Vieleck-Rechner

A = n ÷ (4·tan(π ÷ n)) × s² P = n·s a = s ÷ (2·tan(π ÷ n)) Innenwinkel = (n − 2) × 180 ÷ n Anzahl der Diagonallängen = ⌊n ÷ 2⌋ − 1

n

Die Anzahl der Seiten und die einzige Eingabe auf dieser Seite, die ändert, welche Form man vor sich hat, statt wie groß sie ist. Sie muss eine ganze Zahl von mindestens drei sein: Zwei Seiten schließen nichts ein, und eine halbe Seite ist keine Seite. Alles außer dem Umfang ist eine gekrümmte Funktion davon, weshalb diese Seite dieselbe Seite bei zehn verschiedenen Seitenzahlen druckt statt der zehn verschiedenen Seiten, die die drei Einzelform-Seiten drucken

s

Die Länge einer beliebigen Seite, in Zentimetern. Wie auf jeder Seite für regelmäßige Vielecke ist dies die einzige Länge, die es gibt: Die Form ist dadurch festgelegt, dass alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind, eine Seite und die Anzahl bestimmen also die ganze Figur

A

Die Fläche, in Quadratzentimetern: die Anzahl der Seiten geteilt durch das Vierfache des Tangens von π geteilt durch die Anzahl der Seiten, mal die Seite im Quadrat. Der Faktor vor dem Seitenquadrat beträgt 0,4330 bei drei Seiten und wächst von dort unbeschränkt — er überschreitet 1 beim Quadrat, beträgt 31,5688 bei zwanzig Seiten und 79.577,2097 bei tausend —, weil eine feste Seite auf einer Form mit mehr Ecken mehr Boden bedeckt. Hält man stattdessen den Umfang fest, hört das Wachstum auf: Ein Tausendeck mit einem Umfang von 6.000 bedeckt 2.864.779,5509 gegenüber 2.864.788,9757 beim Kreis mit demselben Umfang, ein Unterschied von 0,0003 Prozent. Die Größe, die sich der Kreiszahl 3,1416 nähert, ist die Fläche geteilt durch das Quadrat des Abstands vom Mittelpunkt bis zur Ecke

P

Der Umfang, in Zentimetern: die Seite mal die Anzahl der Seiten. Er ist die einzige Ausgabe, die in beiden Eingaben exakt linear ist, und die einzige, die exakt ist, wann immer ihre Eingaben es sind, was ihn zu der Größe macht, an der man die anderen prüft, wenn ein Ergebnis falsch aussieht

a

Das Apothem, in Zentimetern: der Abstand vom Mittelpunkt gerade hinaus zur Mitte einer Seite, also die Seite geteilt durch das Zweifache des Tangens von π geteilt durch die Anzahl der Seiten. Es ist der Radius des größten Kreises, der in die Form passt — der Inkreisradius —, und das Doppelte davon ist die Breite über den flachen Seiten, das Maß, das man tatsächlich mit einem Lineal abnehmen kann

Innenwinkel

Der Innenwinkel zwischen zwei benachbarten Seiten, im Inneren der Form: die Seitenzahl minus zwei, mal 180, geteilt durch die Seitenzahl. Er hängt überhaupt nicht von der Seitenlänge ab, ist also dieselbe Zahl in jeder Zeile einer Tabelle, deren Seite festliegt und deren Seitenzahl wandert. Diese Seite druckt ihn mit zwei Nachkommastellen, weil der eines Siebenecks 128,571428 beträgt und sonst auf 129 gerundet würde, was keine kürzere Antwort, sondern eine falsche ist

⌊n ÷ 2⌋ − 1

Wie viele verschiedene Diagonallängen die Form hat. Die Sehnen, die zwei Ecken verbinden, treten in der halben Seitenzahl verschiedener Längen auf, und eine davon ist die Seite selbst, also hat ein Dreieck keine, ein Quadrat und ein Fünfeck je eine, ein Sechseck zwei, ein Achteck drei. Dies ist eine Anzahl und keine Länge, sie trägt daher keine Einheit und bewegt sich nicht, wenn die Seite sich bewegt

