist viermal die Seite, die Fläche ist die Seite mit sich selbst malgenommen, und die Diagonale ist die Seitenlänge mal der Wurzel aus zwei. Das letzte ist der Satz des Pythagoras, angewandt auf das Quadrat: Die Diagonale ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen beide Katheten die Seite sind, also ist sie die Wurzel aus zwei Quadraten der Seite, und das ist die Seite mal der Wurzel aus zwei. Rückwärts ist es genauso einfach — teilen Sie einen Umfang durch vier, ziehen Sie aus einer Fläche die Wurzel, und alles Weitere folgt aus der Seite. Vier Werte, eine Eingabe, und dahinter nur drei Rechenwege. Was die Diagonale dabei besonders macht, ist ihre Rolle als vierter Wert ohne eigenes Feld: Sie ist die Messung, die die meisten haben wollen und die wenigsten erwarten, und sie ist die einzige, mit der sich prüfen lässt, ob ein Quadrat wirklich eines ist — stimmen die vier Seiten überein, aber die beiden Diagonalen nicht, dann ist es ein Parallelogramm oder ein verzogener Rahmen.
Quadrate, aus jeder der drei Richtungen eingegeben
| Eingegeben als | Seite (cm) | Umfang (cm) | Fläche (cm²) | Diagonale (cm) |
|---|---|---|---|---|
| s | 5 | 20 | 25 | 7.0711 |
| P | 5 | 20 | 25 | 7.0711 |
| A | 5 | 20 | 25 | 7.0711 |
| s | 1 | 4 | 1 | 1.4142 |
| s | 0 | 0 | 0 | 0 |
| s | 10 | 40 | 100 | 14.1421 |
| A | 1.4142 | 5.6569 | 2 | 2 |
| P | 3 | 12 | 9 | 4.2426 |
Acht Quadrate, und die erste Spalte sagt, welches Feld gefüllt wurde — ohne sie wäre die Tabelle unlesbar, weil eine Seite von 5, ein Umfang von 20 und eine Fläche von 25 dieselben vier Werte ergeben. Das sind nicht drei Zeilen, die zweimal gerechnet wurden: Es ist der Zweck der Seite, und die ersten drei Zeilen stehen da, um ihn sichtbar zu machen. Die vierte Zeile ist das Einheitsquadrat, dessen Diagonale 1,4142 beträgt und damit die Wurzel aus zwei selbst ist. Die sechste Zeile ist eine Seite von 10, deren Diagonale 14,1421 ist — dieselbe Wurzel in größerem Maßstab und dieselbe Zahl, die die Rechtecktabelle für ihr 10-mal-10-Quadrat ausgibt. Die siebte Zeile ist die, die man sich merken sollte: Eine Fläche von 2 ergibt eine Seite von 1,4142 und eine Diagonale von exakt 2, weil die Seite die Wurzel aus zwei ist und die Diagonale die Seite mal der Wurzel aus zwei, und die beiden heben sich auf. Die letzte Zeile ist ein Umfang von 12, der eine Seite von 3, eine Fläche von 9 und eine Diagonale von 4,2426 ergibt, also 3√2. Die fünfte Zeile ist eine Seite von null, in der jede Spalte null ist und die Antwort echt ist statt fehlend. Jede Zahl wird beim Bau der Seite aus ihrer Eingabe neu gerechnet, in Zentimetern, und die vier Nachkommastellen sind dieselben vier, die das Ergebnisfeld verwendet. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (7.0711 statt 7,0711), weil die Spaltenwerte aus der Berechnung kommen und nicht aus einer Textvorlage.
