Kugel-Rechner
Ergebnis
Volumen
- Gesamte Oberfläche
- 314,1593 cm²
- Radius
- 5,0000 cm
- Durchmesser
- 10,0000 cm
- Umfang
- 31,4159 cm
Ein Kugelrechner nimmt eine der drei Angaben eines Balls — den Radius, den Durchmesser oder den Umfang des Großkreises — und gibt fünf Werte zurück: das Volumen, die gesamte Oberfläche und alle drei Längen selbst. Die Form des Formulars ist einen zweiten Blick wert. Ausgefüllt wird nur eines der drei Felder, und gerechnet wird mit dem, das Sie eingetragen haben, denn die drei Längen sind dieselbe Messung an derselben Kugel in drei verschiedenen Kleidern: einmal um den Äquator gelegt beschreibt sie den Ball genauso vollständig wie der Weg vom Mittelpunkt bis zur Haut. Unsymmetrisch ist dagegen die andere Richtung. Beim Kreis sind alle Größen gleichberechtigt, und die Seite nebenan rechnet von jeder beliebigen aus. Bei der Kugel gilt das nicht: Volumen und gesamte Oberfläche sind Ergebnisse und niemals Eingaben, denn rückwärts vom Volumen braucht es eine Kubikwurzel und rückwärts von der Fläche eine Quadratwurzel, und beide Fragen haben längst eine Seite für sich. Also stehen hier drei Felder für die Eingabe und fünf Werte für die Ausgabe, und die zwei zusätzlichen Werte sind der eigentliche Punkt dieser Seite. Das Volumen sagt, wie viel hineinpasst oder verdrängt wird — wie viel Luft in einem Fußball steckt, wie viel Wasser ein kugelförmiger Tank fasst, wie viel Material in einer Kugellagerkugel. Die gesamte Oberfläche sagt, wie viel Haut die Kugel hat — wie viel Lack, wie viel Leder, wie viel Beschichtung daraufgeht. Diese beiden Größen machen aus der Kugel einen dreidimensionalen Körper, und an ihnen gemessen haben die flachen Figuren auf den Nachbarseiten nichts Vergleichbares. Wer nur einen Ball und ein Maßband hat, kann den Umfang des Großkreises direkt berechnen lassen und bekommt Durchmesser, Radius und Volumen dazu, ohne die Kugel aufschneiden zu müssen.
Gängige Kugeln, aus je einer der drei Angaben eingetragen
| Eingabe | Radius (cm) | Durchmesser (cm) | Umfang des Großkreises (cm) | Gesamte Oberfläche (cm²) | Volumen (cm³) |
|---|---|---|---|---|---|
| r | 5 | 10 | 31.4159 | 314.1593 | 523.5988 |
| d | 6 | 12 | 37.6991 | 452.3893 | 904.7787 |
| C | 3.1831 | 6.3662 | 20 | 127.324 | 135.0949 |
| r | 10 | 20 | 62.8319 | 1256.6371 | 4188.7902 |
| r | 1 | 2 | 6.2832 | 12.5664 | 4.1888 |
| r | 0.5 | 1 | 3.1416 | 3.1416 | 0.5236 |
| r | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| d | 50 | 100 | 314.1593 | 31415.9265 | 523598.7756 |
Acht Kugeln, und die erste Spalte sagt, welches der drei Felder ausgefüllt wurde — ohne sie wäre die Tabelle nicht lesbar, denn für jede Zeile werden alle fünf Zahlen gedruckt und sonst stünde nirgends, welche Angabe die Eingabe war. Die ersten drei Zeilen sind absichtlich auf drei verschiedenen Wegen eingetragen: ein Radius von 5 cm, ein Durchmesser von 12 cm und ein Umfang des Großkreises von 20 cm, damit die drei Einstiegspunkte nebeneinander sichtbar sind. Die erste Zeile ist die Kugel, mit der die Seite startet; ihr Umfang des Großkreises von 31,4159 ist genau der Wert, den die Kreisseite für einen Radius von 5 ausgibt — einem Umfang ist es gleichgültig, ob er flach gezeichnet oder um eine Kugel gelegt wird. Die dritte Zeile ist die, die man lesen sollte, wenn Sie von Hand rechnen: als Umfang des Großkreises von 20 eingetragen, beträgt das Volumen 135,0949, während die dritte