Kreisfläche-Rechner

A = πr²

π

Dieselbe Konstante für jeden Kreis, etwa 3,14159. Sie ist das Verhältnis von Kreisumfang zu Durchmesser, daher stammt sie, und deshalb steht sie sowohl in den Längenformeln als auch in dieser

r

Der Radius in Zentimetern — die Hälfte des Durchmessers oder der Kreisumfang geteilt durch 2π, je nachdem, welches Feld ausgefüllt wurde

r²

Der Radius mit sich selbst multipliziert und nicht mit zwei. Der doppelte Radius vervierfacht die Fläche; das ist die nützlichste Aussage über diese Formel und der Grund, warum die Tabelle ein Zeilenpaar dafür hat

Fläche

Wie viel ebene Fläche das Kreisinnere umschließt, in Quadratzentimetern, unabhängig davon, in welcher Einheit die Eingabe gemacht wurde

Kreisumfang ÷ 2π

So wird ein Radius aus einer Länge zurückgewonnen, die am Rand entlang gemessen wurde. Das Ergebnis ist keine Zahl, die endet, deshalb bleibt es bis nach dem Quadrieren ungerundet

Durchmesser ÷ 2

Der andere Weg hinein, und der leichtere: Der Radius ist genau die Hälfte des Durchmessers, sobald der Durchmesser ein gemessener Wert ist

Vier Dezimalstellen

Die Breite, in der der Wert ausgegeben wird. Die Fläche eines Kreises ist fast nie eine Zahl, die endet, die vier Nachkommastellen sind also eine Ausgabebreite und keine Zusage, dass die Zahl exakt ist

Alles Runde, dessen Fläche bedeckt, beschichtet, zugeschnitten oder bepreist wird. Streichen und Beschichten ist der klarste Fall: eine runde Tischplatte, ein Tankdeckel, ein rundes Schild, eine zu lackierende Metallscheibe — sie alle werden nach Flächeneinheit angeboten, und diese Fläche ist die Formel dieser Seite. Aus Plattenmaterial zugeschnitten ist der zweite Fall: ein aus Stahl gestanztes rundes Teil, eine runde Glasscheibe, ein Dichtungsring, eine runde Tischdecke — und dort sagt die Fläche, wie viel von der Platte jedes Stück verbraucht, und davon hängt der Preis ab. Im Garten- und Bauwesen rechnet man damit runde Beete, runde Terrassenflächen, runde Rasenflächen, den Querschnitt einer Säule und die Wasserfläche eines runden Teichs. In der Technik ist es die Querschnittsfläche eines Rohrs, einer Welle oder eines Kabels, an der Durchflussmenge und Strombelastbarkeit gemessen werden — ein Rohr mit doppeltem Durchmesser hat die vierfache Querschnittsfläche, und dieser Faktor vier führt in beide Richtungen zu Fehlschlüssen. In der Physik und im Alltag ist es die Fläche, die einen Druck in eine Kraft, eine Intensität in eine Gesamtmenge oder eine Regenmenge in ein Wasservolumen verwandelt. Und dann ist da die Verwendung im Unterricht, und sie ist die, die die Formel verankert: Zeichnen Sie einen Kreis auf Millimeterpapier, zählen Sie die ganzen Kästchen im Inneren und vergleichen Sie die Zahl mit πr². Die Zählung fällt etwas zu niedrig aus, weil die Kästchen am Rand teilweise außerhalb liegen, und genau diese Lücke ist für die meisten die erste ehrliche Begegnung damit, was eine irrationale Konstante in einer Formel bedeutet.

1. Ein Radius von 5

   1. Der Radius im Quadrat: 5 × 5 = 25
   2. Mit π multiplizieren: 25 × 3,14159 = 78,5398

   Das Paar, mit dem die Seite startet, und die Zeile, die diese Seite mit der Übersichtsseite verbindet: Ein Kreis mit dem Radius 5 hat dort dieselbe Fläche von 78,5398. Dazwischen wurde nichts gerundet, deshalb stimmen beide bis zur letzten Stelle überein — eine Fläche, die aus einem bereits gerundeten Radius gerechnet wird, täte das nicht.

