Zylindervolumen-Rechner
Ergebnis
Volumen
- Grundfläche
- 28,27 cm²
- Mantelfläche
- 75,40 cm²
- Gesamte Oberfläche
- 131,95 cm²
Der Zylindervolumen-Rechner nimmt den Radius der kreisförmigen Grundfläche und die Höhe zwischen den beiden Enden und gibt vier Zahlen zurück: das Volumen im Inneren, die Fläche eines Endes, die Fläche der gewölbten Mantelfläche und die gesamte Oberfläche mit beiden Enden. Eine Konservendose, ein Wassertank, eine Betonsäule und eine Rolle Klebeband sind Zylinder, und die zwei Maße, die Sie brauchen, sind genau die zwei, die ein Maßband hergibt — quer über die Öffnung und senkrecht die Seite hinauf. Wer das Zylindervolumen berechnen will, kommt mit diesen beiden Zahlen aus; mehr braucht die Form nicht. Die Rechnung besteht aus zwei Formeln. Das Volumen ist die Fläche der Grundfläche mal der Höhe, also π mal Radius zum Quadrat mal Höhe. Die gesamte Oberfläche sind die beiden Enden plus die Mantelfläche: Jedes Ende ist π mal Radius zum Quadrat, und die abgerollte Mantelfläche ist ein Rechteck, dessen Breite der Umfang des Endes und dessen Höhe die Höhe des Zylinders ist, zusammen also zwei π mal Radius mal Höhe. Addiert ergibt das zwei π mal Radius mal (Radius plus Höhe). Die Seite zeigt die beiden Teile getrennt und zusätzlich die Summe, und das ist wichtiger, als es klingt: Die Frage, wie viel Farbe eine Säule braucht, betrifft allein die Mantelfläche, und die Frage, wie viel Blech die Enden brauchen, betrifft allein die Grundfläche; eine Seite, die nur die Summe ausgäbe, müsste Sie selbst zerlegen lassen. Zwei der vier Ausgaben verdienen einen zweiten Blick. Sie stehen in Kubik- und Quadratzentimetern, unabhängig davon, welche Einheit in den Feldern daneben gewählt ist — das ist eine bewusste Entscheidung und kein Versehen, denn die vier Ausgaben sind ein festes Set und die Tabelle darunter wird in derselben Einheit gerechnet; wer die Eingabe auf Zoll umstellt, ändert damit nur, wie Ihre Zahl beim Eingeben gelesen wird, und nichts daran, wie die Antwort geschrieben wird. Haben Sie in Zoll gemessen, rechnen Sie die Antwort selbst zurück: Teilen Sie das Volumen durch 16,387 und die Flächen durch 6,4516. Und die gesamte Oberfläche wird aus dem ungerundeten Radius gerechnet und nicht aus den beiden darüber ausgegebenen Flächen; addieren Sie also die ausgegebene Grundfläche zur ausgegebenen Mantelfläche, kann das um ein Hundertstel abweichen. Die ausgegebene Summe ist die richtige; die Abweichung entsteht, wenn eine Zahl, die nie endet, zweimal aufgeschrieben wird.
Übliche Zylinder und was sie ergeben
| Radius (cm) | Höhe (cm) | Volumen (cm³) | Grundfläche (cm²) | Mantelfläche (cm²) | Gesamte Oberfläche (cm²) |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 12 | 942.48 | 78.54 | 376.99 | 534.07 |
| 3 | 4 | 113.1 | 28.27 | 75.4 | 131.95 |
| 6 | 8 | 904.78 | 113.1 | 301.59 | 527.79 |
| 10 | 10 | 3141.59 | 314.16 | 628.32 | 1256.64 |
| 2 | 6 | 75.4 | 12.57 | 75.4 | 100.53 |
| 7.5 | 20 | 3534.29 | 176.71 | 942.48 | 1295.91 |
| 1 | 1 | 3.14 | 3.14 | 6.28 | 12.57 |
| 1 | 2 | 6.28 | 3.14 | 12.57 | 18.85 |
