Kegelvolumen-Rechner

V = πr²h ÷ 3 l = √(r² + h²) Mantelfläche = πrl Gesamte Oberfläche = πr(l + r)

r

Der Radius der kreisförmigen Grundfläche, in Zentimetern. Pflichtfeld, und null ist zulässig: Ein Kegel mit Radius null ist eine senkrechte Strecke, die auf einem Punkt steht

h

Die senkrechte Höhe vom Mittelpunkt der Grundfläche gerade hinauf zur Spitze, in Zentimetern. Pflichtfeld, und es ist nicht die Mantellinie — die beiden sind bei jedem Kegel verschiedene Zahlen, außer im entarteten Fall der Höhe null

l

Die Mantellinie, der Abstand von der Spitze die Seite hinunter bis zum Rand. Sie ist die Hypotenuse des Dreiecks aus Radius, Höhe und Seite, also immer länger als beide. Sie ist der einzige der vier Werte, der regelmäßig exakt aufgeht, denn ein ganzzahliger Radius und eine ganzzahlige Höhe können eine ganzzahlige Mantellinie ergeben

V

Das Volumen in Kubikzentimetern, ein Drittel der Grundfläche mal der Höhe. Das Drittel ist der ganze Unterschied zwischen dieser Seite und der Zylinderseite, wo derselbe Ausdruck keinen Divisor hat

Mantelfläche

Die Fläche der gewölbten Mantelfläche allein, π mal Radius mal Mantellinie. Sie enthält die Grundfläche nicht. Zu beachten ist, dass sie die Mantellinie verwendet und nicht die Höhe — das ist der häufigste Verwechslungsfehler bei dieser Form

Gesamte Oberfläche

Die gewölbte Fläche plus die kreisförmige Grundfläche, zusammengefasst π mal Radius mal Mantellinie plus Radius. Sie wird in einem Schritt aus Radius und Mantellinie gerechnet und nicht durch Addieren der beiden Flächen, sie ist also nicht immer die Mantelfläche auf dem Bildschirm plus πr²

Zwei Nachkommastellen

So breit wird jeder Wert geschrieben. Volumen und die beiden Flächen sind für fast jede Eingabe irrational; die Mantellinie geht exakt auf, sobald Radius und Höhe ein pythagoreisches Tripel bilden, weshalb die Voreinstellungen der Seite auf Null enden

Die naheliegenden Aufgaben sind die, bei denen ein Kegel vor Ihnen steht und Sie eine Zahl darüber brauchen. Ein kegelförmiger Haufen Kies oder Getreide, bei dem Sie die Breite der Grundfläche und die Höhe messen können, während die schräge Seite im Material steckt. Ein Kegeldach oder eine Turmspitze, bei der die schräge Fläche eingedeckt werden muss und die Mantellinie die Zahl ist, nach der die Deckung abgerechnet wird. Ein Trichter, ein Silo, ein Pappbecher, ein Partyhut — das Volumen sagt, was hineinpasst, und die Mantelfläche sagt, wie viel Material die Herstellung braucht, und das sind zwei verschiedene Fragen mit zwei verschiedenen Antworten auf derselben Seite. Die dritte Frage, die die Seite beantwortet, ist die vergleichende. Zwischen einem Kegel und einem Zylinder zu wählen ist bei Behältern und bei der Lagerung eine echte Entscheidung, und der Vergleich ist immer derselbe Faktor drei: Der Zylinder mit gleicher Grundfläche und Höhe fasst genau dreimal so viel, ein kegelförmiger Trichter von gegebener Grundfläche also ein Drittel dessen, was ein zylindrischer fasst. Zwei Gewohnheiten lohnen sich. Die Mantellinie ist immer die längste der drei Längen im Dreieck die Seite hinunter, eine Mantellinie, die kürzer ausfällt als die Höhe, heißt also, dass die beiden Felder vertauscht wurden. Und die Mantelfläche ist immer kleiner als die gesamte Oberfläche, da die Gesamtsumme die Mantelfläche plus die Grundfläche ist, eine Gesamtsumme unter der Mantelfläche ist also ein Zeichen dafür, dass etwas abgezogen statt addiert wurde.

