Oberfläche-Rechner
Ergebnis
Gesamte Oberfläche
Ein Oberfläche-Rechner gibt die Fläche der Außenseite eines Körpers an: wie viel Material es brauchte, um ihn zu bedecken, wie viel Farbe es brauchte, um ihn zu streichen, wie viel Karton es brauchte, um ihn zu verpacken. Wählen Sie die Form und geben Sie ihr die Maße, die sie liest — einen Radius für eine Kugel, einen Radius und eine Höhe für einen Kegel oder einen Zylinder, eine Länge, eine Breite und eine Höhe für einen Quader —, und die Seite gibt eine Zahl in Quadratzentimetern zurück. Die vier Formen hier sind die, die fast jede Schul- und Werkstattfrage abdecken. Eine Kugel ist viermal π mal dem Radius zum Quadrat. Ein Kegel ist π mal dem Radius mal dem Radius plus der Mantelhöhe, wobei die Mantelhöhe der geradlinige Abstand von der Spitze hinunter zum Rand ist und aus dem Satz des Pythagoras auf Radius und Höhe stammt. Ein Zylinder ist zwei π mal dem Radius mal dem Radius plus der Höhe, also die beiden Kreisflächen plus die aufgerollte Mantelfläche. Ein Quader ist zweimal die Summe der drei Flächenpaare: Länge mal Breite, Länge mal Höhe, Breite mal Höhe. Vier Formen, vier Formeln, und die beiden Tabellen unten legen fest, welche welche ist. Was Sie vor dem Start wissen sollten: Alle vier Längenfelder sind gleichzeitig auf dem Bildschirm und behalten ihren Wert, wenn Sie die Form wechseln. Das ist eine bewusste Entscheidung und kein Versehen — ein Formular, das die Felder ausblendete, die eine Form nicht benutzt, müsste die Kästen unter Ihren Händen verschieben, während Sie Ihre Meinung ändern, und ein Formular, das sie behielte, sie aber ignorierte, würde eine von Ihnen eingetippte Zahl stillschweigend wegwerfen. Also lässt die Seite jedes Feld, wo es ist, und liest nur die, die die gewählte Form braucht, und die Regel dafür ist einfach: Eine Kugel liest den Radius und sonst nichts, ein Kegel und ein Zylinder lesen den Radius und die Höhe, und der Quader liest die Länge, die Breite und die Höhe. Das Radiusfeld wird vom Quader nicht gelesen, und das Längen- und das Breitenfeld werden von den anderen drei nicht gelesen; der Wert, der in einem nicht gelesenen Feld steht, ändert nichts an der Antwort. Die Tabellen machen das greifbar, denn ihre Formelspalte sagt, welche Zeile mit welcher Formel gerechnet wurde. Noch eines ist wissenswert: Die Antwort steht in Quadratzentimetern, unabhängig davon, auf welche Einheit die Auswahlfelder gestellt sind — das ist die stehende Regel dieser Gruppe und gilt für jede Seite ringsum. Und Vorsicht bei einer Verwechslung, die diese Seite begünstigt: Oberfläche und Volumen sind nicht proportional. Verdoppeln Sie jede Länge, vervierfacht sich die Fläche und verachtfacht sich das Volumen — deshalb verliert ein großes Tier schneller Wärme als ein kleines, und deshalb kostet eine kleine Schachtel unverhältnismäßig mehr Karton, als ihr Inhalt vermuten lässt.
