Kreis-Rechner

d = 2r C = 2πr = πd A = πr² und zurück: r = d ÷ 2 = C ÷ 2π = √(A ÷ π)

Radius

Der Abstand vom Mittelpunkt zum Rand, in Zentimetern. Null ist zugelassen und beschreibt einen Kreis ohne Ausdehnung; dann sind alle vier Werte null

Durchmesser

Der Abstand quer durch den Mittelpunkt, doppelt so groß wie der Radius. Dieses Feld statt des Radius zu füllen ändert am Ergebnis nichts, weil die Seite ihn als Erstes halbiert

Kreisumfang

Die Länge einmal um den Kreis herum, π mal der Durchmesser. Das ist die einzige der vier Eingaben, die eine Division durch 2π braucht, um zum Radius zurückzukommen — hier reichen die vier abgelesenen Stellen nicht mehr, um die übrigen Werte von Hand nachzubilden

Fläche

Der Platz im Inneren des Kreises, π mal der Radius im Quadrat, in Quadratzentimetern. Der umgekehrte Weg verlangt eine Division durch π und eine Wurzel; deshalb ist die Obergrenze dieses Feldes viel weiter gesteckt als die der drei Längenfelder

π

Die Kreiszahl, das Verhältnis von Kreisumfang zu Durchmesser, etwa 3,14159. Der Rechner verwendet den vollen Wert der Gleitkommarechnung und kürzt ihn nicht auf drei Stellen; wer von Hand mit 3,14 rechnet, weicht in der letzten Stelle ab

Vier Dezimalstellen

Die Breite, in der jeder Wert ausgegeben wird. Radius und Durchmesser sind oft exakt und enden auf Nullen; Kreisumfang und Fläche sind fast immer irrational, dort sind die vier Stellen die Stelle, an der abgeschnitten wird, und nicht die, an der der Wert endet

Die Seite ist gerade deshalb nützlich, weil ein Kreis selten als Radius daherkommt. Ein runder Tisch wird über seinen Durchmesser verkauft, eine Einfassung um ein rundes Beet wird nach Metern verkauft und ist ein Kreisumfang, ein Farbeimer deckt eine bestimmte Anzahl Quadratmeter und die Fläche, die Sie streichen, ist ein Kreis, und ein Fahrradrad wird über die Größe seines Reifens angegeben. Jeder dieser Fälle bringt eine andere der vier Zahlen mit, und jede davon lässt sich direkt in das passende Feld eintragen. Der umgekehrte Weg ist der, auf dem man sich von Hand vertut. Ist die Fläche gegeben, ist der Radius nicht die Fläche geteilt durch π, sondern die Wurzel daraus; wer die Wurzel vergisst, erhält einen Radius, der um den Faktor seiner eigenen Wurzel danebenliegt, und bei einem mittelgroßen Garten ist das kein kleiner Fehler. Ist der Kreisumfang gegeben, ist der Radius der Kreisumfang geteilt durch 2π, und statt des vollen Werts 3,14 zu verwenden, reicht schon aus, um die letzte ausgegebene Stelle zu verschieben. Die Seite macht beides richtig; sie ist damit ein brauchbarer Ort, um eine Handrechnung zu prüfen, bei der Sie unsicher sind. Eine Angewohnheit lohnt sich aus der Geometrie rings um diese Seite mitzunehmen: Der Radius liegt immer zwischen einem Siebtel und einem Sechstel des Kreisumfangs, und die Wurzel aus der Fläche geteilt durch π gibt ihn zurück. Kommt also ein Durchmesser heraus, der größer ist als der Kreisumfang, dann steht die Eingabe im falschen Feld.

1. Ein Radius von fünf

   1. Durchmesser: 5 × 2 = 10
   2. Kreisumfang: 2 × π × 5 = 31,415926…, gerundet 31,4159
   3. Fläche: π × 5 × 5 = 78,539816…, gerundet 78,5398
   4. Der Radius bleibt unverändert, weil er die eingegebene Größe ist

   Die Belegung, mit der die Seite startet, und die leichteste Probe: Ein Kreis mit Radius 5 hat den Durchmesser 10 und eine Fläche von etwas mehr als drei Vierteln von hundert — das passt, denn π ist etwas mehr als drei und 5 im Quadrat ist 25. Der Radius wird als 5,0000 ausgegeben und nicht als 5; das ist die Ausgabebreite und keine Aussage über die Genauigkeit, er ist exakt fünf.

2. Ein Durchmesser von zwölf

   1. Radius: 12 ÷ 2 = 6
   2. Kreisumfang: π × 12 = 37,699111…, gerundet 37,6991
   3. Fläche: π × 6 × 6 = 113,097335…, gerundet 113,0973
   4. Der Durchmesser bleibt wie eingegeben

   Dieselbe Figur von der anderen Seite betreten, und zugleich die Erinnerung daran, dass Radius und Durchmesser exakt sind und die beiden anderen Werte nicht: Eine gerade Zahl zu halbieren bringt keinen Fehler, das Multiplizieren mit π immer. Die Fläche von etwas mehr als 113 ist eine brauchbare Probe: 6 im Quadrat ist 36, und 36 mal π ist etwas mehr als 113.