1. Ein Radius von drei und eine Höhe von vier

   1. Mantellinie: √(3² + 4²) = √25 = 5
   2. Volumen: π × 3² × 4 ÷ 3 = π × 36 ÷ 3 = 12π = 37,6991…, gerundet 37,70
   3. Mantelfläche: π × 3 × 5 = 15π = 47,1239…, gerundet 47,12
   4. Gesamte Oberfläche: π × 3 × (5 + 3) = 24π = 75,3982…, gerundet 75,40

   Die Eingabe, mit der die Seite startet, und die einzige in dieser Reihe, bei der jeder Schritt im Kopf geht: Drei und vier ergeben eine Hypotenuse von genau fünf, die Mantellinie ist also eine ganze Zahl und die beiden Flächen sind ganze Vielfache von π. Zu beachten ist die Volumenrechnung — die Grundfläche ist neun π, und ein Drittel davon mal vier ist zwölf π, weshalb die Antwort knapp unter achtunddreißig liegt und nicht knapp über hundert. Ein Kegel dieser Größe fasst etwa achtunddreißig Milliliter, was nützlich zu wissen ist, wenn ein Ergebnis um den Faktor drei danebenzuliegen scheint.

2. Ein Radius von fünf und eine Höhe von zwölf

   1. Mantellinie: √(25 + 144) = √169 = 13
   2. Volumen: π × 25 × 12 ÷ 3 = 100π = 314,1592…, gerundet 314,16
   3. Mantelfläche: π × 5 × 13 = 65π = 204,2035…, gerundet 204,20
   4. Gesamte Oberfläche: π × 5 × (13 + 5) = 90π = 282,7433…, gerundet 282,74

   Das andere bekannte ganzzahlige Tripel und ein höherer, schmalerer Kegel als die Voreinstellung. Auffällig ist, wie nah das Volumen an einer runden Zahl liegt: Hundert π sind 314,16, ein Kegel mit Radius fünf und Höhe zwölf fasst also fast genau einen Liter. Das ist die Sorte Zufall, die man als Probe verwenden kann, wenn man in Zentimetern arbeitet — hundert π Kubikzentimeter sind das Hundertfache eines Einheitswürfels mal π, und die Zahlen auf dem Bildschirm sollten etwas über dreihundert liegen.

3. Ein Radius von sechs und eine Höhe von acht, wo zwei Antworten zusammenfallen

   1. Mantellinie: √(36 + 64) = √100 = 10
   2. Volumen: π × 36 × 8 ÷ 3 = 96π = 301,5928…, gerundet 301,59
   3. Mantelfläche: π × 6 × 10 = 60π = 188,4955…, gerundet 188,50
   4. Gesamte Oberfläche: π × 6 × (10 + 6) = 96π = 301,5928…, gerundet 301,59

   Die Zeile in der Tabelle darunter, die als Fehler gemeldet wird. Volumen und gesamte Oberfläche sind dieselbe Zahl, 301,59, und das ist Arithmetik und keine doppelt gedruckte Spalte: Das Volumen ergibt 96π, und die gesamte Oberfläche ergibt ebenfalls 96π, weil der Ausdruck πr(l + r) bei einer Mantellinie von zehn zu π × 6 × 16 wird, also zu denselben sechsundneunzig π wie der Volumenbruch. Die beiden sind keine gleichartigen Größen — die eine ist in Kubikzentimetern, die andere in Quadratzentimetern —, die Übereinstimmung liegt also allein in den Ziffern. Sie entsteht, weil dieser besondere Kegel eine Mantellinie von acht und einen Radius und eine Höhe hat, die ein Tripel bilden; es ist keine Regel, und die benachbarten Zeilen teilen sie nicht.

4. Ein Radius gleich der Höhe

   1. Mantellinie: √(100 + 100) = √200 = 14,1421…, gerundet 14,14
   2. Volumen: π × 100 × 10 ÷ 3 = 1000π ÷ 3 = 1047,1975…, gerundet 1047,20
   3. Mantelfläche: π × 10 × 14,1421… = 444,2883…, gerundet 444,29
   4. Gesamte Oberfläche: π × 10 × (14,1421… + 10) = 758,4479…, gerundet 758,45

   Ein Kegel, so hoch wie seine Grundfläche im Radius breit ist, wodurch das Dreieck gleichschenklig wird und die Mantellinie genau der Radius mal der Quadratwurzel aus zwei ist. Diese Wurzel ist irrational, das ist also der Normalfall: eine Mantellinie, die nie endet, und zwei Flächen, die ihr folgen. Es ist zugleich der Fall, in dem sich die Volumenformel am leichtesten lesen lässt — tausend π durch drei —, und der Fall, in dem jemand, der das Drittel vergessen hat, auf 3141,59 landet, also auf genau das Dreifache zu viel. Der Faktor drei ist der häufigste Fehler auf dieser Seite.