Runde Körper, erreicht über einen Radius und eine Höhe
| Formel | Radius (cm) | Höhe (cm) | Oberfläche (cm²) |
|---|---|---|---|
| 4πr² | 3 | — | 113.1 |
| 4πr² | 5 | — | 314.16 |
| πr(r + l) | 3 | 4 | 75.4 |
| πr(r + l) | 5 | 12 | 282.74 |
| 2πr(r + h) | 3 | 4 | 131.95 |
| 2πr(r + h) | 5 | 12 | 534.07 |
| 4πr² | 1 | — | 12.57 |
| 2πr(r + h) | 1 | 2 | 18.85 |
Acht Zeilen für Kugel, Kegel und Zylinder. Die erste Spalte ist der ganze Sinn der Tabelle: Ist die Form einmal aufgelöst, steht in der Zeile nichts mehr, was sagt, welcher Körper es war, also tritt die Formel an die Stelle des Namens. Sie kann außerdem etwas, was ein Name nicht könnte, nämlich sagen, welche der beiden anderen Zahlen der Zeile tatsächlich benutzt wurde — die beiden Kugelzeilen haben einen Strich in der Höhenspalte, weil eine Kugel keine Höhe hat und das Feld gar nicht gelesen wird. Die ersten beiden Zeilen sind die Kugel bei den Radien 3 und 5, und das Verhältnis zwischen ihnen lohnt eine Prüfung: fünf Drittel zum Quadrat ist etwa 2,78, und 113,1 mal 2,78 ergibt 314,16, also die zweite Zeile. Die Fläche geht mit dem Quadrat des Radius und nie mit dem Radius. Die dritte Zeile ist der 3-4-5-Kegel, dessen Mantelhöhe genau 5 ergibt, und die fünfte Zeile ist der Standardwert der Zylinderseite selbst: Radius 3, Höhe 4, Oberfläche 131,95, dieselbe Zahl, die jene Seite als ihre Gesamtsumme ausgibt. Die siebte Zeile ist eine Kugel mit Radius 1 bei 12,57 Quadratzentimetern, also 4π, und das ist der einzige Wert der Tabelle, der eine vertraute Konstante ist und keine Messung. Die achte ist ein Zylinder mit Radius 1 und Höhe 2 bei 18,85, also 6π. Jeder Wert hier wird beim Bau der Seite aus seinem Radius und seiner Höhe neu berechnet, in Zentimetern, und die Striche werden so ausgegeben, wie sie dastehen. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (113.1 statt 113,1), weil die Spaltenwerte aus der Berechnung kommen und nicht aus einer Textvorlage.
Quader, erreicht über eine Länge, eine Breite und eine Höhe
| Länge (cm) | Breite (cm) | Höhe (cm) | Oberfläche (cm²) |
|---|---|---|---|
| 5 | 4 | 4 | 112 |
| 1 | 2 | 3 | 22 |
| 2 | 2 | 2 | 24 |
| 10 | 10 | 10 | 600 |
| 0.5 | 0.5 | 0.5 | 1.5 |
| 3 | 4 | 0 | 24 |
Sechs Kisten, und die erste Zeile ist die, mit der die Seite startet, wenn der Quader gewählt ist. Die zweite Zeile ist die kleinste ganzzahlige Kiste, eins mal zwei mal drei, mit 22 Quadratzentimetern — die Rechnung dort ist kurz genug für den Kopf, was sie zur Zeile macht, an der man die Formel prüfen kann: 2 × (2 + 3 + 6) = 22. Die dritte Zeile ist ein Würfel von zwei Zentimetern Kantenlänge mit 24, und die sechste Zeile ist eine flache Platte von drei mal vier mit der Höhe null, ebenfalls mit 24. Dieses Paar ist das Nützlichste an dieser Tabelle, weil die beiden Körper sich überhaupt nicht ähnlich sehen und sich eine Zahl teilen: Der Würfel hat sechs Flächen zu je vier, und die Platte hat zwei Flächen zu je zwölf und vier zusammengefallene. Eine Oberfläche allein legt keine Form fest, und das ist die billigste Vorführung davon. Die vierte Zeile ist ein Würfel von zehn Zentimetern Kantenlänge mit 600 Quadratzentimetern, die Größe einer Kiste, in der ein Papierstapel ankommt, und die fünfte ist ein halber Zentimeter Kantenlänge, wo die Nachkommastellen anfangen, eine Rolle zu spielen. Jeder Wert ist exakt, da die Quaderformel kein π enthält, und alle sechs werden beim Bau der Seite neu berechnet. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (0.5 statt 0,5), weil die Spaltenwerte aus der Berechnung kommen und nicht aus einer Textvorlage.
