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CalcMax

Sechseck-Rechner

Bereich: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Ergebnis

93,5307 cm²

Fläche

Umfang
36,0000 cm
Lange Diagonale
12,0000 cm
Kurze Diagonale
10,3923 cm
Apothem
5,1962 cm
Innenwinkel
120 °

Der Sechseck-Rechner nimmt die Seitenlänge eines regelmäßigen Sechsecks und gibt sechs Maße davon zurück: die Fläche, den Umfang, die beiden Diagonalen, das Apothem und den Innenwinkel. Ein regelmäßiges Sechseck ist die Form einer Bienenwabe, einer Mutter, eines Schraubenkopfes und einer Bodenfliese, und der Grund, warum es so oft auftaucht, ist, dass es die sparsamste Art ist, eine Fläche lückenlos in gleich große Zellen zu teilen — weshalb die Bienen es gefunden haben, bevor es jemand bewiesen hat. Seine andere Tugend ist die Rechnung: Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken, die sich in einem Punkt treffen, und fast alles daran folgt aus dieser einen Tatsache. Der Umfang ist sechs Seiten. Die lange Diagonale, die von einer Ecke quer durch den Mittelpunkt zur gegenüberliegenden Ecke läuft, ist zwei Seiten, weil sie zwei dieser Dreiecke aneinandergelegt ist. Die kurze Diagonale, die eine einzelne Ecke überspringt, ist die Höhe zweier dieser Dreiecke Rücken an Rücken, also die Quadratwurzel aus drei mal der Seitenlänge. Die Fläche sind sechs gleichseitige Dreiecke, von denen jedes ein Viertel von der Quadratwurzel aus drei mal der Seitenlänge zum Quadrat ist, und sechs davon ergeben drei mal die Quadratwurzel aus drei durch zwei, mal der Seitenlänge zum Quadrat. Und das Apothem — der Abstand vom Mittelpunkt gerade hinaus zur Mitte einer Seite, also der Radius des größten Kreises, der in das Sechseck passt — ist die Hälfte der kurzen Diagonalen, oder die Quadratwurzel aus drei durch zwei mal der Seitenlänge. Sechs Werte, eine Eingabe. Diese einzige Eingabe verdient einen Moment, weil sie das ist, was diese Seite von den meisten um sie herum unterscheidet. Ein Rechteck braucht zwei Zahlen, ein Dreieck drei, ein allgemeines Viereck noch mehr; ein regelmäßiges Sechseck braucht nur seine Seite, weil das Wort regelmäßig bereits jeden Winkel auf 120 Grad und jede Seite auf dieselbe Länge festgelegt hat. Ändert man die Seite, skaliert die ganze Form mit — die doppelte Seite verdoppelt den Umfang, verdoppelt die Diagonalen, aber die Fläche wird viermal so groß, denn die Fläche geht immer mit dem Quadrat der Länge, und diese Seite ist keine Ausnahme. Der Innenwinkel ist der einzige Wert, der sich überhaupt nicht bewegt, wenn die Seite es tut: Er steht durch die bloße Tatsache, dass es sechs Seiten gibt, bei 120 Grad, was sich in der Tabelle unten sehen lässt, wo dieselbe Zahl die letzte Spalte jeder Zeile hinunterläuft. Die fünf Größenwerte werden auf vier Dezimalstellen ausgegeben, weil drei von ihnen die Quadratwurzel aus drei tragen und fast nie aufgehen, während Umfang und lange Diagonale exakt sind, sobald es die Seitenlänge ist; der Winkel ist eine ganze Zahl und wird als solche ausgegeben.