Formel
s = P ÷ 4 = √A P = 4s A = s² d = s√2
- Seite
- Die Seitenlänge einer der vier Seiten, in Zentimetern. Alle vier sind gleich lang, es gibt also nur eine Messung zu machen. In diesem Feld startet die Seite, weil die Seitenlänge die Zahl ist, aus der alles andere abgeleitet wird
- Umfang
- Der Weg einmal außen herum, in Zentimetern, also viermal die Seite. Haben Sie stattdessen dieses Feld gefüllt, teilt die Seite durch vier, um die Seitenlänge zurückzugewinnen, bevor sie irgendetwas anderes ausrechnet
- Fläche
- Die Fläche, die das Quadrat bedeckt, in Quadratzentimetern, also die Seite mit sich selbst malgenommen. Haben Sie dieses Feld gefüllt, zieht die Seite daraus die Wurzel, um die Seitenlänge zurückzugewinnen — deshalb muss eine Fläche positiv sein, damit die Seite überhaupt weiterkommt
- Diagonale
- Der Abstand von einer Ecke zur gegenüberliegenden, in Zentimetern, also die Seitenlänge mal der Wurzel aus zwei. Sie hat kein eigenes Eingabefeld, weil eine Diagonale eine Folge der Größe ist und keine Art, die Größe anzugeben — ausgegeben wird sie trotzdem, denn sie ist die Messung, die am häufigsten gewünscht und am seltensten erwartet wird
- √2
- Die Wurzel aus zwei, ungefähr 1,4142136. Sie ist das Verhältnis der Diagonalen jedes Quadrats zu seiner Seite, und sie ist dieselbe Zahl für jedes je gezeichnete Quadrat — genau das hat sie zur ersten irrationalen Zahl gemacht, die jemandem aufgefallen ist
- Vier Dezimalstellen
- Die Breite, in der jeder Wert geschrieben wird. Seite und Umfang sind exakt, solange die Eingabe es ist, die Diagonale trägt dagegen immer eine Wurzel aus zwei und endet deshalb fast nie, und eine aus einer Wurzel zurückgewonnene Fläche holt dasselbe Problem in die Seitenlänge zurück
Diese Seite ist für die Fälle gedacht, in denen Sie eine Messung eines Quadrats haben und eine andere brauchen — das kommt häufiger vor, als die Zwei rein, drei raus-Form der Rechteckseite vermuten lässt. Der häufigste Fall ist, die Fläche zu kennen und die Seite zu brauchen: Ein Zimmer mit 36 Quadratmetern ist ein Quadrat von sechs Metern Seitenlänge, ein Grundstück mit 500 Quadratmetern ist rund 22,36 Meter breit, und eine Farbdose mit angegebener Reichweite sagt Ihnen, wie lang eine Wand sie trägt. Der zweithäufigste ist die Diagonale, und sie ist der Wert, von dem die meisten nicht wissen, dass sie danach fragen können. Ein quadratisches Tischtuch für einen runden Tisch wird über die Diagonale bemessen; eine quadratische Platte, die durch eine rechteckige Öffnung geführt wird, geht über die Diagonale hindurch und nicht über die Seite; ein quadratischer Bildschirm mit 32 Zoll wird über die Diagonale angegeben, seine tatsächliche Seitenlänge ist also 32 geteilt durch die Wurzel aus zwei, ungefähr 22,6 Zoll. Und andersherum ist die Diagonale die Art, wie man prüft, ob ein Quadrat wirklich eines ist: Stimmen die vier Seiten überein, die beiden Diagonalen aber nicht, dann ist es ein Parallelogramm oder ein verzogener Rahmen. Nehmen Sie die Quadratfläche-Rechner-Seite, wenn Sie nur die Fläche wollen und keine vier Werte; nehmen Sie die Rechteckseite, sobald die beiden Seiten verschieden sind, was bei den meisten echten Zimmern und Platten der Fall ist.
Rechenbeispiele
Eine Seite von 5
- Umfang: 4 × 5 = 20
- Fläche: 5 × 5 = 25
- Diagonale: 5 × √2 = 7,0710678…, gerundet 7,0711
Die Belegung, mit der die Seite startet, und die Zeile, die sich mit der 5-mal-5-Zeile der Rechteckseite deckt — 25 Quadratzentimeter, 20 Zentimeter herum, eine Diagonale von 7,0711. Zwei Seiten, eine Zahl, und dieselbe Zahl mit Absicht: Ein Quadrat ist ein Rechteck mit gleich langen Seiten, jeder Unterschied zwischen den beiden wäre also ein Fehler in einer von ihnen.
Aus einem Umfang von 20
- Seite: 20 ÷ 4 = 5
- Fläche: 5 × 5 = 25
- Diagonale: 5 × √2 = 7,0710678…, gerundet 7,0711
Dasselbe Quadrat, von einer anderen Richtung aus eingegeben, und die vier Werte kommen identisch zur Zeile darüber zurück — das ist der Zweck der Seite und keine Doppelung in der Tabelle. Wenn Sie eine Einfassung kaufen und nur die Gesamtlänge der Leiste kennen, ist das die Eingabe, die die Frage beantwortet, und Seite, Fläche und Diagonale fallen alle daraus heraus.
