Bogenlänge-Rechner

L = (θ ÷ 360) × 2πr

Radius

Der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises bis zum Bogen, in Zentimetern

θ (Theta)

Der Mittelpunktswinkel in Grad — der Winkel zwischen den beiden Radien, die an den Enden des Bogens anliegen. Nicht der Winkel, den der Bogen auf dem Papier zurücklegt, und nicht der Winkel zwischen den beiden Enden, wie er von außen aussieht

360

Der ganze Kreis in Grad und der Grund, warum diese Formel so geschrieben ist, wie sie ist. Der Winkel durch 360 geteilt ergibt den Anteil des Kreises, den der Bogen einnimmt

2πr

Der Kreisumfang — die Länge des ganzen Kreises, von der hier ein Bruchteil genommen wird. Das π ist dieselbe Konstante, die jeder Kreis hat, und r ist noch einmal der Radius

L

Die Länge des Bogens, in Zentimetern. Derselbe Anteil am Kreisumfang, den der Winkel an den 360 Grad hat

L = rθ

Dieselbe Formel in ihrer Kurzform, die Lehrbücher und Nachschlagewerke drucken. In dieser Form steht θ im Bogenmaß, nicht in Grad — hier 60 statt 1,0472 einzusetzen ist genau der Fehler, vor dem diese Seite warnt

Vier Dezimalstellen

So breit wird das Ergebnis geschrieben. Es lässt sich meist nicht exakt hinschreiben, weil π das nicht lässt — ein Viertelkreis mit Radius 5 endet bei 7,8540

Immer wenn ein Stück Kreis gebraucht wird und seine Länge zählt. Der nüchternste Fall ist das Aufmaß: eine gebogene Wand, eine gerundete Arbeitsplatte, ein Erker, eine Kurve im Weg, ein Zaun, der einer Rundung folgt statt einer Geraden — bestellt wird die Länge entlang der Kurve, und sie ist länger als der gerade Abstand zwischen den beiden Enden. Material, das als Band geliefert und gebogen wird, ist der zweite Fall: Kantenband, Zierleiste, Dichtung, Leerrohr, das gebogene Stück eines Handlaufs, ein Blech, das auf einen Radius gewalzt wird. Eine Länge vor dem Schnitt auszurechnen ist der ganze Sinn der Sache, und ein zu kurz geschnittener Bogen ist Ausschuss. Fahrzeuge und Maschinen sind der dritte Fall: die Strecke, die ein Scheibenwischer überstreicht, die Bahn eines Roboterarms, ein Riemen über einer gebogenen Führung, die Länge einer Kette um ein Kettenrad. In allen diesen Fällen ist die Bogenlänge die tatsächlich zurückgelegte Strecke, und sie ist das Maß, nach dem der Antrieb ausgelegt wird. Dazu kommt der Unterricht. Auf einem mit dem Zirkel gezeichneten Kreis ist das Verhältnis mit einem Blick zu sehen — ein Bogen von 90 Grad ist ein Viertel des Kreisumfangs, und man kann das gegen die Formel nachrechnen —, und es ist das Getriebe, das zu Kreisausschnitt, Kreissegment und schließlich zum Bogenmaß weiterführt: Bogenmaß ist nichts weiter als dasselbe Verhältnis, andersherum ausgedrückt.

1. Radius 5 und ein Winkel von 90 Grad

   1. Der Winkel als Anteil des Kreises: 90 ÷ 360 = 1/4
   2. Der ganze Kreisumfang: 2 × π × 5 = 31,4159
   3. Ein Viertel davon: 31,4159 ÷ 4 = 7,854

   Ein Viertelkreis, und das Paar, mit dem die Seite startet. Die beiden Zahlen, die man zusammen im Kopf behalten sollte, sind diese 7,854 und die 31,4159, die derselbe Radius bei 360 Grad liefert — die eine ist genau viermal die andere, und daran sieht man am schnellsten, dass der Winkel wirklich als Bruchteil verwendet wird und nicht als etwas anderes.

