Quadervolumen-Rechner

V = lwh S = 2(lw + lh + wh)

l

Die Länge des Kastens in Zentimetern — eine beliebige der drei Kanten, solange die beiden anderen Breite und Höhe heißen. Einem Quader ist gleichgültig, welcher Name auf welcher Kante steht

w

Die Breite in Zentimetern. Zusammen mit der Länge legt sie das Rechteck der Grundfläche fest, also die Seite, auf der der Kasten steht

h

Die Höhe in Zentimetern: wie weit der Kasten über seiner Grundfläche aufragt. Das ist die dritte Richtung und diejenige, die aus einem Rechteck mit Fläche einen Körper mit Volumen macht

lwh

Das Volumen — drei Längen miteinander multipliziert. Es ist die Anzahl der Würfel mit einem Zentimeter Kantenlänge, die hineinpassen, und genau das bedeutet ein Kubikzentimeter

lw, lh, wh

Die drei verschiedenen Rechtecke unter den sechs Seiten: Grundfläche, Vorderseite und Seitenfläche. Die anderen drei Seiten sind dieselben drei Rechtecke noch einmal, deshalb muss die Oberflächenformel nicht sechs einzelne Flächen addieren

2(lw + lh + wh)

Die Oberfläche in Quadratzentimetern. Der Faktor zwei steht dafür, dass gegenüberliegende Seiten eines Quaders gleich sind, und er ist der Schritt, den man auslässt, wenn man sechs Flächen einzeln addiert und dabei jedes Paar doppelt zählt

Vier Nachkommastellen

So breit werden die Werte ausgegeben. Beide Größen sind exakt, sobald die drei Längen es sind, die vier Nachkommastellen sind also eine Anzeigebreite und kein Zeichen für Näherung — 0,125 wird vollständig ausgeschrieben

Verpacken und Versand sind der klarste Fall. Das Volumen eines Pakets ist die Grundlage der Frachtberechnung, und die Oberfläche ist der Karton, den der Kasten braucht — die beiden Zahlen, die ein Betrieb kennen muss, bevor er sich auf eine Kartongröße festlegt, und das Volumen entscheidet zusätzlich, ob ein Gegenstand hineinpasst. Die Lagerung ist der zweite Fall: wie viel eine Kiste, eine Schublade, eine Aufbewahrungsbox, ein Aktenkarton oder ein Regalfach fasst und wie viel Wandfläche seine Außenseite belegt. Material ist der dritte: Die Oberfläche ist das, was ein Kasten zu streichen, zu umwickeln, auszukleiden, zu beschichten oder zu beziehen hat, ein nach Quadratmetern kalkulierter Auftrag beginnt also mit dieser Formel, und das Volumen ist das, womit ein Kasten gefüllt wird, wenn die Füllung nach Volumen verkauft wird. Im Bauwesen ist es der Beton in einem rechteckigen Fundament, der Aushub einer rechteckigen Baugrube, das Wasser in einem rechteckigen Tank und die Füllung eines rechteckigen Pflanzstreifens — alles dieselbe Multiplikation, und schief geht dabei die Umrechnung der drei Maße in dieselbe Einheit. In der Fertigung ist es das Material in einem gefrästen Block, das Fassungsvermögen eines Silos und das Volumen eines Rohlings vor der Bearbeitung. In den Naturwissenschaften ist es die Dichte alles dessen, was sich zu einem rechteckigen Körper schneiden lässt, denn Dichte ist Masse geteilt durch Volumen, ebenso das Volumen einer Probenkammer. Im Unterricht ist es der Nachweis, dass Volumen und Oberfläche zwei verschiedene Dinge sind, die aus denselben drei Zahlen stammen: einen Kasten aus Zentimeterwürfeln bauen, die Würfel für das Volumen zählen, die Quadrate auf der Außenseite für die Oberfläche — und dass beide beim Verdoppeln unterschiedlich wachsen, ist die eigentliche Lektion. Und im Alltag beantwortet es, ob ein Möbelstück durch eine Tür passt, wie viel Erde ein Hochbeet braucht und ob die Kiste im Schrank groß genug ist für das, was hineinsoll.

1. Ein Kasten von 5 × 4 × 4

   1. Das Rechteck der Grundfläche: 5 × 4 = 20
   2. Die beiden anderen Rechtecke: 5 × 4 = 20 und 4 × 4 = 16
   3. Die drei addieren und verdoppeln: 2 × (20 + 20 + 16) = 112 Quadratzentimeter
   4. Alle drei Längen multiplizieren: 5 × 4 × 4 = 80 Kubikzentimeter

   Die Maße, mit denen die Seite startet, und derselbe Fall, den die Oberflächenseite für ihre Quader-Variante durchrechnet. Beide Seiten geben 112 aus, und das lohnt einen Vergleich: Die zwei Seiten kommen auf zwei verschiedenen Wegen zu dieser Zahl, und ein Unterschied wäre ein Fehler in einer von beiden. Zu beachten ist, dass hier zwei der drei Maße gleich sind, zwei der drei verschiedenen Seiten also dasselbe Rechteck sind.

