Kreisumfang-Rechner

C = 2πr

π

Die Konstante, die jeden Kreis teilt, etwa 3,14159. Sie ist definiert als Kreisumfang geteilt durch Durchmesser; daher stammt sie, und deshalb ist das Teilen durch sie der Weg zurück

r

Der Radius in Zentimetern — der Abstand vom Mittelpunkt nach außen, oder die Hälfte des Durchmessers, wenn der Durchmesser die gemessene Größe war

2πr

Die Formel: der Radius verdoppelt und dann mit π multipliziert. Erst zu verdoppeln ist rechnerisch dasselbe, wie vom Durchmesser auszugehen und ihn einmal mit π zu multiplizieren; die Seite schreibt es so, damit beide Felder auf dieselbe ausführliche Zahl kommen

Kreisumfang

Wie weit es einmal um den Kreis herumgeht, in Zentimetern, unabhängig davon, in welcher Einheit das Eingabefeld gelesen wird

Durchmesser ÷ 2

Der Weg hinein aus dem anderen Feld. Das Halbieren ist exakt, solange der Durchmesser ein gemessener Wert ist; deshalb kommt diese Seite auf dieselbe Antwort wie die, die von einem Radius ausgeht

Der doppelte Radius

Was das Verdoppeln hier bewirkt: Der Kreisumfang verdoppelt sich mit. Für die Fläche desselben Kreises gilt das nicht, sie vervierfacht sich — und nach der falschen der beiden Regeln zu greifen ist der häufigste Rechenfehler an runden Formen

Vier Dezimalstellen

Die Breite, in der der Wert ausgegeben wird. Ein Kreisumfang ist fast nie eine Zahl, die endet, außer der Radius wurde eigens so gewählt; 2π mal einem Radius von 5 ergibt 31,41592…, und die Seite zeigt 31,4159

Alles, was um etwas anderes herumgeführt werden muss. Zäune, Einfassungen und Ränder sind der klarste Fall: die Zaunlänge um ein rundes Gehege, das Randband um einen runden Rasen, die Umleimer um eine runde Tischplatte oder einen runden Spiegel — sie alle folgen dieser Formel und werden nach Metern gekauft. Riemen, Bänder und Reifen sind der zweite: ein Antriebsriemen um zwei gleich große Scheiben, ein Metallband um ein Fass, ein Dichtungsring, eine runde Dichtung, das Spannband um einen Tankdeckel. Jeder davon wird auf einen Kreisumfang zugeschnitten, und der Unterschied zwischen Innen- und Außenseite des Materials ist eine eigene Zugabe, die diese Seite nicht berücksichtigt. Das Rollen ist der dritte und der am wenigsten offensichtliche Fall: Ein Rad mit bekanntem Durchmesser legt in einer vollen Umdrehung genau seinen Kreisumfang zurück, die Strecke eines Fahrrads, eines Autos oder eines Messrads ist also der Kreisumfang mal der Zahl der Umdrehungen — genau so arbeitet ein mechanischer Kilometerzähler. Im Bau und im Gartenbau ist es die Länge einer runden Bordsteinkante, die Abdeckung um ein rundes Becken, die Menge an Rinnensteinen um eine runde Zufahrt und der Verlauf einer runden Mauer. In der Technik ist es die Riemenlänge um eine einzelne Scheibe, der Kreisumfang eines Rohrs, das eine Isolierung oder ein Klebeband umschließen muss, und der Weg je Umdrehung einer beliebigen Walze. Im Unterricht ist es der erste Ort, an dem Schülerinnen und Schüler begegnen, dass eine Konstante irrational und trotzdem brauchbar sein kann: eine Schnur um eine Dose legen, an einem Lineal strecken, durch den Durchmesser teilen, und es kommt jedes Mal etwas mehr als drei heraus — genau deshalb lohnt es sich, diese Kreiszahl aufzuschreiben. Und im Alltag ist es die Länge des Bands um ein Glas, die Paspel um ein Kissen oder die Frage, ob eine runde Tischdecke groß genug ist, um über die Kante zu hängen.

1. Ein Radius von 5

   1. Den Radius verdoppeln: 2 × 5 = 10
   2. Mit π multiplizieren: 10 × 3,14159 = 31,4159

   Das Paar, mit dem die Seite startet, und die Zahl, die diese Seite mit zwei anderen verbindet: Ein Kreis mit dem Radius 5 misst hier 31,4159, auf der Übersichtsseite ebenso und auf der Ellipsenseite, wenn beide Achsen 10 betragen. Alle drei stimmen bis zur letzten Stelle überein, weil keine von ihnen den Radius vor dem Multiplizieren rundet.