Formel
Kugel: S = 4πr² Kegel: S = πr(r + l), l = √(r² + h²) Zylinder: S = 2πr(r + h) Quader: S = 2(lw + lh + wh)
- Form
- Welchen Körper Sie bedecken. Sie entscheidet, welche der vier Formeln läuft und damit, welche der Längenfelder unten überhaupt gelesen werden — eine Kugel benutzt allein den Radius, während der Quader Länge, Breite und Höhe benutzt und den Radius völlig ignoriert
- r
- Der Radius, in Zentimetern: der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zu ihrer Oberfläche oder bei einem Kegel oder Zylinder vom Mittelpunkt der Kreisfläche zu ihrem Rand. Wird von drei der vier Formen gelesen und vom Quader ignoriert
- h
- Die Höhe, in Zentimetern: der senkrechte Abstand von der Grundfläche zur gegenüberliegenden Fläche bei einem Quader, von der Grundfläche hinauf zur Spitze bei einem Kegel oder zwischen den beiden Kreisflächen bei einem Zylinder. Von der Kugel ignoriert, die keine Höhe hat
- l
- Zwei verschiedene Dinge, und das ist die eine Stelle, an der diese Seite aufmerksames Lesen verlangt. In der Kegelformel ist es die Mantelhöhe, der geradlinige Abstand von der Spitze die Seite hinunter zum Rand, aus Radius und Höhe mit dem Satz des Pythagoras gerechnet. In der Quaderformel ist es die Länge der Kiste. Die Formelspalte der Tabelle sagt, welche Zeile welche ist
- lw, w und die übrigen Buchstaben
- Die drei Abmessungen des Quaders in Zentimetern: Länge, Breite und Höhe. Der Quader hat sechs Flächen in drei Paaren, und jedes Paar ist eines der drei Produkte, weshalb die Formel ihre Summe verdoppelt, statt sechs einzelne Terme zu addieren
- π
- Das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser, etwa 3,14159. Es erscheint in drei der vier Formeln und nicht in der des Quaders, und das ist der Grund, aus dem die Oberfläche einer Kiste oft eine exakte Zahl ist und die einer Kugel fast nie
- Quadratzentimeter
- Die Einheit der Antwort, immer, gleichgültig auf welche Einheit die Auswahlfelder gestellt sind. Die Oberfläche ist eine zweidimensionale Größe, die Einheit ist also die Eingabeeinheit im Quadrat — ein Radius in Zentimetern ergibt eine Fläche in Quadratzentimetern, und auf dieser Seite gibt es nirgends einen kubischen Schritt
- Zwei Nachkommastellen
- Wie breit die Antwort geschrieben wird. Zwei statt vier, weil das Messungen von Gegenständen sind und keine Koordinaten in einer Ebene: Ein mit dem Lineal abgenommener Radius ist schon jenseits der dritten Nachkommastelle unsicher
Meist geht es um Material, und die Form sagt Ihnen, welche Formel Sie wollen. Ein Ball, ein Globus oder ein Luftballon ist eine Kugel, und die Frage ist meist, wie viel Stoff oder Farbe ihn bedeckt. Ein Partyhut, ein Trichter oder ein kegelförmiger Sandhaufen ist ein Kegel, und die Mantelhöhe ist das Maß, das man vergisst — es ist nicht die Höhe des Kegels, sondern der Abstand seine Seite hinunter, und ein Kegel mit Radius 3 und Höhe 4 hat eine Mantelhöhe von genau 5, also den Satz des Pythagoras in seiner kleinsten ganzzahligen Form. Eine Dose, ein Rohr oder eine Säule ist ein Zylinder, und dort ist die Formel eine, die man herleiten statt auswendig lernen kann: zwei Flächen zu je πr² plus eine Seite, die sich zu einem Rechteck von 2πr Breite und h Höhe aufrollt. Eine Kiste, eine Steige oder ein Zimmer ist ein Quader, und die sechs