5. Eine Höhe von null

   1. Mantellinie: √(16 + 0) = 4, also gleich dem Radius, weil die Spitze überhaupt nicht angehoben wurde
   2. Volumen: π × 16 × 0 ÷ 3 = 0, weil keine Höhe da ist, die etwas hergäbe
   3. Mantelfläche: π × 4 × 4 = 16π = 50,2655…, gerundet 50,27
   4. Gesamte Oberfläche: π × 4 × (4 + 4) = 32π = 100,5310…, gerundet 100,53

   Eine zulässige Eingabe mit einer überraschenden Zeile: Das Volumen ist null und die drei anderen Antworten sind es nicht. Ein Kegel der Höhe null ist eine flache Scheibe — über der Grundfläche steht nichts, er fasst also nichts, aber seine gewölbte Fläche ist nicht verschwunden, sie liegt nun flach als zweite Scheibe derselben Größe, und die Gesamtfläche der beiden Seiten ist das Doppelte einer einzelnen Scheibe. Das lohnt sich einmal anzusehen, weil ein Volumen von null neben drei Werten ungleich null wie eine halb gescheiterte Rechnung aussieht und es nicht ist. Es ist zugleich die Eingabe, die die oben beschriebene Abkürzung entlarvt: Die gesamte Oberfläche ist hier πr² + πr², also genau die verdoppelte Mantelfläche, und eine Seite, die die beiden addieren würde, käme in dieser Zeile auf dasselbe und in der ersten Zeile auf etwas anderes.

Jeder Wert steht in Zentimetern, Quadratzentimetern und Kubikzentimetern, unabhängig davon, wie die Auswahlfelder der Eingabe stehen. Zoll zu wählen ändert, wie Ihre Zahlen beim Eingeben gelesen werden, und nichts an den Ergebnissen; ein als vier Zoll mal sechs Zoll eingegebener Kegel kommt also mit einem Volumen in Kubikzentimetern zurück. Das ist Absicht, und die Tabelle darunter folgt derselben Regel, aber die Antwort muss umgerechnet werden, wenn Sie sie in der Einheit haben wollten, die Sie eingetippt haben. Das Volumen wird in Kubikzentimetern angegeben und nicht in Litern oder Millilitern, die in derselben Dimension andere Einheiten sind; brauchen Sie Liter, teilen Sie durch 1.000, und brauchen Sie Milliliter, so ist die Zahl der Kubikzentimeter die Zahl der Milliliter. Drei der vier Antworten enthalten π und sind damit für fast jede Eingabe irrational, die zwei Nachkommastellen sind also ein Abschneiden und keine vollständige Antwort. Die vier Antworten werden direkt aus Ihrem Radius und Ihrer Höhe gerechnet und niemals auseinander, die gesamte Oberfläche ist also nicht immer die Mantelfläche auf dem Bildschirm plus die Grundfläche auf dem Bildschirm — es ist derselbe Ausdruck in einem Schritt ausgewertet, und ihn aus der ausgegebenen Mantelfläche zu rekonstruieren kann in der letzten Stelle abweichen. Die Seite nimmt zwei Maße und gibt vier; sie rechnet nicht von einem Volumen auf einen Radius zurück, und sie hat kein Feld für die Mantellinie, ein Kegel, dessen Mantellinie messbar ist, dessen Höhe aber im Material steckt, lässt sich hier also nicht direkt eingeben. Die Höhe ist die senkrechte Höhe und nicht die Mantellinie, und die Seite kann nicht erkennen, dass die beiden verwechselt wurden — wer eine Mantellinie in das Höhenfeld schreibt, bekommt vier Antworten, die alle in sich stimmig und alle falsch sind. Mindestens eine der beiden Eingaben muss von null verschieden sein, damit eine sinnvolle Antwort herauskommt, wobei beide null sein dürfen, wenn Sie die Arithmetik und nicht die Form wollen. Und schließlich ist dies ein gerader Kreiskegel mit der Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche; ein seitlich geneigter Kegel oder einer mit einer Ellipse als Grundfläche ist ein anderer Körper, für den die Formeln dieser Seite nicht gelten.

Warum wird das Volumen durch drei geteilt?