2. Radius 5 und ein Winkel von 60 Grad

   1. Der Winkel als Anteil des Kreises: 60 ÷ 360 = 1/6
   2. Der ganze Kreisumfang: 2 × π × 5 = 31,4159
   3. Ein Sechstel davon: 31,4159 ÷ 6 = 5,236

   Ein Sechstelkreis, und das ist der Winkel, den ein gleichseitiges Dreieck im Mittelpunkt aufspannt — der Grund, warum 60 Grad überall auftaucht, wo etwas in sechs Teile geteilt wird. Diese Zeile steht auch auf der Seite zum Kreisausschnitt, die beiden Seiten lassen sich also nebeneinander legen: Was hier als Bogenlänge steht, steht dort für denselben Radius und denselben Winkel als dieselbe Zahl.

3. Radius 5 und eine volle Umdrehung

   1. Der Winkel als Anteil des Kreises: 360 ÷ 360 = 1
   2. Der ganze Kreisumfang: 2 × π × 5 = 31,4159
   3. Alles davon: 31,4159

   Der Grenzfall und zugleich eine Kontrolle für die ganze Seite: Bei 360 Grad ist der Bogen einmal herumgelaufen und hat sich geschlossen, er ist also der Kreisumfang, und der Kreisumfang eines Kreises mit Radius 5 beträgt 31,4159. Stünde in dieser Zeile jemals etwas anderes, wäre die Formel falsch — genau deshalb gehört sie in die Tabelle.

4. Radius 10 und ein Winkel von 90 Grad

   1. Der Winkel als Anteil des Kreises: 90 ÷ 360 = 1/4
   2. Der ganze Kreisumfang: 2 × π × 10 = 62,8319
   3. Ein Viertel davon: 62,8319 ÷ 4 = 15,708

   Derselbe Viertelkreis wie im ersten Beispiel, und dieselbe Länge wie der Bogen von 180 Grad beim Radius 5. Den Radius verdoppeln und den Winkel halbieren lässt die Bogenlänge unverändert, weil sie von beiden zusammen abhängt und nicht von einem allein. Billiger lässt sich nicht zeigen, warum die Formel multipliziert und nicht addiert.

5. Radius 5 und ein Winkel von 0 Grad

   1. Der Winkel als Anteil des Kreises: 0 ÷ 360 = 0
   2. Der ganze Kreisumfang: 2 × π × 5 = 31,4159
   3. Nichts davon: 0

   Ein Winkel von null bedeutet, dass die beiden Radien aufeinandergelaufen sind und der Bogen zu einem einzigen Punkt auf dem Kreis geschrumpft ist; seine Länge ist null. Das ist ein echtes Ergebnis, und die Seite gibt es aus — etwas anderes als ein leeres Feld, denn ein leeres Feld hat nichts, woraus sich rechnen ließe, und zeigt gar kein Ergebnis.

Diese Seite liefert die Länge des Bogens und sonst nichts. Sie gibt nicht die Fläche des Kreisausschnitts, nicht die Länge der geraden Sehne zwischen den beiden Enden, nicht den Winkel und nicht den Radius — die ersten beiden stehen auf der Seite zum Kreisausschnitt, und der umgekehrte Weg vom Bogen zum Winkel ist eine andere Seite. Der Winkel wird in Grad angegeben und ist bei 360 gedeckelt: Ein Mittelpunktswinkel über eine volle Umdrehung hinaus wird abgelehnt statt umgerechnet, weil ein Mittelpunktswinkel von der Definition her nicht mehr als eine Umdrehung ist. Null wird bei beiden Eingaben angenommen und ergibt einen Bogen der Länge null, was für einen Punkt richtig ist und nicht dasselbe wie ein leeres Feld. Beide Eingaben werden in derselben Einheit gelesen, ein Radius in Zoll ergibt also eine Bogenlänge in Zoll; umgerechnet wird nichts. Das Ergebnis ist die Länge entlang eines Kreisbogens und sagt über jede andere Kurve nichts aus — ein elliptischer Bogen, eine Spirale, eine Kettenlinie oder eine Rundung, die kein echter Kreis ist, kommen nicht richtig heraus, und von diesen ist die Ellipse der Fall, den man am ehesten für leichter hält, als er ist.