Flächen in drei Paaren sind die ganze Idee. Eine Warnung gilt für alle vier: Oberfläche und Volumen sind nicht proportional, und die Verdopplung jeder Länge vervierfacht die Fläche und verachtfacht das Volumen — deshalb verliert ein großes Tier schneller Wärme als ein kleines, und deshalb kostet eine kleine Schachtel unverhältnismäßig mehr Karton, als ihr Inhalt vermuten lässt. Praktisch heißt das für den Alltag: Für einen Anstrich, eine Verkleidung oder eine Verpackung ist diese Seite die richtige, solange der Körper geschlossen ist; ist er offen — eine Kiste ohne Deckel, ein Becher ohne Boden —, ziehen Sie die fehlende Fläche von der Antwort ab. Und brauchen Sie die Fläche nur für einen einzigen runden Körper, können Sie auch direkt auf die Kegel- oder die Zylinderseite gehen: Dieselben Formeln stehen dort, nur ohne die drei anderen Formen daneben. Und eine Kleinigkeit zur Schreibweise, damit die Formelspalte niemanden stolpern lässt: Die Formelzeichen folgen der internationalen Schreibweise, S steht also für die Oberfläche, die deutsche Schulbücher meist mit O bezeichnen. Gemeint ist beide Male dasselbe, die Fläche der Außenseite; wer mit einem Buch arbeitet, in dem O steht, liest hier einfach S.
Rechenbeispiele
Ein Zylinder mit Radius 3 und Höhe 4
- Zwei Kreisflächen: 2 × π × 3 × 3 = 56,548667…
- Aufgerollte Mantelfläche: 2 × π × 3 × 4 = 75,398223…
- Zusammen: 56,548667… + 75,398223… = 131,946891…, gerundet 131,95
- Das Längen- und das Breitenfeld werden vom Zylinder nicht gelesen, und die 5 und die 4 darin ändern nichts
Die Form, mit der die Seite startet, und die Zeile zum Vergleich mit der Zylinderseite, die für denselben Radius und dieselbe Höhe 131,95 als gesamte Oberfläche ausgibt. Zwei Seiten, zwei Werkzeuge, eine Zahl — sie rechnen dieselbe Formel, und sie übereinstimmen zu sehen ist der Punkt. Die Prüfung, die keinen Rechner braucht: Die beiden Kreisflächen sind je etwa 28, und die Seite rollt sich zu einem Rechteck von etwa 18,8 Breite und 4 Höhe auf, das Ergebnis muss also etwas über 130 landen.
Ein Kegel mit Radius 3 und Höhe 4
- Mantelhöhe: √(3² + 4²) = √25 = 5
- Grundfläche: π × 3 × 3 = 28,274333…
- Mantelfläche: π × 3 × 5 = 47,123889…
- Zusammen: 28,274333… + 47,123889… = 75,398223…, gerundet 75,4
Das 3-4-5-Dreieck bei seiner üblichen Arbeit: Bei einem Radius von 3 und einer Höhe von 4 ist die Mantelhöhe genau 5, die Rechnung bleibt also durchweg sauber. Das ist außerdem dieselbe 75,4, die die Zylinderseite als Mantelfläche für einen Radius von 3 und eine Höhe von 4 ausgibt — eine Koinzidenz zweier verschiedener Körper und keine geteilte Formel: Die Seite des Kegels und die des Zylinders sind verschiedene Formen, die hier zufällig auf dieselbe Zahl kommen.
Eine Kugel mit Radius 3
- Vier Kreise: 4 × π × 3 × 3 = 36π = 113,097335…
- Gerundet 113,1
- Nur der Radius wird gelesen; Höhe, Länge und Breite werden von der Kugel ignoriert
Die Oberfläche einer Kugel ist genau viermal die Fläche ihres größten Querschnitts, und das ist das, was man sich über sie merken sollte — ein Kreis mit Radius 3 hat 28,27, und viermal das ergibt 113,1. Im Höhenfeld steht noch die 4 von der vorigen Form, und die Seite nimmt keine Notiz davon; das ist genau das Verhalten, das der Einleitungstext beschreibt, und der Grund, aus dem er es beschreibt.