Regelmäßige Sechsecke von der Seitenlänge null bis zur Seitenlänge zehn

Seite (cm)Fläche (cm²)Umfang (cm)Lange Diagonale (cm)Kurze Diagonale (cm)Apothem (cm)Innenwinkel (°)
693.5307361210.39235.1962120
12.5981621.73210.866120
210.39231243.46411.7321120
323.38271865.19622.5981120
564.951930108.66034.3301120
7.5146.1418451512.99046.4952120
10259.8076602017.32058.6603120
000000120

Acht Sechsecke, und die erste Zeile ist die, mit der die Seite startet. Liest man die ersten beiden Spalten über die Zeilen hinweg, sieht man den Zusammenhang, der die Leute am häufigsten hereinlegt: Von der Seitenlänge 5 zur Seitenlänge 10 verdoppeln sich Umfang, Diagonalen und Apothem, die Fläche geht aber von 64,9519 auf 259,8076 — auf das Vierfache und nicht auf das Doppelte, weil die Fläche mit dem Quadrat der Länge geht. Die letzte Spalte ist in jeder Zeile dieselbe 120, und das ist die Eigenschaft und kein Kopierfehler: Der Innenwinkel eines regelmäßigen Sechsecks ist durch seine sechs Seiten festgelegt, bewegt sich also nicht mit der Größe, und er ist der einzige Wert auf dieser Seite, der die Seitenlänge null übersteht, während die anderen fünf zu nichts zusammenfallen. Die zweite Zeile ist das Einheitssechseck, in dem die drei Wurzel-drei-Werte am reinsten dastehen: 1,7321 für die kurze Diagonale und 0,866 für das Apothem, also √3 und √3 durch zwei. Die dritte Zeile ist der Ort des ersten Zufalls: Ein Sechseck mit der Seitenlänge 2 hat eine Fläche von 10,3923, und das Sechseck der ersten Zeile mit der Seitenlänge 6 hat eine kurze Diagonale von denselben 10,3923. Die siebte Zeile, eine Seitenlänge von 10, trägt den zweiten: Ihr Apothem ist 8,6603, und das ist die kurze Diagonale eines Sechsecks mit der Seitenlänge 5 — beides ist 5√3, aus verschiedenen Richtungen erreicht. Zwei Größen, die sich in derselben Tabelle vier ausgegebene Ziffern teilen, sind genau die Sorte Sache, die wie ein Kopierfehler aussieht, und beide sind echt. Die letzte Zeile ist die Seitenlänge null, in der die fünf Größenspalten null sind und die Antwort echt ist statt fehlend — und in der die Winkelspalte aus dem genannten Grund immer noch 120 ist. Jede Zahl hier wird beim Bau der Seite aus ihrer Seitenlänge neu gerechnet, in Zentimetern und Grad, und die Dezimalbreiten sind dieselben, die das Ergebnispanel verwendet. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (5.1962 statt 5,1962), weil die Spaltenwerte aus der Berechnung kommen und nicht aus einer Textvorlage.

Formel

A = (3√3 ÷ 2) × s² P = 6s d_lang = 2s d_kurz = √3 × s Apothem = (√3 ÷ 2) × s Innenwinkel = 120°