Potenz des daneben gedruckten, gerundeten Radius 3,1831 den Wert 135,0950 ergibt — ein Unterschied in der letzten Stelle, und die Seite hat recht, denn die wahre Antwort gehört zu der eingetragenen 20 und nicht zu dem gerundeten Radius in der Anzeige. Die fünfte Zeile ist die Einheitskugel, bei der die gesamte Oberfläche 4π und das Volumen 4π/3 beträgt. Die sechste Zeile ist der Zufall, bei dem es sich anzuhalten lohnt: Bei einem Radius von einem Halb sind gesamte Oberfläche und Umfang des Großkreises beide 3,1416, weil sich 4πr² und 2πr genau dort schneiden. Die siebte Zeile hat den Radius null, jede Spalte ist dort null, und die Antwort ist echt und nicht etwa fehlend. Die letzte Zeile ist ein Durchmesser von 100, das Zehnfache des Radius aus der ersten Zeile, und die Skalierung wird daran sichtbar: der zehnfache Radius ergibt den zehnfachen Umfang, die hundertfache Oberfläche und das tausendfache Volumen. Jede Zahl wird beim Bau der Seite aus ihrer jeweiligen Eingabe neu berechnet, in Zentimetern, und die vier Nachkommastellen sind dieselben vier, die das Ergebnispanel verwendet. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (31.4159 statt 31,4159), weil die Spaltenwerte aus der Berechnung kommen und nicht aus einer Textvorlage.
Formel
V = 4⁄3 × πr³ A = 4πr² d = 2r C = 2πr
- Radius
- Der Abstand vom Mittelpunkt bis zur Oberfläche, in Zentimetern. Die eine Größe, auf der eine Kugel wirklich aufbaut — alles andere auf dieser Seite, auch die beiden anderen Eingabefelder, ist nur eine andere Schreibweise dafür
- Durchmesser
- Der Abstand quer durch die Mitte, in Zentimetern, also das Doppelte des Radius. Die Angabe für den Fall, dass die Kugel vor Ihnen liegt und ein Lineal darüber passt — so werden die meisten Bälle überhaupt erst bezeichnet
- Umfang des Großkreises
- Die Länge einmal rund um die breiteste Stelle, in Zentimetern, also 2πr. Die Angabe für den Fall, dass Sie nur ein Maßband haben und ausschließlich außen herumkommen — um einen Baumstamm, ein Rohr oder eine Kugel, die zu groß zum Überspannen ist
- Volumen
- Wie viel Raum die Kugel einnimmt, in Kubikzentimetern. Es ist der einzige Wert hier, der mit der dritten Potenz des Radius läuft, weshalb sich das Kugelvolumen bei größer werdenden Kugeln so schnell von den übrigen Werten entfernt
- Gesamte Oberfläche
- Wie viel Haut die Kugel hat, in Quadratzentimetern, also viermal die Fläche eines Kreises mit demselben Radius. Sie ist genau so groß wie die Mantelfläche des Zylinders, der die Kugel gerade eben umschließt
- 4⁄3 πr³
- Die Volumenformel, und die vier Drittel sind der Teil, den man sich merken sollte. Eine Kugel fasst genau zwei Drittel des Zylinders, der gerade um sie passt — das Ergebnis, das Archimedes sich auf seinen Grabstein meißeln ließ
- 4πr²
- Die gesamte Oberfläche, und die schlichte 4 lohnt neben den vier Dritteln des Volumens einen Blick. Sie ist die Fläche von vier ebenen Kreisen mit demselben Radius — ein Zufall der Analysis und nichts, was man durch Aufklappen sehen könnte
- Vier Dezimalstellen
- So breit wird jeder Wert geschrieben. Nur Radius und Durchmesser können exakt sein; Umfang des Großkreises, gesamte Oberfläche und Volumen tragen alle ein π, das Volumen zusätzlich eine dritte Potenz, ihre letzten Stellen sind also eine Anzeigebreite und keine Zusage