π

Das Verhältnis des Kreisumfangs zu seinem Durchmesser, etwa 3,14159265. Es erscheint hier, weil der Tangens von π geteilt durch die Seitenzahl das ist, was die Form an ihre eigenen Ecken koppelt: dieselbe Konstante, die den Kreis beschreibt, dem sich diese Formen mit steigender Seitenzahl nähern

Diese Seite ist die richtige, wenn die Form keine der benannten ist oder wenn der Punkt der Frage die Form selbst ist und nicht eine Messung an ihr. Wer weiß, dass er es mit einem Sechseck oder einem Achteck zu tun hat, wird auf der Seite für diese Form nach einer Zahl statt zweier gefragt und bekommt zusätzlich die Diagonallängen gedruckt; hierher kommt man, wenn die Seitenzahl das ist, was man wählt. Das ist die Situation immer dann, wenn eine Form ausgesucht statt vermessen wird — wie viele Seiten ein Hochbeet, ein Pavillondach, eine Münze oder eine Fliese haben soll —, denn die Tabelle lässt dieselbe Kante bei zehn Seitenzahlen in einer Spalte ablesen und zeigt, was jede zusätzliche Seite einbringt. Das Muster lohnt es, klar auszusprechen, und es hat zwei Hälften, die leicht zu verwechseln sind. Bei fester Seite kauft jede hinzugefügte Seite Fläche, und die Beträge wachsen, statt zu schrumpfen: Von drei auf vier Seiten kommen bei einer Kante von sechs Zentimetern 20,4 Quadratzentimeter hinzu, von vier auf fünf 25,9, von fünf auf sechs 31,6, und der Lauf von zwanzig Seiten auf tausend bringt 2.863.643, weil die Form dabei nicht nur runder wird, sondern auch wächst und der Umfang mit ihr. Hält man stattdessen den Umfang fest, kehrt sich das Geschäft um. Bei einem Umfang von 6.000 bringt der eine Schritt von fünf auf sechs Seiten 120.589 Quadratzentimeter, während der ganze Lauf von zwanzig auf tausend Seiten — 980 zusätzliche Seiten — 23.591 einbringt. Das ist der Vergleich, für den die letzten beiden Spalten der Tabelle da sind, und es ist der Grund, warum ein Schraubenkopf, eine Bodenfliese und eine Honigwabenzelle Sechsecke sind: Jenseits von sechs Seiten lohnt die zusätzliche Fläche die zusätzliche Kante zum Schneiden und die zusätzliche Ecke zum Einpassen nicht mehr. Die Apothem-Spalte ist zum Auslegen einer Form auf einem Blatt da, denn das Doppelte davon ist die Breite über den flachen Seiten, und die Innenwinkel-Spalte ist zum Bauen aus Einzelteilen da, denn die Hälfte davon ist die Gehrung, die jedes Teil braucht, und sie ist für jede Größe dieser Form dieselbe. Wer diese Seite mit dem Kreisrechner vergleicht, nimmt die Zeile mit tausend Seiten als den ehrlichen Vergleich: Bei einer Seite von 6 ist ihr Umfang 6.000 und ihre Fläche 2.864.779,5509, gegenüber 2.864.788,9757 bei einem echten Kreis mit demselben Umfang, ein Unterschied von 0,0003 Prozent.

1. Ein Sechseck, Seite 6

   1. Umfang: 6 × 6 = 36
   2. Innenwinkel: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 720 ÷ 6 = 120, exakt
   3. Apothem: 6 ÷ (2 × tan 30°) = 6 ÷ 1,154700… = 5,196152…, gerundet 5,1962
   4. Fläche: 6 ÷ (4 × tan 30°) × 36 = 2,598076… × 36 = 93,530743…, gerundet 93,5307
   5. Anzahl der Diagonallängen: ⌊6 ÷ 2⌋ − 1 = 3 − 1 = 2

   Die Belegung, mit der die Seite startet, und die Zeile, die diese Seite mit der Sechseck-Seite abgleicht: 93,5307 und 5,1962 sind die beiden Zahlen, die der Sechseck-Rechner zeigt, bevor man etwas anfasst. Die 2 in der letzten Spalte sind zugleich die zwei Diagonalen der Sechseck-Seite — eine, die eine Ecke überspringt, und eine, die gerade hinübergeht —, hier als Anzahl statt als Längen geschrieben, was diese Seite kann und jene nicht. Der Innenwinkel von 120 erscheint im Ergebnisbereich als 120,00 und in der Tabelle unten als 120, also dieselbe Zahl in zwei Anzeigebreiten.