Seite
Die Länge einer der sechs Seiten, in Zentimetern. Es gibt nur diese eine Eingabe, weil ein regelmäßiges Sechseck sechs gleich lange Seiten und sechs auf 120 Grad festgelegte Winkel hat, diese Zahl allein also die ganze Form bestimmt
Fläche
Der Platz im Inneren des Sechsecks, in Quadratzentimetern, also drei mal die Quadratwurzel aus drei durch zwei, mal der Seitenlänge zum Quadrat. Die sechs gleichseitigen Dreiecke, aus denen es besteht, sind der Ursprung dieser Konstanten und nicht eine Formel zum Auswendiglernen
Umfang
Die Strecke einmal außen herum, in Zentimetern: sechs mal die Seitenlänge, da alle sechs gleich sind. Das ist der einzige Wert, der immer exakt ist, wenn es die Seitenlänge ist, und damit der Wert, gegen den man die anderen prüft
Lange Diagonale
Der Abstand von einer Ecke gerade durch den Mittelpunkt zur gegenüberliegenden Ecke, in Zentimetern. Sie ist genau das Doppelte der Seitenlänge, was sie zum Durchmesser des Kreises um das Sechseck macht, und sie ist zugleich das breiteste Maß, das sich über diese Form nehmen lässt
Kurze Diagonale
Der Abstand zwischen zwei Ecken, zwischen denen genau eine Ecke liegt, in Zentimetern, also die Quadratwurzel aus drei mal der Seitenlänge. Sie ist etwas weniger als das Doppelte des Apothems und etwas mehr als das Anderthalbfache der Seitenlänge, und sie zerlegt das Sechseck in ein Rechteck und zwei Dreiecke
Apothem
Der Abstand vom Mittelpunkt gerade hinaus zur Mitte einer Seite, in Zentimetern, also die Quadratwurzel aus drei durch zwei mal der Seitenlänge. Es ist der Radius des Kreises im Inneren des Sechsecks und genau die Hälfte der kurzen Diagonalen — beide sind dasselbe Maß, einmal vom Mittelpunkt und einmal von einer Ecke aus gesehen
√3
Die Quadratwurzel aus drei, etwa 1,7320508. Sie kommt in der Fläche, der kurzen Diagonalen und dem Apothem vor, und sie ist die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge eins — die Zahl, die aus der Seite eines Dreiecks seine Höhe macht
Innenwinkel
Der Winkel zwischen zwei benachbarten Seiten innen im Sechseck, der bei jedem regelmäßigen Sechseck 120 Grad beträgt und damit von der Seitenlänge überhaupt nicht abhängt. Er folgt aus der Regel, dass die Winkel jedes Vielecks zusammen die Seitenzahl minus zwei, mal 180 Grad ergeben — sechs Seiten, vier Dreiecke, 720 Grad, verteilt auf sechs gleiche Ecken. Er ist der einzige Wert auf dieser Seite, den ein größeres Sechseck genauso ausgibt
Vier Dezimalstellen
So breit wird jeder Wert geschrieben. Fläche, kurze Diagonale und Apothem tragen fast immer eine √3 und gehen damit fast nie auf; Umfang und lange Diagonale sind exakt, und sie auf vier Stellen auszugeben ist eine Breite und keine Aussage. Der Innenwinkel ist exakt 120, wird also als ganze Zahl ganz ohne Dezimaltrennzeichen ausgegeben — die Breiten gelten je Wert und nicht für die ganze Seite

Diese Seite ist für das Sechseck als Gegenstand gedacht, und die Bienenwabe ist der Grund, warum es immer wieder auftaucht. Wer eine Fläche auslegt und wissen will, wie viel Material eine sechseckige Fliese verbraucht, für den ist die Fläche der gesuchte Wert, und es lohnt sich zu wissen, dass ein Sechseck mit der Seitenlänge eins eine Fläche von etwa 2,6 hat, während ein Quadrat mit der Seitenlänge eins eine Fläche von 1 hat — ein Sechseck bedeckt bei derselben Kantenlänge mehr Grund, und das ist die Sparsamkeit, wegen der sich Waben in Verpackungen und in Paneelen nachbauen lassen. Wer die Fliesen aus einer Platte schneidet, für den sagt das Apothem, wie die Mittelpunkte zu setzen sind, und die beiden Diagonalen sagen, wie viel Freiraum die fertige Form braucht — die lange über die breiteste Stelle, die kurze zwischen den über die flachen Seiten gemessenen Maßen, die darüber entscheiden, ob eine Mutter in einen Schlüssel passt. Ein Schraubenkopf wird über die Flächen gemessen, also über das Doppelte des Apothems, und eine passende Nuss wird genauso angegeben; der Wert, zu dem man greift, ist deshalb das Apothem und nicht die lange Diagonale. Und wer eine Zeichnung prüft, hat in den beiden Diagonalen ein festes Verhältnis: Die kurze ist genau die Hälfte der langen, mal der Quadratwurzel aus drei. Ein gerechnetes Sechseck, dessen Diagonalen nicht in diesem Verhältnis stehen, hat also einen Tippfehler und keine Rundungsdifferenz.