Acht Zylinder, und die zweite Zeile ist die, mit der die Seite startet. Die zweite und die dritte Zeile zusammen zu lesen lohnt sich: Der Radius verdoppelt sich von 5 auf 10, die Höhe schrumpft von 12 auf 8, und das Volumen wird trotzdem etwa zehnmal so groß — das ist das Quadrat in πr² bei der Arbeit, und deshalb schlägt ein breiter Tank einen hohen, wenn die Grundfläche nicht die Beschränkung ist. Die vierte Zeile ist die Form, die jeder zeichnet, ein Zylinder so hoch wie breit, und ihre Mantelfläche ist genau doppelt so groß wie ihre Grundfläche — eine Beziehung, die gilt, sobald die Höhe gleich dem Radius ist, und nichts mit der Zehn zu tun hat. Die fünfte Zeile trägt die Übereinstimmung, der man begegnen sollte, bevor man deshalb schreibt: Bei einem Radius von 2 betragen Volumen und Mantelfläche beide 75,4, weil πr²h nur dann gleich 2πrh ist, wenn r gleich 2 ist, und das für jede Höhe. Die sechste Zeile ist dieselbe Sorte Übereinstimmung an einem anderen Spaltenpaar — bei einer Höhe von 1 stimmen Volumen und Grundfläche überein, weil die Multiplikation mit eins nichts ändert —, und die siebte Zeile ist der Einheitszylinder, bei dem beides gleichzeitig gilt. Die letzte Zeile ist ein hoher, schlanker Zylinder mit einem Radius von 7,5 und einer Höhe von 20, der etwas mehr als dreieinhalb Liter fasst. Jeder Wert hier wird beim Bau der Seite aus seinem Radius und seiner Höhe neu gerechnet, in Zentimetern, und die zwei Nachkommastellen sind dieselben zwei, die das Ergebnispanel verwendet. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (942.48 statt 942,48), weil die Spaltenwerte aus der Berechnung kommen und nicht aus einer Textvorlage.
Formel
V = πr²h A_Grundfläche = πr² A_Mantelfläche = 2πrh A_Oberfläche = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)
- Radius
- Der Abstand vom Mittelpunkt eines Endes bis zu seinem Rand, in Zentimetern. Das ist der halbe Durchmesser, ein quer über die Öffnung gemessener Zylinder muss also zuerst durch zwei geteilt werden. Null ist zulässig und ergibt einen Zylinder ohne Breite, bei dem alle vier Werte null sind
- Höhe
- Der senkrechte Abstand zwischen den beiden Kreisflächen, in Zentimetern. Es ist nicht die Strecke schräg über die gewölbte Seite von einem Rand zum gegenüberliegenden — die ist länger, weil sie herumführt statt gerade hinauf, und wer sie einsetzt, überschätzt das Volumen
- Volumen
- Der Raum im Inneren des Zylinders, in Kubikzentimetern: die Fläche eines Endes mal der Höhe. Ein Kubikzentimeter ist ein Milliliter, ein Volumen in dieser Einheit wird also durch Teilen durch 1.000 direkt zu Litern
- Grundfläche
- Die Fläche eines kreisförmigen Endes in Quadratzentimetern, π mal Radius zum Quadrat. Beide Enden sind gleich groß, das ist also die Fläche eines der beiden und nicht die beider zusammen
- Mantelfläche
- Die Fläche der gewölbten Seite allein, in Quadratzentimetern. Abgerollt ist diese Seite ein Rechteck der Höhe h und der Breite 2πr; daher kommt die Formel, und so sieht man am leichtesten, warum Höhe und Umfang beide darin vorkommen
- Gesamte Oberfläche
- Die beiden Enden plus die gewölbte Seite, in Quadratzentimetern. Eng mit dem Volumen verwandt, aber nicht proportional dazu: Die Verdopplung der Höhe verdoppelt beides, die Verdopplung des Radius vervierfacht das Volumen und weniger als vervierfacht die gesamte Oberfläche
- π
- Das Verhältnis des Kreisumfangs zu seinem Durchmesser, etwa 3,14159. Die Seite rechnet mit dem vollen Wert der doppelten Genauigkeit und kürzt ihn nicht, eine Handrechnung mit 3,14 weicht deshalb in der letzten Stelle ab
- Zwei Nachkommastellen
- So breit wird jeder Wert geschrieben. Zwei statt vier, weil es hier um Messungen wirklicher Gegenstände geht — ein mit dem Lineal abgenommener Radius ist selbst unsicherer als die dritte Stelle, und mehr Ziffern würden eine Genauigkeit vortäuschen, die die Eingabe nie hatte
