Kugelvolumen-Rechner
Ergebnis
Volumen
Ein Kugelvolumen-Rechner nimmt ein Maß eines Balls — den Radius, den Durchmesser oder den Umfang des Großkreises — und gibt zurück, wie viel Raum die Kugel einnimmt, in Kubikzentimetern. Es ist die Kugelseite nebenan mit allem Übrigen abgeräumt. Jene Seite nimmt dieselben drei Eingaben und beantwortet fünf Fragen auf einmal; diese beantwortet die eine, mit der die Leute tatsächlich ankommen: wie viel ein Ball fasst, verdrängt oder an Material enthält. Die Formel lautet vier Drittel mal π mal Radius hoch drei, und ihre Gestalt verdient einen Moment. Nahezu jede Volumenformel dieser Gruppe ist eine Grundfläche mal einer Höhe, weil sich nahezu jeder Körper dieser Gruppe in flache Schichten zerlegen lässt, die sich stapeln lassen. Eine Kugel lässt sich so nicht zerlegen. Ihre Schichten ändern auf jeder Höhe ihre Größe, die Scheiben nahe dem Mittelpunkt sind weit und die an den Polen winzig, und sie aufzusummieren ist der Anlass, aus dem die Analysis überhaupt erfunden wurde. Die vier Drittel sind das Ergebnis dieser Summe, und die befriedigende Merkhilfe ist, dass sie die Kugel zu genau zwei Dritteln des kleinsten Zylinders machen, der um sie herum passt. Archimedes hat das herausgefunden und verlangt, Kugel und Zylinder auf seinen Grabstein zu meißeln. Das Zweite, was man wissen sollte, ist, wie schnell diese Zahl wächst. Das Volumen geht mit der dritten Potenz des Radius, eine Verdopplung der Größe vervielfacht das Volumen also mit acht, eine Verdreifachung mit siebenundzwanzig. Deshalb bewirkt eine kleine Änderung am Durchmesser eine große Änderung am Fassungsvermögen eines Tanks, und deshalb kann die Antwort hier sehr schnell sehr groß werden. Wer nur ein Maßband zur Hand hat, kann den Umfang des Großkreises eintragen und das Volumen direkt berechnen lassen.
Wie viel Raum eine Kugel einnimmt, aus je einer der drei Angaben eingetragen
| Eingabe | Radius (cm) | Durchmesser (cm) | Volumen (cm³) |
|---|---|---|---|
| r | 5 | 10 | 523.5988 |
| d | 6 | 12 | 904.7787 |
| C | 3.1831 | 6.3662 | 135.0949 |
| r | 10 | 20 | 4188.7902 |
| r | 1 | 2 | 4.1888 |
| r | 0.5 | 1 | 0.5236 |
| r | 0 | 0 | 0 |
| d | 50 | 100 | 523598.7756 |
Acht Kugeln und vier Spalten — zwei Spalten schmaler als die Kugelseite nebenan, die dieselben drei Eingaben nimmt und zusätzlich die gesamte Oberfläche und den Umfang des Großkreises ausgibt. Die erste Spalte sagt, welches Feld ausgefüllt wurde, und ohne sie wäre die Tabelle nicht lesbar, denn Radius und Durchmesser werden in jeder Zeile gedruckt. Die erste Zeile ist die Kugel, mit der die Seite startet, und die vierte ist eine der Zeilen, die sich gut mit ihr vergleichen lässt: ein Radius von 5 gegen einen Radius von 10, wobei sich der Radius verdoppelt hat und das Volumen von 523,5988 auf 4188,7902 gestiegen ist — auf das Achtfache, was die dritte Potenz in einem Schritt zeigt. Die dritte Zeile ist die, die man lesen sollte, wenn Sie von Hand rechnen: als Umfang des Großkreises von 20 eingetragen, beträgt das Volumen 135,0949, während die dritte Potenz des daneben gedruckten, gerundeten Radius 3,1831 den Wert 135,0950 ergibt. Die fünfte Zeile ist die Einheitskugel, bei der das Volumen 4π/3 beträgt und die gesamte Oberfläche der Kugelseite für denselben Ball 4π — zahlenmäßig ein Drittel davon. Die siebte Zeile hat den Radius null, die Kugel fasst dort nichts, und die Antwort ist echt und nicht etwa fehlend. Die letzte Zeile ist ein Durchmesser von 100, bei dem das Volumen auf über eine halbe Million Kubikzentimeter läuft — ein halber Kubikmeter Kugel, und eine Erinnerung daran, wie schnell diese Größe den Bereich alltäglicher Einheiten verlässt. Jede Zahl wird beim Bau der Seite aus ihrer jeweiligen Eingabe neu berechnet, in Zentimetern, und die vier Nachkommastellen sind dieselben vier, die das Ergebnispanel verwendet. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (523.5988 statt 523,5988), weil die Spaltenwerte aus der Berechnung kommen und nicht aus einer Textvorlage — und Tausender sind nicht gruppiert (4188 statt 4.188).