2. Ein Dreieck, Seite 6

   1. Umfang: 3 × 6 = 18
   2. Innenwinkel: (3 − 2) × 180 ÷ 3 = 180 ÷ 3 = 60, exakt
   3. Apothem: 6 ÷ (2 × tan 60°) = 6 ÷ 3,464101… = 1,732050…, gerundet 1,7321
   4. Fläche: 3 ÷ (4 × tan 60°) × 36 = 0,433012… × 36 = 15,588457…, gerundet 15,5885
   5. Anzahl der Diagonallängen: ⌊3 ÷ 2⌋ − 1 = 1 − 1 = 0

   Die kleinste Form, die die Seite annimmt, und die einzige auf ihr ganz ohne Diagonale: Jede Sehne, die zwei Ecken eines Dreiecks verbindet, ist eine seiner drei Seiten, es bleibt also nichts übrig, was eine Diagonale sein könnte. Die Null ist eine Antwort und keine leere Zelle, und die Fläche von 15,5885 stimmt mit dem Rechner für das gleichseitige Dreieck bei derselben Seite überein, was die Prüfung ist, dass die allgemeine Formel nicht von der formspezifischen abgewichen ist. Beachten Sie das Apothem: Bei drei Seiten ist es das kleinste jeder Form in der Tabelle, 1,7321 bei einer Seite von 6, weil der Kreis im Inneren eines Dreiecks im Verhältnis zum Dreieck klein ist.

3. Ein Siebeneck, Seite 6

   1. Umfang: 7 × 6 = 42
   2. Innenwinkel: (7 − 2) × 180 ÷ 7 = 900 ÷ 7 = 128,571428…, gerundet 128,57
   3. Apothem: 6 ÷ (2 × tan 25,714285…°) = 6 ÷ 0,963149… = 6,229585…, gerundet 6,2296
   4. Fläche: 7 ÷ (4 × tan 25,714285…°) × 36 = 3,633912… × 36 = 130,820846…, gerundet 130,8208
   5. Anzahl der Diagonallängen: ⌊7 ÷ 2⌋ − 1 = 3 − 1 = 2

   Die Zeile, für die es diese Seite gibt, und die, vor der die Achteck-Seite gewarnt hat. Jede Seitenzahl bis zwölf ergibt einen ganzzahligen Innenwinkel außer sieben und elf; eine Seite, die Winkel ganz ohne Nachkommastellen druckte, würde hier also 129 drucken — keine gröbere Antwort, sondern eine falsche. Zwei Nachkommastellen genügen für jede Seitenzahl, die die Seite annimmt: Bei tausend Seiten beträgt der Winkel 179,64 und liegt damit noch zwei Nachkommastellen von 180 entfernt. Die siebenseitige Form ist außerdem die erste mit weniger verschiedenen Diagonallängen, als es sich anfühlt: Ein Siebeneck hat vierzehn Diagonalen insgesamt, sie treten aber in nur zwei Längen auf — zwei oder drei übersprungene Ecken —, weil die übrigen dieselben zwei Spannen von anderen Ecken aus gemessen sind.

4. Ein Quadrat, Seite 6

   1. Umfang: 4 × 6 = 24
   2. Innenwinkel: (4 − 2) × 180 ÷ 4 = 360 ÷ 4 = 90, exakt
   3. Apothem: 6 ÷ (2 × tan 45°) = 6 ÷ 2 = 3, exakt
   4. Fläche: 4 ÷ (4 × tan 45°) × 36 = 1 × 36 = 36
   5. Anzahl der Diagonallängen: ⌊4 ÷ 2⌋ − 1 = 2 − 1 = 1