Ein Quader 5 mal 4 mal 4
- Deckel und Boden: 2 × 5 × 4 = 40
- Vorder- und Rückseite: 2 × 5 × 4 = 40
- Die beiden Seiten: 2 × 4 × 4 = 32
- Zusammen: 40 + 40 + 32 = 112 Quadratzentimeter, und das ist exakt
Die einzige der vier Formen, deren Antwort regelmäßig exakt ist, und die einzige, die den Radius ignoriert. Weil Länge und Höhe hier zufällig gleich sind, haben zwei der drei Flächenpaare dieselbe Größe, was die Summe leicht nachzuvollziehen macht: 40, 40 und 32. Der Radius von 3 in seinem Feld spielt keine Rolle.
Ein Würfel 2 mal 2 mal 2 und ein Quader 3 mal 4 mal 0
- Deckel und Boden: 2 × 3 × 4 = 24
- Vorder- und Rückseite: 2 × 3 × 0 = 0
- Die beiden Seiten: 2 × 4 × 0 = 0
- Zusammen: 24 Quadratzentimeter
Das Paar, das man zusammen ansehen sollte, denn ein Würfel von zwei Zentimetern Kantenlänge und eine flache Platte von drei mal vier kommen beide auf 24 Quadratzentimeter. Der Würfel ist 2 × 2 × 2 und ergibt 2 × (4 + 4 + 4) = 24; der zweite hat die Höhe null, vier seiner sechs Flächen sind also auf nichts zusammengefallen, und die beiden übrigen sind Deckel und Boden. Dieselbe Zahl, völlig verschiedene Körper, und eine Erinnerung daran, dass eine Oberfläche allein keine Form festlegt.
Einschränkungen
Die Antwort steht immer in Quadratzentimetern, gleichgültig auf welche Einheit die Auswahlfelder gestellt sind. Zoll zu wählen ändert, wie Ihre Zahlen auf dem Weg hinein gelesen werden, und nichts daran, wie die Antwort gezeigt wird. Alle vier Längenfelder bleiben für jede Form auf dem Bildschirm, und die Felder, die die gewählte Form nicht liest, werden ignoriert statt geleert; ein von einer Kugel übrig gebliebener Radius ändert also nichts an einer Kiste. Die Seite hält Sie nicht davon ab, in einem Feld einen Wert zu lassen, der zur vorigen Form passte, und sie sagt Ihnen auch nicht, dass sie ihn nicht benutzt hat. Die Formelspalte der Tabellen ist die einzige Stelle auf der Seite, die sagt, welche Zahlen in eine Zeile eingegangen sind, und deshalb steht sie dort. Zwei Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit. Die Oberfläche des Kegels benutzt die Mantelhöhe und nicht die senkrechte Höhe, und die Seite rechnet die Mantelhöhe selbst aus Radius und Höhe, ein entlang seiner schrägen Seite gemessener Kegel lässt sich also nicht so eingeben, wie er gemessen wurde. Die Seiten für einen Zylinder und für einen Kegel anderswo auf dieser Website geben für manche derselben Eingaben Werte aus, und sie stimmen mit dieser Seite überein, weil sie dieselben Formeln rechnen — eine Abweichung wäre ein Fehler und keine Meinungsverschiedenheit. Nichts hier behandelt eine Form, die keine der vier ist, einen offenen Behälter, dessen Flächen fehlen, oder einen Körper mit einem Loch darin.
Häufige Fragen
- Welche Felder benutzt welche Form tatsächlich?
