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Mittelpunktswinkel-Rechner

Bereich: 0 cm – 1.000.000.000 cm

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Ergebnis

57,2958 °

Mittelpunktswinkel

Mittelpunktswinkel im Bogenmaß
1,0000 rad

Der Mittelpunktswinkel-Rechner nimmt den Radius eines Kreises und die Länge eines Bogens darauf und gibt zurück, wie groß der Winkel im Mittelpunkt ist — der Winkel, den dieser Bogen aufspannt —, und zwar in Grad und im Bogenmaß. Beides ist derselbe Winkel in zwei Schreibweisen, und das Interessante an dieser Seite ist, welche der beiden zuerst da ist. Ein Mittelpunktswinkel im Bogenmaß ist als Bogenlänge geteilt durch den Radius definiert — das ist keine hergeleitete Formel, sondern das ist, was ein Radiant ist —, der Wert im Bogenmaß ist also eine Division, in der weit und breit kein π vorkommt, und der Wert in Grad entsteht daraus durch Multiplikation mit 180/π. Das Zahlenpaar, mit dem die Seite startet, führt das vor: Radius 5 und Bogenlänge 5 ergeben genau ein Bogenmaß, weil der Bogen genau so lang ist wie der Radius, und ein Bogenmaß sind 57,2958 Grad. Jede weitere Rechnung hier ist dieselbe Division mit anderen Zahlen. Das ist auch der Grund, warum diese Seite und die Seite zur Bogenlänge zwei Seiten sind und nicht eine. Es ist dieselbe Gleichung in zwei Leserichtungen: Die eine nimmt den Winkel und liefert den Bogen, die andere nimmt den Bogen und liefert den Winkel. Beide sind berechtigt, weil die Fragen aus beiden Richtungen kommen — wer eine gebogene Wand ausmisst, hat eine Länge und will wissen, welchen Winkel sie überstreicht; wer einen Kreisausschnitt zeichnet, hat einen Winkel und will wissen, wie lang der Rand wird. Die eine Warnung, die von der anderen Seite mitkommt, betrifft die Kurzform L = rθ. In dieser Form steht θ immer im Bogenmaß, weil die Form nur so aufgeht. Setzt man Grad ein, wird das Ergebnis rund 57-mal zu groß, und es sieht nicht falsch aus, es sieht nur lang aus. Diese Seite gibt beide Werte aus, die Umrechnung ist also schon erledigt; die Warnung zählt dort, wo einem die Kurzform anderswo begegnet.

Der Mittelpunktswinkel aus einer Bogenlänge und dem Radius ihres Kreises

Radius (cm)Bogenlänge (cm)Mittelpunktswinkel (Grad)Mittelpunktswinkel (Bogenmaß)
5557.29581
10528.64790.5
510114.59162
4114.32390.25
3357.29581
6000
531.4159359.99976.2832
212.5664360.00086.2832

Acht Bögen und vier Spalten — zwei Messwerte hinein, derselbe Winkel zweimal heraus. Die erste Zeile ist das Paar, mit dem die Seite startet, und die Definition des Radianten in einer Zeile: Ein Bogen so lang wie der Radius ergibt genau 1, also 57,2958 Grad. Die zweite und die dritte Zeile nehmen dieselbe Division einmal nach unten und einmal nach oben — ein Bogen von der halben Länge des Radius ergibt ein halbes Bogenmaß, ein Bogen von der doppelten Länge zwei —, zusammen gelesen zeigen sie also, dass die Bogenmaß-Spalte nichts weiter tut als diese Division. Die vierte Zeile ist ein Viertel eines Bogenmaßes: Ein Bogen von 1 auf einem Radius von 4 ergibt 0,25, also 14,3239 Grad, die Grad-Spalte bleibt damit der Bogenmaß-Wert mal 57,2958. Die letzten beiden Zeilen sind dasselbe in zwei Richtungen und sind der Punkt der Tabelle: Ein Radius von 5, mit seinem eigenen ausgegebenen Kreisumfang gefüttert, ergibt 359,9997 Grad, und ein Radius von 2 mit dem seinen ergibt 360,0008, weil einmal abgerundet und einmal aufgerundet wurde. Ein Wert knapp über 360 ist deshalb richtig, und beide Zeilen stehen hier, um das zu sagen. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (57.2958 statt 57,2958), weil die Spaltenwerte aus der Berechnung kommen und nicht aus einer Textvorlage.