   Das Quadrat, bei dem die allgemeine Formel auf eine Gleitkomma-Eigenheit stößt, die man kennen sollte: Der Tangens von 45 Grad ist mathematisch 1, die Seite berechnet aber den Tangens von π geteilt durch vier im Gleitkomma und erhält 0,9999999999999999, sodass die Fläche als 36,000000000000014 ankommt. Gedruckt wird sie als 36, weil das Ergebnis auf dem Weg nach draußen auf vier Nachkommastellen gerundet wird, und genau dafür ist diese Rundung da. Die letzte Spalte ist das andere, was hier anzusehen ist: Ein Quadrat hat zwei Diagonalen, sie durchqueren die Form auf dieselbe Weise, und ⌊4 ÷ 2⌋ − 1 zählt sie als eine Länge, was richtig ist und genau die Falle, die diese Seite vermeidet, indem sie keine Längen druckt.

5. Tausend Seiten, Seite 6

   1. Umfang: 1000 × 6 = 6.000
   2. Innenwinkel: (1000 − 2) × 180 ÷ 1000 = 179,64, exakt auf zwei Nachkommastellen
   3. Apothem: 6 ÷ (2 × tan 0,18°) = 6 ÷ 0,006283… = 954,926539…, gerundet 954,9265
   4. Fläche: 1000 ÷ (4 × tan 0,18°) × 36 = 79.577,2097… × 36 = 2.864.779,5509…, gerundet 2.864.779,5509
   5. Anzahl der Diagonallängen: ⌊1000 ÷ 2⌋ − 1 = 500 − 1 = 499

   Die Obergrenze der Seite und die Zeile, die eine Frage beantwortet, über die die anderen Seiten dieser Familie nur reden können. Ein regelmäßiges Tausendeck mit einem Umfang von 6.000 hat eine Fläche von 2.864.779,5509 Quadratzentimetern; ein echter Kreis mit demselben Umfang hat 2.864.788,9757, also 0,0003 Prozent mehr. Sein Apothem von 954,9265 steht gegen den Radius des Kreises von 954,9297, ein Unterschied von 0,0032 Zentimetern. Hier hat das Vieleck also aufgehört, in irgendeinem praktischen Sinn ein Vieleck zu sein — weshalb die Seite nicht mehr als tausend Seiten annimmt: Jenseits dieses Punktes beschreibt die Seitenlänge die Form nicht mehr, und die Figur ist ein Kreis mit Umwegen.

Die Seite ist nur für regelmäßige Vielecke gedacht: alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß. Eine Form mit ungleichen Seiten oder ungleichen Winkeln hat keine einzelne Seitenlänge und keinen einzelnen Innenwinkel, und keine Anzahl von Eingaben auf dieser Seite wird sie beschreiben — geben Sie eine Seitenzahl und eine Seite ein, und die Seite antwortet still mit der regelmäßigen Form dieser Größe, ohne Ihnen zu sagen, dass die Form, die Sie im Kopf haben, eine andere ist. Die Seitenzahl muss eine ganze Zahl von mindestens drei sein, und die Seite meldet einen Fehler, statt zu runden, wenn sie es nicht ist; alles über tausend wird ebenfalls abgelehnt, weil die Form darüber für jeden Zweck, den die Zahlen hier erfüllen könnten, ein Kreis ist. Die Ausgaben stehen in Zentimetern und Quadratzentimetern, unabhängig davon, worauf das Auswahlfeld für die Einheit steht; eine in Zoll eingegebene Seite kommt also als Zentimeter-Antwort zurück, die Sie selbst umrechnen müssen. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit, und für eine gemessene Seite sind sie großzügig; die letzten beiden Ziffern sind ohne Bedeutung, solange die Eingabe nicht exakt war. Der Innenwinkel trägt zwei Nachkommastellen statt keiner, was bedeutet, dass ganzzahlige Winkel hier als 120,00 und auf den Fünfeck- und Achteck-Seiten als 120 gedruckt werden — dieselbe Zahl in zwei Anzeigebreiten, kein Widerspruch zwischen den Seiten. Die letzten beiden Spalten sind eine Anzahl und ein Winkel, und keine von beiden bewegt sich, wenn die Seite sich bewegt; eine Seite, die auf eine Änderung der Seite nicht zu reagieren scheint, ist also nicht eingefroren: drei der fünf Größen haben sich geändert. Es gibt hier eine Diagonalgröße, und sie ist eine Anzahl, keine Länge: Die Längen selbst stehen auf den drei Einzelform-Seiten, und der Grund ist, dass ihre Anzahl von der Seitenzahl abhängt, was eine feste Liste von Ausgaben nicht aufnehmen kann. Die Seite ist zweidimensional und hat kein Feld für Materialdicke, sie kann also weder das Volumen eines Prismas noch die Masse einer aus einer dieser Formen geschnittenen Platte liefern, und die Anzahl der Diagonallängen zählt verschiedene Längen und nicht Diagonalen — ein Siebeneck hat vierzehn Diagonalen, und diese Seite sagt zwei, wobei beide Aussagen von verschiedenen Größen wahr sind.