- Die Kugel liest den Radius und sonst nichts. Der Kegel und der Zylinder lesen den Radius und die Höhe. Der Quader liest die Länge, die Breite und die Höhe und ignoriert den Radius. Jedes Feld bleibt auf dem Bildschirm und behält seinen Inhalt, eine Zahl also, die von einer vorher angesehenen Form übrig geblieben ist, bewirkt nichts. Die Formelspalte der Tabellen ist der schnellste Weg zu sehen, welche Zahlen in eine bestimmte Zeile eingegangen sind.
- Was ist die Mantelhöhe und wie messe ich sie?
- Es ist der geradlinige Abstand von der Spitze des Kegels seine Seite hinunter zum Rand, und er ist länger als die senkrechte Höhe, solange der Kegel nicht flach ist. Sie müssen ihn nicht messen: Die Seite rechnet ihn aus Radius und Höhe mit dem Satz des Pythagoras, denn Radius, Höhe und Mantelhöhe bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Ein Kegel mit Radius 3 und Höhe 4 hat eine Mantelhöhe von genau 5.
- Warum steht die Antwort in Quadratzentimetern, wenn ich in Zoll eingegeben habe?
- Weil die Antwort eine feste Ausgabe in Quadratzentimetern ist, gewählt damit das Ergebnispanel und die Tabellen darunter immer zusammenpassen. Die Auswahlfelder ändern, wie Ihre Maße auf dem Weg hinein verstanden werden, nicht wie die Antwort geschrieben wird. Zum Umrechnen teilen Sie das Ergebnis durch 6,4516 für Quadratzoll — oder quadrieren den Umrechnungsfaktor, denn eine Fläche skaliert mit dem Quadrat der Länge.
- Warum hat ein Würfel von 2 cm Kantenlänge dieselbe Oberfläche wie eine Platte von 3 mal 4?
- Weil beide auf 24 Quadratzentimeter kommen, und es steckt nicht mehr dahinter: Der Würfel hat sechs Flächen zu je 4, und die flache Platte hat zwei Flächen zu je 12 und vier, die auf nichts zusammengefallen sind, weil ihre Höhe null ist. Eine einzelne Oberfläche identifiziert keine Form, und der zweite Körper ist ein entarteter Fall, den die Seite gern berechnet, statt ein Fehler zu sein.
- Geben die Zylinder- und die Kegelseite dieselben Antworten wie diese?
- Bei den überlappenden Werten ja, und das ist Absicht und kein Zufall — die drei Seiten rechnen dieselben Formeln. Ein Zylinder mit Radius 3 und Höhe 4 hat hier eine gesamte Oberfläche von 131,95, und die Zylinderseite gibt dieselbe 131,95 als gesamte Oberfläche aus, weil beide dieselben zwei Kreisflächen zu derselben aufgerollten Mantelfläche addieren.
- Kann ich ausrechnen, wie viel Farbe oder Geschenkpapier ich brauche?
- Ja, für einen geschlossenen Körper, und das ist die häufigste Verwendung der Seite. Zwei Dinge sind zu beachten: Die Antwort ist die ganze Außenseite, ein offener Behälter braucht also eine abgezogene Fläche, und der Wert berücksichtigt keine Überlappung, keinen Verschnitt und keine Materialstärke, weshalb eine praktische Schätzung eher aufgerundet als unverändert verwendet werden sollte. Die Fläche steht in Quadratzentimetern, teilen Sie also durch zehntausend für Quadratmeter.
Quellen
- Surface area — the area of the boundary of a solid, with the formulas for the sphere, the cone, the cylinder and the rectangular prism that this page implements — Wolfram MathWorld (United States)
- Cone — the solid whose lateral surface unrolls into a sector, and whose slant height is the hypotenuse of the right triangle formed by the radius and the height — Wolfram MathWorld (United States)
- Sphere — the surface at a fixed distance from a centre, whose area is exactly four times that of its great circle, the relation the sphere formula here states — Wolfram MathWorld (United States)
- Formelsammlung Mathematik — Volumen und Oberfläche von Quader, Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel, die Formelsammlung des Studienkreises zum Nachschlagen der Oberflächenformeln, die dieser Rechner für die vier Formen verwendet — Studienkreis GmbH (Deutschland)