2. Ein Durchmesser von 12

   1. Den Durchmesser halbieren, das ergibt den Radius: 12 ÷ 2 = 6
   2. In der Formel wieder verdoppeln: 2 × 6 = 12
   3. Mit π multiplizieren: 12 × 3,14159 = 37,6991

   Der Weg, auf dem die meisten hier ankommen, weil ein rundes Objekt quer leichter zu messen ist, als seinen Mittelpunkt zu finden. Das Halbieren und das Verdoppeln heben sich genau auf, die Antwort ist also dieselbe Zahl, die die Übersichtsseite für einen Durchmesser von 12 ausgibt — der Umweg über den Radius kostet nichts und ist das, was die beiden Seiten in Übereinstimmung hält.

3. Ein Radius von 10

   1. Den Radius verdoppeln: 2 × 10 = 20
   2. Mit π multiplizieren: 20 × 3,14159 = 62,8319

   Genau der doppelte Kreisumfang eines Kreises mit dem Radius 5, und die sauberste Stelle, um zu sehen, dass der Rand eines Kreises mit seinem Radius wächst und nicht mit dessen Quadrat. Vergleichen Sie es mit der Flächenseite, wo dieselbe Änderung von 5 auf 10 die Antwort vervierfacht. Zwei Seiten, eine geänderte Zahl, zwei verschiedene Faktoren — und zu wissen, welcher wann gilt, ist fast alles, was man über runde Formen wissen muss.

4. Ein Radius von einem halben Zentimeter

   1. Den Radius verdoppeln: 2 × 0,5 = 1
   2. Mit π multiplizieren: 1 × 3,14159 = 3,1416

   Ein Kreis mit dem Radius ein halb hat einen Kreisumfang von zahlenmäßig genau π; das ist eine hübsche Beobachtung und der kürzeste Weg, sich zu merken, was die Formel für r gleich ein halb tut. Bei so kleinen Kreisen sind die vier Nachkommastellen nicht mehr großzügig: In dieser Größe ist der abgelesene Wert die Kreiszahl auf vier Stellen, und jede weitere Ziffer wäre Rauschen auf einer Messung, die niemand so genau nehmen kann.

5. Ein Radius von 0

   1. Den Radius verdoppeln: 2 × 0 = 0
   2. Mit π multiplizieren: 0 × 3,14159 = 0

   Ein Kreis ohne Ausdehnung hat nichts, um das man herumgehen könnte, und null ist die richtige Antwort und keine fehlende. Null ist in beiden Feldern ein zulässiger Wert — der Unterschied zwischen der Messung null und gar keiner Messung —, und ein leeres Feld ist der Fall, den die Seite als den ohne Anhaltspunkt behandelt.

Diese Seite gibt den Kreisumfang zurück und sonst nichts: nicht den Radius, nicht den Durchmesser, nicht die Fläche. Wer einen Kreisumfang bereits hat und einen der anderen Werte braucht, ist auf einer anderen Seite richtig. Die Antwort steht immer in Zentimetern, unabhängig davon, in welcher Einheit die Felder gelesen werden, weil die Umrechnung beim Hineinlesen geschieht; ein in Zoll eingegebener Radius kommt als Zentimeterwert zurück, der für Zoll durch 2,54 geteilt werden muss, und diese eine Division stimmt nur für diese Seite — Flächen und Volumen rechnen anders um. Die Antwort wird aus einem ungerundeten Radius berechnet und am Ende einmal gerundet; eine Handrechnung, die den Radius vorher rundet, kann in der letzten Stelle abweichen, und falsch ist dabei nicht die Seite. Vier Nachkommastellen sind eine Ausgabebreite und keine Zusage auf Exaktheit — ein Kreisumfang ist meist ein unendlicher Dezimalbruch, und 31,4159 ist eine gerundete 31,41592… Genau ein Feld darf ausgefüllt sein: Geben Sie der Seite zwei, und seien sie untereinander verträglich, weist sie beide zurück, denn zwei Felder sind zwei Messungen, und die Seite kann nicht wissen, welche von beiden Sie gemeint haben. Ein Kreisumfang von null wird angenommen und mit null beantwortet. Eine Ellipse, ein Kreissegment, ein Kreisausschnitt und eine Spirale sind hier nicht dabei — für den Umfang einer Ellipse gibt es insbesondere gar keine elementare Formel, eine Seite, die eine anbietet, bietet also eine Näherung an und sollte das auch sagen.

