Pyramidenvolumen-Rechner

V = A × h ÷ 3

A

Die Grundfläche, in Quadratzentimetern. Sie wird als Fläche abgefragt und nicht als Paar von Kantenlängen, weil die Grundfläche ein beliebiges Vieleck sein kann: Die Formel benutzt sie nur darüber, wie viel Boden sie bedeckt, also ergeben eine quadratische Grundfläche von 36 Quadratzentimetern und eine sechseckige von 36 Quadratzentimetern bei gleicher Höhe dasselbe Volumen. Die Fläche auszurechnen ist ein eigener Schritt, und die Flächenrechner für Rechtecke, Dreiecke, Kreise und regelmäßige Vielecke stehen alle auf dieser Seite

h

Die Höhe, in Zentimetern: der senkrechte Abstand von der Grundfläche hinauf zur Spitze, nicht die Länge entlang einer schrägen Kante. Das ist das einzige Maß an einer Pyramide, das man nicht mit dem Band an der Oberfläche abgreifen kann, und das, was am häufigsten verwechselt wird — eine Seitenkante ist immer länger als die Höhe, denn sie ist die Hypotenuse eines Dreiecks, dessen andere Seiten die Höhe und die halbe Grundflächendiagonale sind

V

Das Volumen, in Kubikzentimetern. Es ist ein Drittel dessen, was ein Prisma mit derselben Grundfläche und Höhe fassen würde, und das ist der ganze Inhalt der Formel: Drei Exemplare der Pyramide füllen das Prisma genau, gleich welcher Form die Grundfläche ist. Ausgegeben werden zwei Nachkommastellen statt vier, weil die Division durch drei die einzige Rechnung in dieser Familie ist, die ganze Zahlen zuverlässig in periodische Dezimalzahlen verwandelt — eine Grundfläche von 1 und eine Höhe von 1 ergeben 0,33, und die nützliche Lesart ist, dass es ein Drittel ist

÷ 3

Die Konstante, die eine Pyramide zu einer Pyramide macht. Sie stammt daher, dass drei kongruente Pyramiden sich zu einem Prisma mit derselben Grundfläche und Höhe zusammensetzen, die Pyramide also genau ein Drittel des Prismas ist — nicht ungefähr, und nicht nur bei quadratischer Grundfläche. Es ist dieselbe Division wie auf der Seite zum Kegelvolumen, denn ein Kegel ist eine Pyramide, deren Grundfläche zufällig ein Kreis ist

Nutzen Sie diese Seite, wenn Sie eine Pyramide haben und wissen wollen, wie viel hineinpasst oder wie viel Material darin steckt, und wenn Sie für die Grundfläche eine Zahl als Fläche angeben können. Diese letzte Bedingung entscheidet, ob es die richtige Seite ist. Ist die Grundfläche ein Quadrat oder ein Rechteck und kennen Sie ihre zwei Seiten, ist die Rechnung kurz genug für den Kopf, und die Flächenrechner auf dieser Seite liefern die Grundfläche in einem Schritt; ist die Grundfläche ein Sechseck oder ein Fünfeck oder ein unregelmäßiger Umriss, den Sie anders gemessen haben, gehört diese Fläche hier hinein. Die Formel ist außerdem die schnellste Plausibilitätsprüfung für jeden pyramidenförmigen Gegenstand: Was auch immer die Grundfläche ist, die Form fasst ein Drittel dessen, was eine Kiste mit gleicher Standfläche und gleicher Höhe fassen würde. Das lohnt es, anzuwenden, bevor man einer Zahl glaubt — ein pyramidenförmiges Dach über 100 Quadratmetern Standfläche bei 9 Metern Höhe umschließt 300 Kubikmeter Raum, während dasselbe Dach zu einer Kiste mit flachem Deckel hochgezogen 900 umschließen würde, und der Unterschied zwischen diesen beiden Zahlen ist der Grund, aus dem Pyramidendächer so aussehen, wie sie aussehen. Zwei kleinere Verwendungen lohnen eine Erwähnung. Eine Pyramide aus massivem Material herauszuschneiden ist eine Volumenfrage nach Abfall: Aus einem Block herausgearbeitet bleiben zwei Drittel des Blocks übrig, und das ist der handgreiflichste Unterschied zwischen dem Herausschneiden einer Form aus Material und ihrem Gießen. Und eine Pyramide zu füllen — ein Trichter, ein Getreidebehälter, ein kegelförmiger Kieshaufen, eine Sanduhr — ist diese Seite mit der Grundfläche als Bodenfläche, wo die Antwort die Kapazität ist und dieselbe Antwort herauskommt, die eine Kegelseite für den runden Fall gäbe. Ist Ihre Pyramide nicht gerade wandig oder sitzt die Spitze nicht über der Mitte der Grundfläche, gilt die Seite trotzdem: Die Volumenformel benutzt nur die senkrechte Höhe und die Grundfläche, und eine schiefe Pyramide mit derselben Grundfläche und derselben Höhe fasst genau so viel wie eine aufrechte, was tatsächlich überraschend und nützlich ist.