2. Ein Kasten von 3 × 4 × 5

   1. Die drei Rechtecke: 3 × 4 = 12, 3 × 5 = 15 und 4 × 5 = 20
   2. Addieren und verdoppeln: 2 × (12 + 15 + 20) = 94 Quadratzentimeter
   3. Alle drei multiplizieren: 3 × 4 × 5 = 60 Kubikzentimeter

   Die klassischen Maße und das Paar, das neben der nächsten Zeile zu lesen ist: Jede Kante zu verdoppeln ergibt nicht bloß einen größeren Kasten, sondern eine andere Art von Antwort. Diese Zeile ist die kleinere Hälfte des Nachweises, um den es auf dieser Seite eigentlich geht.

3. Derselbe Kasten verdoppelt: 6 × 8 × 10

   1. Die drei Rechtecke: 6 × 8 = 48, 6 × 10 = 60 und 8 × 10 = 80
   2. Addieren und verdoppeln: 2 × (48 + 60 + 80) = 376 Quadratzentimeter
   3. Alle drei multiplizieren: 6 × 8 × 10 = 480 Kubikzentimeter

   Jede Kante verdoppelt, also ist die Oberfläche viermal die 94 der vorigen Zeile und das Volumen achtmal deren 60. Das ist das Nützlichste auf dieser Seite: Einen Kasten zu verdoppeln verdoppelt weder seinen Inhalt noch sein Material, und die beiden wachsen nicht einmal mit derselben Rate. Dieselbe Beziehung macht einen großen Behälter je Liter billiger als einen kleinen.

4. Ein Kasten von 12 × 8 × 6

   1. Die drei Rechtecke: 12 × 8 = 96, 12 × 6 = 72 und 8 × 6 = 48
   2. Addieren und verdoppeln: 2 × (96 + 72 + 48) = 432 Quadratzentimeter
   3. Alle drei multiplizieren: 12 × 8 × 6 = 576 Kubikzentimeter

   Ein flacherer und längerer Kasten und die Zeile zum Vergleich mit dem Würfel in der Tabelle. Er fasst 576 Kubikzentimeter und hat 432 Quadratzentimeter Oberfläche, also drei Viertel Quadratzentimeter Karton je Kubikzentimeter Inhalt; der Würfel fasst 1.000 und hat 600, also sechs Zehntel. Unter allen Kästen gleichen Volumens hat der Würfel die kleinste Oberfläche, und jede Abweichung davon kostet Material — deshalb ist ein würfelförmiger Karton der sparsame und ein flacher Kasten gleicher Kapazität nicht.

5. Ein Kasten ohne Höhe: 5 × 5 × 0

   1. Die drei Rechtecke: 5 × 5 = 25, 5 × 0 = 0 und 5 × 0 = 0
   2. Addieren und verdoppeln: 2 × (25 + 0 + 0) = 50 Quadratzentimeter
   3. Alle drei multiplizieren: 5 × 5 × 0 = 0 Kubikzentimeter

   Ein flach gedrückter Kasten, zu einem Blatt geworden. Das Volumen ist null, was richtig ist und kein Versagen der Seite bedeutet, und die Oberfläche ist nicht null — die beiden noch vorhandenen Seiten ergeben zusammen 50. Null ist in jedem der drei Felder ein zulässiger Wert: eine Null zu messen ist eine Messung, und nur ein leeres Feld ist der Fall, mit dem sich nicht rechnen lässt.

Diese Seite berechnet einen rechteckigen Kasten und sonst nichts: keinen Zylinder, keinen Kegel, keine Kugel, keine Pyramide und keinen unregelmäßigen Körper, und sie nimmt kein Volumen entgegen, um daraus eine fehlende Kante zurückzurechnen. Alle drei Maße sind erforderlich, und keines darf negativ sein. Beide Antworten kommen in Zentimetern zurück — als Kubikzentimeter das Volumen, als Quadratzentimeter die Oberfläche —, unabhängig davon, auf welche Einheit ein Feld gestellt ist, denn die Umrechnung geschieht beim Eingeben. Ein in Zoll gemessener Kasten liefert deshalb ein Volumen, das durch 16,387064 geteilt werden muss, um in Kubikzoll gelesen zu werden: Volumina rechnen mit der dritten Potenz des Längenfaktors um, und analog zu 2,54 oder zu 6,4516 zu teilen ist der Fehler, den man vermeiden sollte. Ohne Ausgabe bleibt die Raumdiagonale des Kastens, und die Diagonale, die ein Leser von einer Bildschirmangabe her im Kopf hat, ist die Diagonale einer Seitenfläche — eine andere Länge. Nichts hier behandelt einen Kasten mit abgerundeten Ecken, einen oben offenen Kasten oder die Dicke des Materials: Ein oben offener Kasten verbraucht weniger Material als der hier ausgegebene Wert, und der Unterschied ist genau die weggelassene Seite. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite; die Rechnung selbst ist exakt, sobald die drei Eingaben es sind, eine Zahl wie 0,125 wird also vollständig ausgeschrieben und nicht gerundet. Und nichts hier rechnet zwischen Kubikzentimetern und Litern um: Die Aquariumseite nimmt dieselben drei Maße und antwortet in Litern und Gallonen, wenn das gebraucht wird. Die Eingabefelder lassen bis zu eine Milliarde Zentimeter zu, also zehntausend Kilometer; die Rechnung geht dabei auf, nur hat die Zahl dann längst keinen Bezug mehr zu einem Gegenstand.