Diese Seite ist für alles runde Dreidimensionale gedacht, und die zwei Werte, die sie über eine Kreisseite hinaus liefert, sind genau die, auf die es bei realen Gegenständen ankommt. Das Volumen steht für Fassungsvermögen und Verdrängung: wie viel Luft ein Fußball hält, wie viel ein kugelförmiger Tank oder ein Gasbehälter fasst, wie schwer eine Kugellagerkugel bei bekannter Dichte ist, wie viel Auftrieb eine Boje liefert. Die gesamte Oberfläche steht für alles, was die Kugel einhüllt: Lack, die Lederbahnen eines Fußballs, eine Beschichtung auf einem Lager, die Kühlfläche eines Tropfens oder die Arzneimenge, die auf der Oberfläche eines Partikels aufgetragen wird. Ein dritter Fall läuft in die andere Richtung und ist der häufigste von allen: Sie haben eine Kugel und ein Maßband und möchten eine Zahl, an die Sie nicht herankommen. Den Umfang des Großkreises entlang des Äquators abgelesen und eingetragen, liefert die Seite Durchmesser und Volumen, ohne dass die Kugel aufgeschnitten werden muss — genau so werden Baumstämme, Rohre und ganze Planeten vermessen. Die Formelzeichen folgen der internationalen Schreibweise: A steht für die gesamte Oberfläche und C für den Umfang des Großkreises; deutsche Schulbücher schreiben an diesen beiden Stellen meist O und U.
Rechenbeispiele
Eine Kugel mit Radius 5
- Durchmesser: 2 × 5 = 10
- Umfang des Großkreises: 2 × π × 5 = 10π = 31,4159…
- Gesamte Oberfläche: 4 × π × 5² = 100π = 314,1593…
- Volumen: (4 ÷ 3) × π × 5³ = 500π ÷ 3 = 523,5987…, gerundet 523,5988
Die Eingabe, mit der die Seite startet. Die beiden π-Werte lassen sich als ganze Vielfache von π lesen: die gesamte Oberfläche ist 100π, das Volumen 500π/3. Diese Zeile ist außerdem die Stelle, an der sich die Kugel mit der Kreisseite vergleichen lässt — der Umfang des Großkreises von 31,4159 ist genau der Wert, den die Kreisseite für einen Radius von 5 ausgibt, denn einem Umfang ist es gleichgültig, ob er auf einem flachen Blatt gezeichnet oder um eine Kugel gelegt wird. Das Volumen ist der Wert, an dem die dritte Dimension sichtbar wird.
Eine Kugel mit Durchmesser 12
- Radius: 12 ÷ 2 = 6
- Umfang des Großkreises: 2 × π × 6 = 12π = 37,6991…
- Gesamte Oberfläche: 4 × π × 6² = 144π = 452,3893…
- Volumen: (4 ÷ 3) × π × 6³ = 288π = 904,7787…
Die Eingabe für den Fall, dass die Kugel vor Ihnen liegt: Der Durchmesser ist das, was ein Lineal quer durch die Mitte liefert, und Fußbälle, Lager und Planeten werden tatsächlich so angegeben. Alle Werte sind hier ganze Vielfache von π — 12π, 144π, 288π —, was immer dann passiert, wenn der Radius eine ganze Zahl ergibt, und ein gutes Zeichen dafür ist, dass die Rechnung stimmt.
Eine am Äquator gemessene Kugel
- Radius: 20 ÷ (2π) = 3,1830988…, gerundet 3,1831
- Durchmesser: 2 × 3,1830988… = 6,3661977…, gerundet 6,3662
- Gesamte Oberfläche: 4 × π × 3,1830988…² = 400 ÷ π = 127,3239…, gerundet 127,324
- Volumen: (4 ÷ 3) × π × 3,1830988…³ = 4000 ÷ 3π² = 135,0948…, gerundet 135,0949
Die Zeile, die man lesen sollte, wenn Sie diese Rechnung einmal von Hand nachvollziehen wollen, denn hier beißt sich frühes Runden. Der oben angezeigte Radius ist 3,1831 und damit bereits gerundet — hoch drei genommen ergibt er ein Volumen von 135,0950 statt der 135,0949, die die Seite meldet. Beide Zahlen lassen sich vertreten, richtig ist nur eine: Die wahre Antwort gehört zu der eingetragenen 20, und die 3,1831 ist nur deren Anzeige, nicht sie selbst. Diese Eingabe passt außerdem zu allem, um das Sie nur ein Maßband herumlegen können, etwa einen Baumstamm oder ein Rohr.