1. Eine Grundfläche von 36 Quadratzentimetern und eine Höhe von 4

   1. Grundfläche mal Höhe: 36 × 4 = 144
   2. Durch drei teilen: 144 ÷ 3 = 48

   Der Wert, mit dem die Seite startet, und die Zeile, die die Beziehung zeigt, auf der die Formel aufbaut: Ein Prisma mit derselben Grundfläche und Höhe fasst 144 Kubikzentimeter, und die Pyramide fasst genau ein Drittel davon. Beide Zahlen lohnt es zu behalten, denn von der einen zur anderen führt eine einzige Multiplikation oder Division, und die Prismenzahl lässt sich meist viel leichter gegen die Größe des Gegenstands prüfen.

2. Eine Grundfläche von 1 und eine Höhe von 1

   1. Grundfläche mal Höhe: 1 × 1 = 1
   2. Durch drei teilen: 1 ÷ 3 = 0,33333…, gerundet 0,33

   Die Einheitspyramide und der Grund, aus dem diese Seite zwei Nachkommastellen zeigt, wo die Quader-Seite vier zeigt. Eins durch drei ergibt auf vier Stellen 0,3333, was wie ein Messwert aussieht, der bei drei Zehntausendsteln herausgekommen ist; 0,33 liest sich als das, was es ist, nämlich ein Drittel von etwas. Das ist die ganze Begründung für die schmalere Breite an dieser Stelle: Die Division durch drei ist die einzige Operation in dieser Familie, die zuverlässig eine periodische Dezimalzahl erzeugt, und mehr Stellen davon tragen keine Information.

3. Eine Grundfläche von 100 und eine Höhe von 9

   1. Grundfläche mal Höhe: 100 × 9 = 900
   2. Durch drei teilen: 900 ÷ 3 = 300

   Die Zeile, an der man die ganze Seite prüfen kann, weil alle drei Zahlen exakt sind und die Prismenfassung offensichtlich ist: Eine Kiste mit einer Grundfläche von 100 Quadratzentimetern und einer Höhe von 9 fasst 900 Kubikzentimeter, die Pyramide fasst 300 davon. Überspannte ein pyramidenförmiges Dach 100 Quadratmeter bei 9 Metern Höhe, umschloss es 300 Kubikmeter Raum, und das ist die Art Zahl, die entscheidet, wie viel Luft ein Gebäude beheizen muss.

4. Die Cheops-Pyramide von Gizeh

   1. Grundfläche in Quadratzentimetern: 230 m × 230 m = 52.900 m², das sind 529000000 cm²
   2. Höhe in Zentimetern: 146,6 m = 14660 cm
   3. Grundfläche mal Höhe: 529000000 × 14660 = 7755139999999,999…, also 7,75514 × 10¹²
   4. Durch drei teilen: 7755140000000 ÷ 3 = 2585046666666,666…, gerundet 2585046666666,67

   Die größte der ägyptischen Pyramiden, mit ihrer ursprünglichen Grundfläche von rund 230 Metern je Seite und ihrer ursprünglichen Höhe von etwa 146,6 Metern. Die Antwort steht in Kubikzentimetern, weil das die Einheit dieser Seite ist, und sie ist keine Zahl, die jemand direkt liest: Durch eine Million geteilt sind es 2,585 Millionen Kubikmeter, also rund 2,6 Millionen Kubikmeter Stein. Das ist die Zeile, in der sich ein Blick auf die Division durch drei lohnt — die Kiste, die die Pyramide enthalten würde, fasst 7,76 Millionen Kubikmeter, genau dreimal so viel wie die Pyramide, sodass gleiche Standfläche und gleiche Höhe das Dreifache an Volumen ergeben.