2. Ein Durchmesser von 12

   1. Den Durchmesser halbieren, das ergibt den Radius: 12 ÷ 2 = 6
   2. Ins Quadrat setzen: 6 × 6 = 36
   3. Mit π multiplizieren: 36 × 3,14159 = 113,0973

   Der Weg, auf dem die meisten hier ankommen, weil ein rundes Objekt quer leichter zu messen ist als vom Mittelpunkt zum Rand. Diese Seite gibt den Radius nicht zurück; wer prüfen will, ob die 12 als 6 gelesen wurde, schaut in die Radius-Spalte der Tabelle — die 6 steht dort nicht, aber die Zeile mit Radius 3 hat den Durchmesser 6 und die Zeile mit Radius 10 den Durchmesser 20, und das reicht, um die verwendete Beziehung zu erkennen.

3. Ein Kreisumfang von 20

   1. Den Radius zurückrechnen: 20 ÷ (2 × π) = 3,1830988…
   2. Ins Quadrat setzen: 3,1830988 × 3,1830988 = 10,1318311…
   3. Mit π multiplizieren: 10,1318311 × 3,14159 = 31,8310

   Die Zeile, die erklärt, warum diese Seite niemals zwischendurch rundet. Der Radius lässt sich hier nicht hinschreiben — er ist 10/π —, deshalb läuft er ungerundet durch das Quadrieren, und gerundet wird nur die Antwort. Der andere Weg: den Radius aus der Tabelle als 3,1831 ablesen, quadrieren, mit π multiplizieren, und es kommt 31,8309 heraus. Eine Ziffer daneben, und keine der beiden Rechnungen ist falsch: Eine von ihnen hat vor dem Ende gerundet.

4. Ein Radius von 10

   1. Der Radius im Quadrat: 10 × 10 = 100
   2. Mit π multiplizieren: 100 × 3,14159 = 314,1593

   Genau die vierfache Fläche eines Kreises mit dem Radius 5, und die sauberste Stelle, um zu sehen, dass der doppelte Radius die vierfache Fläche ergibt. Der Radius wuchs um den Faktor zwei und die Antwort um den Faktor vier, weil der Radius im Quadrat steht. Dieselbe Beziehung sorgt dafür, dass ein Rohr mit doppeltem Durchmesser viermal so viel durchlässt.

5. Ein Radius von 0

   1. Der Radius im Quadrat: 0 × 0 = 0
   2. Mit π multiplizieren: 0 × 3,14159 = 0

   Ein Kreis ohne Ausdehnung umschließt nichts, und die Antwort null ist richtig und nicht etwa fehlend. Null ist in jedem der drei Felder ein zulässiger Wert — der Unterschied zwischen einer Messung von null und gar keiner Messung —, und den zweiten Fall, das leere Feld, behandelt die Seite als den Fall ohne Anhaltspunkt.

Diese Seite gibt nur die Fläche zurück, sonst nichts: keinen Kreisumfang, keinen Durchmesser, keinen Radius. Wer eine Fläche hat und einen der anderen Werte braucht, ist auf der anderen Seite richtig. Die Ausgabe steht immer in Quadratzentimetern, unabhängig davon, in welcher Einheit die Eingabe gemacht wurde — umgerechnet wird beim Hineinlesen, ein in Zoll eingegebener Radius kommt also als Quadratzentimeterwert zurück, der für Quadratzoll durch 6,4516 geteilt werden muss. Eine Fläche durch den Längenfaktor 2,54 statt durch dessen Quadrat zu teilen, ist der Fehler, auf den man achten sollte. Die Antwort wird aus einem ungerundeten Radius gerechnet; wer vom Kreisumfang ausgeht und die Rechnung mit einem gerundeten Radius nachprüft, weicht in der letzten Stelle ab, und falsch ist dabei nicht die Seite. Vier Nachkommastellen sind eine Ausgabebreite und keine Zusage, dass die Fläche exakt ist — die Fläche eines Kreises ist fast nie eine Zahl, die endet, und 78,5398 ist eine gerundete 78,53981633… Ein Kreis mit dem Radius null wird angenommen und liefert die Fläche null, was korrekt ist. Diese Seite nimmt genau eine der drei Längen an: Zwei davon führen zur Zurückweisung, weil zwei widersprüchliche Angaben keinen Kreis beschreiben. Eine Ellipse, ein Kreissegment, ein Kreisausschnitt und die Oberfläche einer Kugel sind hier nicht dabei — jedes davon ist eine andere Figur mit einer anderen Formel, und eine Ellipse insbesondere ist kein zusammengedrückter Kreis mit einer bequemen Fläche.