Warum darf ich nur eines der beiden Felder ausfüllen?

Weil Radius und Durchmesser dieselbe Messung in zwei Schreibweisen sind, zwei Angaben also entweder überflüssig sind oder sich widersprechen. Ein Radius von 5 und ein Durchmesser von 12 können nicht für einen Kreis beide gelten. Die Seite weist zwei Felder zurück, statt eines auszuwählen, denn der Sinn der beiden Felder ist, dass Sie dasjenige ausfüllen, das Sie tatsächlich gemessen haben.

Ich kann nur quer über den Kreis messen. Welches Feld ist das?

Der Durchmesser, und er ist der häufigere Weg hinein — ein Maßband über eine Dose, eine Tischplatte oder ein Rohr ist weit weniger mühsam, als den Mittelpunkt zu suchen und von dort nach außen zu gehen. Die Seite halbiert ihn zum Radius und verdoppelt ihn in der Formel wieder; das klingt nach einem Umweg und ist keiner: Es ist das, was die Zahl mit der identisch hält, die die Übersichtsseite für denselben Kreis ausgibt.

Ich habe in Zoll eingegeben. Warum steht die Antwort in Zentimetern?

Weil die Umrechnung beim Hineinlesen geschieht und nicht beim Ausgeben. Ihre Zoll werden in Zentimeter umgerechnet, der Kreisumfang wird berechnet, und die Antwort steht in Zentimetern. Für Zoll teilen Sie durch 2,54. Diese eine Division ist hier richtig, weil ein Kreisumfang eine Länge ist — bei einer Fläche wäre derselbe Teiler falsch, dort steht der Längenfaktor im Quadrat.

Warum ist der Kreisumfang eines Kreises mit Radius 1 nicht genau 6,2832?

Weil er genau 2π ist, und 2π ist ein unendlicher Dezimalbruch — 6,283185… Die Seite gibt ihn mit vier Nachkommastellen aus, Sie sehen also die gerundete 6,2832. Der abgelesene Wert ist eine Ausgabebreite und keine Behauptung, dass die Zahl endet; außer null und einigen eigens gewählten Werten wird kein Radius einen Kreisumfang ergeben, der abbricht.

Verdoppelt sich der Kreisumfang, wenn sich der Radius verdoppelt?

Ja, und das ist die eine Stelle, an der eine von der Flächenformel übernommene Angewohnheit in die Irre führt. Ein Kreisumfang ist eine Länge, er wächst also im Verhältnis zum Radius; die Fläche desselben Kreises wächst mit dem Quadrat des Radius, verdoppelt sich dort also auf das Vierfache. Genau deshalb zeigt die Tabelle die ersten beiden Zeilen: Der Radius geht von 1 auf 2 und der Kreisumfang von 6,2832 auf 12,5664.

Kann ich den Radius oder den Durchmesser aus einem Kreisumfang zurückrechnen?

Auf dieser Seite nicht — sie nimmt einen Radius oder einen Durchmesser und gibt den Kreisumfang, in einer Richtung. Der Rückweg ist eine Division durch π, und die Seite, die ihn in beide Richtungen geht und Durchmesser und Kreisumfang zusammen ausgibt, ist die Seite Kreisumfang in Durchmesser. Die Übersichtsseite liefert Ihnen außerdem alle vier Größen aus jeder einzelnen von ihnen.

• Circumference — wie weit es um einen Kreis herumgeht, das 2πr, das ihn ergibt, und sein Verhältnis zum Durchmesser und zur Kreiszahl — Wolfram MathWorld (United States)
• Circle — die Kurve selbst, mit Radius, Durchmesser, Kreisumfang und der Definition von π als dem Verhältnis der beiden letzten — Wolfram MathWorld (United States)
• Pi — die Konstante, mit der diese Formel multipliziert, samt der Begründung, warum sie irrational ist und ein Kreisumfang deshalb fast nie eine Zahl ergibt, die endet — Wolfram MathWorld (United States)
• Umfang Kreis — Mathebibel: die Formel für den Kreisumfang, der Weg über den Durchmesser und durchgerechnete Beispiele — Mathebibel (Deutschland)