Wie berechne ich die Fläche eines regelmäßigen Vielecks aus seiner Seite?

Multiplizieren Sie das Quadrat der Seite mit der Anzahl der Seiten und teilen Sie dann durch das Vierfache des Tangens von π geteilt durch die Anzahl der Seiten. Der Faktor, der das Quadrat der Seite multipliziert, hängt nur von der Seitenzahl ab — 0,4330 beim Dreieck, 1 beim Quadrat, 1,7205 beim Fünfeck, 2,5981 beim Sechseck —, und er wächst unbeschränkt, wenn die Seitenzahl steigt: 3,6339 bei sieben Seiten, 31,5688 bei zwanzig, 79.577,2097 bei tausend. Es ist die Fläche und nicht dieser Faktor, die sich der eines Kreises annähert, und auch das nur, wenn der Umfang festgehalten wird; die Größe, die sich der Kreiszahl 3,1416 nähert, ist die Fläche geteilt durch das Quadrat des Abstands vom Mittelpunkt bis zur Ecke. Weil es ein Faktor und kein Summand ist, vervierfacht die Verdopplung der Seite die Fläche bei jeder Form auf dieser Seite.

Warum ändert sich der Innenwinkel nicht, wenn ich die Seitenlänge ändere?

Weil der Innenwinkel eines regelmäßigen Vielecks durch die Anzahl der Seiten festgelegt ist und durch nichts sonst: Er ist die Seitenzahl minus zwei, mal 180 Grad, geteilt durch die Seitenzahl. In diesem Ausdruck kommt keine Seitenlänge vor. Ein Dreieck hat immer 60 Grad, ein Fünfeck immer 108, ein Sechseck immer 120, ein Achteck immer 135, unabhängig von der Größe. Deshalb ist die vierte Spalte der Referenztabelle vorhersagbar statt gemessen, und deshalb beträgt die Gehrung, die Sie für einen sechseckigen Rahmen sägen, 30 Grad, ob der Rahmen ein Untersetzer oder ein Tisch ist.

Wie viele Diagonalen hat ein Vieleck?

In dieser einen Frage stecken zwei verschiedene Fragen, und diese Seite beantwortet die zweite. Die Anzahl der Diagonalen ist die Seitenzahl mal die Seitenzahl minus drei, geteilt durch zwei: Ein Fünfeck hat fünf, ein Sechseck neun, ein Achteck zwanzig. Die Anzahl der verschiedenen Diagonallängen ist die halbe Seitenzahl, abgerundet, minus eins: Ein Fünfeck hat eine, ein Sechseck zwei, ein Achteck drei, ein Siebeneck zwei. Diese Seite druckt die zweite, weil das die Größe ist, um die die Einzelform-Seiten daneben herum gebaut sind, und weil eine Anzahl von Längen die einzige Diagonalgröße ist, die für jede Seitenzahl stimmt.

Was ist das Apothem, und wofür braucht man es?

Es ist der Abstand vom Mittelpunkt gerade hinaus zur Mitte einer Seite, und es ist der Radius des größten Kreises, der in die Form passt. Es ist die Größe, mit der man ein Vieleck auslegt, denn das Doppelte des Apothems ist die Breite über den flachen Seiten, und die flachen Seiten sind das, was ein Lineal messen kann; die Ecken sind es nicht. Wenn Sie eine Form auf einem Blatt anreißen, messen Sie das Apothem so oft vom Mittelpunkt aus nach außen, wie es Seiten gibt, und Sie haben die Mitte jeder Seite. Bei drei Seiten ist es im Verhältnis zur Form klein, und es nähert sich dem Radius des Umkreises, wenn die Seitenzahl steigt.