Formel

θ(Bogenmaß) = L ÷ r, θ(Grad) = θ(Bogenmaß) × 180 ÷ π

Bogenlänge
Die Strecke entlang der Kurve, in Zentimetern — die Länge des Stücks Kreis, nicht der gerade Abstand zwischen seinen beiden Enden
Radius
Der Abstand vom Mittelpunkt hinaus zum Bogen, in Zentimetern. Er muss größer als null sein, denn durch ihn wird die Bogenlänge geteilt
θ (Theta)
Der Mittelpunktswinkel im Bogenmaß — die Bogenlänge geteilt durch den Radius, und genau das ist ein Radiant. Ein voller Umlauf sind 2π davon, also etwa 6,2832
180 ÷ π
Die Anzahl der Grad in einem Radiant, etwa 57,2958. Multipliziert man den Wert im Bogenmaß damit, erhält man den Wert in Grad, und dies ist die einzige Stelle, an der π in die Rechnung kommt
Grad
Derselbe Winkel so geschrieben, wie die meisten Winkel lesen, mit 360 für einen vollen Umlauf. Dieser Wert steht vorn, weil es der ist, den ein Winkelmesser zeigen würde
L = rθ
Die Kurzform des Zusammenhangs, mit θ im Bogenmaß. Umgestellt ist sie genau die Division, die diese Seite ausführt; so wie sie dasteht, aber mit Grad statt Bogenmaß benutzt, liefert sie ein Ergebnis, das rund 57-mal zu groß ist
Vier Dezimalstellen
So breit sind beide Werte geschrieben. Ein voller Umlauf sind 6,2832 im Bogenmaß oder 360 Grad, und nahe diesem Punkt schlägt die vierstellige Rundung der Eingabe bis in das Ergebnis durch

Immer wenn etwas entlang einer Kurve gemessen wurde und nun zu einem Winkel werden soll. Eine Werkstatt ist der klarste Fall: Ein gebogener Schlitz, ein gebogenes Rohr, ein Stück von einem gerollten Ring kommen mit einer Länge an, und in der Zeichnung steht ein Winkel — diese Division bringt das eine ins andere. Fertigung und Bau haben dieselbe Gestalt: ein an seiner Länge gemessener gebogener Handlauf, ein gebogener Bordstein, eine bogenförmige Öffnung, ein Bogen Mauerwerk, all das braucht den Mittelpunktswinkel, bevor irgendetwas abgesteckt werden kann. Navigation und Astronomie benutzen denselben Weg in die andere Richtung und verwandeln einen auf dem Boden oder am Himmel gemessenen Bogen in Grad für die Breite, die Länge oder einen Kurswinkel. Dazu kommt ein Nutzen im Unterricht, und er ist wirklich der klarste Weg, diese Einheit zu verstehen. Einen Kreis zeichnen, ein Stück Schnur in der Länge des Radius abschneiden und entlang des Kreises auflegen: Der Winkel, den die Schnur im Mittelpunkt aufspannt, ist ein Radiant, und etwas mehr als sechs davon gehen einmal herum. Einmal gemacht, ist das Bogenmaß keine willkürliche Einheit zum Auswendiglernen mehr. Und es gibt einen praktischen Fall, der in der Software und in der Technik immer wieder auftaucht: Aus einem Radius und einer Länge soll der Anteil eines Kreises bestimmt werden. Dieser Anteil ist der Wert im Bogenmaß geteilt durch 2π, und dafür sind die beiden Werte dieser Seite da.

Rechenbeispiele

  1. Radius 5 und eine Bogenlänge von 5

    1. Bogenlänge durch Radius teilen: 5 ÷ 5 = 1 im Bogenmaß
    2. In Grad umrechnen: 1 × 180 ÷ π = 57,2958

    Das Paar, mit dem die Seite startet, und die Definition des Radianten in einer Zeile: Ein Bogen, der so lang ist wie der Radius, spannt einen Winkel von einem Bogenmaß auf. Die Gradzahl 57,2958 ist die Zahl, die man sich merken sollte, wenn man sich nur eine einzige Sache über das Bogenmaß merkt. Auffällig ist, dass der Wert im Bogenmaß exakt herauskommt — hier wurde nicht gerundet —, weil dieses Paar gerade so gewählt ist, dass die Division aufgeht.