Eine Kugel mit Radius ein Halb
- Durchmesser: 2 × 0,5 = 1
- Umfang des Großkreises: 2 × π × 0,5 = π = 3,1416…
- Gesamte Oberfläche: 4 × π × 0,5² = π = 3,1416…
- Volumen: (4 ÷ 3) × π × 0,5³ = π ÷ 6 = 0,5236…
Die Zeile, bei der es sich anzuhalten lohnt: Umfang des Großkreises und gesamte Oberfläche kommen als dieselbe Zahl heraus, 3,1416, und das ist kein Versehen. Die beiden Formeln lauten 2πr und 4πr², und bei einem Radius von einem Halb schneiden sie sich — 2π × ½ und 4π × ¼ sind beide π. Unterhalb dieses Radius ist die gesamte Oberfläche die kleinere der beiden, oberhalb die größere. Es ist die Sorte Zufall, die nur auftaucht, wenn eine Länge und eine Fläche zufällig in derselben Einheit gemessen werden, und auf dieser Seite ist das der Fall.
Eine Kugel mit Radius null
- Durchmesser: 2 × 0 = 0
- Umfang des Großkreises: 2 × π × 0 = 0
- Gesamte Oberfläche: 4 × π × 0² = 0
- Volumen: (4 ÷ 3) × π × 0³ = 0
Eine Kugel ohne Ausdehnung ist ein einziger Punkt, und alle fünf Werte sind null. Die Null ist eine zulässige Eingabe und kein leeres Feld, eine Zeile aus Nullen ist also eine echte Antwort — die Seite unterscheidet sie davon, dass alle drei Felder leer bleiben, denn dann wird gar nichts angezeigt, weil es nichts zu rechnen gibt.
Einschränkungen
Diese Seite rechnet ausschließlich Kugeln: jeden Punkt der Oberfläche gleich weit vom Mittelpunkt entfernt. Ein Ei, ein Rugbyball oder die Erde selbst ist keine Kugel, und eine Halbkugel ebenso wenig — das ist eine aufgeschnittene Kugel mit einer zusätzlichen ebenen Fläche, deren Inhalt hier nicht mitgezählt wird. Volumen und gesamte Oberfläche lassen sich nicht eingeben; sie sind Antworten und keine Eingaben, eine über ihr Fassungsvermögen bezeichnete Kugel muss also zuerst anderswo auf einen Radius zurückgerechnet werden. Alle fünf Werte stehen in Zentimetern, Quadratzentimetern und Kubikzentimetern, unabhängig davon, welche Einheit im Auswahlfeld steht; ein in Zoll eingetragener Durchmesser liefert deshalb ein Ergebnis in Zentimetern, das Sie selbst umrechnen müssen. Vier Dezimalstellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit: Nur Radius und Durchmesser können exakt sein, die übrigen Werte tragen ein π, das Volumen zusätzlich eine dritte Potenz. Die Werte werden unabhängig voneinander aus dem exakten Radius gerundet, ein auf dieser Seite angezeigter Wert lässt sich daher nicht immer aus einem daneben stehenden zurückgewinnen — die wahre Antwort gehört zu der Zahl, die Sie eingetragen haben. Es darf genau ein Feld ausgefüllt sein; zwei gleichzeitig werden abgelehnt statt stillschweigend aufgelöst, denn ein Radius von 5 und ein Durchmesser von 10 sind dieselbe Kugel, ein Radius von 5 und ein Durchmesser von 12 dagegen nicht, und die Seite sagt das lieber, als sich für eines der beiden zu entscheiden. Nicht behandelt werden hier die Wandstärke einer Hohlkugel, das Material, aus dem eine Kugel besteht, und ihr Gewicht.
Häufige Fragen
- Warum darf ich nur ein Feld ausfüllen?