Formel
V = 4⁄3 × πr³ r = d ÷ 2 r = C ÷ 2π
- Radius
- Der Abstand vom Mittelpunkt bis zur Oberfläche, in Zentimetern. Die eine Größe, aus der das Volumen wirklich besteht — die beiden anderen Felder sind nur andere Wege, zu ihr zu gelangen
- Durchmesser
- Der Abstand quer durch die Mitte, in Zentimetern; die Seite halbiert ihn, um den Radius zu erhalten. Das Feld für den Fall, dass der Ball vor Ihnen liegt und ein Lineal quer darüber die einfachste Messung ist
- Umfang des Großkreises
- Die Länge einmal rund um die breiteste Stelle, in Zentimetern; die Seite teilt sie durch 2π, um den Radius zu erhalten. Das Feld für den Fall, dass ein Maßband außen herum alles ist, was Sie zustande bringen
- Volumen
- Wie viel Raum der Ball einnimmt, in Kubikzentimetern. Der einzige Ausgabewert dieser Seite und die einzige Größe hier, die mit der dritten Potenz der Größe wächst statt mit der Größe selbst
- 4⁄3 πr³
- Die Formel, und die vier Drittel sind der Teil, der etwas bedeutet. Sie machen den Ball zu zwei Dritteln des Zylinders, der gerade um ihn passt — eine Tatsache über Kugeln und keine Eigenheit der Rechnung
- r³
- Der Radius hoch drei, und der Grund, warum diese Seite aus bescheidenen Eingaben große Zahlen machen kann. Eine Verdopplung des Radius vervielfacht das Volumen mit acht; das gilt für eine Murmel genauso wie für einen Planeten
- Vier Dezimalstellen
- So breit wird der Wert geschrieben. Das Volumen trägt immer ein π und eine dritte Potenz, exakt ist es also nur beim Radius null — die vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit
Diese Seite ist für Fassungsvermögen, Verdrängung und Material gedacht, und diese drei decken zusammen fast alles ab, was man von einem Ball überhaupt wissen will. Fassungsvermögen: wie viel ein kugelförmiger Tank, ein Gasbehälter oder ein Wasserturm fasst, wie viel Luft in einem Fußball steckt, wie viel Eis eine Kugel Eis liefert. Verdrängung: wie viel Wasser eine Boje oder ein Rumpf beiseiteschiebt — dasselbe wie ihr Volumen, und genau das entscheidet, ob sie schwimmt und wie viel sie tragen kann. Material: wie viel Stahl in einer Kugellagerkugel steckt, wie viel Beton eine Kuppelfüllung braucht, wie viel ein Ball aus Teig oder Ton wiegt, sobald man seine Dichte kennt. Es ist außerdem die Gestalt sehr vieler Dinge, die nur ungefähr Kugeln sind, und die Näherung reicht meistens aus — ein Ei, ein Tropfen, ein Hagelkorn, ein Planet mit leichter Äquatorwölbung. Und es gibt die umgekehrte Verwendung: Ist ein Volumen vorgegeben, das ein Behälter fassen muss, sagt diese Seite Ihnen, wie groß die Kugel dafür sein müsste, denn zwischen beidem steht nur eine Kubikwurzel. Die Formelzeichen folgen der internationalen Schreibweise: C steht für den Umfang des Großkreises, den deutsche Schulbücher meist mit U bezeichnen.
Rechenbeispiele
Eine Kugel mit Radius 5
- Radius hoch drei: 5³ = 125
- Mit π und vier Dritteln multiplizieren: (4 ÷ 3) × π × 125 = 500π ÷ 3
- 500π ÷ 3 = 523,5987…, gerundet 523,5988
Die Eingabe, mit der die Seite startet, und die Zeile, an der sich die Formel prüfen lässt: das Volumen ist 500π/3, das Ganze also ein sauberes Vielfaches von π. Fünf Zentimeter sind etwas weniger als ein Tennisball, und die Antwort — etwas mehr als ein halber Liter — ist eine Größe, für die es sich lohnt, ein Gefühl zu haben, denn mit solchen Mengen hantiert ein Rezept oder ein kleiner Behälter.