Die Seite beantwortet mit denselben zwei Eingaben zwei verschiedene Arten von Fragen. Die erste ist das Fassungsvermögen: wie viel ein Tank, ein Fass, eine Leitung oder eine Dose aufnimmt. Das ist das Volumen, und es lohnt zu wissen, dass es mit dem Quadrat des Radius wächst — ein doppelt so breiter Tank fasst viermal so viel, ein doppelt so hoher nur doppelt so viel, weshalb breite Tanks bei knappem Platz die besseren sind. Die zweite ist das Material: wie viel Blech eine Dose braucht, wie viel Farbe eine Säule schluckt, wie viel Umhüllung eine Rolle möchte. Das sind die Flächen, und die Seite trennt die Enden von der Seite, weil diese beiden meist verschieden beschafft werden — Blech kommt aus einem Vorrat, Etiketten oder Farbe kommen auf die Mantelfläche. Die Mantelfläche ist außerdem die, die überrascht, denn dass sich die gewölbte Seite zu einem Rechteck abrollen lässt, ist nicht offensichtlich, bis man es einmal getan hat: Ein Zylinder mit Radius 5 und Höhe 12 hat eine Seite, die sich zu einem Rechteck von 31,4159 Zentimetern Breite und 12 Zentimetern Höhe abrollt. Eine Umrechnung lohnt sich einzuprägen: Ein Volumen in Kubikzentimetern ist ein Volumen in Millilitern, ein Zylinder mit 942,48 Kubikzentimetern fasst also 0,942 Liter, und der Schritt ist eine Division durch 1.000 und nichts Aufwendigeres.
Rechenbeispiele
Ein Radius von 3 und eine Höhe von 4
- Grundfläche: π × 3 × 3 = 28,274333…, gerundet 28,27
- Volumen: 28,274333… × 4 = 113,097335…, gerundet 113,1
- Mantelfläche: 2 × π × 3 × 4 = 75,398223…, gerundet 75,4
- Gesamte Oberfläche: 2 × 28,274333… + 75,398223… = 131,946891…, gerundet 131,95
Die Eingabe, mit der die Seite startet. Das Volumen von 113,1 Kubikzentimetern ist dieselbe Zahl, die die Kegelseite für dieselben zwei Maße ausgibt, und das ist kein Zufall: Ein Kegel ist ein Drittel des Zylinders, in den er passt, und die 113,1 jener Seite ist dort die Mantelfläche und nicht das Volumen. Die beiden Seiten einmal nebeneinander zu lesen lohnt sich, damit die Übereinstimmung nicht wie ein Fehler aussieht. Die Probe, die ohne Rechner geht: Ein Radius von 3 ergibt ein Ende von etwa 28 Quadratzentimetern, vier davon übereinandergestapelt ergeben etwa 113.
Ein Radius von 5 und eine Höhe von 12
- Grundfläche: π × 5 × 5 = 78,539816…, gerundet 78,54
- Volumen: 78,539816… × 12 = 942,477796…, gerundet 942,48
- Mantelfläche: 2 × π × 5 × 12 = 376,991118…, gerundet 376,99
- Gesamte Oberfläche: 2 × 78,539816… + 376,991118… = 534,070751…, gerundet 534,07
Die Zeile, die man behalten sollte, wenn man nur eine behält, denn ihre Seite rollt sich zu einem Rechteck ab, das man sich vorstellen kann: 2π × 5 ergibt 31,4159 Zentimeter Umfang, und ein Rechteck von 31,4159 Zentimetern Breite und 12 Zentimetern Höhe ist 376,99 Quadratzentimeter groß — das ist die Mantelfläche. Das Volumen in Millilitern beträgt 942,48, dieser Zylinder fasst also knapp einen Liter. Die Höhe auf 24 zu verdoppeln würde das Volumen und die Mantelfläche verdoppeln, die Grundfläche aber bei 78,54 lassen; das ist der sauberste Weg zu sehen, welcher Wert mit welcher Eingabe skaliert.
Ein Radius von 10 und eine Höhe von 10
- Grundfläche: π × 10 × 10 = 314,159265…, gerundet 314,16
- Volumen: 314,159265… × 10 = 3141,592654…, gerundet 3141,59
- Mantelfläche: 2 × π × 10 × 10 = 628,318531…, gerundet 628,32
- Gesamte Oberfläche: 2 × 314,159265… + 628,318531… = 1256,637061…, gerundet 1256,64
Ein Zylinder, so hoch wie er breit ist — die Form, die die meisten zeichnen, wenn man sie bittet, einen zu zeichnen. Das Volumen ist das Tausendfache von π, und weil ein Kubikzentimeter ein Milliliter ist, sind das 3,14 Liter. Auffällig ist, dass die Mantelfläche hier genau doppelt so groß ist wie die Grundfläche, und das folgt daraus, dass h gleich r ist, und nicht aus irgendetwas Besonderem an der Zehn: Dieselbe Verdopplung ergibt sich bei jedem Radius, der gleich der Höhe ist.