Die Grundfläche muss eben sein und die Seiten müssen von ihren Kanten geradlinig zu einer einzigen Spitze hinauflaufen: Eine Pyramide mit gestuftem Profil, wie die früheren ägyptischen Pyramiden und die Zikkurats, ist ein Stapel aus Kisten und Platten und keine Pyramide, und diese Formel liegt für sie weit daneben. Ein Pyramidenstumpf — eine oben abgeschnittene Pyramide, und genau das sind die meisten Dächer und Trichter in Wirklichkeit — ist ebenfalls nicht diese Form; sein Volumen braucht die obere und die untere Fläche, und diese Seite hat ein einziges Feld für die Grundfläche. Die Höhe muss der senkrechte Abstand von der Ebene der Grundfläche hinauf zur Spitze sein, nicht die Länge entlang einer schrägen Kante oder einer Seitenfläche; die schräge Kante zu messen ist der häufigste Weg zu einem zu großen Wert, und auf einer hohen Pyramide ist er nicht ein wenig zu groß, sondern viel. Die Grundfläche ist eine Eingabe und nicht etwas, das die Seite ausrechnet, eine als zwei Kanten gemessene Grundfläche muss also zuerst in eine Fläche umgerechnet werden, und eine unregelmäßige Grundfläche muss mit der Methode gemessen werden, die zu ihr passt. Die Seite kann keine Mantelhöhe, keine Oberfläche und keine Kantenlänge liefern, weil sich nichts davon aus der Grundfläche allein herleiten lässt: Eine lang gestreckte Grundfläche und eine kompakte mit derselben Fläche haben verschiedene Mantelhöhen, verschiedene Oberflächen und verschiedene Kanten. Die Ausgabe steht in Kubikzentimetern, gleichgültig worauf die Auswahlfelder für Grundfläche und Höhe gestellt sind, eine in Quadratmetern eingegebene Grundfläche kommt also als Kubikzentimeter-Antwort zurück, die Sie selbst umrechnen müssen — eine Million Kubikzentimeter je Kubikmeter beziehungsweise ein Millionstel Kubikmeter je Kubikzentimeter. Zwei Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit, und für eine gemessene Pyramide sind sie ehrlich, für eine große aber sehr grob, wo nur die letzten beiden Ziffern vor dem Komma von Bedeutung sind. Die Seite setzt voraus, dass die Spitze irgendwo über der Grundfläche liegt, und es ist ihr gleich, wo: Eine aufrechte und eine schiefe Pyramide mit derselben Grundfläche und derselben Höhe haben dasselbe Volumen, was richtig und wissenswert ist und keine Einschränkung. Sie hat außerdem nichts zu Gewicht, Materialkosten oder dem Abfall zu sagen, der beim Herausschneiden der Form aus einem massiven Block entsteht — all das lässt sich aus dem Volumen herleiten, wird hier aber nicht ausgegeben.

Warum ist das Volumen einer Pyramide ein Drittel des Prismas um sie herum?

Weil drei Pyramiden mit derselben Grundfläche und Höhe genau in das Prisma passen, ohne Lücken und ohne Überlappung, gleichgültig welches Vieleck die Grundfläche ist. Das ist keine Näherung und gilt nicht nur für quadratische Grundflächen — eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche und eine mit sechseckiger sind beide genau ein Drittel des Prismas, das sie enthalten würde. Dasselbe Drittel erscheint auf der Seite zum Kegelvolumen, denn ein Kegel ist eine Pyramide mit einem Kreis als Grundfläche.