  2. Radius 10 und eine Bogenlänge von 5

    1. Bogenlänge durch Radius teilen: 5 ÷ 10 = 0,5 im Bogenmaß
    2. In Grad umrechnen: 0,5 × 180 ÷ π = 28,6479

    Derselbe Bogen auf einem größeren Kreis, der Winkel ist also kleiner — eine Bogenlänge von 5 ist hier die Hälfte des Radius und nicht der ganze Radius. Ein halbes Bogenmaß, 28,6479 Grad. Diese Zeile zeigt, dass der Winkel vom Verhältnis abhängt und nicht vom Bogen allein; das ist dieselbe Tatsache, die die Seite zur Bogenlänge von der anderen Seite her ausdrückt.

  3. Radius 4 und ein Viertel des Kreisumfangs

    1. Der ganze Kreisumfang: 2 × π × 4 = 25,1327
    2. Ein Viertel davon: 25,1327 ÷ 4 = 6,2832 = π
    3. Bogenlänge durch Radius teilen: 12,5664 ÷ 4 = 3,1416 im Bogenmaß
    4. In Grad umrechnen: 3,1416 × 180 ÷ π = 180,0004

    Ein halber Umlauf, und die Zeile, die zeigt, wo die vier Dezimalstellen der Eingabe landen. Der Winkel ist tatsächlich 180 Grad, aber eingegeben wurde der gerundete Viertelumfang 12,5664, und eine gerundete Zahl durch 4 zu teilen trägt diese Rundung als 0,0004 Grad in das Ergebnis. Der Wert im Bogenmaß ist die Zahl π auf vier Stellen, was der zweite Weg ist, darin einen halben Umlauf zu erkennen.

  4. Radius 2 und der ausgegebene Kreisumfang

    1. Der ganze Kreisumfang: 2 × π × 2 = 12,5664, auf vier Dezimalstellen ausgegeben
    2. Bogenlänge durch Radius teilen: 12,5664 ÷ 2 = 6,2832 im Bogenmaß
    3. In Grad umrechnen: 6,2832 × 180 ÷ π = 360,0008

    Ein voller Umlauf, und der Wert liegt ein klein wenig über 360 Grad — was richtig ist und kein Fehler. Der Kreisumfang eines Kreises mit Radius 2 beträgt 12,5663706, die Seite gibt ihn als 12,5664 aus, also aufgerundet. Trägt man diese gerundete Zahl wieder ein, kommt der Winkel ein Bruchteil eines Grades über einen vollen Umlauf. Durchgeschlagen ist die Rundung in der Eingabe, nicht die Division.

  5. Radius 6 und eine Bogenlänge von 0

    1. Bogenlänge durch Radius teilen: 0 ÷ 6 = 0 im Bogenmaß
    2. In Grad umrechnen: 0 × 180 ÷ π = 0

    Kein Bogen, also kein Winkel: Die beiden Radien sind aufeinandergelaufen und der Bogen ist zu einem Punkt geschrumpft. Null ist hier eine zulässige Eingabe, und die Antwort ist eine echte Null. Das Feld, das nicht null sein darf, ist der Radius — durch ihn wird die Bogenlänge geteilt, ein Radius von null hat also überhaupt keine Antwort.

Einschränkungen

Diese Seite liefert den Winkel und sonst nichts: nicht den Bogen, nicht den Radius, nicht die Fläche des Kreisausschnitts. Aus Winkel und Radius die Bogenlänge zu bestimmen ist die andere Seite. Der Radius muss größer als null sein — die Bogenlänge wird durch ihn geteilt, ein Radius von null hat also keine Antwort, und die Seite sagt das, statt eine leere Stelle auszugeben. Der Winkel darf dagegen null sein, das ergibt einen Winkel von null Grad. Die Bogenlänge darf nicht länger sein als der ganze Kreisumfang dieses Kreises: Ein Kreis mit Radius 5 hat einen Umfang von 31,4159, eine Bogenlänge von 32 wird also abgelehnt. Diese Grenze wird gegen den Kreisumfang geprüft, wie die Seite ihn ausgibt, auf vier Dezimalstellen, und nicht gegen den vollpräzisen Wert, und das hat eine sichtbare Folge: Ein Wert knapp über 360 Grad ist möglich und trotzdem richtig. Endet der Kreisumfang auf einer Ziffer, die beim Ausgeben aufgerundet wird, ergibt das Wiedereintragen dieser ausgegebenen Zahl einen Winkel von etwa 360,0008 Grad, weil die Rundung schon in der getippten Zahl steckte. Das ist nicht die Seite, die ihre eigene Grenze überschreitet. Beide Eingaben werden in derselben Einheit gelesen, umgerechnet wird nichts; die beiden Ausgaben stehen immer in Grad und im Bogenmaß, unabhängig davon, was in den Auswahlfeldern steht.