Warum darf ich nur eines der drei Felder ausfüllen?

Weil die drei dieselbe Länge auf drei Weisen beschreiben: Zwei davon sind überflüssig, und zwei, die sich widersprechen, sind ein Widerspruch. Ein Radius von 5 und ein Durchmesser von 12 können nicht von demselben Kreis gelten. Die Seite weist zwei Felder zurück, statt stillschweigend eines zu wählen, denn der Sinn der Felder ist gerade, dass Sie die Länge eintragen, die Sie tatsächlich gemessen haben.

Ich habe in Zoll eingegeben. Warum steht die Antwort in Quadratzentimetern?

Weil die Umrechnung beim Hineinlesen geschieht und nicht beim Ausgeben. Ihre Zoll werden in Zentimeter umgerechnet, die Fläche wird berechnet, und die Antwort steht in Quadratzentimetern — sie ist kein Quadratzollwert. Für Quadratzoll teilen Sie durch 6,4516, das ist 2,54 im Quadrat. Flächen rechnen mit dem Quadrat des Längenfaktors um, und durch 2,54 statt durch dessen Quadrat zu teilen ist der Fehler, den man vermeiden sollte.

Warum bekomme ich beim Nachrechnen von Hand eine etwas andere Zahl?

Wegen der Stelle, an der gerundet wird. Die Seite hält den Radius bis zuletzt ungerundet, und wenn Sie vom Kreisumfang ausgegangen sind, ist dieser Radius ohnehin eine Zahl, die sich nicht exakt hinschreiben lässt. Lesen Sie ihn aus der Tabelle ab, quadrieren ihn und multiplizieren, runden Sie zwischendurch. Bei einem Kreisumfang von 20 macht das 0,0001 aus, und diese Seite ist diejenige, die mit sich selbst übereinstimmt.

Warum ergibt der doppelte Radius die vierfache Fläche?

Weil der Radius im Quadrat steht und nicht verdoppelt wird. Der doppelte Radius bedeutet in jeder der beiden Richtungen, aus denen das Quadrat gebildet wird, den doppelten Wert, die Fläche wächst also um zwei mal zwei. Das lohnt sich zu merken: Es ist dieselbe Beziehung, die ein Rohr mit doppeltem Durchmesser viermal so viel fördern lässt, und sie führt in beide Richtungen zu Fehlschlüssen.

Zeigt die Seite mir, als was sie meinen Durchmesser gelesen hat?

Nicht direkt — das Ergebnisfeld zeigt nur die Fläche und gibt nicht zurück, was Sie eingetippt haben. Genau dafür steht die Tabelle da: Jede Zeile stellt einen Radius neben seinen Durchmesser und seine Fläche, sodass Sie eine Zeile in der Nähe Ihres Werts finden und die angewendete Verdopplung ablesen können. Ein Durchmesser von 12 ist ein Radius von 6; die Zeile mit Radius 3 zeigt den Durchmesser 6, also genau diese Verdopplung.

Kann ich hier aus der Fläche den Radius zurückrechnen?

Auf dieser Seite nicht. Die Richtung ist bewusst umgekehrt: Diese Seite nimmt eine Länge und gibt eine Fläche, und der Rückweg enthält eine Wurzel. Es gibt eine Seite, die das zusammen mit allem anderen erledigt und aus jeder der vier Größen die übrigen drei zurückgibt; die ist die richtige, wenn die Fläche Ihr Ausgangspunkt ist.

• Circle — die Kurve, ihr Radius, ihr Durchmesser und ihr Kreisumfang sowie das πr², das die Fläche der von ihr eingeschlossenen Region ergibt — Wolfram MathWorld (United States)
• Disk — die ebene Region, deren Fläche diese Seite berechnet, im Unterschied zu der Kurve, die sie begrenzt; daher kommt die Antwort in Quadrateinheiten — Wolfram MathWorld (United States)
• Area — was eine Fläche ist und wie sie definiert wird, einschließlich der Begründung, warum zwischen Quadrateinheiten mit dem Quadrat des Längenfaktors umgerechnet wird — Wolfram MathWorld (United States)
• Flächeninhalt Kreis — Mathebibel: die Formel A = πr², ihre Herleitung über den Kreisumfang und das Auflösen nach dem Radius — Mathebibel (Deutschland)