Ein Radius von 2 und eine Höhe von 6
- Grundfläche: π × 2 × 2 = 12,566370…, gerundet 12,57
- Volumen: 12,566370… × 6 = 75,398223…, gerundet 75,4
- Mantelfläche: 2 × π × 2 × 6 = 75,398223…, gerundet 75,4
- Gesamte Oberfläche: 2 × 12,566370… + 75,398223… = 100,530964…, gerundet 100,53
Die Zeile, in der zwei Werte gleich sind: Volumen und Mantelfläche betragen beide 75,4. Das ist kein Tippfehler und kein Sonderfall — setzt man πr²h gleich 2πrh, bleibt r = 2 für jede Höhe, bei diesem Radius sind Volumen und Seitenfläche also dieselbe Zahl, egal welche Höhe man wählt. Die Einheiten sind nicht dieselben, Kubik gegen Quadrat, die Übereinstimmung gilt allein für die Zahlen. So etwas entdeckt ein Leser am Ergebnispanel und schreibt es hin, deshalb ist es besser, ihm hier zuerst zu begegnen.
Ein Radius von 1 und eine Höhe von 1
- Grundfläche: π × 1 × 1 = 3,141592…, gerundet 3,14
- Volumen: 3,141592… × 1 = 3,141592…, gerundet 3,14
- Mantelfläche: 2 × π × 1 × 1 = 6,283185…, gerundet 6,28
- Gesamte Oberfläche: 2 × 3,141592… + 6,283185… = 12,566370…, gerundet 12,57
Dieselbe Übereinstimmung an einem anderen Spaltenpaar: Bei einer Höhe von eins ist das Volumen gleich der Grundfläche, weil die Multiplikation mit eins nichts ändert. Wieder gilt es für jeden Radius, und wieder stimmen nur die Zahlen überein, nicht die Einheiten. Zusammen mit der Zeile darüber ergibt das einen Punkt, den man festhalten sollte — wenn zwei Spalten einer Tabelle übereinstimmen, prüft man zuerst, ob eine Eingabe zufällig auf einem Wert steht, der das erzwingt, und danach, ob die beiden Spalten überhaupt dieselbe Art von Größe messen.
Einschränkungen
Die Werte stehen immer in Kubik- und Quadratzentimetern, unabhängig davon, welche Einheit im Auswahlfeld neben der Eingabe steht. Zoll zu wählen ändert, wie Ihre beiden Zahlen beim Eingeben verstanden werden, und nichts daran, wie die Antwort erscheint; ein als 2 Zoll mal 3 Zoll eingegebener Zylinder kommt also als 38,61 Kubikzentimeter zurück, und Sie müssen selbst zurückrechnen. Das ist Absicht, und die Tabelle darunter folgt derselben Regel, damit sich die Seite nicht selbst widerspricht. Radius und Höhe werden als Radius und als senkrechte Höhe gelesen, und die Seite kann nicht erkennen, ob Sie den Durchmesser oder die Strecke über die gewölbte Seite gemessen haben; beides geht so ein, wie es eingegeben wurde, und liefert eine plausibel aussehende falsche Antwort. Zwei Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit: Hier werden wirkliche Gegenstände gemessen, und die letzte Stelle ist für nichts außer einer exakten Eingabe von Bedeutung. Die gesamte Oberfläche wird aus dem ungerundeten Radius gerechnet, deshalb kann die Summe aus ausgegebener Grundfläche und ausgegebener Mantelfläche um ein Hundertstel von der ausgegebenen Gesamtsumme abweichen — der ausgegebenen Summe ist zu trauen. Die Seite nimmt an, dass der Zylinder an beiden Enden geschlossen ist; ein Rohr oder eine offene Dose hat weniger Fläche als der gezeigte Wert, und zwar genau eine Grundfläche weniger. Und sie berücksichtigt keine Wandstärke: Das Fassungsvermögen eines Tanks ist ein Innenmaß, das Material ein Außenmaß, und beide lassen sich mit einem Auswahlfeld nicht gleichzeitig ausdrücken. Für ein Volumen in Litern gibt es kein eigenes Ausgabefeld; ein Kubikzentimeter ist ein Milliliter, das Teilen durch 1.000 erledigt die Umrechnung.