Weil ein Kegel genau ein Drittel dessen fasst, was ein Zylinder mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe fasst. Nehmen Sie die Grundfläche mal der Höhe, haben Sie das Volumen dieses Zylinders; der Kegel ist ein Drittel davon. Dieselbe Beziehung gilt zwischen einer Pyramide und dem Prisma, in das sie passen würde, und es ist der am häufigsten vergessene Faktor dieser Rechnung — ein Ergebnis, das dreimal zu groß ist, hat fast immer ein fehlendes Drittel und keinen Rechenfehler.

Ist die Höhe dasselbe wie die Mantellinie?

Nein, und das ist der Fehler, zu dem diese Form am stärksten einlädt. Die Höhe wird gerade hinauf vom Mittelpunkt der Grundfläche zur Spitze gemessen. Die Mantellinie wird entlang der Oberfläche gemessen, von der Spitze hinunter zum Rand, sie ist also die Hypotenuse des Dreiecks aus Radius, Höhe und Seite und immer länger als die beiden anderen. Das Volumen verwendet die Höhe. Die Mantelfläche verwendet die Mantellinie. Die beiden zu verwechseln ergibt eine Antwort, die um einen Faktor danebenliegt, der davon abhängt, wie hoch der Kegel ist, und die Seite kann das nicht erkennen.

Wie rechne ich die Mantellinie aus?

Sie ist die Quadratwurzel aus dem Quadrat des Radius plus dem Quadrat der Höhe, also der Satz des Pythagoras, angewendet auf das Dreieck die Seite des Kegels hinunter. Ein Radius von drei und eine Höhe von vier ergeben eine Mantellinie von genau fünf, und deshalb stehen diese Zahlen in den Feldern, wenn die Seite geöffnet wird: Jeder Schritt ist im Kopf nachzurechnen. Die meisten Zahlenpaare gehen nicht so glatt auf, die Mantellinie ist dann eine irrationale Zahl, gerundet auf zwei Nachkommastellen.

Warum ist die gesamte Oberfläche nicht die Mantelfläche plus die Grundfläche?

In exakter Arithmetik ist sie das, und die Seite verwendet die zusammengefasste Form πr(l + r) statt zweier getrennt gerundeter Stücke. Der Unterschied zeigt sich in den gedruckten Ziffern: Die Mantelfläche wird auf zwei Stellen gerundet, bevor Sie sie überhaupt sehen, sie zur Grundfläche zu addieren kann also ein Hundertstel neben der Antwort der Seite landen. Die Zahl der Seite ist die aus Radius und Mantellinie in einem Schritt gerechnete, und ihr ist zu trauen.

Warum steht die Antwort in Zentimetern, wenn ich Zoll eingegeben habe?

Weil diese Seite alles in Zentimetern, Quadratzentimetern und Kubikzentimetern ausgibt, unabhängig von den Auswahlfeldern, damit die Ergebnisse und die Tabelle darunter immer übereinstimmen. Das Auswahlfeld ändert, wie Ihre Zahl beim Eingeben verstanden wird. Zum Umrechnen teilen Sie die Länge durch 2,54, die Flächen durch 6,4516 und das Volumen durch 16,387; oder Sie lassen die Umrechnung bis zum Schluss liegen und ändern die Einheit der Antwort, was meist weniger Arbeit ist.

Dürfen Radius oder Höhe null sein?

Ja, und beide ergeben echte Antworten statt leerer. Eine Höhe von null plättet den Kegel zu einer Scheibe: Das Volumen ist null, weil über der Grundfläche nichts steht, aber die gewölbte Fläche ist zu einer zweiten Scheibe geworden, die Mantelfläche ist also gleich der Grundfläche und die gesamte Oberfläche doppelt so groß. Ein Radius von null lässt den Kegel zu einer senkrechten Strecke zusammenfallen: Volumen und beide Flächen sind null, während die Mantellinie gleich der Höhe ist. Beides null ergibt überall null.

• Kegel — der gerade Kreiskegel mit Grundfläche, Spitze, Höhe, Radius und Mantellinie, seinen Formelzeichen und den Größen, die sich daran berechnen lassen — Rhetos Lexikon (Deutschland)
• Mantellinie — was die Mantellinie eines Körpers ist und wie sie bei Kegel, Kegelstumpf und Zylinder verläuft — Rhetos Lexikon (Deutschland)
• Cone — the solid formed by a circular base and an apex, with the volume one third of the base area times the height and the lateral area πrl; the entry traces the one-third result to Eudoxus, with later proofs by Archimedes and by Euclid — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean Theorem — the relation that gives the slant height from the radius and the perpendicular height, since those two are the legs of the right triangle down the side of the cone — Wolfram MathWorld (United States)