Warum wird das Volumen beim Verdoppeln jeder Seite achtmal so groß?

Weil jede der drei Längen verdoppelt wird und sie miteinander multipliziert werden, der Faktor zwei also dreimal eingeht: zwei mal zwei mal zwei ist acht. Die Oberfläche verdoppelt sich nur zweimal, denn eine Fläche ist das Produkt aus zwei Längen, sie wächst also auf das Vierfache. Diese Lücke ist der Grund, warum ein großer Behälter viel mehr fasst als ein kleiner und dabei verhältnismäßig weniger Material braucht.

Ich habe Zoll eingegeben. Warum steht das Volumen in Kubikzentimetern?

Weil die Umrechnung beim Eingeben geschieht und nicht beim Ausgeben. Ihre Zoll werden in Zentimeter umgerechnet, und beide Antworten kommen in Zentimetern zurück. Um das Volumen in Kubikzoll zu lesen, teilen Sie durch 16,387064 — das ist 2,54 hoch drei. Durch 2,54 zu teilen, wie man es bei einer Länge täte, ergibt eine Antwort, die um den Faktor vierzig danebenliegt.

Welches der drei Felder ist die Höhe?

Dasjenige, das Sie als das senkrechte behandeln — einem Quader ist gleichgültig, welcher Name auf welcher Kante steht, denn Volumen und Oberfläche sind in allen drei Richtungen symmetrisch. Das Wort Höhe ist hier im Sinn der Höhe einer Figur gemeint und nicht im Sinn der Höhe eines Behälters oder eines Menschen; am Ergebnis ändert sich nichts, wenn Sie zwei davon vertauschen.

Ist das dasselbe wie die Aquariumseite?

Die Geometrie ist identisch, und es sind dieselben drei Maße, aber die Antworten sind es nicht. Jene Seite behandelt die Figur als Behälter und antwortet in Litern und Gallonen, und ihre Maße sind auf das begrenzt, was ein Becken sinnvoll haben kann. Diese Seite behandelt sie als geometrischen Körper und antwortet in Kubikzentimetern mit der Oberfläche daneben, und das ist das Richtige, wenn der Kasten ein Gegenstand aus Material ist und kein Gefäß.

Bekomme ich die Oberfläche auch allein, oder eine andere Form?

Die Oberflächenseite nimmt eine Kugel, einen Kegel, einen Zylinder oder ein rechteckiges Prisma und gibt nur die Außenfläche aus; sie deckt diesen Kasten also unter drei weiteren Figuren mit ab. Ihre Prisma-Variante ist dieselbe Formel wie hier, und die beiden stimmen überein: Ein Kasten von 5 × 4 × 4 ergibt auf beiden Seiten 112. Wer nur eine Figur will und nichts auswählen möchte, ist hier der kürzere Weg.

Warum gibt es keine Diagonale für den Kasten?

Weil die Diagonale, die die meisten im Kopf haben und die diese Website an anderer Stelle ausgibt, die Diagonale über eine flache Seite ist — die Zahl, die bei Bildschirmangaben steht. Ein Kasten hat außerdem eine Diagonale mitten durch, von einer Ecke zur gegenüberliegenden, und das ist eine andere Länge mit einer anderen Formel. Beides unter dem bloßen Namen Diagonale auszugeben würde die Bezeichnung auf einer der beiden Seiten falsch machen, deshalb fehlt sie hier.

• Quader — der rechteckige Körper mit seinen sechs Flächen, zwölf Kanten und acht Ecken, seinen Formeln für Volumen und Oberfläche und seiner Stellung unter den Prismen — Lernhelfer — Schülerlexikon (Deutschland)
• Quader — der rechteckige Körper und seine drei Kantenlängen; der Eintrag zeigt, warum aus drei Längen ein Volumen wird und wie daraus die Oberfläche folgt — Rhetos Lexikon (Deutschland)
• Oberfläche — was die Oberfläche eines Körpers ist: die gesamte nach außen weisende Fläche, beim Würfel alle sechs Seiten und beim Eisberg auch die Flächen nach unten — Rhetos Lexikon (Deutschland)
• Prisma — die Volumenformel des Prismas, hergeleitet aus der Volumenformel des Quaders (V = a·b·c = A_G·h), und die Oberfläche als Summe aus doppeltem Grundflächeninhalt und Mantelfläche — Lernhelfer — Schülerlexikon (Deutschland)