Eine Kugel mit Durchmesser 12
- Radius: 12 ÷ 2 = 6
- Radius hoch drei: 6³ = 216
- Mit π und vier Dritteln multiplizieren: (4 ÷ 3) × π × 216 = 288π
- 288π = 904,7786…, gerundet 904,7787
Die Eingabe für den Fall, dass der Ball in Ihrer Hand liegt, denn der Durchmesser ist das, was ein Lineal quer durch die Mitte liefert, und die meisten Bälle werden so angegeben. Die Antwort ist 288π, wieder ein ganzes Vielfaches von π, was immer dann passiert, wenn der Radius eine ganze Zahl ergibt. Vergleichen Sie sie mit der Zeile darüber: Der Radius ist um ein Fünftel gewachsen, von 5 auf 6, das Volumen dagegen um mehr als zwei Drittel, von 523,5988 auf 904,7787.
Eine am Äquator gemessene Kugel
- Radius: 20 ÷ (2π) = 3,1830988…
- Radius hoch drei: 3,1830988…³ = 32,2519…
- Mit π und vier Dritteln multiplizieren: (4 ÷ 3) × π × 32,2519… = 4000 ÷ 3π²
- 4000 ÷ 3π² = 135,0948…, gerundet 135,0949
Die Zeile, die man lesen sollte, wenn Sie diese Rechnung selbst nachvollziehen wollen, denn hier geht frühes Runden schief. Die Kugelseite gibt für diesen Ball den Radius 3,1831 aus, was genau aussieht und es nicht ist: hoch drei genommen und ausmultipliziert ergibt er 135,0950. Die Seite meldet 135,0949 und die Seite hat recht, denn die wahre Antwort gehört zu der eingetragenen 20 und nicht zu dem gerundeten Radius in der Anzeige. Die beiden Werte unterscheiden sich in der letzten Stelle und sonst nirgends — genau die Sorte Fehler, die eine Plausibilitätsprüfung übersteht.
Eine Kugel mit Radius 1
- Radius hoch drei: 1³ = 1
- Mit π und vier Dritteln multiplizieren: (4 ÷ 3) × π × 1 = 4π ÷ 3
- 4π ÷ 3 = 4,18879…, gerundet 4,1888
Die Einheitskugel und die Zeile, die zeigt, was die vier Drittel eigentlich sind: das Volumen ist 4π/3, und die gesamte Oberfläche, die die Kugelseite für denselben Ball ausgibt, ist 4π. Das Volumen ist damit zahlenmäßig ein Drittel der Oberfläche, was ein Zufall des Radius eins ist und keine allgemeine Regel — aber ein bequemes Zahlenpaar zum Merken, und es macht die beiden Formeln leicht auseinanderzuhalten.
Eine Kugel mit Radius null
- Radius hoch drei: 0³ = 0
- Mit π und vier Dritteln multiplizieren: (4 ÷ 3) × π × 0 = 0
Eine Kugel ohne Ausdehnung ist ein Punkt und fasst nichts. Die Null ist eine zulässige Eingabe und kein leeres Feld, das hier ist also eine echte Antwort — die Seite unterscheidet sie davon, dass alle drei Felder leer bleiben, denn dann wird gar kein Ergebnis angezeigt, weil es nichts zu rechnen gibt.
Einschränkungen
Diese Seite rechnet ausschließlich Kugeln: jeden Punkt der Oberfläche gleich weit vom Mittelpunkt entfernt. Ein Ei, ein Rugbyball oder ein leicht abgeflachter Planet ist keine Kugel, und eine Halbkugel ebenso wenig — sie ist eine halbierte Kugel und fasst genau die Hälfte dessen, was hier berechnet wird, während ihre Oberfläche nicht die Hälfte beträgt. Das Volumen lässt sich nicht eingeben; eine über ihr Fassungsvermögen bezeichnete Kugel muss also zuerst anderswo auf einen Radius zurückgerechnet werden. Der Wert steht in Kubikzentimetern, unabhängig davon, welche Einheit im Auswahlfeld steht; ein in Zoll eingetragener Durchmesser liefert deshalb eine Antwort in Zentimetern, die Sie selbst umrechnen müssen — und da es ein Volumen ist, ist die Umrechnung eine dritte Potenz: Kubikzoll in Kubikzentimeter ist ein Faktor von etwa 16,4 und nicht von 2,54. Vier Dezimalstellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit, denn das Volumen trägt immer ein π und eine dritte Potenz. Es darf genau ein Feld ausgefüllt sein; zwei gleichzeitig werden abgelehnt statt stillschweigend aufgelöst. Nicht behandelt werden die Wandstärke einer Hohlkugel, das Material, aus dem ein Ball besteht, und sein Gewicht, und diese Seite gibt auch keine Oberfläche aus — die Kugelseite nebenan druckt sie für dieselben drei Eingaben zusammen mit dem Volumen.