Aus einer Fläche von 25
- Seite: √25 = 5
- Umfang: 4 × 5 = 20
- Diagonale: 5 × √2 = 7,0710678…, gerundet 7,0711
Der dritte Weg in dasselbe Quadrat hinein. Diese Eingabe nehmen Sie, wenn die Zahl, die Sie haben, eine Flächenmessung ist — ein Zimmer mit 25 Quadratmetern oder eine Platte, die nach Fläche verkauft wird —, denn die Wurzel aus 25 ist genau 5 und die Seite rechnet von dort aus weiter. Erwähnenswert ist, dass genau hier der Unterschied zur Quadratfläche-Rechner-Seite liegt: Jene Seite hört bei der Fläche auf, diese nimmt die Fläche als Startpunkt und gibt zusätzlich Umfang und Diagonale aus.
Eine Fläche von 2
- Seite: √2 = 1,4142135…, gerundet 1,4142
- Umfang: 4 × √2 = 5,6568542…, gerundet 5,6569
- Diagonale: √2 × √2 = 2
Die Zeile, die man sich merken sollte. Ein Quadrat mit einer Fläche von 2 hat eine Seite von 1,4142 — die Wurzel aus zwei, und genau das ist der Grund, warum diese Zahl berühmt ist — und eine Diagonale von exakt 2, weil die Seite die Wurzel aus zwei ist und die Diagonale die Seite mal der Wurzel aus zwei, und die beiden Wurzeln heben sich auf. Es ist außerdem das Quadrat, das die Fläche eines gegebenen Quadrats verdoppelt: Dieses hier ist doppelt so groß wie das Einheitsquadrat, und seine Seite ist die Diagonale des Einheitsquadrats — genau die Konstruktion, hinter der die erste irrationale Zahl steht, die je aufgeschrieben wurde.
Eine Seite von null
- Umfang: 4 × 0 = 0
- Fläche: 0 × 0 = 0
- Diagonale: 0 × √2 = 0
Ein Quadrat ohne Ausdehnung ist ein einzelner Punkt, und alle vier Werte sind null. Die Null ist eine zulässige Eingabe und kein leeres Feld, eine Zeile voller Nullen ist also eine echte Antwort — die Seite unterscheidet das von drei leeren Feldern, bei denen gar kein Ergebnis erscheint, weil es nichts gibt, wovon auszugehen wäre.
Einschränkungen
Die Seite ist für Quadrate gedacht: vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Ein Rechteck, das fast ein Quadrat ist, ist eine andere Form mit einer anderen Diagonalen, und dafür ist die Rechteckseite daneben zuständig; eine Raute hat vier gleich lange Seiten, aber keine rechten Winkel, ihre Diagonale ist also kürzer als die Seite mal der Wurzel aus zwei, und das sagt diese Seite Ihnen nicht. Die Werte stehen in Zentimetern und Quadratzentimetern, unabhängig davon, was im Auswahlfeld eingestellt ist: Eine in Zoll eingegebene Seite kommt als Zentimeterantwort zurück, die Sie selbst umrechnen müssen. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit — der Umfang ist exakt, solange die Eingabe es ist, die Diagonale ist es fast nie, weil sie eine Wurzel aus zwei trägt, und eine als nicht-quadratische Zahl eingegebene Fläche kommt als Seite mit demselben Problem zurück. Die Diagonale wird ausgegeben, lässt sich aber nicht eingeben; ein über seine Diagonale festgelegtes Quadrat muss also von Hand umgerechnet werden, und dafür gibt es hier kein Feld. Zwei der drei Felder gleichzeitig zu füllen wird abgelehnt und nicht stillschweigend aufgelöst, weil eine Seite von 5 und ein Umfang von 30 zwei verschiedene Quadrate beschreiben und die Seite das lieber sagt, als sich für eines zu entscheiden. Nichts hier behandelt ein Quadrat mit abgerundeten Ecken, ein auf eine gekrümmte Fläche gezeichnetes Quadrat oder die Dicke einer quadratischen Fliese oder eines Vierkantstabs.
Häufige Fragen
- Wie lässt sich ein Quadrat aus einer einzigen Angabe berechnen?