Häufige Fragen
- Welche zwei Maße brauche ich?
- Den Radius eines der kreisförmigen Enden und die senkrechte Höhe zwischen den Enden. Der Radius ist der halbe Weg quer hindurch, ein quer über die Öffnung gemessener Zylinder ergibt bei zehn Zentimetern also 5. Die Höhe wird gerade die Seite hinauf gemessen und nicht schräg über die gewölbte Fläche; der Unterschied zählt: Bei Radius 5 und Höhe 12 beträgt die gerade Strecke 12, der kürzeste Weg über die Außenseite ist länger, und die längere einzusetzen überschätzt das Volumen.
- Warum steht die Antwort in Zentimetern, wenn ich Zoll eingegeben habe?
- Weil die vier Ausgaben ein festes Set in Zentimetern sind, damit das Ergebnispanel und die Tabelle darunter immer übereinstimmen. Das Auswahlfeld ändert, wie Ihre Zahlen beim Eingeben verstanden werden, und nicht, wie die Antwort geschrieben wird. Brauchen Sie die Antwort in Ihrer Einheit, teilen Sie das Volumen durch 16,387 für Kubikzoll und die drei Flächen durch 6,4516 für Quadratzoll.
- Was ist der Unterschied zwischen Mantelfläche und Oberfläche?
- Die Mantelfläche ist die gewölbte Seite allein. Die gesamte Oberfläche ist die gewölbte Seite plus beide Kreisflächen. Bei einem geschlossenen Zylinder brauchen Sie die Gesamtsumme, bei einem Rohr, einem offenen Fass oder allem ohne Enden die Mantelfläche. Die Seite gibt beides aus und zusätzlich die Grundfläche, damit eine Frage nach den Enden ohne Abziehen beantwortet werden kann.
- Wie rechne ich das Volumen in Liter um?
- Teilen Sie durch 1.000. Ein Kubikzentimeter ist ein Milliliter, und 1.000 Milliliter sind ein Liter, ein Volumen von 942,48 Kubikzentimetern ist also 0,942 Liter. Die Umrechnung ist in beide Richtungen exakt, und sie ist der Grund, warum diese Seite keinen eigenen Fassungsvermögen-Modus braucht — der Milliliter wurde ursprünglich als ein Kubikzentimeter definiert.
- Warum kommen Volumen und Mantelfläche gleich heraus?
- Nur wenn der Radius 2 beträgt. Setzt man das Volumen πr²h gleich der Mantelfläche 2πrh und kürzt, bleibt r = 2, unabhängig von der Höhe; bei diesem Radius stimmen die beiden Spalten in jeder Zeile überein. Dasselbe passiert zwischen Volumen und Grundfläche, wenn die Höhe 1 beträgt. Die beiden Werte sind nur zahlenmäßig gleich: Der eine ist ein Volumen, der andere eine Fläche, und sie werden in verschiedenen Einheiten gemessen.
- Funktioniert die Seite auch für ein Rohr oder eine offene Dose?
- Für das Volumen und die Mantelfläche ja, und genau diese beiden Werte braucht ein Rohr oder eine offene Dose. Die gesamte Oberfläche setzt zwei geschlossene Enden voraus, für einen offenen Behälter ziehen Sie also eine Grundfläche davon ab. Über Wandstärken weiß die Seite ebenfalls nichts, das Fassungsvermögen eines Tanks ist daher ein Innenmaß und sein Material ein Außenmaß, und beide bräuchten verschiedene Radien.
Quellen
- Kreiszylinder — der gerade Zylinder über einem Kreis, mit Volumen, Grundfläche, Mantelfläche und Oberfläche und mit der Mantelfläche, die in einer Ebene ein Rechteck ist — Lernhelfer — Schülerlexikon (Deutschland)
- Zylinder — der Körper mit seinen Fachworten Grundfläche, Deckfläche, Mantelfläche, Höhe, Durchmesser und Radius und mit Beispielen von der Getränkedose bis zum Öltank — Rhetos Lexikon (Deutschland)
- Mantelfläche — was die Mantelfläche eines Körpers ist und wie man sie bei Zylinder und Kegel berechnet — Rhetos Lexikon (Deutschland)
- Cylinder — the solid swept by a circle moving along its axis, with the volume and the three surface areas this page computes and the argument that the curved side unrolls into a rectangle — Wolfram MathWorld (United States)