Häufige Fragen
- Worin unterscheidet sich diese Seite vom Kugelrechner?
- Die Eingaben sind identisch — dieselben drei Felder, dieselbe Regel, genau eines davon auszufüllen. Der Unterschied liegt in dem, was zurückkommt. Die Kugelseite gibt fünf Werte aus: das Volumen, die gesamte Oberfläche und die drei Längen. Diese Seite gibt das Volumen aus und sonst nichts, weil es der eine Wert ist, mit dem die Leute üblicherweise ankommen, und weil das Weglassen des Rests ihn zum einzigen auf dem Bildschirm macht.
- Warum wächst das Volumen so viel schneller als der Durchmesser?
- Weil es mit der dritten Potenz des Radius geht, während der Durchmesser nur mit dem Radius selbst geht. Verdoppeln Sie den Durchmesser eines Balls, steigt sein Volumen auf das Achtfache; verdreifachen Sie ihn, auf das Siebenundzwanzigfache. Deshalb bewirkt eine kleine Änderung an der Größe eines Tanks eine große Änderung an dem, was er fasst, und deshalb kann die Antwort hier aus einer bescheiden wirkenden Eingabe sehr groß werden.
- Woher kommen die vier Drittel?
- Sie machen den Ball zu genau zwei Dritteln des kleinsten Zylinders, der um ihn herum passt — mit demselben Radius und einer Höhe von zweimal dem Radius. Archimedes hat das bewiesen und verlangt, Kugel und Zylinder auf seinen Grabstein zu meißeln. Das ist auch der Grund, warum die Formel überhaupt einen Bruch enthält: Eine Kugel ist kein Stapel flacher Schichten, und die Analysis, die ihre gekrümmten aufsummiert, erzeugt die vier Drittel.
- Meine eigene Rechnung ergibt 135,0950, die Seite sagt 135,0949. Was stimmt?
- Die Seite. Der Radius dieses Balls ist 10/π, also 3,1830988…, und der auf dem Bildschirm angezeigte Radius ist auf 3,1831 gerundet. Die dritte Potenz dieses gerundeten Werts erzeugt die 135,0950 — der Unterschied liegt in der letzten Stelle und stammt vollständig vom frühen Runden. Die wahre Antwort gehört zu der Zahl, die Sie eingetragen haben, und die Seite behält den exakten Radius intern bis zum Schluss.
- Kann ich aus einem Volumen den Radius zurückgewinnen?
- Auf dieser Seite nicht — das Volumen ist eine Ausgabe und keine Eingabe. Möglich ist es durchaus, denn der Radius ist die Kubikwurzel aus dem Dreifachen des Volumens geteilt durch vier π, aber das ist eine andere Rechenart, und die Seite führt sie nicht aus. Wenn Sie wissen, wie viel ein Behälter fassen muss, und wissen wollen, wie groß eine Kugel dafür wäre, ist das die getrennt durchzuführende Rechnung.
- Soll die Antwort in Litern stehen?
- Die Seite gibt Kubikzentimeter aus, und tausend davon sind ein Liter — 523,5988 cm³ sind also etwa 0,524 Liter, und ein Milliliter ist ein Kubikzentimeter. Bei größeren Kugeln werden die Zahlen schnell groß: Eine Kugel von einem Meter Durchmesser fasst über einen halben Kubikmeter, also mehr als fünfhundert Liter. Das Auswahlfeld ändert die Einheit Ihrer Eingabe, nicht die der Ausgabe.
Quellen
- Sphere — the ball itself, with the volume formula this page computes and the two-thirds relation to the cylinder that just contains it — Wolfram MathWorld (United States)
- Volume — what a volume is in general and how it is defined for a curved solid, which is the part of the sphere that cannot be reached by stacking flat slices — Wolfram MathWorld (United States)
- Cylinder — the solid a sphere fits inside, whose volume the sphere takes exactly two thirds of, and the shape most nearly comparable to it — Wolfram MathWorld (United States)
- Volumenberechnung — das Volumen von Würfel, Quader, Zylinder, Kegel und Kugel im Überblick, mit den Formeln und ihren Herleitungen — Serlo Education e. V. (Deutschland)