Häufige Fragen

Warum gibt es zwei Werte?
Weil der Winkel zwei übliche Einheiten hat und die Seite die Umrechnung abnimmt. Der Wert im Bogenmaß ist die Bogenlänge geteilt durch den Radius, und das ist die Definition des Radianten; der Wert in Grad ist diese Zahl multipliziert mit 180/π. Es ist derselbe Winkel, und beide zu haben bedeutet, dass man weder von Hand umrechnen noch nachschlagen muss, welche Einheit eine Formel erwartet.
Mein Ergebnis lautet 360,0008 Grad. Ist das falsch?
Nein, es ist richtig, und es entsteht, wenn die eingegebene Bogenlänge bereits eine gerundete Zahl war. Der Kreisumfang eines Kreises mit Radius 2 beträgt 12,5663706, die Seite gibt ihn als 12,5664 aus, also aufgerundet. Trägt man diesen ausgegebenen Wert wieder ein, kommt der Winkel ein Bruchteil eines Grades über einen vollen Umlauf. Was man sieht, ist die Rundung in der Eingabe und nicht ein Fehler in der Division.
Darf der Radius null sein?
Nein. Der Mittelpunktswinkel ist die Bogenlänge geteilt durch den Radius, ein Radius von null hat also überhaupt keine Antwort — es gibt keinen Kreis, an dem sich ein Winkel messen ließe. Die Seite sagt das, statt eine leere Stelle oder eine Unendlichkeit auszugeben. Die Bogenlänge darf dagegen null sein, und das ergibt einen Winkel von null, also eine echte Antwort.
Wie groß darf die Bogenlänge höchstens sein?
So groß wie der Kreisumfang dieses Kreises. Ein Bogen ist ein Stück des Kreises und kann nicht länger sein als der ganze Kreis, alles darüber lehnt die Seite ab — bei einem Radius von 5 liegt die Grenze bei 31,4159. Darüber gibt es keinen Mittelpunktswinkel mehr zu finden, weil der Bogen dann mehr als einmal herumgegangen wäre.
Wie hängt diese Seite mit dem Bogenlänge-Rechner zusammen?
Es ist dieselbe Gleichung in zwei Leserichtungen. Diese Seite nimmt Radius und Bogenlänge und liefert den Winkel; jene nimmt Radius und Winkel und liefert den Bogen. Beide gibt es, weil die Fragen aus beiden Richtungen kommen — beim Ausmessen einer Kurve hat man eine Länge, beim Zeichnen eines Ausschnitts einen Winkel —, und jede der beiden Tabellen enthält eine Zeile, die auch die andere ausgibt.
Ist das Bogenmaß einfach eine andere Einheit, so wie Grad?
Es ist eine Einheit, aber keine so willkürliche wie Grad. Ein Grad ist ein Dreihundertsechzigstel eines Umlaufs, eine Einteilung aus der babylonischen Rechenkunst; ein Radiant ist der Winkel, der entsteht, wenn der Bogen genau so lang ist wie der Radius. Deshalb enthält die Division auf dieser Seite kein π: π taucht erst auf, wenn man das Ergebnis in Grad umrechnet.

Quellen

Verwandte Rechner

Bogenlänge-RechnerLänge des Bogens zwischen zwei Punkten auf einem Kreis.Kreisausschnitt-RechnerFläche, Bogenlänge und Sehne aus Winkel und Radius.Kreissegment-RechnerFläche zwischen Sehne und Bogen aus Radius und Winkel.Kreis-RechnerRadius, Durchmesser, Umfang und Fläche aus einer Angabe.