Rechenbeispiele

  1. Eine Seitenlänge von 6

    1. Umfang: 6 × 6 = 36
    2. Lange Diagonale: 2 × 6 = 12
    3. Apothem: (√3 ÷ 2) × 6 = 5,196152…, gerundet 5,1962
    4. Kurze Diagonale: √3 × 6 = 10,392304…, gerundet 10,3923
    5. Fläche: (3√3 ÷ 2) × 36 = 93,530743…, gerundet 93,5307
    6. Innenwinkel: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 Grad, und er ist bei jedem regelmäßigen Sechseck derselbe

    Die Eingabe, mit der die Seite startet. Zwei der sechs Werte sind exakt — der Umfang mit 36 und die lange Diagonale mit 12 —, und drei tragen die Quadratwurzel aus drei und geben vier Stellen aus. Der sechste ist der Innenwinkel: 120 Grad, dieselbe Zahl, die die Tabelle unten in jeder ihrer acht Zeilen ausgibt. Die Prüfung, die man einmal durchführen sollte: Das Apothem ist genau die Hälfte der kurzen Diagonalen, 5,1962 gegen 10,3923, und das gilt für jede Seitenlänge und nicht nur für diese.

  2. Eine Seitenlänge von 1

    1. Umfang: 6 × 1 = 6
    2. Lange Diagonale: 2 × 1 = 2
    3. Kurze Diagonale: √3 × 1 = 1,7320508…, gerundet 1,7321
    4. Apothem: 0,8660254…, gerundet 0,866
    5. Fläche: (3√3 ÷ 2) × 1 = 2,5980762…, gerundet 2,5981
    6. Innenwinkel: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 Grad, und er ist bei jedem regelmäßigen Sechseck derselbe

    Das Einheitssechseck und die Zeile, aus der man sich die Konstanten merkt: Ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge eins hat eine Fläche von 2,5981, eine kurze Diagonale von 1,7321 und ein Apothem von 0,8660. Es schlägt außerdem das Quadrat mit der Seitenlänge eins, dessen Fläche 1 ist, und das ist die Rechnung hinter der Bienenwabe. Das Apothem wird als 0,866 ausgegeben und nicht als 0,8660, weil die vierte Dezimalstelle eine abschließende Null ist und die Ausgabe so kurz wie möglich bleibt — und der Innenwinkel hat bei 120 überhaupt keinen Dezimalteil auszugeben.

  3. Eine Seitenlänge von 2

    1. Umfang: 6 × 2 = 12
    2. Lange Diagonale: 2 × 2 = 4
    3. Kurze Diagonale: √3 × 2 = 3,4641016…, gerundet 3,4641
    4. Apothem: 1,7320508…, gerundet 1,7321
    5. Fläche: (3√3 ÷ 2) × 4 = 10,392304…, gerundet 10,3923
    6. Innenwinkel: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 Grad, und er ist bei jedem regelmäßigen Sechseck derselbe

    Die Zeile, die überrascht: Die Fläche dieses Sechsecks beträgt 10,3923, und ein Sechseck mit der Seitenlänge 6 hat eine kurze Diagonale von 10,3923. Zwei verschiedene Größen an zwei verschiedenen Sechsecken mit denselben vier Ziffern sind ein Zufall der Zahlen und keine zweimal gerechnete Spalte, und es ist gut, das zu wissen, bevor man es in der Tabelle entdeckt und das Schlimmste annimmt. Die Spalte des Innenwinkels hat dagegen keine Überraschung: in allen acht Zeilen 120.

  4. Eine Seitenlänge von 10

    1. Umfang: 6 × 10 = 60
    2. Lange Diagonale: 2 × 10 = 20
    3. Kurze Diagonale: √3 × 10 = 17,320508…, gerundet 17,3205
    4. Apothem: (√3 ÷ 2) × 10 = 8,660254…, gerundet 8,6603
    5. Fläche: (3√3 ÷ 2) × 100 = 259,807621…, gerundet 259,8076
    6. Innenwinkel: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 Grad, und er ist bei jedem regelmäßigen Sechseck derselbe

    Ein Sechseck mit zehn Zentimetern Seitenlänge, ungefähr die Größe einer kleinen Fliese. Das Apothem von 8,6603 ist der zweite der beiden Zufälle auf dieser Seite: Es hat dieselben vier Ziffern wie die kurze Diagonale eines Sechsecks mit der Seitenlänge 5, weil beide 5√3 sind, nur von verschiedenen Stellen aus betrachtet. Der Wert, den man aus dieser Zeile mitnehmen sollte, ist die lange Diagonale von 20 gegen die kurze von 17,32 — das Sechseck ist über die Ecken um etwa 15 Prozent breiter als über die flachen Seiten, und deshalb werden eine Mutter und der passende Schlüssel über die Flächen angegeben.