3. Ein Kreisumfang von zwanzig

   1. Radius: 20 ÷ (2 × π) = 3,1830988…, gerundet 3,1831
   2. Durchmesser: der doppelte Radius, 6,3661977…, gerundet 6,3662
   3. Fläche: π × der ungerundete Radius im Quadrat, also 100 ÷ π = 31,830988…, gerundet 31,8310
   4. Der Kreisumfang bleibt wie eingegeben

   Der Fall, der zeigt, warum die vier abgelesenen Zahlen einander nicht immer nachbilden. Die Fläche ist genau 100 geteilt durch π, und sie wird aus dem ungerundeten Radius gerechnet und nicht aus der 3,1831 auf dem Bildschirm; den abgelesenen Radius ins Quadrat zu setzen und mit π zu multiplizieren ergibt 31,8309. Richtig ist die abgelesene 31,8310. Andersherum gelesen: Die Fläche eines Kreises mit dem Kreisumfang 20 ist ein Drittel von 100 — die kurze Kopfrechnung, die sagt, dass 31,83 im richtigen Bereich liegt.

4. Eine Fläche von einhundert Quadratzentimetern

   1. Radius: √(100 ÷ π) = 5,6418958…, gerundet 5,6419
   2. Durchmesser: der doppelte Radius, 11,2837916…, gerundet 11,2838
   3. Kreisumfang: 2 × π × der ungerundete Radius = 35,449077…, gerundet 35,4491
   4. Die Fläche bleibt wie eingegeben

   Die Richtung, die auf dem Papier am häufigsten falsch läuft: Der Radius ist die Wurzel aus der Fläche geteilt durch π und nicht die Fläche geteilt durch π — das ergäbe 31,831. Einhundert Quadratzentimeter sind eine Figur von etwa elf Zentimetern Breite, eine brauchbare Gegenprobe: Ein Kreis mit dem Radius 31,8 hätte eine Fläche von mehr als dreitausend und nicht von hundert. Dieselbe 31,831 ist die Fläche aus dem Beispiel darüber, dort aus dem Kreisumfang 20 gerechnet; hier steht sie für das Ergebnis der falschen Rechnung — ein Zusammentreffen dieser beiden Eingaben, in das sich nichts weiter hineinlesen lässt.

5. Ein Radius von null

   1. Durchmesser: 0 × 2 = 0
   2. Kreisumfang: 2 × π × 0 = 0
   3. Fläche: π × 0 × 0 = 0
   4. Alle vier Werte sind null, und das ist die richtige Lesart eines Kreises ohne Ausdehnung

   Null ist hier ein zulässiger Wert und kein leeres Feld. Ein Kreis mit dem Radius null ist ein einziger Punkt, und alle vier Größen sind null; eine Zeile aus Nullen ist also eine echte Antwort. Die Seite unterscheidet das von einem vollständig leeren Formular, das mit der Bitte um eine Angabe zurückgewiesen wird — der Unterschied zwischen einer Figur, die zu nichts zusammengeschrumpft ist, und einem Formular, das noch nicht ausgefüllt wurde.

Die vier Ergebnisse stehen immer in Zentimetern und Quadratzentimetern, unabhängig davon, in welcher Einheit das Eingabefeld gelesen wird. Zoll in der Auswahl ändern nur, wie Ihre Zahl hineingelesen wird, und nichts daran, wie die Antwort ausgegeben wird: Ein Kreis, der als zehn Zoll eingegeben wurde, kommt mit einem Radius von 25,4 Zentimetern zurück. Das ist eine bewusste Entscheidung, und die Tabelle folgt derselben Regel, damit die Seite sich nicht selbst widerspricht; wer die Antwort in der Einheit lesen will, in der er gemessen hat, muss sie dennoch selbst umrechnen. Die vier abgelesenen Werte stammen jeder aus Ihrer Eingabe und nicht voneinander, bilden einander also nicht immer auf die letzte Stelle nach: Der abgelesene Radius mal π kann sich in der vierten Nachkommastelle vom abgelesenen Kreisumfang unterscheiden, und dem abgelesenen Kreisumfang ist zu trauen. Kreisumfang und Fläche sind fast immer irrationale Zahlen; vier Nachkommastellen sind ein Abschneiden und keine vollständige Antwort, und zweimal zu runden — einen abgelesenen Wert zu benutzen und mit ihm weiterzurechnen — ist genau die Stelle, an der dieser Unterschied entsteht. Radius und Durchmesser sind exakt, solange die Eingabe es war; stammen sie aus einer Fläche oder einem Kreisumfang, sind auch sie gerundet. Höchstens ein Feld darf gefüllt sein: Zwei oder mehr werden zurückgewiesen, weil die vier Werte nicht unabhängig sind und ein Paar, das sich widerspricht, keinen Kreis beschreibt. Negative Werte nimmt die Seite in keinem Feld an. Und sie sagt Ihnen nicht, dass man den Radius aus einer Fläche über die Wurzel gewinnt und nicht über eine Division — dieser Schritt bleibt Ihnen überlassen.