- Weil ein Quadrat nur einen Freiheitsgrad hat, genügt dafür eine einzige Zahl. Jedes Quadrat ist dieselbe Form in einer anderen Größe, eine Zahl, die sagt wie groß es ist, entscheidet also alles Weitere über es — anders als beim Rechteck, das in verschiedenen Verhältnissen vorkommt und zwei Zahlen braucht, bevor sich etwas ausrechnen lässt. Die Seite nimmt deshalb die Messung an, die Sie gerade haben, und leitet den Rest daraus ab.
- Warum gibt es kein Feld für die Diagonale?
- Weil eine Diagonale eine Folge der Größe ist und keine Art, die Größe anzugeben. Ein Feld dafür hätte eine vierte Rückwärtsformel bedeutet — teilen Sie durch die Wurzel aus zwei, um die Seite zurückzugewinnen — für eine Größe, die fast niemand direkt misst. Ausgegeben wird sie trotzdem, denn sie ist der Wert, den die meisten wollen und die wenigsten erwarten, und sie ist der Wert, mit dem man prüft, ob ein Quadrat wirklich quadratisch ist.
- Warum ergeben Seite, Umfang und Fläche dieselben vier Werte?
- Weil sie dasselbe Quadrat beschreiben. Eine Seite von 5, ein Umfang von 20 und eine Fläche von 25 sind drei Arten, dasselbe zu sagen, alle drei erzeugen also eine Seitenlänge von 5 Zentimetern, einen Umfang von 20 Zentimetern, 25 Quadratzentimeter und eine Diagonale von 7,0711. Die Referenztabelle führt die drei Eingaben genau deshalb als getrennte Zeilen, damit das sichtbar wird, statt geglaubt werden zu müssen.
- Was ist das Besondere an einem Quadrat mit der Fläche 2?
- Seine Seite ist die Wurzel aus zwei, ungefähr 1,4142, und seine Diagonale ist exakt 2. Das geht auf, weil die Seite √2 ist und die Diagonale die Seite mal √2, die beiden Wurzeln heben sich also auf — eine exakte Antwort auf einer Seite, auf der fast alles andere eine Wurzel trägt, die nie endet. Es ist außerdem das Quadrat mit der doppelten Fläche eines Einheitsquadrats, seine Seite ist damit die Diagonale des Einheitsquadrats, und diese Konstruktion ist der Weg, auf dem die erste irrationale Zahl aufgefallen ist.
- Kann ich zwei Felder gleichzeitig ausfüllen?
- Nein, und die Seite lehnt das ab, statt sich für eines zu entscheiden. Eine Seite von 5 und ein Umfang von 30 beschreiben zwei verschiedene Quadrate, und es gibt keine ehrliche Art zu entscheiden, welches Sie gemeint haben. Leeren Sie die anderen Felder, bevor Sie das gewünschte füllen — die Seite unterscheidet außerdem ein leeres Feld von einer Null, ein Quadrat mit der Seitenlänge null ist also eine echte Antwort, während drei leere Felder gar kein Ergebnis liefern.
- Worin unterscheidet sich diese Seite vom Rechteck-Rechner?
- Die Rechteckseite nimmt zwei Zahlen und gibt drei Antworten, diese Seite nimmt eine Zahl und gibt vier Werte. Der Unterschied ist die Anzahl der Freiheitsgrade, einer gegen zwei, und er verändert die Form des Formulars: Das Rechteck fragt nach Länge und Breite, diese Seite fragt nach der einen Messung, die Sie haben. Ein auf der Rechteckseite eingegebenes Quadrat ergibt dieselbe Fläche, denselben Umfang und dieselbe Diagonale, die beiden stimmen also überall dort überein, wo sie sich überschneiden. Und wenn Sie umgekehrt nur die Fläche wollen und keine vier Werte, ist die Quadratfläche-Rechner-Seite der kürzere Weg.
Quellen
- Square — the regular quadrilateral, with the area, the perimeter and the diagonal this page computes and the note that the diagonal is the side times the square root of two — Wolfram MathWorld (United States)
- Square root of 2 — the ratio of a square's diagonal to its side, with the proof that it cannot be written as a fraction, which is why this page's diagonal output almost never ends — Wolfram MathWorld (United States)
- Regular polygon — the family a square belongs to, alongside the equilateral triangle and the regular hexagon that the perimeter page next door also covers — Wolfram MathWorld (United States)
- Das Quadrat — die deutschsprachige Darstellung des Quadrats mit Umfang u = 4a und der Herleitung der Diagonalen aus d² = a² + a², also d = a√2, genau die drei Beziehungen, die diese Seite ausrechnet — Mathepedia (Deutschland)