  5. Eine Seitenlänge von 0

    1. Umfang: 6 × 0 = 0
    2. Lange Diagonale: 2 × 0 = 0
    3. Kurze Diagonale: √3 × 0 = 0
    4. Apothem: (√3 ÷ 2) × 0 = 0
    5. Fläche: (3√3 ÷ 2) × 0 = 0
    6. Innenwinkel: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 Grad, und er ist bei jedem regelmäßigen Sechseck derselbe

    Null ist eine zulässige Eingabe und kein leeres Feld. Ein Sechseck mit der Seitenlänge null ist ein einziger Punkt, und die fünf Größenwerte sind alle null, eine Zeile Nullen ist also eine echte Antwort und kein Zeichen dafür, dass etwas nicht ausgefüllt wurde. Der Innenwinkel ist die Ausnahme und bleibt bei 120 Grad, weil er eine Eigenschaft der sechs Seiten ist und nicht der Größe — die Form ist zusammengefallen, aber sie ist keine andere Form geworden. Die Seite unterscheidet die Null vom leeren Feld, das überhaupt kein Ergebnis zeigt, weil es nichts gibt, wovon sich ausgehen ließe.

Einschränkungen

Diese Seite gilt nur für regelmäßige Sechsecke: alle sechs Seiten gleich lang und alle sechs Winkel 120 Grad. Ein Sechseck, das nicht regelmäßig ist, hat keine einheitliche Seitenlänge und lässt sich durch eine Zahl nicht beschreiben; die Seite liefert dann stillschweigend die Werte des regelmäßigen Sechsecks mit dieser Seitenlänge, statt darauf hinzuweisen, dass die Form, die man im Kopf hat, eine andere ist. Der Innenwinkel steht bei jeder Größe fest auf 120 Grad und wird in jeder Zeile der Tabelle unverändert ausgegeben, auch in der Zeile mit der Seitenlänge null; einen Außenwinkel und einen Mittelpunktswinkel gibt die Seite nicht aus, und für ein nicht regelmäßiges Sechseck überhaupt keinen Winkel, weil es dort keine einzelne Antwort gibt. Die Ausgaben stehen in Zentimetern, Quadratzentimetern und Grad, unabhängig davon, was im Auswahlfeld steht; eine in Zoll eingegebene Seite kommt also als Zentimeterergebnis zurück, das man selbst umrechnen muss. Vier Dezimalstellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit: Für eine gemessene Seitenlänge sind sie großzügig, und die letzten beiden Stellen bedeuten nichts, wenn die Eingabe nicht exakt war. Die Fläche wächst mit dem Quadrat der Seitenlänge, während Umfang und Diagonalen mit der Seitenlänge selbst wachsen, das Vergrößern eines Sechsecks verändert diese Werte also in unterschiedlichem Tempo — der Innenwinkel ist der einzige, der sich überhaupt nicht ändert. Apothem und kurze Diagonale werden als zwei Werte ausgegeben, obwohl das eine genau die Hälfte des anderen ist, weil die beiden in verschiedenen Gewerken zitiert werden und die Seite lieber beide ausgibt, als einen halbieren zu lassen. Nichts hier behandelt ein Sechseck mit einem Loch darin, ein auf eine gekrümmte Fläche gezeichnetes Sechseck oder die Dicke einer sechseckigen Fliese oder Mutter, also eine dritte Dimension, für die diese Seite kein Feld hat.