Welche der vier Angaben trage ich ein?

Genau eine, und zwar die, die Sie kennen. Alle vier Felder sind freiwillig, und jedes von ihnen genügt: Die Seite nimmt den Wert, den Sie ihr geben, rechnet daraus den Radius und leitet die übrigen drei davon ab. Zwei Felder werden zurückgewiesen statt aufgelöst, weil die vier Größen nicht unabhängig voneinander sind — ein Radius von 5 und ein Durchmesser von 12 können nicht denselben Kreis beschreiben, und die Seite sagt das lieber, als sich stillschweigend für einen der beiden zu entscheiden.

Warum steht das Ergebnis in Zentimetern, wenn ich in Zoll eingegeben habe?

Weil die vier Ausgaben ein fester Satz in Zentimetern und Quadratzentimetern sind, damit das Ergebnisfeld und die Tabelle darunter immer zueinander passen. Die Auswahl ändert nur, wie Ihre Zahl hineingelesen wird, nicht wie die Antwort geschrieben wird; ein Radius von zehn Zoll kommt als 25,4 Zentimeter zurück. Wer die Antwort in Zoll braucht, teilt die Längen durch 2,54 und die Fläche durch 6,4516.

Warum passt die Fläche nicht zu dem Radius, der angezeigt wird?

Weil der angezeigte Radius bereits gerundet ist und die Fläche nicht aus ihm gerechnet wird. Die Seite rechnet die Fläche aus dem Radius voller Genauigkeit und rundet erst die Anzeige, deshalb steht bei einem Kreisumfang von 20 die Fläche 31,8310, während der angezeigte Radius 3,1831 im Quadrat mal π nur 31,8309 ergibt. Richtig ist die angezeigte Fläche. Genau dasselbe passiert in die andere Richtung, sobald Sie eine Zahl vom Bildschirm ablesen und mit ihr weiterrechnen.

Rechnet die Seite mit 3,14 für π?

Nein. Sie verwendet den vollen Wert der Gleitkommarechnung, also π auf etwa fünfzehn signifikante Stellen, und rundet nur die angezeigte Antwort. Das fällt in der vierten Nachkommastelle auf: Ein Kreisumfang, von Hand mit 3,14 gerechnet, weicht von der angezeigten Antwort meist in der letzten oder vorletzten Stelle ab, und der Unterschied kommt von der gekürzten Kreiszahl und nicht von einem Rechenfehler. Für eine Überschlagsrechnung ist 3,14 völlig ausreichend, und für die meisten Fälle ist es genau das Richtige.

Wie komme ich von der Fläche zum Radius?

Teilen Sie die Fläche durch π und ziehen Sie die Wurzel. Die Wurzel ist der Schritt, der unter den Tisch fällt: Ohne sie erhalten Sie eine Zahl in der Größe der Fläche selbst, bei einhundert Quadratzentimetern also 31,831 statt der richtigen 5,6419. Prüfen Sie das Ergebnis, indem Sie es quadrieren und mit π multiplizieren — Sie sollten bei der Fläche landen, von der Sie ausgegangen sind, bis auf die Rundung der angezeigten Stellen.

Darf der Radius null sein?

Ja, und alle vier Werte kommen als null zurück; das ist die ehrliche Beschreibung eines Kreises ohne Ausdehnung. Null gilt hier als echter Wert und nicht als leeres Feld, eine Zeile aus Nullen auf dem Ergebnisfeld ist also kein Zeichen dafür, dass etwas nicht ausgefüllt wurde. Ein vollständig leeres Formular ist etwas anderes: Hat keines der vier Felder einen Wert, bittet die Seite um eine Angabe, weil es dann nichts zu rechnen gibt.

• Circle — der Kreis als die Menge der Punkte mit gleichem Abstand zum Mittelpunkt, samt den Beziehungen zwischen Radius, Durchmesser, Kreisumfang und Fläche, die diese Seite in beide Richtungen löst — Wolfram MathWorld (United States)
• Circumference — der Weg einmal um einen Kreis, π mal der Durchmesser; genau diese Beziehung kehrt das Kreisumfang-Feld um — Wolfram MathWorld (United States)
• Pi — das Verhältnis von Kreisumfang zu Durchmesser und die Konstante, die Kreisumfang und Fläche für fast jede Eingabe irrational macht — Wolfram MathWorld (United States)
• Kreis — Mathebibel: Radius, Durchmesser, Kreisumfang und Fläche eines Kreises mit Formeln, Umstellungen und durchgerechneten Beispielen — Mathebibel (Deutschland)