Wird der Winkel in Grad oder im Bogenmaß angegeben?

In Grad. Die Formel, die diese Seite berechnet, lautet (θ ÷ 360) × 2πr und ist so geschrieben, dass die Grad vor allem anderen herausgeteilt werden. Die Kurzform, die man anderswo sieht, L = rθ, nimmt stattdessen das Bogenmaß, und das ist gut zu wissen, weil 60 darin ein Ergebnis liefert, das rund 57-mal zu groß ist — und ein Ergebnis, das nur lang ist, sieht nicht falsch aus.

Welcher Winkel in einer Zeichnung ist der Mittelpunktswinkel?

Der im Mittelpunkt des Kreises, zwischen den beiden Radien, die zu den Enden des Bogens führen. Es ist nicht der Winkel zwischen den beiden Enden, von irgendwo auf dem Bogen aus gemessen, und nicht der Winkel, um den die Kurve auf dem Papier scheinbar abbiegt. Sind in der Zeichnung mehrere Winkel eingezeichnet, ist der Mittelpunktswinkel der mit der Spitze im Kreismittelpunkt.

Worin unterscheidet sich diese Seite von der zum Kreisausschnitt?

Die Seite zum Kreisausschnitt liefert drei Werte aus denselben zwei Eingaben — die Fläche des Kuchenstücks, die Bogenlänge und die gerade Sehne zwischen den Enden —, weil wer an einem Ausschnitt arbeitet, meist mehr als einen davon braucht. Diese Seite liefert allein die Bogenlänge. Bei dieser einen Zahl stimmen beide Seiten genau überein; wer nur die Länge braucht, ist hier kürzer unterwegs.

Darf der Winkel größer als 360 Grad sein?

Nein, und die Seite lehnt ihn ab, statt ihn umzurechnen. Ein Mittelpunktswinkel ist von der Definition her ein Winkel im Kreismittelpunkt und kann nicht mehr als eine volle Umdrehung sein; 400 Grad hieße ein Bogen, der länger als der ganze Kreisumfang ist, und das ist kein Bogen. Die Grenze ist Absicht und stimmt mit der Seite zum Kreisausschnitt überein, dasselbe Zahlenpaar wird also auf beiden Seiten gleich angenommen oder abgelehnt.

Hängt die Bogenlänge vom Radius ab?

Ja, und zwar über eine Multiplikation und nicht über eine Addition. Ein doppelter Radius verdoppelt den Bogen, ein doppelter Winkel ebenfalls, ein Bogen von 180 Grad beim Radius 5 und einer von 90 Grad beim Radius 10 sind also gleich lang. Deshalb multipliziert die Formel die beiden Größen, statt etwas anderes mit ihnen zu tun.

Was ist, wenn die Kurve kein Kreis ist?

Dann liefert diese Seite nicht die richtige Antwort, und sie warnt auch nicht davor. Jeder Bogen hier ist ein Stück eines echten Kreises. Ein elliptischer Bogen, eine Wendeltreppe, eine Kettenlinie und die Bahn eines geworfenen Körpers haben Längen, für die andere Mathematik nötig ist; von diesen ist die Ellipse der Fall, bei dem am häufigsten angenommen wird, sie sei ein einfacher Bruchteil eines Kreises, was sie nicht ist.

• Arc — the definition of an arc of a circle and the proportion between its length, the radius and the angle at the centre — Wolfram MathWorld (United States)
• Circular Arc — the same subject in more detail, including the compact form L = rθ and the statement that the angle in it is measured in radians — Wolfram MathWorld (United States)
• Circle — the circumference that an arc is a fraction of, and the 2πr that fraction is taken of — Wolfram MathWorld (United States)
• Kreisbogen — die deutsche Darstellung des Bogens, seines Mittelpunktswinkels und der Formel b = 2πr · α/360 — Mathebibel