- Weil die drei Felder dieselbe Kugel beschreiben. Radius, Durchmesser und Umfang des Großkreises sind eine einzige Messung in drei verschiedenen Kleidern — füllen Sie eines davon aus, kennt die Seite die Kugel. Zwei auszufüllen wird abgelehnt statt aufgelöst, denn ein Radius von 5 und ein Durchmesser von 10 passen zusammen, ein Radius von 5 und ein Durchmesser von 12 dagegen nicht, und es gibt für die Seite keinen redlichen Weg, zu erraten, welche der beiden Angaben Sie gemeint haben.
- Warum kann ich nicht das Volumen eintragen und den Radius erhalten?
- Weil das eine andere Aufgabe ist und eine Kubikwurzel statt einer Multiplikation verlangt. Dasselbe gilt für die gesamte Oberfläche, für die eine Quadratwurzel nötig wäre. Beides ist völlig berechtigt, aber es sind getrennte Probleme, und diese Seite nimmt die drei Längen als Eingabe, um Volumen und Fläche als Antwort geben zu können. Das Rückwärtsrechnen hat eine eigene Seite.
- Gesamte Oberfläche und Umfang des Großkreises sind dieselbe Zahl — ist das ein Fehler?
- Nein — bei einem Radius von einem Halb sind sie tatsächlich gleich. Der Umfang des Großkreises ist 2πr, die gesamte Oberfläche 4πr², und bei r = ½ sind beides π. Unterhalb dieses Radius ist die Oberfläche kleiner als der Umfang, oberhalb ist sie größer. Es sind zwei verschiedene Arten von Größe, die Gleichheit ist also ein numerischer Zufall und keine Aussage darüber, dass eine Länge gleich einer Fläche wäre.
- Woher kommen die vier Drittel in der Volumenformel?
- Sie machen die Kugel zu genau zwei Dritteln des Zylinders, der gerade um sie herum passt. Archimedes hat das herausgefunden und für so bemerkenswert gehalten, dass er Kugel und Zylinder auf seinen Grabstein meißeln ließ. Das ist auch der Grund, warum die Volumenformel so viel schwerer aussieht als die für Quader und Prismen: Eine gekrümmte Oberfläche lässt sich nicht durch das Stapeln flacher Scheiben füllen, dazu braucht es die Analysis.
- Welche Angabe passt zu einer Kugel, um die ich nur herumkomme?
- Der Umfang des Großkreises. Legen Sie ein Maßband um die breiteste Stelle und tragen Sie diese Zahl ein, dann liefert die Seite Ihnen Durchmesser und Radius zusammen mit Volumen und gesamter Oberfläche. Baumstämme, Rohre und alles, was zu groß oder zu unhandlich zum Überspannen ist, werden so bemessen — deshalb ist der Umfang hier ein Eingabefeld und nicht bloß ein weiterer Wert.
- Soll die Antwort in Kubikzentimetern oder in Litern stehen?
- Die Seite gibt Kubikzentimeter aus, und die Umrechnung ist die übliche: Tausend Kubikzentimeter sind ein Liter, ein Volumen von 523,5988 cm³ ist also etwa 0,5236 Liter. Bei kleineren Volumina entspricht ein Milliliter genau einem Kubikzentimeter. Das Auswahlfeld ändert die Einheit Ihrer Eingabe, nicht die der Ausgabe; tragen Sie einen Durchmesser in Zoll ein, kommt die Antwort trotzdem in Zentimetern.
Quellen
- Sphere — the three-dimensional ball, with the volume and the surface area this page computes and the two-thirds relation to the enclosing cylinder — Wolfram MathWorld (United States)
- Circle — the same measurements in two dimensions, and the page next door where a circumference is an input rather than an echo — Wolfram MathWorld (United States)
- Volume — the general treatment of what the volume output measures, including the sphere among the solids whose volume has a closed form — Wolfram MathWorld (United States)
- Wichtige Grundkörper — Kugel, Zylinder, Kegel und Prisma als Grundkörper des Mathematikunterrichts, mit ihren Flächen- und Volumenformeln — Serlo Education e. V. (Deutschland)