Häufige Fragen

Warum genügt beim Sechseck ein einziges Maß, um alle Werte zu berechnen?
Weil diese Seite für regelmäßige Sechsecke gilt, bei denen alle sechs Seiten gleich lang und alle sechs Winkel auf 120 Grad festgelegt sind. Diese beiden Tatsachen lassen nur noch die Größe offen, und eine Seitenlänge entscheidet sie. Das unterscheidet ein regelmäßiges Sechseck von einem Rechteck, das zwei Zahlen braucht, oder von einem allgemeinen Dreieck, das drei braucht.
Was ist das Apothem, und wozu ist es gut?
Es ist der Abstand vom Mittelpunkt des Sechsecks gerade hinaus zur Mitte einer Seite, und es ist der Radius des größten Kreises, der hineinpasst. Es ist nützlich, weil flächige Gegenstände in der Praxis so gemessen werden: Eine Mutter und der passende Schlüssel werden beide über die Flächen angegeben, also über das Doppelte des Apothems, und nicht über die Ecken, also nicht über die lange Diagonale.
Welche Diagonale ist welche?
Die lange Diagonale läuft von einer Ecke gerade durch den Mittelpunkt zur gegenüberliegenden Ecke und ist genau das Doppelte der Seitenlänge. Die kurze Diagonale läuft zwischen zwei Ecken mit einer Ecke dazwischen und ist die Quadratwurzel aus drei mal der Seitenlänge. Die lange ist etwa 15 Prozent länger als die kurze, und die kurze ist genau das Doppelte des Apothems.
Warum haben drei der Werte vier Dezimalstellen und die anderen keine?
Weil die Breiten je Wert festgelegt sind und nicht für die ganze Seite. Fläche, kurze Diagonale und Apothem enthalten alle die Quadratwurzel aus drei, die nie aufgeht, ihre Ergebnisse gehen also fast nie auf und werden auf vier Stellen ausgegeben. Der Umfang ist sechs mal die Seitenlänge und die lange Diagonale zwei mal die Seitenlänge, beide sind also exakt, sobald es die Seitenlänge ist — sie werden mit einer festen Breite von vier Stellen ausgegeben, und abschließende Nullen werden einfach nicht gezeigt. Der Innenwinkel ist exakt 120 und wird als ganze Zahl ganz ohne Dezimaltrennzeichen ausgegeben.
Wie schlägt sich ein Sechseck gegen ein Quadrat mit derselben Seitenlänge?
Das Sechseck bedeckt mehr. Ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge eins hat eine Fläche von etwa 2,6 Flächeneinheiten gegenüber 1 bei einem Quadrat mit der Seitenlänge eins, bei gleicher Kantenlänge — es hat allerdings für diese Kante auch einen längeren Umfang, sechs Seiten statt vier, der Vergleich ist also nur fair, wenn man ihn als Fläche je Einheit Kantenlänge formuliert. Diese Sparsamkeit ist der Grund, warum Waben, Verpackungseinlagen und Heizkörperpaneele sechseckige Zellen verwenden.
Darf die Seitenlänge null sein?
Ja, und alle fünf Größenwerte kommen als null zurück, was die ehrliche Beschreibung eines Sechsecks ohne Größe ist. Die Null wird als echte Eingabe behandelt und nicht als leeres Feld, eine Zeile Nullen ist also eine Antwort. Ein leeres Feld ist etwas anderes: Steht nichts darin, zeigt die Seite überhaupt kein Ergebnis, weil es nichts gibt, wovon sich ausgehen ließe.
Warum ändert sich der Innenwinkel nicht, wenn ich die Seitenlänge ändere?
Weil er eine Eigenschaft der Form ist und nicht ihrer Größe. Die Winkel jedes Vielecks ergeben zusammen die Seitenzahl minus zwei, mal 180 Grad; bei sechs Seiten sind das 720 Grad, und ein regelmäßiges Sechseck verteilt sie gleichmäßig auf sechs Ecken, was je 120 ergibt. In dieser Rechnung kommt die Seitenlänge nicht vor, ein Sechseck mit der Seite 1 und eines mit der Seite 10 haben also beide 120-Grad-Ecken — und ein zu einem Punkt zusammengefallenes Sechseck meldet weiterhin 120, was für eine Figur, die ihre Größe, aber nicht ihre Form verloren hat, die ehrliche Antwort ist.

Quellen

Verwandte Rechner

Umfang-RechnerUmfang gängiger Formen aus ihren Seitenlängen.Parallelogramm-Fläche-RechnerFläche und Umfang aus Grundseite, Höhe und Schenkel.Vieleck-RechnerSeitenzahl eingeben, Fläche, Umfang und Winkel erhalten.Achteck-RechnerFläche, Umfang, Apothema und drei Diagonalen eines Achtecks.