Wann sollte ich diese Seite statt der Fünfeck- oder Achteck-Seite nehmen?

Wenn die Anzahl der Seiten das ist, was Sie entscheiden, statt das, was Sie schon wissen. Die Einzelform-Seiten fragen nach einer Zahl und geben Ihnen zusätzlich die Diagonallängen, weil sie wissen, mit welcher Form sie es zu tun haben; diese Seite fragt nach zwei Zahlen und handhabt dafür jede Seitenzahl von drei bis tausend und lässt Sie dieselbe Seite bei zehn von ihnen in einer Spalte ablesen. Wenn Sie ein festes Sechseck vermessen wollen, ist die Sechseck-Seite weniger Schritte. Wenn Sie zwischen einem Sechseck und einem Achteck für eine Tischplatte wählen, ist diese Seite der Vergleich.

Was sagt mir die Umfang-Spalte, was die Fläche-Spalte nicht sagt?

Sie sagt Ihnen, was die Form zu bauen kostet, während die Fläche sagt, was sie bedeckt. Der Umfang ist die Seite mal die Anzahl der Seiten, steigt bei fester Seite also geradlinig, während die Fläche mit ihm klettert: Von einem Dreieck zu einem Quadrat kommen bei einer Kante von sechs Zentimetern 6 beim Umfang und 20,4 bei der Fläche hinzu, von zwanzig Seiten auf tausend aber 5.880 beim Umfang und 2.863.643 bei der Fläche, also sehr viel mehr Kante für eine Form, die dem Auge kaum anders aussieht. Halten Sie stattdessen den Umfang fest, läuft das Geschäft andersherum: Bei einem Umfang von 6.000 bringt eine zusätzliche Seite beim Schritt von fünf auf sechs 120.589 Quadratzentimeter, während die letzten 980 Seiten zusammen 23.591 einbringen. Deshalb sind ein Schraubenkopf und eine Bodenfliese Sechsecke und keine Formen mit mehr Seiten — jenseits von sechs kostet die zusätzliche Kante mehr, als die zusätzliche Fläche wert ist.

Wie viele Diagonalen hat ein Vieleck mit n Seiten?

Ein n-Eck hat n × (n − 3) ÷ 2 Diagonalen. Die Abzählung dahinter: Von jeder der n Ecken führen Verbindungslinien zu allen anderen Ecken außer den beiden Nachbarn — die sind über Kanten verbunden und damit keine Diagonalen — und außer der Ecke selbst, das sind also n − 3 Linien je Ecke. Jede Diagonale wird dabei von beiden Enden aus gezählt, daher die Division durch zwei. Ein Fünfeck hat 5 Diagonalen, ein Sechseck 9, ein Zwölfeck 54. Die Spalte „Anzahl der Diagonallängen“ in der Tabelle unten zählt etwas anderes: nicht die Diagonalen, sondern wie viele verschiedene Längen unter ihnen vorkommen — in einem regelmäßigen Vieleck sind das ⌊n ÷ 2⌋ − 1, ein Fünfeck hat also fünf Diagonalen, aber nur eine einzige Diagonallänge.

• Regular polygon — the family this page covers end to end, with the area, the apothem, the interior angle and the diagonal structure all defined in terms of the side count — Wolfram MathWorld (United States)
• Apothem — the distance from the centre of a regular polygon to the midpoint of a side, which is the radius of the inscribed circle and, doubled, the width of the shape across its flats — Wolfram MathWorld (United States)
• Polygon — the general closed figure this page specialises to the regular case, including the distinction between the number of diagonals and the number of distinct diagonal lengths — Wolfram MathWorld (United States)
• Regelmäßige Vielecke konstruieren und berechnen — Fläche, Umfang, Innenwinkel und Mittelpunktswinkel am regelmäßigen n-Eck, dazu die Zerlegung in n kongruente Dreiecke, die die Flächenformel dieser Seite erklärt — Studienkreis (Deutschland)