Trage ich die Seiten der Grundfläche ein oder ihre Fläche?

Ihre Fläche. Die Formel benutzt die Grundfläche nur darüber, wie viel Boden sie bedeckt, die zwei Kanten einer rechteckigen Grundfläche wären also eine unnötig enge Art zu fragen. Die Fläche einzutragen erlaubt der Seite außerdem Grundflächen, die sie sonst nicht beschreiben könnte: eine sechseckige, eine dreieckige oder einen unregelmäßigen Umriss, den Sie anders gemessen haben. Ist Ihre Grundfläche ein Rechteck oder ein Quadrat, liefern die Rechteck- und Quadrat-Flächenrechner auf dieser Seite die Fläche in einem Schritt.

Welche Höhe muss ich messen?

Die senkrechte Höhe: den geradlinigen Abstand von der Ebene der Grundfläche hinauf zur Spitze, im rechten Winkel zur Grundfläche gemessen. Nicht die Länge einer schrägen Kante und nicht die Strecke die Mitte einer Seitenfläche hinauf. Die schräge Kante ist immer länger als die Höhe — sie ist die Hypotenuse eines Dreiecks, dessen andere Seiten die Höhe und die halbe Diagonale der Grundfläche sind —, das Messen der Kante liefert also eine zu große Antwort, und auf einer hohen Pyramide eine viel zu große.

Wie viel Stein steckt in der Cheops-Pyramide von Gizeh?

Ihre ursprüngliche Grundfläche war rund 230 Meter im Quadrat, also 52.900 Quadratmeter, und ihre ursprüngliche Höhe betrug etwa 146,6 Meter. Grundfläche mal Höhe durch drei ergibt rund 2,6 Millionen Kubikmeter. Der nützliche Vergleich ist der mit der Kiste, die sie enthalten würde: Die fasst dreimal so viel, nämlich 7,76 Millionen, und dieser Abstand ist der ganze Sinn der Division — gleiche Standfläche und gleiche Höhe, ein Drittel des Volumens.

Kann die Seite mir die Mantelhöhe oder die Oberfläche geben?

Nein, und der Grund liegt in der Eingabe. Die Mantelhöhe ist der Abstand von der Spitze über die Mitte einer Seitenfläche hinunter zur Mitte einer Grundkante, und sie hängt von der Form der Grundfläche ab und nicht nur von ihrer Fläche: Eine lang gestreckte Grundfläche von 100 Quadratzentimetern und eine kompakte derselben Fläche haben ganz verschiedene Mantelhöhen und ganz verschiedene Oberflächen. Um eines von beiden zu berechnen, müsste die Seite den Umriss der Grundfläche kennen, und genau das vermeidet die Entscheidung, eine Fläche statt zweier Kanten abzufragen.

Fasst eine schiefe Pyramide weniger als eine aufrechte?

Nein, genau dasselbe, solange die Grundfläche und die senkrechte Höhe gleich sind. Die Volumenformel benutzt nur diese beiden Zahlen und fragt nie, wo die Spitze über der Grundfläche steht, eine Pyramide mit zur Seite geneigter Spitze fasst also genau so viel wie eine, die gerade über der Mitte steht. Das ist ein echtes Ergebnis und kein Rundungseffekt, und es ist derselbe Grund, aus dem ein Stapel Münzen gleich viel fasst, ob die Münzen genau übereinanderliegen oder nicht.

• Pyramid — the solid this page computes, including the relation between a pyramid and the prism of the same base and height that produces the division by three — Wolfram MathWorld (United States)
• Volume — what a volume is and how the volume of a solid is defined, which is the framework the pyramid formula sits in — Wolfram MathWorld (United States)
• Prism — the solid three copies of a pyramid assemble into, which is where the one-third in the formula comes from and why it holds for every shape of base — Wolfram MathWorld (United States)
• Geometrische Körper — Anwendungen zu Zylinder, Prisma, Pyramide und Kegel: das Grundwissen-Kapitel zu Körperberechnungen mit der Pyramide als einem der vier behandelten Körper, zum Nachschlagen der Formel Grundfläche mal Höhe durch drei — Mathegym (Deutschland)